第四章根轨迹法课件.ppt

1、根轨迹：当系统中某个（或几个）参数从 0 到+变化时，系统闭环特征方程的根（即闭环极点）在根平面（S平面）上描绘的一些曲线。根轨迹方法是一种图解方法。系统的闭环传递函数为系统的闭环传递函数为:KssKsRsC)1()()(系统特征方程为系统特征方程为:02Kss解方程得闭环特征根为解方程得闭环特征根为:KsKs41212141212121K 0 1/8 1/4 1/2 S1 0-0.146-0.5-0.5+j0.5-0.5+jS2-1-0.854-0.5-0.5+j0.5-0.5-jK=0K=0 K=0.25K=0.5K=0.5K=1.25K=1.25l系统的开环传递函数一般可写为系统的开环传

2、递函数一般可写为)()()()()1).(1()1).(1(.)1).(1()1).(1()()()()(11111111nmnmnmnmpspszszskTsTsssTTKsTsTsKsQsKPsHsGmzzz21,为系统的为系统的m个开环零点个开环零点;nppp21,为系统的为系统的n个开环极点个开环极点;为系统开环跟轨迹增益为系统开环跟轨迹增益.K为系统的开环增益为系统的开环增益;kZeroPoles一：幅角条件及幅值条件一：幅角条件及幅值条件)()(1)()()(sHsGsGsRsC控制系统的闭环传递函数一般写为控制系统的闭环传递函数一般写为:特征方为特征方为:0)()(1SHSG1)

3、()(SHSG向量形式表示为向量形式表示为:1)()()()(SHSGSHSG幅值幅值1.)()(11nmpspszszsksHsG幅角幅角,.)2,1,0()12(1801)()(KKsHsGMagnitudePhase angle 例例4-1 设有一反馈控制系统的开环传递函数为设有一反馈控制系统的开环传递函数为:1)利用幅角条件利用幅角条件-P1-P3-P2-Z1S126O45O79O18026-79-120-45 )()()()(31211111pspspszs120O解解:满足幅角条件的点都是根轨迹上的点满足幅角条件的点都是根轨迹上的点,所以所以)6.6)(2()4()()(sssss

4、HsGk检验点检验点s1=1.5+j2.5是否在根轨迹上是否在根轨迹上;并确定与其相对应的并确定与其相对应的 值值.k2)由幅值条件求由幅值条件求s1相对应的相对应的 值值k15.126.38.56.29.211312111zspspspsk =12.15k二、根轨迹的基本规则二、根轨迹的基本规则 结论:由此求得根轨迹的起点为系统的开环极点由此求得根轨迹的起点为系统的开环极点;根轨迹的终点是系统的开环零点或无穷远点根轨迹的终点是系统的开环零点或无穷远点1.根轨迹的起点和终点根轨迹的起点和终点其二其二:是在是在nm时时,只有当只有当s 时时mnzszspspsk.11 其一其一:).2,1(mi

5、zsi1)当当 =0时时,由幅值条件由幅值条件,必有必有).2,1(njpsjk2)当当 时时,由辐值条件由辐值条件,存在两种可能存在两种可能:kj起点起点终点终点2.根轨迹的分支数根轨迹的分支数 4.实轴上的根轨迹实轴上的根轨迹 根轨迹的分支数等于开环极点数根轨迹的分支数等于开环极点数.若试探点若试探点S1右边零点极点总数是奇数，右边零点极点总数是奇数，则则S1点所在的线段是根轨迹的一部分点所在的线段是根轨迹的一部分.),2,1,0()12(180kmnk渐近线在实轴上均交于一点渐近线在实轴上均交于一点,其座为其座为:mnzpmnzzzpppmiinjjmn112121)()(渐近线的倾角为

6、渐近线的倾角为:jjS1j60oThe number of separatelociSymmetry3.根轨迹的对称性根轨迹的对称性 根轨迹或是在实轴上根轨迹或是在实轴上,或是对称实轴或是对称实轴.5.根轨迹的渐近线根轨迹的渐近线 Asymptotej会合点会合点Converging pointj分离点分离点Breakaway point(1)重根法重根法0)()(dssHsGd(2)用幅角条件用幅角条件minjiipz110116.根轨迹的分离点及会合点根轨迹的分离点及会合点 一般情况下一般情况下,两个极点间的根轨迹上必有一个分离点两个极点间的根轨迹上必有一个分离点,两个零点间的根轨迹上必有

7、一个会合点两个零点间的根轨迹上必有一个会合点.7.根轨迹与虚轴的交点根轨迹与虚轴的交点(1)(1)直接直接利用利用特征特征方程方程0)14()510(32jK 例例4-26)2)(1()()(2sssHsGk系统的特征方程为系统的特征方程为06)2)(1(6)2)(1()()(122ssksssHsG以以s=j 代入代入06)1)(1(2kss6074.314kj-j3.74j3.74=0=0因此因此,与虚轴交点的坐标为与虚轴交点的坐标为j3.74(2)(2)利用劳斯判据利用劳斯判据 将系统特征方程展开为将系统特征方程展开为:0)10(14523Ksss=0 K=60 07052s74.32,

8、1js10+K 劳斯阵列表为劳斯阵列表为:3s1 14 2s5 1s5)10(70K0s10+K)()12(180zipjpjkj1p2p1z)()12(180jipzzikj1z(1)出射角出射角The angle of locus departure from a pole(2)入射角入射角The angle of locus awival at complex zeros例例4-3 一系统开环传递函数为一系统开环传递函数为 4)2)(5()3()()(2ssssKsHsG33.5o63.5o135o90o180)12()5.3390135(5.63kjipz37515)5.3390135

9、(5.63180或9.闭环极点之和闭环极点之和 系统满足系统满足n m2时时系统闭环极点之和等于开环极点之和。系统闭环极点之和等于开环极点之和。10.闭环极点之积闭环极点之积系统的系统的n m且有开环零点位于原点时且有开环零点位于原点时系统闭环极点之积就等于开环极点之积。系统闭环极点之积就等于开环极点之积。根轨迹对称实轴。根轨迹对称实轴。5.渐近线渐近线6.分离点和会合点分离点和会合点4.实轴上的根轨迹分布实轴上的根轨迹分布三、根轨迹绘制举例三、根轨迹绘制举例解解 按照绘制根轨迹的基本规则按照绘制根轨迹的基本规则,有有 1.画出开环零、极点分布图画出开环零、极点分布图.-1-2-32.根轨迹有

10、两条分支根轨迹有两条分支。画极点画极点画零点18012)12(180k0123)21(11mnzpnjmiij分离点会合点23aaaa211131例例4-4 已知一系统的开环传递函数为已知一系统的开环传递函数为:试绘制根轨迹。试绘制根轨迹。)2)(1()3()()(sssksHsG321aaak =0.172k =5.818k3.根轨迹对称实轴。根轨迹对称实轴。4.实轴上的无根轨迹分布。实轴上的无根轨迹分布。5.渐近线和实轴的交点。渐近线和实轴的交点。6.分离点和会合点分离点和会合点。7.根轨迹与虚轴的交点。根轨迹与虚轴的交点。例例4-5 某负反馈控制系统的开环传递函数为某负反馈控制系统的开环

11、传递函数为解解:画出开环零、极点分布图画出开环零、极点分布图 -12.根轨迹有四条分支。根轨迹有四条分支。14111111mnzpnjmiij135454)12(180或k3110101230)181)(181()1(3,21232jsssssdsjsjssd解上式得得由分分离离点点ksksksskskssss19014448419140404192410194024401234234试绘制根轨迹图。试绘制根轨迹图。)181)(181()1()()(2jsjssksHsG484-4 =0得 =121kk0140142s22.11js =121-j11.2kj11.2 =121k例例4-6若一控

12、制系统的开环传递函数为若一控制系统的开环传递函数为求该系统的闭环根轨迹求该系统的闭环根轨迹。)2)(1()()(sssKsHsG解:画出开环零、极点分布图画出开环零、极点分布图 -1-22.实轴上的根轨迹分布。实轴上的根轨迹分布。3.渐近线和实轴的交点。渐近线和实轴的交点。103210180,6003)12(180k4.分离点和会合点分离点和会合点。58.142.002630/)()(212ssssdssHsGd故可得-0.425.根轨迹与虚轴的交点。根轨迹与虚轴的交点。KsKsKssKsssKsss01232336321023)2)(1(=0K=60632s414.122,1jjsj1.41

13、4K=6K=6-j1.414正反馈正反馈此时为零度跟轨迹此时为零度跟轨迹渐近线和实轴方向的夹角为渐近线和实轴方向的夹角为2/3.实轴上的根轨迹为实轴上的根轨迹为(-2,-1)及线段及及线段及(0,+)线段线段.故故-1.58为分离点为分离点.-1.584-3其它形式的根轨迹其它形式的根轨迹例例4-7设一随动系统如图所示。图中设一随动系统如图所示。图中参数参数Ks为速度反馈系数。试绘制以为速度反馈系数。试绘制以Ks为参变量的根轨迹。为参变量的根轨迹。解解:010)102(2sKss01102102 sssKs0)()(1sHsG10210)()(2sssKsHsGs画出开环零、极点分布图画出开环

14、零、极点分布图 2.实轴上的根轨迹分布。实轴上的根轨迹分布。3.分离点和会合点分离点和会合点。4求复数极点的出射角求复数极点的出射角 198)10890(1803.412.365.365.31012.3100)()(2111zspspszspsKsdssHsGdmiinjjs90o108o198o0101022sKsss4-4增加开环零极点对根轨迹的影响增加开环零极点对根轨迹的影响一一:增加零点对根轨迹的影响增加零点对根轨迹的影响例例4-10一控制系统的开环传递函数一控制系统的开环传递函数为下式试采取何种措施使系统的为下式试采取何种措施使系统的稳定性提高稳定性提高.)12)(15)(110(6

15、.3)(sssKsGck解解:)5.0)(2.0)(1.0(036.0)(sssKsGck)5.0)(2.0)(1.0(sssK60oj0.21=0.17Kc=0.778-j0.22=-0.17Kc=0.7783=0Kc=0.278)5.0)(2.0)(1.0()4.0()(ssssKsGk1=0Kc=0.278-0.06-0.027278.00778.0,17.0027.0180,602.0:,312312ccKKa对应对应根轨迹与虚轴的交点根轨迹的分离点渐近线的倾角渐近线交点坐标其关键数据为根据根轨迹作图规则278.0,006.0901.0:,112cKa对应根轨迹与虚轴的交点根轨迹的分离

16、点渐近线的倾角渐近线交点坐标其关键数据为根据根轨迹作图规则二二:增加极点对根轨迹的影响增加极点对根轨迹的影响K=0K=0K4-5 闭环零极点分布与系统性能指标闭环零极点分布与系统性能指标典型控制系统的闭环传递函数为典型控制系统的闭环传递函数为 njjmiipszsKsHsGsGsRsC11)()()()(1)()()(单位阶跃输入时的瞬态响应为单位阶跃输入时的瞬态响应为 njjmiipsszsKsC11)()()(njtpjjeAAsCLtc101)()(jpsjjspssCAssCA)()()(00112,1KjsKssKsGsGsRsC2)(1)()()(23131231311002101

17、035)31()(1035)31()(1)()31()31()31()31(10)(jarctgjsjarctgjssejssCAejssCAssCAjsAjsAsAjsjsssC例例4-11一随动系统一随动系统,其方框图如下所示其方框图如下所示.试分析开环系统试分析开环系统增益增益K值对系统性能的影响值对系统性能的影响,并计算速度误差系数并计算速度误差系数Kv=10时系统的性能指标时系统的性能指标.)2()(ssKsG022Kss)723sin(10351)183cos(21035110351103510351)()()183()183()31(31)31(311teteeeeeeeesCL

18、tctttjtjttjjarctgtjjarctg最大超调量最大超调量 p=37%调节时间调节时间 ts=秒秒 1.371l闭环零极点对系统瞬态性能的影响闭环零极点对系统瞬态性能的影响njtpjjeAAsCLtc101)()(1.极点的分布决定了瞬态响应的类型。极点的分布决定了瞬态响应的类型。2.零极点的分布决定了瞬态响应的曲线的形状及指标零极点的分布决定了瞬态响应的曲线的形状及指标。jpsjjspssCAssCA)()()(003.远离虚轴的极点远离虚轴的极点(或零点或零点)对瞬态响应的影响对瞬态响应的影响。4.偶极子对瞬态响应的影响。偶极子对瞬态响应的影响。5.主导极点。主导极点。6.零点

19、对瞬态响应的影响。零点对瞬态响应的影响。dttcdztctc)(1)()(117.极点对瞬态响极点对瞬态响 应的影响。应的影响。111)()(1spsCsCl零极点与系统的定态品质系数零极点与系统的定态品质系数单位反馈系统的误差传递函数为单位反馈系统的误差传递函数为:)()(1)()(sRsCsRsE2210)()(sCsCCsRsE2101111CKCKCKavp.11111)()(2sKasKKsRsCvp201010102020001010000)()()()(saabbbbaabbbasaabbbabasRsC)(111101010000aabbbaKbaKvpnjmiijvmiinj

20、jmiipzpaabbbaKzapzaabaK1101010011100011)(1nkjkjkjnkjkjkjniimkjkjkjmkjkjkjmiinjjnjjniimjjmjjmiiniimiinnmmnmppbpppbzzazzzaapbppbzazzaapbzaasbsbbsasaapspszszsasRsC1,01,121,01,12101111011110101010)111211212111()()()()()(l例例4-12 已知已知I型系统型系统,为减小系统定态速度误差为减小系统定态速度误差,应如应如何配置零点何配置零点?解解:设系统具有一对复数主导极点设系统具有一对复数主导极点,配置零点位于配置零点位于 z，如图所示。如图所示。njmiijvzpaabbbaK1101010011)(1zzjjKnnnxv1211111122若取若取1/z=2 /n则则(1/Kv）=0。即系统即系统定态误差趋于零。利用这关系式定态误差趋于零。利用这关系式,可可绘出绘出(1/Kv)=0时时,主导极点阻尼比和零主导极点阻尼比和零点位置间的关系曲线如图所示。点位置间的关系曲线如图所示。应用下式应用下式,得到定态速度误差为得到定态速度误差为:本章小结:本章介绍了根轨迹的概念、绘制根轨迹的基本规则，增加系统开环传递函数的零、计极点对根轨迹形状的影响及利用根轨迹对系统性能进行分析的方法。