模糊数学第一讲课件.ppt

1、模糊数学与灰色系统模糊数学与灰色系统分析方法及应用分析方法及应用Email：tmxk_1.1模糊数学导论模糊数学导论两类自然现象的描述：两类自然现象的描述：A.1+1=2B.水的温度达到水的温度达到100摄氏度就会沸腾摄氏度就会沸腾C.光的速度是光的速度是30万公里万公里/秒秒D.某人是个高个子（身高多少为高个子）某人是个高个子（身高多少为高个子）E.今天下的是中雨（雨量多少为中雨）今天下的是中雨（雨量多少为中雨）F.包头气候干燥（什么样的气候是干燥的气候）包头气候干燥（什么样的气候是干燥的气候）G.创维电视机质量很好（怎么样的质量才是好）创维电视机质量很好（怎么样的质量才是好）模糊数学与概率

2、论（模糊数学与概率论（随机现象随机现象）区别）区别：随机现象的不确定性是指事件本随机现象的不确定性是指事件本身的定义和范畴是确定的情况下，事身的定义和范畴是确定的情况下，事件发生的结果是不确定的。如骰子下件发生的结果是不确定的。如骰子下落出现的点数是落出现的点数是16，这是确定的，这是确定的，但是具体是几点我们不知道，带有随但是具体是几点我们不知道，带有随机性。机性。模糊现象的不确定性是指事模糊现象的不确定性是指事件发生的结果是确定的，而事件件发生的结果是确定的，而事件本身的定义和范畴是不确定的。本身的定义和范畴是不确定的。如人的身高是可以度量的，但是如人的身高是可以度量的，但是这个高度是否属

3、于高个子是不确这个高度是否属于高个子是不确定的，带有模糊性。定的，带有模糊性。模糊数学的发展与应用：模糊数学的发展与应用：模糊（模糊（Fuzzy）数学理论是由美国加利福利）数学理论是由美国加利福利亚大学控制理论专家亚大学控制理论专家扎德扎德（L.A.Zadeh）教授）教授于于1965年提出，至今已经在原有的基础上派生年提出，至今已经在原有的基础上派生出了出了模糊拓扑、模糊图论、模糊概率、模糊逻模糊拓扑、模糊图论、模糊概率、模糊逻辑辑等分支学科。我国模糊数学的研究与应用也等分支学科。我国模糊数学的研究与应用也取得了很好的成绩，很多的成果处于世界领先取得了很好的成绩，很多的成果处于世界领先水平。并

4、创办了水平。并创办了模糊数学模糊数学、模糊系统与模糊系统与数学数学等学术期刊。至今，模糊理论已经在军等学术期刊。至今，模糊理论已经在军事、医疗、地矿、生物、天气预报、信息处理、事、医疗、地矿、生物、天气预报、信息处理、人工智能等领域展开了应用。但是该领域的理人工智能等领域展开了应用。但是该领域的理论系统体系还远远没有成熟，具有巨大的发展论系统体系还远远没有成熟，具有巨大的发展空间。空间。1.21.2模糊集合的概念模糊集合的概念AxAxxA,0,1)(描述普通集合可以用特征函数，描述普通集合可以用特征函数，特征函数是论域特征函数是论域 U 到到 0，1上的映射，又可上的映射，又可写成：写成：1,

5、0:)(UxA 它确定了集合有哪些元素，所以称之为集它确定了集合有哪些元素，所以称之为集合合 A 的特征函数。的特征函数。AxA,0)(显然有显然有UAxA,1)(BAxxBA),()(BAxxBA),()()(),(min),()()(xxxxxBABABA即)(),(max),()()(xxxxxBABABA即)(1)(_xxAA)(1)()()(_xxxxBABABA定义：论域定义：论域 U 到到 0,1 的任一映射的任一映射 都确都确定了定了 U 上的一个模糊集上的一个模糊集 ：)(xAA 1,0:)(UxA)(xxA其中其中 称为称为 的隶属函数，的隶属函数，称为称为 x 的的隶属度

6、。隶属度。)(xAAA隶属度隶属度 表示表示x属于属于 的程度：的程度：A.越接近越接近0，表示，表示x属于属于 的程度越小；的程度越小；B.越接近越接近1，表示，表示x属于属于 的程度越大；的程度越大；C.越接近越接近0.5，表示，表示x属于属于 的程度越的程度越模糊。模糊。)(xAA)(xAA)(xA)(xAAA U上的全体模糊子集构成的集合类，记为上的全体模糊子集构成的集合类，记为F(U)，显然有，显然有)()(UPUF 其中其中 P(U)是是 U 的幂集。的幂集。（由论域（由论域 U 的所有子集所组成的集合称为的所有子集所组成的集合称为 U 的的幂集，记为幂集，记为 ）|)(UAAUP

7、 模糊集合的表示：模糊集合的表示：A.向量表示法向量表示法 )(,),(),(),(),(4321nAAAAAxxxxxAB.扎德（扎德（Zadeh）记号表示法）记号表示法 nnAAAAxxxxxxxxA/)(/)(/)(/)(332211C.序偶表示法序偶表示法 ),(,),),(),),(),),(332211nnAAAAxxxxxxxxAD.无限集的表示无限集的表示 UAxxA/)(那么那么3.0)(aA0)(bA8.0)(cA5.0)(dA1)(eA扎德表示：扎德表示：edcaA15.08.03.0bcde例例1：表示表示“圆糊糊的物体圆糊糊的物体”Aa向量表示：向量表示：序偶表示：序

8、偶表示：)15.08.03.0(A),1(),5.0(),8.0(),3.0(dcbaA例例2：以年龄为论域：以年龄为论域U=0,100,两个模糊子集两个模糊子集 和和 ，表示，表示“年老年老”和和“年轻年轻”，隶属函数，隶属函数为：为：O12)550(1 0)(xxO500 x10050 x 10025)525(1(2501)(12xxxxYY则模糊子集则模糊子集 和和 可以表示为：可以表示为：1005012500/)550(1/0 xxxxxO1002512250/)525(1/0 xxxxxYOY0.512550100年龄1.3模糊子集的基本运算：模糊子集的基本运算：1.包含包含 2.真

9、包含真包含3.相等相等4.并运算并运算5.交运算交运算6.逆运算逆运算7.若若 ，则，则8.若若 ，则，则 )()(xxBABA)()(xxBABA)()(xxBABA)(),(min()()()()(xxxxxBABABA)(),(max()()()()(xxxxxBABABA)(1)(xxAAA0)(xA UA 1)(xA 模糊集合的并、交、补集合模糊集合的并、交、补集合1.交换律交换律 2.结合律结合律3.分配律分配律 4.对偶律对偶律(德德.摩根摩根)5.复原律复原律 模糊子集的基本运算性质：模糊子集的基本运算性质：ABBAABBA CBACBA)()(CBACBA)()()()()(

10、CABACBA)()()(CABACBA )(BABA)(BABA AA)(6.幂等律幂等律 AAA AAA7.同一律同一律 AA AUAAUUA8.吸收律吸收律 ABAA)(ABAA)(例例3：设论域：设论域 U=a,b,c,d,e 是一个是一个5人组人组成的集合成的集合，表示表示“高个子高个子”的集合，的集合，表示表示“胖子胖子”的集合，的集合，AedcbaA15.09.03.06.0edbaB2.08.07.04.0BedcbaBA18.09.07.06.0则则“或高或胖或高或胖”edcbaBA2.05.0.03.04.0则则“又高又胖又高又胖”edcbaA05.01.07.04.0则则

11、“不高不高”1.4隶属函数的确定方法隶属函数的确定方法4例证法：例证法：4 该方法主要是通过从模糊集合中已知的该方法主要是通过从模糊集合中已知的有限个元素的隶属度来估计其隶属函数的方有限个元素的隶属度来估计其隶属函数的方法。例如法。例如 是高山的集合，然后选择具有代是高山的集合，然后选择具有代表性的高度值，通过各种方法确定其隶属度表性的高度值，通过各种方法确定其隶属度（如（如2000米海拔隶属度为米海拔隶属度为0.3，3000米海拔隶米海拔隶属度为属度为0.5，4000米海拔隶属度为米海拔隶属度为0.8等等）。等等）。以此类推就可以估算出隶属度函数的离散形以此类推就可以估算出隶属度函数的离散形

12、式。式。A 该方法直观而简单，适用于隶属函数简该方法直观而简单，适用于隶属函数简单并且集合元素较少的情形。单并且集合元素较少的情形。2.相对比较法相对比较法 建立模糊集合建立模糊集合 的相对比较级的相对比较级 建立相对矩阵建立相对矩阵 ，取矩阵中每行的最小值作为每行对应元素取矩阵中每行的最小值作为每行对应元素的的隶属度，即的的隶属度，即 A)(),(jfifij的程度来说，表示相对于Aaaifijj)()(),(max(/)(jfififrRijjij的程度的隶属度大于表示jiijaar)min()(iArai1iir例例4：定义为定义为“好好学习好好学习”，是论域，是论域U=小明小明（a），

13、小王（），小王（b），小李（），小李（c）上的模糊集合。上的模糊集合。1.通过调查两两比较得到相对比较级如下：通过调查两两比较得到相对比较级如下：2.建立相对矩阵建立相对矩阵 3.计算隶属函数计算隶属函数A)7.0,8.0()(),(bfafab)4.0,8.0()(),(cfbfbc)9.0,5.0()(),(afcfca15.06.0119.0111cbaRcbacbaA5.09.013.对比比较法对比比较法 建立模糊集合建立模糊集合 的相对比较级的相对比较级 建立相对矩阵建立相对矩阵通过以下方法确定各个元素的隶属度：通过以下方法确定各个元素的隶属度：)(),(jfifij的程度来说，表示

14、相对于Aaaifijj)()1),(iijijrifrR的程度的隶属度大于表示jiijaarA1,j1WWrWjnjijA称为权，且其中1.通过比较两两比较数据库之间性能的好通过比较两两比较数据库之间性能的好坏，建立相对矩阵如下：坏，建立相对矩阵如下：2.通过公式通过公式 计算每一个元素的计算每一个元素的隶属度：隶属度：例例5：定义为定义为“数据库性能好数据库性能好”，是论域，是论域U=Oracle(a)，DB2(b)，SOL Server(c)，Mysql(d)上的模糊集合。确定隶属函数过程如下上的模糊集合。确定隶属函数过程如下A14.05.06.03.016.04.03.04.018.02

15、.05.01.01RnjijArW1dcbaA75.046.05.054.0)3.02.02.03.0(W4.模糊统计法模糊统计法 该方法就是通过反复做随机实验。当该方法就是通过反复做随机实验。当实验的次数趋向于无穷大的时候，事件实验的次数趋向于无穷大的时候，事件属于该集合的次数就趋于一个稳定值，属于该集合的次数就趋于一个稳定值，该值和定义次数之比就是事物的隶属度。该值和定义次数之比就是事物的隶属度。该方法与统计中确定事物概率的思想是该方法与统计中确定事物概率的思想是相似的。相似的。例例6：设：设 是是“年轻人年轻人”的模糊集合，通过的模糊集合，通过社会调查得出社会调查得出“27岁岁”的统计结

16、果如下：的统计结果如下：实验次数102030405060708090100110120129隶属次数61423313947536268768895101隶属频率0.60.70.770.780.780.780.760.780.760.760.750.790.78A 从以上统计结果可以发现，从以上统计结果可以发现，“27岁岁”对对模糊集合模糊集合“年轻人年轻人”的隶属度大致集中在的隶属度大致集中在0.78左右。于是可以认为左右。于是可以认为 ，以此，以此类推，可以得出模糊集合中的所有元素的类推，可以得出模糊集合中的所有元素的隶属度。隶属度。78.0)27(A5.概率论方法概率论方法 例例7：设：设

17、U=(0,3)代表身高的变化区段，代表身高的变化区段，=“矮个矮个子子”，=“中等个中等个”，=“高个子高个子”。是是 和和 的分界点。的分界点。是是 和和 的分界点。首先可以借助概的分界点。首先可以借助概率统计的方法确定率统计的方法确定 和和 的分布：的分布：。对于任意。对于任意 可以建立如下的隶属函可以建立如下的隶属函数：数：BCAA A A A ACBBA ),(211aN),(222aNUx)(1)()(11axxPxA)()()(22axxPxC)()()()(2211axaxxPxB1.5常用模糊集合的隶属函数常用模糊集合的隶属函数1.三角形隶属函数三角形隶属函数0)(bcxcab

18、axxAbxacxb其他a 1bc02.降半梯形隶属函数降半梯形隶属函数01)(abxbxAax bxabx a 1b03.升半梯形分布升半梯形分布10)(abaxxAax bxabx a 1b04.梯形分布梯形分布010)(cdxdabaxxAax bxacxbdxcxd a 1b0cd例例8：河水污染可以通过水中酚：河水污染可以通过水中酚 的含量来的含量来确定水质等级：确定水质等级：级别123酚含量0.0010.0020.01 对于一级和二级水，可以通过三角形隶属函对于一级和二级水，可以通过三角形隶属函数来确定，数来确定，三级水可以借助升半梯形隶属函数确定。三级水可以借助升半梯形隶属函数确

19、定。这里我们主要借助这里我们主要借助MATLAB模糊工具箱建立模糊工具箱建立隶属度函数（隶属度函数（membership function）。）。一级和二级水的一级和二级水的MATLAB语句：语句：X=0:0.0001:0.01;Y1=trimf(X,0,0.001,0.002);subplot(121),plot(X,Y1);Y2=trimf(X,0.001,0.002,0.01);subplot(122),plot(X,Y2);三级水的三级水的MATLAB语句：语句：X=0:0.0001:0.015;Z1=trapmf(X,0.002,0.01,0.1,0.2);subplot(121),

20、plot(X,Z1);MATLAB中的有关隶属度函数语法中的有关隶属度函数语法 1.高斯型隶属函数：高斯型隶属函数：y=gaussmf（x，sig，c）其中：其中：sig=std（x）c=mean（x）分别表示分别表示x的方差和均值的方差和均值,x表示论域范围。表示论域范围。高斯型隶属函数的运用需要检验数据是高斯型隶属函数的运用需要检验数据是否服从正态分布：否服从正态分布：h=lillietest（x），若），若h=0，则表明数据是正态分布的。，则表明数据是正态分布的。2.三角形隶属函数三角形隶属函数 y=trimf(x,a,b,c)x表示论域范围，表示论域范围，abc，隶属函数要求，隶属函数

21、要求在在x=b点的隶属度为点的隶属度为1，在，在x=a，x=c点点点点隶属度为隶属度为0。3.梯形隶属函数梯形隶属函数 y=trapmf(x,a,b,c,d)x表示论域范围，表示论域范围，a,b,c,d用于指定梯形隶用于指定梯形隶属函数的的形状，要求属函数的的形状，要求dcba,4.Z型隶属函数型隶属函数 y=zmf（x，a，b）Z型函数是基于样条插值的函数，型函数是基于样条插值的函数，a，b分别表示插值的起点和终点。分别表示插值的起点和终点。ab时，曲线为时，曲线为01上的阶梯函数，跳跃上的阶梯函数，跳跃点是（点是（a+b）/2。5.S型隶属函数型隶属函数 y=smf（x，a，b）S型函数是

22、基于样条插值的函数，型函数是基于样条插值的函数，a，b分别表示插值的起点和终点。分别表示插值的起点和终点。ab时，曲线为时，曲线为01上的阶梯函数，跳跃上的阶梯函数，跳跃点是（点是（a+b）/2。对于相同输入参数的对于相同输入参数的S型和型和Z型隶属函数，型隶属函数，其函数图像是对称的其函数图像是对称的。A=0:0.1:10;Y=zmf(A,3,7);subplot(121);plot(A,Y);X=smf(A,3,7);subplot(122);plot(A,X)1.6模糊集的截集模糊集的截集设设 ，对于任意，对于任意 ，有，有则则 称为称为 的的 （或者（或者 水平集），水平集），称为阀值或者置信水平。称为阀值或者置信水平。注：注：的的 是一个普通集合，他是是一个普通集合，他是通过对模糊集的截取得到的。通过对模糊集的截取得到的。)(UFA 1,0AuAA A 截集-A截集性质：性质：1.2.设设 ，且，且 ，则，则 。3.BABA)(BABA)(1,0,BA 1)()(AA