概率论与数理统计§52中心极限定理课件.ppt

1、5.2 中心极限定律中心极限定律 引例引例考察射击命中点与靶心距离的偏差考察射击命中点与靶心距离的偏差.这种偏差是大量微小的偶然因素造成的微这种偏差是大量微小的偶然因素造成的微小误差的总和小误差的总和,这些因素包括这些因素包括:瞄准误差、测量瞄准误差、测量误差、子弹制造过程方面误差、子弹制造过程方面(如外形、重量等如外形、重量等)的的误差以及射击时武器的振动、气象因素误差以及射击时武器的振动、气象因素(如风速、如风速、风向、能见度、温度等风向、能见度、温度等)的作用的作用,所有这些不同所有这些不同因素所引起的微小误差是相互独立的因素所引起的微小误差是相互独立的,并且它们并且它们中每一个对总和产

2、生的影响不大中每一个对总和产生的影响不大.问题问题 某个随机变量是由大量相互独立且均匀某个随机变量是由大量相互独立且均匀小的随机变量相加而成的小的随机变量相加而成的,研究其概率分布情况研究其概率分布情况.5.2.1 中心极限定理的概念中心极限定理的概念,.概概率率论论中中 一一般般将将关关于于随随机机变变量量序序列列和和的的标标准准化化随随机机变变量量的的极极限限分分布布是是标标准准正正态态分分布布的的定定理理统统称称为为中中心心极极限限定定理理1111niinniiiinniiXXEXYDX 即即若若的的标标准准化化随随机机变变量量221limed(),2txnnP Yxtx 满满足足nX则

3、则称称服服从从中中心心极极限限定定理理.:中中心心极极限限定定理理的的实实质质111nniiiinniiXEXYDX (0,1).N近近似似地地服服从从标标准准正正态态分分布布1.(0,1).nwknkXr v YN 亦亦即即的的标标准准化化（依分布收敛）（依分布收敛）,n当当 充充分分大大时时5.2.2 中心极限定理中心极限定理1.独立同分布中心极限定理独立同分布中心极限定理122,(),()0(1,2,),niiXXXE XD Xi 设设随随机机变变量量相相互互独独立立 服服从从同同一一分分布布 且且具具有有数数学学期期望望和和方方差差：则则随随机机变变量量之之和和的的111nniiiin

4、niiXEXYDX 标标准准化化变变量量1niiXnn (Levy-Lindeberg)1()lim()limnniinnnFxxXnFxPxn 的的分分布布函函数数对对于于任任意意满满足足定理表明定理表明1(0,1);niiXnNn xtxt).(de2122 21(,)niiXN nn xtnnnxtxpnpnpPxppnn).(de21)1(lim,)10(,),2,1(22 恒恒有有对对于于任任意意则则的的二二项项分分布布服服从从参参数数为为设设随随机机变变量量证明证明根据第根据第4章第章第2节例题可知节例题可知,1 nkknX 分分布布律律为为分分布布的的随随机机变变量量一一是是相相

5、互互独独立立的的、服服从从同同其其中中,)10(,21nXXX1(1),0,1.kkiP Xkppk 2.德莫佛拉普拉斯定理德莫佛拉普拉斯定理(),iE Xp()(1)(1,2,),iD Xppin 根据根据独立同分布中心极限定理独立同分布中心极限定理得得 xpnpnpPnn)1(lim 1lim(1)niinXnpPxnpp xtxt).(de2122 定理表明定理表明 正态分布是二项分布的极限分布正态分布是二项分布的极限分布.当当n充分大充分大时时,可利用正态分布来近似地计算二项分布的概率可利用正态分布来近似地计算二项分布的概率.5.2.3 中心极限定理的应用中心极限定理的应用1.二项分布

6、概率的近似计算二项分布概率的近似计算(,),nb n p 设设则则12nP xx 12(1)kkn knxk xC pp 12(1)(1)(1)nnpxnpxnpPnppnppnpp 当当n很大时很大时,直接计算很困难直接计算很困难.根据德莫佛根据德莫佛-拉普拉斯拉普拉斯中心极限定理中心极限定理,可用正态分布来近似计算可用正态分布来近似计算.12nP xx 21.(1)(1)xnpxnpnppnpp 例例1 设电站供电网有设电站供电网有10000盏电灯，夜晚每盏灯开盏电灯，夜晚每盏灯开灯的概率均为灯的概率均为0.7，假定灯的开、关是相互独立的，假定灯的开、关是相互独立的，试求夜晚同时开着的灯数

7、在试求夜晚同时开着的灯数在68007200盏之间的概率盏之间的概率.解解令令 X 表示在夜晚同时开着的灯数，则表示在夜晚同时开着的灯数，则(10000,0.7)Xb分布律为分布律为kXP 10000100000.7 0.3,kkkC 0,1,10000.k 所求概率为所求概率为68007200PX 7200100001000068000.7 0.3.kkkkC 直接计算很麻烦直接计算很麻烦,利用利用德莫佛拉普拉斯中心极限德莫佛拉普拉斯中心极限定理定理来近似计算来近似计算.72006800(1)(1)npnpnppnpp10000,0.7,np 68007200PX 2002145.83 680

8、07200PX 72006800(1)(1)(1)npXnpnpPnppnppnpp 24.361 0.99999.注注：与切比雪夫不等式估算的结果相比较：与切比雪夫不等式估算的结果相比较-精确得多精确得多 一船舶在某海区航行一船舶在某海区航行,已知每遭受一次海浪已知每遭受一次海浪的冲击的冲击,纵摇角大于纵摇角大于 3 的概率为的概率为1/3,若船舶遭受若船舶遭受了了90 000次波浪冲击次波浪冲击,问其中有问其中有29 50030 500次次纵摇角大于纵摇角大于 3 的概率是多少？的概率是多少？解解 将船舶每遭受一次海将船舶每遭受一次海浪的冲击看作一次试验浪的冲击看作一次试验,并假设各次试验

9、是独立的并假设各次试验是独立的,在在90 000次波浪冲击中纵摇角大于次波浪冲击中纵摇角大于 3 的次数为的次数为 X,则则 X 是一个随机变量是一个随机变量,.)31,00090(bX且且例例2利用利用德莫佛拉普拉斯中心极限定理德莫佛拉普拉斯中心极限定理来近似计算来近似计算.30 50029 500(1)(1)npnpnppnpp ,31,90000 pn29 50030 500PX 225225 .9995.0 2950030500PX 2950030500(1)(1)(1)npXnpnpPnppnppnpp 某保险公司的老年人寿保险有某保险公司的老年人寿保险有1万人参加万人参加,每每人每

10、年交人每年交200元元.若老人在该年内死亡若老人在该年内死亡,公司付给家公司付给家属属1万元万元.设老年人死亡率为设老年人死亡率为0.017,试求保险公司在试求保险公司在一年内的这项保险中亏本的概率一年内的这项保险中亏本的概率.解解设设 X 为一年中投保老人的死亡数为一年中投保老人的死亡数,则则(,),Xb n p10000,0.017,np 其其中中由由德莫佛拉普拉斯中心极限定理德莫佛拉普拉斯中心极限定理知知,例例32001000010000 XP200 XP )1(200)1(pnpnppnpnpXP 321.2)1(pnpnpXP.01.0)321.2(1 保险公司亏本的概率保险公司亏本

11、的概率2.用频率作为概率的近似值的误差估计用频率作为概率的近似值的误差估计由伯努利大数定律可知由伯努利大数定律可知lim1.AnnPpn 根据德莫佛根据德莫佛拉普拉斯中心极限定理，当拉普拉斯中心极限定理，当n充充分大时，有分大时，有AnPpn(1)(1)AnnpnPppnpp (1)(1)nnpppp 21,(1)npp AnPpn 或或1AnPpn 2 1.(1)npp 注：用这个关系式可解决许多计算问题注：用这个关系式可解决许多计算问题.重复掷一枚质地不均匀的硬币重复掷一枚质地不均匀的硬币,设在每次试设在每次试验中出现正面的概率验中出现正面的概率 p 未知未知.试问要掷多少次才能试问要掷多

12、少次才能使出现正面的频率与使出现正面的频率与 p 相差不超过相差不超过1/100的概率达的概率达95%以上？以上？例例4解解由题意由题意,要求要求n,使使10.95100nPpn 即即20.0110.95(1)npp 1100nPpn 即即0.010.975(1)npp (1.96),即即0.011.96,(1)npp 即即22196(1),npp而而1(1),4pp1(1),4pp当当时时2211969604.4n 所以所以,要掷要掷9604次以上才能使出现正面的频率与次以上才能使出现正面的频率与概率相差不超过概率相差不超过1/100的概率达的概率达95%以上以上.两个中心极限定理两个中心极

13、限定理 独立同分布中心极限定理独立同分布中心极限定理德莫佛拉普拉斯中心极限定理德莫佛拉普拉斯中心极限定理 中心极限定理表明中心极限定理表明,在相当一般的条件下在相当一般的条件下,当独立随机变量的个数增加时当独立随机变量的个数增加时,其和的分布趋于其和的分布趋于正态分布正态分布.小结1111.lim().lim().lim().lim()nniiiinnnniiiinnXnXnAPxxBPxxnnXnXCPxxDPxxnn 12,(0),nXXX 设设为为独独立立同同分分布布的的随随机机变变量量序序列列 且且服服从从参参数数为为的的指指数数分分布布 则则 一个复杂系统由一个复杂系统由100个相互

14、独立起作用的个相互独立起作用的部件组成，在整个运行期间每个部件损坏的概率部件组成，在整个运行期间每个部件损坏的概率为为0.10.为了使整个系统起作用，至少必须有为了使整个系统起作用，至少必须有85个个部件正常工作，求整个系统起作用的概率部件正常工作，求整个系统起作用的概率.解解 设设 X 是损坏的部件数，则是损坏的部件数，则 X b(100,0.1).则整个则整个系统能正常工作当且仅当系统能正常工作当且仅当 X 15.由德莫佛由德莫佛-拉普拉斯中心极限定理有拉普拉斯中心极限定理有100 0.115100 0.115100 0.1 0.9100 0.1 0.915100 0.150.952.3100 0.1 0.9XP XP 某螺丝钉厂废品率为某螺丝钉厂废品率为0.01，问一盒中应，问一盒中应装多少个螺丝钉才能使得盒中合格品数目不少于装多少个螺丝钉才能使得盒中合格品数目不少于100个的概率不少于个的概率不少于0.95？103645.101.099.010099.095.001.099.099.0100110095.0100nnnnnXPXP，：由中心极限定理由中心极限定理100,100,n n令令B(n,0.99);B(n,0.99);则X则X其中有X个合格品。其中有X个合格品。设应装n个螺丝钉设应装n个螺丝钉解解