线性函数与数学模型课件.ppt
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1、第 1 章直線和線性函數直線和線性函數1.1 笛卡兒座標系統笛卡兒座標系統笛卡兒座標系統笛卡兒座標系統Tan/管理數學第1章 第2頁3笛卡兒座標系統笛卡兒座標系統Tan/管理數學第1章 第2-3頁4笛卡兒座標系統笛卡兒座標系統Tan/管理數學第1章 第3-4頁5距離的公式距離的公式距離的公式距離的公式平面上的兩點P1(x1,y1)與P2(x2,y2)之間的距離d為(1)222121()()dxxyyTan/管理數學第1章 第4頁6例題例題 1l試求(4,3)與(2,6)兩點之間的距離。解:解:令平面上的兩點分別為P1(4,3)與P2(2,6),則利用公式(1)可得11224326xyxy 22
2、222(4)(63)63 45 3 5d Tan/管理數學第1章 第5頁7例題例題 2l令P(x,y)是圓上的一點,此圓半徑為r,中心點為C(h,k),請找出 x 與 y的關係式。解:解:根據圓的定義,C(h,k)與圓上的點P(x,y)的距離為 r,利用公式(1)可得兩邊平方即得22()()xhykr222()()xhykrTan/管理數學第1章 第5頁8距離的公式距離的公式圓方程式圓方程式圓心C(h,k),半徑為r的圓方程式(equation of a circle)為 (x h)2+(y k)2=r2 (2)Tan/管理數學第1章 第5頁9例題例題 3l找出下列的圓方程式:a.半徑為2,圓
3、心在(1,3)。b.半徑為3,圓心在原點。解:解:a.將r=2,h=1 及k=3代入公式(2),即得x (1)2+(y 3)2=22 (x+1)2+(y 3)2=4見圖7(a)。Tan/管理數學第1章 第6頁10例題例題 3(續)(續)b.將r=3,h=k=0代入公式(2),可得x2+y2=32x2+y2=9 見圖7(b)。Tan/管理數學第1章 第6頁111.2 直線直線線的斜率線的斜率l假設L是通過相異兩點(x1,y1)及(x2,y2)的唯一線。若x1 x2,則L斜率(slope)定義如下:非垂線的斜率非垂線的斜率假設L是條非垂線(nonvertical line)且通過兩相異點(x1,y
4、1)及(x2,y2),則可計算其斜率m(3)參見圖9。2121yyymxxxTan/管理數學第1章 第11頁12線的斜率線的斜率Tan/管理數學第1章 第11頁13線的斜率線的斜率l若x1=x2,則L是一條垂線(vertical line),其斜率無定義(undefined),見圖10。Tan/管理數學第1章 第12頁14線的斜率線的斜率Tan/管理數學第1章 第12頁15線的斜率線的斜率l圖12 顯示出一群通過原點的直線及其斜率,由圖中可以很明顯看到斜率的正負與線的走向關係。Tan/管理數學第1章 第12-13頁16例題例題 1l畫出通過點(2,5),斜率為 的直線。解:解:首先將點(2,5
5、)標到圖上(見圖13)。其次,考慮斜率為 代表x 增加一個單位時,y將減少 個單位。因此,若x增加3個單位時,y將減少 個單位,因此我們走到了另一個點(1,1)。最後,此兩點連線即為所求。4343434343Tan/管理數學第1章 第13頁17例題例題 1(續)(續)Tan/管理數學第1章 第13頁18例題例題 2l一直線通過點(1,1)與(5,3),找出其斜率m。解:解:令(x1,y1)為點(1,1),(x2,y2)為點(5,3)。將x1=1,y1=1,x2=5,y2=3 代入公式(3)可得參見圖14。212131215(1)63yymxx Tan/管理數學第1章 第13-14頁19例題例題
6、 2(續)(續)Tan/管理數學第1章 第14頁20例題例題 3l找出通過點(2,5)與(3,5)的直線斜率。解:解:利用公式(3)可得參見圖15。55003(2)5m Tan/管理數學第1章 第14頁21線的斜率線的斜率l從上例可知水平線(horizontal line)的斜率是0。此外,我們可從兩線的斜率判斷它們是否平行。平行線平行線相異的兩條線互相平行平行(parallel),若且唯若其斜率相等或均無定義。Tan/管理數學第1章 第14頁22例題例題 4l令L1為通過點(2,9)與(1,3)的線,L2為通過點(4,10)與(3,4)的線,試問L1與L2是否平行?解:解:L1與L2的斜率分
7、別為由於m1=m2,故L1與L2是平行的(見圖16)。123921(2)41023(4)mm Tan/管理數學第1章 第15頁23例題例題 4Tan/管理數學第1章 第15頁24線方程式線方程式l令L為平行於y軸(垂直於x軸)的直線,則L切過x軸的(a,0)點,其x座標必然是x=a,a為任意的實數。所以,L的線方程式可寫成x=aL即是垂線。例如,圖17的兩條垂線,其線方程式分別為x=2 及x=3。Tan/管理數學第1章 第15頁25線方程式線方程式Tan/管理數學第1章 第16頁26線方程式線方程式l假設L是一條非垂線,其斜率為m,(x1,y1)為線上的一個點。令(x,y)是L線上另一點,則由
8、公式(3)可得交叉相乘後,即得下列點斜式(point-slope form)方程式(4)。11yymxx點斜式點斜式已知一直線的斜率是m,且通過點(x1,y1),則其線方程式為 y y1=m(x x1)(4)Tan/管理數學第1章 第16頁27例題例題 5l一直線通過點(1,3),斜率為2,求其線方程式。解:解:可利用點斜式,將點座標代(1,3),斜率代2 y 3=2(x 1)y y1=m(x x1)化簡成2x y+1=0Tan/管理數學第1章 第16頁28例題例題 6l一線通過點(3,2)與(4,1),求其線方程式。解:解:我們首先求出斜率再利用點斜式,將點座標代(4,1),斜率代參見圖18
9、。1 234(3)7m 37m ()113 1(4)7 773123750yym xxyxyxxy Tan/管理數學第1章 第17頁29例題例題 6Tan/管理數學第1章 第17頁30線方程式線方程式互相垂直的線互相垂直的線若L1與L2為相異的兩條非垂線,斜率分別為m1與m2,則L1與L2互相垂直垂直(perpendicular)(寫成L1 L2)若且唯若121mm Tan/管理數學第1章 第17頁31例題例題 7l一線通過點(3,1)並與例題5 之直線垂直,寫出其線方程式。解:解:例題5 的直線斜率是2,因此與其垂直的線,斜率應為 。運用點斜式,可以得到參見圖19。12m 11()1 1(3
10、)2 223250yym xxyxyxxy Tan/管理數學第1章 第18頁32例題例題 7(續)(續)Tan/管理數學第1章 第18頁33線方程式線方程式l若一直線L不是水平線也不是垂線,它必然與x軸和y軸相交。假設 L 與 x 軸交於(a,0),與 y 軸交於(0,b),則a,b分別稱為線 L 的 x 截距(x-intercept)與 y 截距(y-intercept),參見圖20。Tan/管理數學第1章 第18頁34線方程式線方程式l令L直線的斜率為m,y截距為b。因L經(0,b)的點,故由點斜式(即公式(4)可得 y b=m(x 0)y=mx+b該式稱為斜截式(slope-interc
11、ept form)。斜截式斜截式一直線的斜率是m且與y軸相交於(0,b),則其線方程式為 y=mx+b (5)Tan/管理數學第1章 第19頁35例題例題 8l一直線的斜率是3,y 截距是4,寫出其線方程式。解:解:在公式(5)中代入m=3 及b=4 即得線方程式y=3x 4Tan/管理數學第1章 第19頁36例題例題 9l給定線方程式3x 4y=8,找出該線的斜率及y截距。解:解:我們可以先將線方程式改寫成然後與公式(5)比較,可知 。因此,該線的斜率是 ,y截距是 2。324yx3,24mb 34Tan/管理數學第1章 第19頁37例題例題 10 運動器材的銷售額運動器材的銷售額l某地區一
12、家運動器材店銷售經理繪製了過去5年的銷售圖,並發現資料點約形成一條直線(見圖21)。請用第一年與第五年的資料點找出其趨勢線(trend line),並預測第六年的銷售額。Tan/管理數學第1章 第19-20頁38例題例題 10(續)(續)解:解:由圖21可以知道第一年與第五年的資料點為(1,20)與(5,60),利用公式(3)先求出斜率如下再用點(1,20)與斜率m=10 代入點斜式即得y 20=10(x 1)y=10 x+1060201051mTan/管理數學第1章 第20頁39例題例題 10(續)(續)解:(續)解:(續)將x=6代入所得的方程式,可預測第六年的銷售額為y=10(6)+10
13、=70即70,000元。Tan/管理數學第1章 第20頁40線方程式的一般式線方程式的一般式線方程式的一般式線方程式的一般式含x,y變數的一般式線性方程式為Ax+By+C=0 (6)其中,A,B,C是常數且A,B至少有一數不為0。一直線的方程式一定是線性方程式;同時,每一線性方程式恰好代表著一條直線。Tan/管理數學第1章 第21頁41例題例題 12l畫出3x 4y 12=0 的線。解:解:由於相異的兩點決定一條直線,因此我們只要找出滿足方程式的兩個點,即可畫出所要的線。為方便起見,令y=0 解得x=4,我們有了第一個點(4,0);令x=0解得y=3,於是我們有了第二個點(0,3)。連接此兩點
14、即得該線,見圖22。Tan/管理數學第1章 第21頁42例題例題 12(續)(續)Tan/管理數學第1章 第21頁43線方程式的一般式線方程式的一般式直線方程式直線方程式垂線:x=a水平線:y=b點斜式:y y1=m(x x1)斜截式:y=mx+b一般式:Ax+By+C=0Tan/管理數學第1章 第22頁441.3 線性函數與數學模型線性函數與數學模型數學模型數學模型Tan/管理數學第1章 第29頁45函數函數函數函數函數函數(function)f 定義了x 與 y 之間的對應規則,每個 x值對應一且唯一的y值。線性函數線性函數我們稱函數 f(x)=mx+b為線性函數線性函數(linear f
15、unction),其中 m 和 b 為任意的常數。Tan/管理數學第1章 第30-31頁46例題例題 1 美國健康照護花費美國健康照護花費l由於美國高齡人口快速成長,預期未來幾十年其健康照護花費將明顯增加。下表列出美國2008-2013年的健康照護花費(單位:兆元),2009年以後為預估值:l表中的數據可以下列數學模型描述:S(t)=0.134t+2.325其中t代表年份,起始年(t=0)為2008 年。Tan/管理數學第1章 第31頁47例題例題 1 美國健康照護花費(續)美國健康照護花費(續)a.繪出函數S的圖形。b.假設這個趨勢繼續維持下去,2014年(即t=6)時,美國健康照護花費估計
16、為若干?c.試問自2008 至2013 年期間,美國健康照護花費的增加速率為何?資料來源:Centers for Medicare&Medicaid Services.Tan/管理數學第1章 第31頁48例題例題 1 美國健康照護花費(續)美國健康照護花費(續)解:解:a.函數S的圖形如圖24所示。Tan/管理數學第1章 第32頁49例題例題 1 美國健康照護花費(續)美國健康照護花費(續)解:(續)解:(續)b.估計2014年時,美國健康照護花費為S(6)=0.134(6)+2.325=3.129大約為3.13 兆元。c.因為函數S是線性的,所以美國健康照護花費S的 增加速率即該直線的斜率。
17、由函數中t 的係數可以 得知線的斜率為0.134,因此健康照護花費每年大 約增加0.134 單位,即每年增加0.134 兆元。Tan/管理數學第1章 第32頁50例題例題 2 線性折舊線性折舊l一台網路伺服器的初始價值是10,000元,經線性折舊5年後的殘值為3,000元。a.寫出其帳面價值的函數,以t代表折舊的年 份。b.2年後該網路伺服器的帳面價值若干?c.此網路伺服器的折舊速率為何?Tan/管理數學第1章 第32頁51例題例題 2 線性折舊(續)線性折舊(續)解:解:a.令V為t年後網路伺服器的帳面價值。在線性 折舊的假設下可知V為線性函數,圖形呈直 線。由已知條件可以找出兩點,即t=0
18、 時 V=10,000,以及t=5 時V=3,000,故此兩 點座標為(0,10,000)與(5,3,000),據此可出 斜率10,0003,0007,0001,400055m Tan/管理數學第1章 第33頁52例題例題 2 線性折舊(續)線性折舊(續)解:(續)解:(續)再以點(0,10,000)與斜率m=1,400代入點斜式得V 10,000=1,400(t 0)V=1,400t+10,000參見圖25。Tan/管理數學第1章 第33頁53例題例題 2 線性折舊(續)線性折舊(續)解:(續)解:(續)Tan/管理數學第1章 第33頁54例題例題 2 線性折舊(續)線性折舊(續)解:(續)
19、解:(續)b.2 年後該網路伺服器的帳面價值為V=1,400(2)+10,000=7,200 即7,200元。c.此網路伺服器的折舊速率等於折舊線的斜率 取絕對值,因m=1,400,故網路伺服器每 年折舊1,400 元。Tan/管理數學第1章 第33頁55線性成本、線性收入及線性利潤函數線性成本、線性收入及線性利潤函數成本函數、收入函數及利潤函數成本函數、收入函數及利潤函數令x代表產品的生產量或銷售量,則成本函數成本函數(cost function)為C(x)=生產x個產品的總成本收入函數收入函數(revenue function)為R(x)=銷售x個產品的總收入利潤函數利潤函數(profit
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