2019-2020学年广东省肇庆市高中毕业班第三次统测数学（理科）试题.doc

1、高三数学（理科）试题高三数学（理科）试题 第第 1 页页 共共 13 页页 试卷类型：试卷类型：A 肇庆市肇庆市 2020 届高中毕业班第三次统一检测届高中毕业班第三次统一检测 理科数学理科数学 注意事项注意事项： 1答题前，考生务必将自己的学校、姓名、试室号、座位号填写在答题卷上。 2回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑， 如需改动，用橡皮擦干净，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，用黑色字迹的签 字笔在答题卡上书写作答。在试题卷上作答，答案无效。 3考试结束，监考人员将试卷、答题卷一并收回。 第第卷卷 一、一、 选择题：本大题共选择题：本大题共 1

2、2 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目一项是符合题目要求的要求的. 1已知集合 2 |10 ,|280Ax xBx xx ，则 R =CAB A2,1 B1,4 C2,1 D,4 2复数z的共轭复数z满足 234i zi，则z= A.2i B. 2 i C. 1 2i D. 1 2i 3在等差数列 n a中，前n项和 n S满足 83 45SS，则 6 a的值是 A. 3 B 5 C 7 D 9 4在ABC中，ABACABAC，4,3ABAC，则BC在CA方向上的投影是 A. 4 B. 3 C.

3、 4 D. 3 5设 , x y满足约束条件 , 01 02 0 y yx yx ，则2zxy的最大值是 A.0 B. 3 C. 4 D . 5 6命题 :p 曲线 2 yx的焦点为 1 0 4 ，；命题 :q 曲线 2 2 1 4 y x的渐近线方程为 2yx ； 下列为真命题的是 A.p q B. pq C. pq D . pq 高三数学（理科）试题高三数学（理科）试题 第第 2 页页 共共 13 页页 7某企业引进现代化管理体制，生产效益明显提高.2018年全年总收入与2017年全年总 收入相比增长了一倍，实现翻番.同时该企业的各项运营成本也随着收入的变化发生了相应 变化.下图给出了该企

4、业这两年不同运营成本占全年总收入的比例，下列说法正确的是 A该企业2018年原材料费用是2017年工资金额与研发费用的和 B该企业2018年研发费用是2017年工资金额、原材料费用、其它费用三项的和 C该企业2018年其它费用是2017年工资金额的 1 4 D该企业2018年设备费用是2017年原材料的费用的两倍 8如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某三棱锥的三视图如右 图所示，则该棱锥的外接球的表面积为 A4 B6 C8 D12 9已知函数sin (0)yaxb a 的图象如图所示，则函数log () a yxb的图象可能是 A B C D 10已知角的终边经过点2, 3，将角

5、的终边顺时针旋转 4 后，角的终边与单位圆交点 的横坐标为 A 26 26 B 26 26 C 5 26 26 D 5 26 26 11. 已知 2 2log7a ， 3 3log7b ， 5 5log7c ，则 Aabc Bcab Cbca Dbac 12若函数 2sin cosf xxx cosxax在, 单调递增，则a的取值范围是 A 1,1 B 1,3 C 3,3 D 3, 1 高三数学（理科）试题高三数学（理科）试题 第第 3 页页 共共 13 页页 第第 II 卷卷 本卷包括必考题和选考题两部分本卷包括必考题和选考题两部分. 第第 13 题题第第 21 题为必考题， 每个试题考生都

6、必须作答题为必考题， 每个试题考生都必须作答. 第第 22 题题第第 23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。 13 九章算术中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大 鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半问何日相逢，各穿几何？题意是：有 两只老鼠从墙的两边打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一 尺，以后每天减半”，如果墙厚 31 64 32 尺，_天后两只老鼠打穿城墙 14 6 212xyxy的展开式中 4

7、3 x y的系数为 . 15 已知点P是双曲线 22 22 :10,0 xy Cab ab 左支上一点, 2 F是双曲线的右焦点， 且双 曲线的一条渐近线恰是线段 2 PF的中垂线,则该双曲线的离心率是 . 16在矩形ABCD中，1,2ABAD，ABD沿对角线BD翻折，形成三棱锥ABCD. 当3AC 时，三棱锥ABCD的体积为 3 1 ；当面ABD 面BCD时，ABCD； 三棱锥ABCD外接球的表面积为定值，以上命题正确的是 . 三、三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17 （本小题满分 12 分） 已知在ABC中，角A BC、

8、 、对应的边分别为abc、 、，sinsin 2 BC baB （1）求A； （2）若4,6bc，求sinB的值 高三数学（理科）试题高三数学（理科）试题 第第 4 页页 共共 13 页页 18.（本小题满分 12 分） 如图，在三棱柱 111 ABCABC中，侧面 11 ABB A是菱形，且 1 CACB. （1）证明： 11 CBACB A面面； （2）若 0 1 60BAA， 11 ACBCBA，求二面 角 111 CABC的余弦值 19.（本小题满分 12 分） 已知点 1 F为椭圆 22 22 10 xy ab ab 的左焦点， 2 1, 2 P 在椭圆上， 1 PFx轴 （1）求椭

9、圆的方程； （2）已知直线l与椭圆交于A，B两点，且坐标原点O到直线l的距离为 6 3 ，AOB 的大小是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由 20.（本小题满分 12 分） 某停车场对机动车停车施行收费制度，每辆车每次收费标准如下：4小时内（含4小时） 收费5元；超过4小时不超过6小时的部分，每增加一小时收费增加3元；超过6小时不超过 8小时的部分，每增加一小时收费增加4元；超过8小时至24小时内（含24小时）共收费30 元；超过24小时，按前述标准重新计费.上述标准不足一小时的按一小时计费.为了调查该停 车场一天的收费情况，现统计1000辆车的停留时间（假设每辆车一天内在该停车场

10、仅停车一 次） ，得到下面的频数分布表： T（小时） (0,4 5 , 4( 6 , 5( 7 , 6( 8 , 7( 24, 8( 频数（车次） 100 100 200 200 350 50 以车辆在停车场停留时间位于各区间的频率代替车辆在停车场停留时间位于各区间的概 率. （1） 现在用分层抽样的方法从上面1000辆车中抽取了100辆车进行进一步深入调研， 记 录并统计了停车时长与司机性别的22列联表： C1 B1 A B A1 C 高三数学（理科）试题高三数学（理科）试题 第第 5 页页 共共 13 页页 男 女 合计 不超过6小时 30 6小时以上 20 合计 100 完成上述列联表，

11、并判断能否有90%的把握认为“停车是否超过6小时”与性别有关？ （2） （i）X表示某辆车一天之内（含一天）在该停车场停车一次所交费用，求X的概 率分布列及期望()E X； （ii）现随机抽取该停车场内停放的3辆车，表示3辆车中停车费用大于()E X的车辆 数，求 )2(P 的概率. 参考公式： 2 2 () ()()()() n adbc k ab cd ac bd ，其中na b cd 2 0 P Kk 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0 k 0.780 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 21.（本小题满分 12 分） 设函数 2 0

12、 ex axxa f xa ，e为自然对数的底数. （1）讨论 f x的单调区间； （2）若 2 ee ln0 xx axxaxx成立，求正实数a的取值范围 高三数学（理科）试题高三数学（理科）试题 第第 6 页页 共共 13 页页 请考生在第请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 作答时，作答时， 请用请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑. （22） （本小题满分 10 分）选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中，曲线C的方程

13、为 2 2 1 2 x y.在以原点O为极点，x轴正半轴为 极轴的极坐标系中，P的极坐标为 3, 3 ，直线l过点P. （1）若直线l与OP垂直，求直线l的极坐标方程； （2）若直线l与曲线C交于,A B两点，且 13 8 PA PB ，求直线l的倾斜角. （23） （本小题满分 10 分）选修选修 45：不等式选讲：不等式选讲 设函数( ) |f xxaxb，0ab. （1）当1,1ab时，求不等式 3f x 的解集；来源 X （2）若( )f x的最小值为2，求 41 ab 的最小值. 2020 届高中毕业班第届高中毕业班第三三次统一检测题次统一检测题 理科数学理科数学参考答案及评分标准参

14、考答案及评分标准 一、选择题一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C A D D D B B B C B D A 二、填空题二、填空题 13 6 14 320 15 5 16 高三数学（理科）试题高三数学（理科）试题 第第 7 页页 共共 13 页页 三、解答题三、解答题 （17） （本小题满分） （本小题满分 12 分）分） 解： （1）由sinsin 2 BC baB 及正弦定理 可得sinsinsinsin 2 BC BAB （2 分） 因为ABC，所以 sinsinsinsinsincos 222 BCAA BBB ， 又sinsin=2sinc

15、ossin 22 AA ABB，所以sincos=2sincossin 222 AAA BB （4 分） 因为0,0AB，所以cos0,sin0 2 A B 所以 1 sin 22 A ，因此 26 A ，即 3 A （6 分） （2）法一：由余弦定理可得 222 1 2cos16362 4 628 2 abcbcA 所以2 7a . （9 分） 由正弦定理得 sinsin ba BA ，得 sin21 sin 7 bA B a （12 分） 法二：由正弦定理及AB C得 2sinsinsin sin 3 bccc BCBA B 代入数据得3sin3cossinBBB，即 2 cossin 3

16、 BB （9 分） 结合 22 cossin1BB 得 2 3 sin 7 B ，又因为0B， 21 sin 7 B （12 分） （18） （本小题满分） （本小题满分 12 分）分） （1）设 11 ABABO，连接CO.因为侧面 11 ABB A是菱形， 所以 11 ABAB， （2 分） 又因为 1 CACB，所以 1 COAB，又 1 ABCOO， O C1 B1 A B A1 C xy z 高三数学（理科）试题高三数学（理科）试题 第第 8 页页 共共 13 页页 所以 11 ABCAB面，又 11 ABCAB面，所以 11 CBACB A面面. （4 分） （2）因为 1 CAC

17、B，所以 1 COAB，设1OB .如图，以O为原点，分别以,OA OB OC 方向为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系，则 0,0, 3C， 1 3,0,0B ， 1 0, 1,0A，0,1,0B，因为 11 3, 1,0CCBB ，易得 1 3, 1, 3C . 11 3,1,0AB ， 1 0,1, 3AC ， 11 3,0, 3AC . （6 分） （或者不求 1 C的坐标，利用 11= ACAC也可得出 11 AC的坐标） 设 111 ,nx y z是面 11 CAB的一个法向量，则 11 1 0 0 AB n AC n 即 11 11 30 30 xy yz ，可取 1, 3

18、, 1n （8 分） 设 222 ,mxy z是面 111 C AB的一个法向量，则 11 11 0 0 AB n AC n 即 22 22 30 330 xy xz ，可取 1, 3,1m （10 分） 3 cos, 5 m n m n m n ，所以二面角 111 CABC的余弦值为 3 5 （12 分） （19） （本小题满分） （本小题满分 12 分）分） 解： （1）依题意可得 1 1,0F ，右焦点 2 1,0F， （1 分） 12 23 2 2 22 22 PFPFa，所以 222 2,1,1acbac， （2 分） 椭圆方程为 2 2 1 2 x y （3 分） （2）当直线l

19、斜率不存在时，直线l的方程为 6 3 x ，与椭圆方程联立可得 66666666 (,), (,)(,), (,) 33333333 ABAB或 , 高三数学（理科）试题高三数学（理科）试题 第第 9 页页 共共 13 页页 因为 0OA OB ，所以=90AOB. （5 分） 当直线 l的斜率存在时，设直线 l的方程为y kxm, 1122 ( ,), (,)A x yB xy, 因为原点O到直线l的距离为 6 3 ,所以 2 6 3 1 m k ， 整理得 22 32(1)mk（*） ， （6 分） 由 2 2 1 2 x y ykxm 可得 222 (21)4220kxkmxm （7 分

20、） 22222 (4)4(21)(22)8(21)kmkmkm , 将（*）式代入得 2 2 328 =0=1680 3 k m ，或 （8 分） 2 1212 22 422 ,. 2121 kmm xxx x kk （9 分） 22 12121212 222 22 222 ()()() 2242 . 212121 y ykxm kxmk x xkm xxm mkmmk kkmm kkk 22222 1212 222 222322 =0 212121 mmkmk OA OB x xy y kkk （11 分） 所以=90AOB.综上所述，AOB的大小为定值，且=90AOB （12 分） （20

21、） （本小题满分） （本小题满分 12 分）分） 解： （1）22列联表如下： 男 女 合计 不超过6小时 10 30 40 6小时以上 20 40 60 合计 30 70 100 （3 分） 根据上表数据代入公式可得 2 2 100 (20 30 10 40)50 0.7942.706 30 70 60 4063 K （4 分） 高三数学（理科）试题高三数学（理科）试题 第第 10 页页 共共 13 页页 所以没有超过90%的把握认为“停车是否超过 6 小时”与性别有关； （5 分） (2) (i)由题意知：X的可取值为 5，8，11，15，19，30，则 （6 分） 10 1 )5(XP

22、， 10 1 )8(XP ， 5 1 )11(XP ， 5 1 )15(XP ， 20 7 )19(XP ， 20 1 )30(XP . 所以X的分布列为： X 5 8 11 15 19 30 P X 10 1 10 1 5 1 5 1 20 7 20 1 （8 分） 111171293 ()5811151930=14.65 101055202020 E X （9 分） （ii）由题意得 1713 (14.65) 520205 P X （10 分） 3 3, 5 B ， 23 2 3 223 323922781 3 555255125125 PPP C （12 分） （21） （本小题满分）

23、（本小题满分 12 分）分） 解： （1） 2 21111 xx axaxaxaxa fx ee （2 分） 令 0fx ，得1x 或 1 1x a ，因为0a，所以 当 1 1x a 或1x 时， 0fx ；当 1 11x a 时， 0fx ， 所以 f x的单调增区间为 1 1,1 a ，减区间为 1 ,1, 1, a . （4 分） （2）由 2 ee ln0 xx axxaxx可得 2 ln ex axxa xx . 令 lng xxx， （6 分） 11 1= x gx xx ，当01x时， 0gx ， g x单调递减； 当1x 时， 0gx ， g x单调递增， min 11g x

24、g. （8 分） 高三数学（理科）试题高三数学（理科）试题 第第 11 页页 共共 13 页页 由（1）可知，当 1 10 a ，即01a时， f x在0,1单调递增，在1,上单调递减， max 12 1 a f xf e 依题意有1 2 1 a e ，即 1 2 e a ； （10 分） 当1a 时， 123 111 a fg ee ，与题意矛盾. （11 分） 所以a的取值范围是 1 0, 2 e （12 分） （22） （本小题满分） （本小题满分 10 分）分） 解： （1）法一：设,M 是直线l上除P外的任意一点，连接OM，在Rt OPM中， cos3 3 OP ； （3 分） 经检

25、验 3, 3 P 满足cos3 3 ， 所以直线l的极坐标方程为cos3 3 （4 分） 法二：P的直角坐标为 3 3 , 22 ， （1 分） OP的斜率3 OP k，直线l的斜率为 3 3 ， （2 分） 所以直线l的直角坐标方程为 333 232 yx ，即 3 2 3 yx （4 分） 化为极坐标方程为 3 sincos20 3 （5 分） （2）P的直角坐标为 3 3 , 22 ， （如果第一问求出P的直角坐标,这里不再给分） （5 分） 高三数学（理科）试题高三数学（理科）试题 第第 12 页页 共共 13 页页 设直线l的参数方程为 3 cos , 2 0 3 sin, 2 xt

26、 yt ， （6 分） 与 2 2 1 2 x y联立并整理得 22 13 1 sin3cos6sin0 4 tt （*） （7 分） 12 2 13 13 4 1 sin8 PA PBt t （8 分） 得sin1，所以 0 90，此时方程（*）的判别式为100 所以直线l的倾斜角为 0 90 （10 分） （23） （本小题满分） （本小题满分 10 分）分） 解： （1）原不等式等价于113xx ， 当1x时，可得11 3xx ，得 3 1 2 x； （1 分） 当11x 时，可得11 3xx ，得23成立； （2 分） 当1x时，可得11 3xx ，得 3 1 2 x ； （3 分）

27、综上所述，原不等式的解集为 33 | 22 xx （5 分） （2）( ) |f xxaxbba，当且仅当0xaxb时等号成立 （6 分） 所以( )f x的最小值为ba，即=2ba （7 分） 又因为0ab，所以=2baab， （8 分） 414114114149 =552 2222 bab a ab ababababab 当且仅当 4 ba ab 时，等号成立，所以 41 ab 的最小值为 9 2 （10 分） 法二：( ) |f xxaxbba （6 分） 高三数学（理科）试题高三数学（理科）试题 第第 13 页页 共共 13 页页 当且仅当0xaxb时等号成立 所以( )f x的最小值为ba，即=2ba （7 分） 411 4114114 =5 222 ba abab abababab 又因为0ab，所以 4 0,0 ba ab ，所以 4114149 552 222 bab a ababa b 当且仅当 4ba ab 时，等号成立，所以 41 ab 的最小值为 9 2 （10 分）