从银行贷款问题看非光滑分析理论的应用课件.ppt
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- 银行贷款 问题 光滑 分析 理论 应用 课件
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1、2023-1-6从银行贷款问题从银行贷款问题 看非光滑分析理论的应用看非光滑分析理论的应用大背景大背景n时至今日,我国进入世界贸易组织WTO已经五周年,我国金融业与国际接轨的宽限期已经结束,温家宝总理最近签署了有关开放外资银行经营人民币业务的法令。n由于我国长期实行计划经济,在很长的时期里,银行的功能实际上充当了财政的出纳,而自身的经济效益反而放到次要地位。银行在信贷业务方面长期积累的的呆帐、坏帐比例曾一度达到国际上公认的“技术性破产”水平。自从改革开放以来,银行系统的体制改革至少是在形式上,已经步入了商业化轨道。n经过最近几年的试点,2005年1月6日,国务院公布了中国建设银行和中国银行实施
2、股份制改造试点,并注资450亿美元,集中消化了两行财务上的历史包袱,迈开了股份制改造、将两行办成现代商业银行改革的实质性步伐。此后,工行和建行也陆续跟进。问题的提出问题的提出n无庸讳言,商业银行的所有经营活动都是以经济效益为第一优先考虑的。银行的经济效益的主体部分是通过存、贷利率差实现的。因此,如何向客户(企业和个人)发放贷款,使之获得最大收益就成为一个热点研究课题。我们在这里提出一条思路:使用最优化方法。这里介绍的方法,有可能制作成软件包,成为投资决策系统的一部分。n问题:某银行有一笔总额为a的资金,将其贷给n个客户,假设第i个客户获得的贷款金额为 xi。如何安排这些 xi,可以使银行获得最
3、大经济效益?建立数学模型建立数学模型 如果第i个客户用贷款xi去从事生产、经营活动,所获收益为Ri(xi),则银行的决策者面临如下的非线性最优化问题:.,1 ,0 ,s.t.,)(max )P(11nixaxxRiniiniii目标函数的凹性假设目标函数的凹性假设 在模型(P)中,可行集显然是凸集;然而,要求目标函数是凹函数,我们需要一个合理的假设。假设:客户的收益与贷 款金额成正比,或者客 户的收益与贷款金额间 存在某种饱和趋势(分 别如右图的半直线和曲 线)。这两种情况都决定了函 数Ri(xi)是凹的。xiRi(xi)O凸规划凸规划n这样一来,我们的非线性规划模型(P)是一个凸规划问题(可
4、行集为凸集,极大化一个凹目标函数)。n理论上,我们的银行放款问题已经完满解决:求解一个非线性凸规划问题!n然而,在实践中,我们面临两大难题:一方面,每个客户的收益函数Ri(xi)银行方很难掌握;另一方面,当客户数量 n 较大时,计算量是难以忍受的。分散化分散化n银行的决策者使用利率杠杆,将“权力”下放,实现“分散化”处理的目的。设银行贷款利率为*,对于每个客户,他们只需按自己的效益最大化原则来决定自己的贷款金额。n这样,刚才的问题分散化为 n 个独立的最优化问题(模型中的*实际上是(1+*):.,1 .0 s.t.),)(max()(*nixxxRPiiiii困 难n这些问题的个数虽多,但都是
5、单变量凸规划问题,且每个问题都由一个企业来解。因此,实际上问题已经大大简化。n现在的新问题在于:提出怎样的利率*,使得这笔资金仍能达到最优分配,即仍能达到总收益最大这一目标?n从直观上可以看出,如果*定得过高,企业都不大愿意贷款,资金得不到充分利用;但如果定得过低,又会使企业贷款欲望膨胀,对于单个客户,他们不会考虑银行资金总额的限制,因此,有可能突破总金额a的上限。分散化参数:分散化参数:Lagrange乘子乘子n不过,银行方可以动用利率杠杆,既控制客户的贷款欲望,又使资金充分利用。n下面我们断言:满足要求的(最优)利率*,正是不等式约束 等价地 的Lagrange乘子。01axnii,1ax
6、nii问题问题(P)的部分无约束化的部分无约束化n撇开一些简单的变换,可以看出如果*是对应于约束条件 的Lagrange乘子*,则问题(P)等价于下面的问题(PL):这里的L(x,*)是问题(P)的部分Lagrange函数(注意:问题(P)是极大化目标函数,因此,L(x,*)的后一项是减号)。.,1 ,0 s.t.),()(),(max )P(11*LnixaxxRxLininiiii01axnii资金的资金的“影子价格影子价格”n(PL)的目标函数:正是将约束条件 取消后对原问题(P)的目标函数的惩罚(也就是罚函数)。事实上,破坏约束条件后,是正项,*越大,(PL)的最优目标值越小。n而La
7、grange乘子*则是因为破坏约束条件应付出的单位代价(这就是资金的“影子价格”)。niniiiiaxxRxL11*)()(),(01axnii)(1*axnii如何求最优利率如何求最优利率 *?n因为(PL)(P),所以不要指望通过(PL)来求*。n我们将模型(PL)中的*看成变量0,则对任意固定的,(PL)的解是:n这个解实际上是惩罚单位为时,原问题(PL)的近似解(此时的不一定是问题(PL)的*)。).()(sup)(11*axxRxniiniiiRxn如何求最优利率如何求最优利率 *?续?续1n要使约束条件 全部起作用,应 该使惩罚项达到最大(相当于违反交 通规则的罚款,你罚到他倾家荡
8、产)!n观察 的表达式,要使惩罚项 就应该使axnii1.min)(*x)(*x,)(1axnii如何求最优利率如何求最优利率 *?续?续2n综上分析,求*的问题,归结为求解关于决策变量的一个带非负约束的极小化问题:.0 s.t.),()(supmin )P(11axxRniiniiiRxn如何求最优利率如何求最优利率 *?续?续3n注意到 是凹函数,是仿射函数,因而 仍然是凹函数。于是上确界 存在,且是关于变量的仿射函数。因而,问题(P)是一个单变量凸规划问题,理论上是容易求解出*的。niiixR1)()(1axnii)()(11axxRniiniii)()(sup11axxRniiniii
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