第一章-常用数值分析方法§1-非线性方程求根课件.ppt

1、 14:03 2022-12-41/45X.Z.Lin()0 11f x（）1110*()()()()0()()sin,2()0()()(*)()(*)0,2*()0()1nnnnnxmxf xf xpxa xaxa xaf xnxf xf xef xf xf xxxg xg xmxf xmf xmm上述方程的解称为方程的根或函数的零点。若，则称为 次代数方程；若是超越函数，如则称是超越方程。它们统称为非线性方程。如果能写成：且则称为的 重根，或为的 重零点，当时,*x 为方程的单根。acbbax42122,1yx31213xyxycos1*,32x的有根区间求014)(34xxxf,2,1,

2、0 0)1()(jhjafjhaf。且有为新的有根区间则取若取若否则就是方程的根则若将区间对分的中点首先取)(21,:,0)(;,0)(,0)(,),(21,11111101101010000ababbababaxbaaxfbbxaxfxxxfbaxba)(21 ,0)()(:,2211ababbfafbabababannnnnnn且满足:,.2,:,1122112222可得一系列有根区间套继续下去满足根区间重复上述过程又可得有ababbababaabx1x2abWhen to stop?11xxkk 2)(xf 或或不能保证不能保证 x 的精的精度度x*2xx*12lnln)ln(2 1ab

3、nabn所以可得：)(21nnnbax111*()()(1-2)22nnnnxxbaba)(21*1abxxnn341()1020 0102f xxx试用对分区间法求方程：的唯一实根，要求误差不超过：其计算结果见下表故对分区间次数为：要使误差不超过121429.1312ln)1021ln()12ln(,102144nn41.5946046 1.594543621 =0.0000305102误差=1(),(0,1,2,)(1-3)kkxxk*)()lim()(limlim*1xxxxxnnnnnn小数。的根，要求精确到六位用迭代法求方程：02010)(3xxxf散的。显然，此迭代格式是发：计算有

4、按迭代格式：程：）若化原方程为等价方（,861.10023,376953.21,125.0 201120111321313xxxxxxxxxnnn2122201020102nnxxxx（）若化原方程为等价方程：按迭代格式：计算结果见下表1：的近似根。即为方程满足精度要求所以因为：594562.12100000004.05945618.15945622.11561415xxx内的实根在区间用迭代法求方程 2.1,1 032 24xxx14)()23()(32)(34/122241xxxxxxxxxxx；711341226271367()96,8.495307 10()1.124123()1.12

5、4123 *1.124123029kkkkkkxxxxxxxxxxxxx准确根yy=xy=(x)xx0 x2x*x1xyx*yy=xy=(x)xx2x0 x*x3x1y=xy=(x)xx2x0 x*x1bxabax)(,1都有）对任意的（yxLyxbayxL)()(,102都有使得对一切）存在常数（1*110()(0,1,)*(14)1 *(15)1nnnnnnnxxnxLxxxxLLxxxxL均收敛于，并且有：LLxxxxnnn1*1即：1*(1 4)1nnnLxxx xL 10*(1 5)1nnLxxxxL)*(nxx011*xxLLxxnnLxxLnln)1(ln01可得到：Lx)(，2

6、,1,0 )(1nxxnn011*xxLLxxnn11.0)5154()4144()(187.0)2.1213(25.02.1)23(25.0)(844)(1134/324/32231xxxxxxxxxx42 23 0 1,1.2 xxx 例5 用迭代法求方程在区间内的实根14)()23()(32)(34/122241xxxxxxxxxxx359884.6)11.0ln(115)11.01(10ln6n()*(*,*),*(),(*)1xxO xxxxx 函数在的一邻域内连续可微为方程的根 且；01,*,*,*()(0,1,2,)*nnxxxxxnx 存在正数使得对任意迭代序列收敛于。1)(L

7、x)()()(000 xxxfxfxf0)()(000 xxxfxf)()(000 xfxfxx1()(0,1,)(1 6)()kkkkf xxxkfxXY图图1-45.1,02010)(03xxxxfNewton取的根法求方程用1032010231nnnnnxxxxxNewtons Method 收敛性依赖于收敛性依赖于x0 的选取的选取。x*x0 x0 x0)()()()()()(111nnnnnnnnnnxfxxxfxfxfxfxxx代替中以即在111)()()(nnnnnnnxxxfxfxfxx111111()(),()()()()nnnnnnnnnnnnnnf xf xppxxf xf xppyf xxxxx为割线的斜率并且有方程：111()()()nnnnnnnfxxxfxfxxx111)()()(nnnnnnnxxxfxfxfxxxn-1xn割线割线xn+1Pn-1Pn*2.,()(*)0(*)0nxxf xf xfx在二阶可微弦截法得到的序列当满足*,*,10 xxxx只要一邻域则 001)()()(xxxfxfxfxxnnnnnx1x2x3x0)(xfy 111)()()(nnnnnnnxxxfxfxfxxkx