姜启源编《数学建模》第四版-第十二章:马氏链模型课件.ppt
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- 数学建模 姜启源编 数学 建模 第四 第十二 马氏链 模型 课件
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1、第十二章第十二章 马氏链模型马氏链模型12.1 健康与疾病健康与疾病12.2 钢琴销售的存贮策略钢琴销售的存贮策略12.3 基因遗传基因遗传12.4 等级结构等级结构12.5 资金流通资金流通马氏链模型马氏链模型 系统在每个时期所处的状态是随机的系统在每个时期所处的状态是随机的.从一时期到下时期的状态按一定概率转移从一时期到下时期的状态按一定概率转移.下时期状态只取决于本时期状态和转移概率下时期状态只取决于本时期状态和转移概率.已知现在,将来与过去无关(无后效性)已知现在,将来与过去无关(无后效性)描述一类重要的描述一类重要的随机随机动态动态系统系统(过程过程)的模型的模型.马氏链马氏链(Ma
2、rkov Chain)时间、状态均为离散的随机转移过程时间、状态均为离散的随机转移过程通过有实际背景的例子介绍马氏链的基本概念和性质通过有实际背景的例子介绍马氏链的基本概念和性质.例例1.人的健康状况分为健康和疾病两种状态,设对特人的健康状况分为健康和疾病两种状态,设对特定年龄段的人,今年健康、明年保持健康状态的概率定年龄段的人,今年健康、明年保持健康状态的概率为为0.8,而今年患病、明年转为健康状态的概率为而今年患病、明年转为健康状态的概率为0.7.12.1 健康与疾病健康与疾病 人的健康状态随着时间的推移会随机地发生转变人的健康状态随着时间的推移会随机地发生转变.保险公司要对投保人未来的健
3、康状态作出估计保险公司要对投保人未来的健康状态作出估计,以制以制订保险金和理赔金的数额订保险金和理赔金的数额.若某人投保时健康若某人投保时健康,问问10年后他仍处于健康状态的概率年后他仍处于健康状态的概率.,1,0,2,1,),(1njiiXjXPpnnij转移概率Xn+1只取决于只取决于Xn和和pij,与与Xn-1,无关无关8.011p2.011112pp7.021p3.012122pp年疾病第年健康第状态nnXn,2,1,1,0,2,1),()(niiXPnani状态概率状态状态与与状态转移状态转移状态转移具状态转移具有有无后效性无后效性 2121111)()()1(pnapnana0.8
4、0.20.30.72221212)()()1(pnapnana12 n 0a2(n)0 a1(n)1设投保设投保时健康时健康给定给定a(0),预测预测 a(n),n=1,2,设投保设投保时疾病时疾病a2(n)1 a1(n)0 n时状态概率趋于稳定值时状态概率趋于稳定值,稳定值与初始状态无关稳定值与初始状态无关.22212122121111)()()1()()()1(pnapnanapnapnana3 0.778 0.222 7/9 2/9 0.7 0.77 0.777 0.3 0.23 0.223 7/9 2/9 状态状态与与状态转移状态转移10.80.220.780.220.80.20.30
5、.712n 0 1 2 3 a2(n)0 0.18 0.189 0.1835 a3(n)0 0.02 0.054 0.0880 a1(n)1 0.8 0.757 0.7285 设投保时处于健康状态,预测设投保时处于健康状态,预测 a(n),n=1,2,不论初始状态如何,最终都要转到状态不论初始状态如何,最终都要转到状态3;一旦一旦a1(k)=a2(k)=0,a3(k)=1,则对于则对于nk,a1(n)=0,a2(n)=0,a3(n)=1,即从状态即从状态3不会转移到其他状态不会转移到其他状态.状态状态与与状态转移状态转移00150 0.1293 0.0326 0.8381 ,),()(1021
6、nkiiXPnani状态概率),(1iXjXPpnnij转移概率),(,1021nkXn状态马氏链的基本方程马氏链的基本方程1)(1nakiikippkjijij,2,1,1,01)(非负,行和为转移概率矩阵1kkijpPPnana)()1(kipnanakjjiji,2,1,)()1(1基本方程基本方程状态概率向量)(,),(),()(21nanananaknPana)0()(wwPw满足马氏链的两个重要类型马氏链的两个重要类型 1.正则链正则链 从任一状态出发经有限次转移从任一状态出发经有限次转移 能以正概率到达另外任一状态能以正概率到达另外任一状态(如例如例1).0,NPN正则链Pnan
7、a)()1()()(,nwnaw正则链3.07.02.08.0.1 P例)9/2,9/7(w2211213.02.07.08.0wwwwww11kiiww满足121ww217.02.0ww w 稳态概率稳态概率QRIPrr0马氏链的两个重要类型马氏链的两个重要类型 2.吸收链吸收链 存在吸收状态(一旦到达就不会离开存在吸收状态(一旦到达就不会离开 的状态的状态i,pii=1),且且从任一非吸收状态出发经有从任一非吸收状态出发经有 限次转移能以正概率到达吸收状态限次转移能以正概率到达吸收状态(如例如例2).有有r个吸收状态的吸收链个吸收状态的吸收链的转移概率阵的转移概率阵标准形式标准形式R有非有
8、非零元素零元素01)(ssQQIMTe)1,1,1(Meyyyyrk),(21yi 从第从第 i 个非吸收状态出发,被某个吸收状态个非吸收状态出发,被某个吸收状态吸收前的平均转移次数吸收前的平均转移次数.12.2 钢琴销售的存贮策略钢琴销售的存贮策略 钢琴销售量很小,商店的库存量不大以免积压资金钢琴销售量很小,商店的库存量不大以免积压资金.一家商店根据经验估计,平均每周的钢琴需求为一家商店根据经验估计,平均每周的钢琴需求为1架架.存贮策略存贮策略:每周末检查库存量,仅当库存量为零时,:每周末检查库存量,仅当库存量为零时,才订购才订购3架供下周销售;否则,不订购架供下周销售;否则,不订购.估计在
9、这种策略下失去销售机会的可能性有多大估计在这种策略下失去销售机会的可能性有多大?以及每周的平均销售量是多少以及每周的平均销售量是多少?背景与问题背景与问题问题分析问题分析 顾客的到来相互独立,需求量近似服从泊松分布,其顾客的到来相互独立,需求量近似服从泊松分布,其参数由需求均值为每周参数由需求均值为每周1架确定,由此计算需求概率架确定,由此计算需求概率.存贮策略是周末库存量为零时订购存贮策略是周末库存量为零时订购3架架 周末的库存周末的库存量可能是量可能是0,1,2,3,周初的库存量可能是,周初的库存量可能是1,2,3.用马氏链描述不同需求导致的周初库存状态的变化用马氏链描述不同需求导致的周初
10、库存状态的变化.动态过程中每周销售量不同,失去销售机会(需求超动态过程中每周销售量不同,失去销售机会(需求超过库存)的概率不同过库存)的概率不同.可按稳态情况(时间充分长以后)计算失去销售机会可按稳态情况(时间充分长以后)计算失去销售机会的概率和每周的平均销售量的概率和每周的平均销售量.模型假设模型假设 钢琴每周需求量服从泊松分布,平均每周钢琴每周需求量服从泊松分布,平均每周1架架.存贮策略存贮策略:当周末库存量为零时,订购:当周末库存量为零时,订购3架,周初架,周初到货;否则,不订购到货;否则,不订购.以每周初的库存量作为状态变量,状态转移具有以每周初的库存量作为状态变量,状态转移具有无后效
11、性无后效性.在稳态情况下计算失去销售机会的概率和每周的在稳态情况下计算失去销售机会的概率和每周的平均销售量平均销售量,作为该存贮策略的评价指标作为该存贮策略的评价指标.模型建立模型建立 Dn第第n周需求量,均值为周需求量,均值为1的泊松分布的泊松分布 1()e/!(0,1,2,)nP DkkkSn第第n周初库存量周初库存量(状态变量状态变量)状态转状态转移规律移规律 nnnnnnnSDSDDSS,3,1368.0)0()11(111nnnDPSSPp0)12(112nnSSPp632.0)1()13(113nnnDPSSPp3,2,1nSDn 0 1 2 3 3P 0.368 0.368 0.
12、184 0.061 0.019448.0368.0184.0264.0368.0368.0632.00368.0333231232221131211pppppppppP状态转移阵状态转移阵 448.0)3()0()33(133nnnnDPDPSSPp 模型建立模型建立 Pnana)()1(3,2,1),()(iiSPnani状态概率状态概率)452.0,263.0,285.0(),(321wwww马氏链的基本方程马氏链的基本方程448.0368.0184.0264.0368.0368.0632.00368.0P正则链正则链 稳态概率分布稳态概率分布 w 满足满足 wP=w已知初始状态,可预测第
13、已知初始状态,可预测第n周初库存量周初库存量Sn=i 的概率的概率0,NPN正则链02Pn,状态概率状态概率)452.0,263.0,285.0()(na第第n周失去销售机会的概率周失去销售机会的概率)(nnSDPn充分大时充分大时 inwiSP)(模型求解模型求解 452.0019.0263.0080.0285.0264.0从长期看,失去销售机会的可能性大约从长期看,失去销售机会的可能性大约 10%.1.估计失去销售机会的可能性估计失去销售机会的可能性)()(31iSPiSiDPninnD 0 1 2 3 3P 0.368 0.368 0.184 0.061 0.019321)3()2()1
14、(wDPwDPwDP)452.0,263.0,285.0(w存贮策略的评价指标存贮策略的评价指标0.105模型求解模型求解 第第n周平周平均售量均售量),(311innijniSjDPjR452.0977.0263.0896.0285.0632.0)()()(311iSPiSiDiPiSjDPjninnnnij 从长期看,每周的平均销售量为从长期看,每周的平均销售量为 0.857(架架)n充分大时充分大时 inwiSP)(需求不超过存量需求不超过存量,需求被售需求被售需求超过存量需求超过存量,存量被售存量被售思考:为什么每周的平均销售量略小于平均需求量思考:为什么每周的平均销售量略小于平均需求
15、量?2.估计每周的平均销售量估计每周的平均销售量),(iSiDiPnn存贮策略的评价指标存贮策略的评价指标每周平均需求量每周平均需求量1架架0.857敏感性分析敏感性分析 当平均需求在每周当平均需求在每周1(架架)附近波附近波动时,最终结果有多大变化。动时,最终结果有多大变化。设设Dn服从均值服从均值 的泊松分布的泊松分布()e/!,(0,1,2,)knP Dkkk22e01 eee1(1)ee/2e1(/2)eP 状态转移阵状态转移阵 0.80.91.01.11.2P0.0730.0890.1050.1220.139第第n周周(n充分大充分大)失去销售机会的概率失去销售机会的概率)(nnSD
16、PP当平均需求当平均需求(=1.0)增长增长(或减少或减少)10%时,时,失去销售机会的概率失去销售机会的概率P将增长将增长(或减少或减少)约约15%.钢琴销售的存贮策略钢琴销售的存贮策略 存贮策略存贮策略(周末库存为周末库存为0则订购则订购3架架,否则不订购否则不订购)已定已定,计算计算两个指标两个指标(失去销售的概率和每周平均销售量失去销售的概率和每周平均销售量).给出其他存贮策略给出其他存贮策略(如周末库存为如周末库存为0或或1则订购使下周则订购使下周初库存为初库存为3架架,否则不订购否则不订购),讨论这两个指标讨论这两个指标(习题习题1).动态随机存贮策略动态随机存贮策略是马氏链的典型
17、应用是马氏链的典型应用.关键是在无后效性的前提下恰当地定义系统的关键是在无后效性的前提下恰当地定义系统的状态状态变量变量(本例是每周初的库存量本例是每周初的库存量).12.3 基因遗传基因遗传背景背景 生物的外部表征由内部相应的基因决定生物的外部表征由内部相应的基因决定.基因分基因分优势基因优势基因d 和和劣势基因劣势基因r 两种两种.每种外部表征由两个基因决定每种外部表征由两个基因决定,每个基因每个基因 可以是可以是d,r 中的任一个中的任一个.形成形成3种基因类型:种基因类型:dd 优种优种D,dr 混种混种H,rr 劣种劣种R.基因类型为优种和混种基因类型为优种和混种,外部表征呈外部表征
18、呈优势优势;基因类型为劣种基因类型为劣种,外部表征呈外部表征呈劣势劣势.生物繁殖时后代随机地(等概率地)继承生物繁殖时后代随机地(等概率地)继承 父、母的各一个基因,形成它的两个基因父、母的各一个基因,形成它的两个基因.父母的基因类型决定后代基因类型的概率父母的基因类型决定后代基因类型的概率.完全完全优势优势基因基因遗传遗传父母基因类型决定后代各种基因类型的概率父母基因类型决定后代各种基因类型的概率父母基因类型组合父母基因类型组合后代各种后代各种基因类型基因类型 的概率的概率DDRRDHDRHHHRDRH1000011/21/200101/41/21/401/21/23种基因类型:种基因类型:
19、dd优种优种D,dr混种混种H,rr劣种劣种R完全优势基因遗传完全优势基因遗传P(D DH)=P(dd dd,dr)=P(d dd)P(d dr)P(R HH)=P(rr dr,dr)=P(r dr)P(r dr)=1 1/2=1/2=1/2 1/2=1/4随机繁殖随机繁殖 设群体中雄性、雌性的比例相等,设群体中雄性、雌性的比例相等,基因类型的分布相同基因类型的分布相同(记作记作D:H:R).每一雄性个体以每一雄性个体以D:H:R的概率与一雌性个体的概率与一雌性个体 交配,其后代随机地继承它们的各一个基因交配,其后代随机地继承它们的各一个基因.设初始一代基因类型比例设初始一代基因类型比例 D:
20、H:R=a:2b:c (a+2b+c=1),记记p=a+b,q=b+c,则群体中优势则群体中优势 基因和劣势基因比例基因和劣势基因比例 d:r=p:q(p+q=1).假设假设建模建模状态状态Xn=1,2,3 第第n代的一个体属于代的一个体属于D,H,R状态概率状态概率 ai(n)第第n代的一个体属于状态代的一个体属于状态i(=1,2,3)的概率的概率.讨论基因类型的演变情况讨论基因类型的演变情况)()(1父基因类型后代基因类型iXjXPpnnijpddXddXPpnn)1)(1(111)(父为后代为基因比例基因比例 d:r=p:qqddXdrXPpnn)1)(2(112)(父为后代为0)1)(
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