人工智能原理非经典逻辑课件.ppt
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- 人工智能 原理 经典 逻辑 课件
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1、 3.1 非经典逻辑简介3.2 模态逻辑3.3 知道逻辑和信念逻辑3.4 多值逻辑3.5 模糊逻辑参考书目第3章 非经典逻辑3.1 非经典逻辑简介不同逻辑的约定经典逻辑和非经典逻辑的区别广义模态逻辑第3章 非经典逻辑4 如前一章所示,逻辑作为一种知识表示,可称之为形式化的语言.不同的逻辑在表示客观世界时有各自的特点(约定)若干逻辑语言的约定第3章 非经典逻辑语言本体论约定(世界中存在的)认识论约定(智能体对事实的相信)命题逻辑一阶逻辑时序逻辑概率理论模糊逻辑事实事实、对象、关系事实、对象、关系、时间事实事实、真实度0,1真/假/未知(扩展)真/假/未知真/假/未知信度0,1已知区间值5 人工智
2、能研究把逻辑作为重现智能的手段,其应用是广泛而深入的 经典逻辑(命题逻辑和一阶逻辑)在长期的实践中逐渐暴露出对许多应用领域力不从心,促使新的逻辑流派不断涌现 经典逻辑和非经典逻辑之间的主要区别:(1)演绎还是归纳?Bacon等倡导的归纳法打破了演绎方法的一统天下,归纳逻辑在AI中也有重要地位第3章 非经典逻辑6(2)二值还是多值?经典的二值逻辑描述能力不足,是对客观世界的过分简单的抽象,提出多值和模糊逻辑(3)是否遵守传统数理逻辑运算法则?如排中律、否定之否定、狄摩根律甚至恒等律在一些非经典逻辑(多值逻辑)中不再成立(4)是否引进额外算子?经典逻辑只能回答绝对是非判断的问题,但面临“可能、必然
3、、应该”等问题时就显得无能为力,需要引入额外的模态算子,即模态逻辑第3章 非经典逻辑7(5)单调还是非单调?经典逻辑的信念是已知的事实(定理)是充分可信的,不会随着新事实的发现而使旧事实变假。所谓单调的。实际上这不符合客观认识规律,因为新的事实推翻旧的真理的情况时常发生。这是认识的非单调性 经典逻辑是演绎的、二值的、单调的,而不遵守其中的一个原则,就是非经典的 非经典逻辑缺少统一的理论体系,各种方法有较大的区别第3章 非经典逻辑8 我们选择一些具有逻辑形式、采用经典逻辑语法框架的非经典逻辑加以介绍:部分广义模态逻辑包括模态逻辑、知道逻辑、信念逻辑 多值逻辑 模糊逻辑 模态逻辑是在经典逻辑的框架
4、下引入模态算子(也叫模态词),模态词的不同解释导致不同的模态逻辑第3章 非经典逻辑9 相对于“可能/必然”的解释,其他对模态词的不同解释,就得到了广义模态逻辑。较老的有:真理论模态逻辑关于“必然”的模态逻辑,模态算子的解释:“必然、可能”,标准的模态逻辑 认识论模态逻辑关于“知道”的模态逻辑,模态算子的解释:“知道、认可”,知道逻辑 道义论模态逻辑关于“应该”的模态逻辑,模态算子的解释:“应该、允许”,信念逻辑第3章 非经典逻辑10 较新的有:经验论模态逻辑关于经验的模态逻辑,模态词:“一贯、偶然、经验地、有先例地”时序逻辑关于时间次序(状态演变次序)的模态逻辑,模态词:“永远、将会、下个、直
5、到”第3章 非经典逻辑3.2 模态逻辑模态逻辑的语法命题模态逻辑系统/T系统及其性质可能世界模态逻辑的语义/模态逻辑的模型标准模型及模型中关系第3章 非经典逻辑12 实际上,模态逻辑的历史和经典逻辑一样长,最先由Aristotle提出 波斯海战问题:明天波斯和雅典将发生海战 对于明天才知道真假的命题,经典逻辑无法回答是或否 1918年美国Lewis在研究实质蕴涵悖论时重新提出模态逻辑 根源:pq经典定义:pq等价于pq Lewis提出用严格蕴涵来定义:pq等价于“不可能(pq)”,引出了“可能”问题第3章 非经典逻辑13 模态逻辑的语法和系统 模态算子 必然算子:A称为必然A 可能算子:A称为
6、可能A(AB)表示A必然不能推出B;同样 (AB)表示A不可能推出B第3章 非经典逻辑14 模态逻辑的合式公式:(1)任何一个一阶谓词演算(命题演算)的合式公式都是模态逻辑的合式公式;(2)若A是模态逻辑的合式公式,则A是合式公式;(3)若A是模态逻辑的合式公式,则A是合式公式;(4)若A和B是模态逻辑的合式公式,A,AB,AB,AB,AB()都是合式公式;(5)除此以外再无别的合式公式。第3章 非经典逻辑15 命题模态逻辑系统 定义:一组称为公理的命题模态合式公式和一组推导规则取如下形式:且该合式公式组在此推导规则下封闭,则这些公理和推导规则构成一个命题模态逻辑系统 命题模态逻辑系统包括T系
7、统,也称NSK(正规系统),以及Lewis引入的5个模态逻辑系统S1S5第3章 非经典逻辑AAAAn.2116 T系统的定义 T系统中逻辑运算定义:3个基本逻辑联结词(运算符)为、,其他逻辑运算符为:(1)AB定义为AB(2)AB定义为(AB)(3)AB定义为(AB)(BA)(4)A定义为A第3章 非经典逻辑17 引入严格蕴含符和严格等价符=,并规定:若A、B为合式公式,则AB 也是合式公式;若A、B为合式公式,则A=B也是合式公式.即(5)A B定义为(AB)(6)A=B定义为(AB)(BA)第3章 非经典逻辑18 T系统的公理系统(与、有关)(1)T1:(AA)A(2)T2:AAB(3)T
8、3:ABBA(4)T4:(AB)(CA)(CB)(5)T5:AA(6)T6:(AB)(AB)(对于NSK系统来说,则加上所有永真式)第3章 非经典逻辑19 T系统的推导规则(1)代入规则:若p是A中变量,A为合式公式,且能被T公理系统证明(记作A),B为任一合式公式,用B代入A中的p得到A,则有A(2)分离规则:由AB和A,得B(3)必然规则:由A得A(NSK中只把(2)列为推导规则,公理系统亦不同,但等价)第3章 非经典逻辑20 T系统是最弱的命题模态系统,即T系统中成立的公理和推导规则,在其他命题模态系统中也成立 T系统的性质:(共17条)(1)AA(2)(A=B)(AB)(3)(AB)(
9、AB)(4)(AB)(A=B)第3章 非经典逻辑21(5)AA(6)(AB)(AB)(7)(AB)(AB)(8)(A B)(AB)(9)(AB)(AB)(10)(AB)(AB)(11)(AA)A(12)(A A)A第3章 非经典逻辑22(13)(A B)(A B)B(14)(A B)(A B)B(15)A(B A)(16)A(AB)(17)A(B(AB)第3章 非经典逻辑23 选证其中2条作为练习 例1 (1)之证明:AA 证明过程(1)AA(公理T5及代入规则)(2)AA(定义)(3)AA(公理T3)(4)AA(定义及定义)第3章 非经典逻辑24 例2 (9)之证明(AB)(AB)(1)AB
10、(前提)(2)AA(公理T5)(3)BB(公理T5)(4)AAB(公理T2)(5)BAB(公理T2及T3)(6)AAB(由(2)、(4)(7)BAB(由(3)、(5)(8)AB(推导公理(AC,BC,AB)C)(9)(AB)(必然规则)第3章 非经典逻辑25 可能世界和模态逻辑的语义 可能世界:模态逻辑的基本思想是在经典逻辑当中引入可能和必然2个模态算子 Leibnitz给出了最初的可能世界的适当解释:世界不只一个,除了现实世界以外,还有许多可能世界;其命题的真假取决于在哪个世界中对它进行考察,即真假(真理)标准随可能世界而转移 在给定的可能世界上定义模态逻辑的语义第3章 非经典逻辑26 模态
11、命题逻辑的语义:取决于它的模型 模态逻辑的模型:三元组M=(W,R,V)称为模态逻辑的一个模型,其中W是可能世界的非空集合,V是对W中各个可能世界的真值指派(赋值映射:对每个合式公式证明其在每个可能世界中的真假值),R是附加于此模型之上的其他关系,可以为空第3章 非经典逻辑27 对可能世界的真值指派应满足以下条件:(1)TRUE在所有可能世界中为真;(2)FALSE在所有可能世界中为假;(3)A在可能世界中为真,当且仅当A可能世界中为假;(4)AB、AB、AB、AB在可能世界中为真的定义同普通逻辑的定义。注意:、在何时为真随着模型的真值指派而定第3章 非经典逻辑28 公式A在模型M的可能世界中
12、为真,记作|=MA,(M可省略);如果在所有可能世界中为真,则记作|=MA。存在多种不同的语义模型 Leibnitz模型 标准模型第3章 非经典逻辑29 Leibnitz模型的定义:如果规定(1)|=MA当且仅当|=MA(所有可能世界);(2)|=MA当且仅当W,使得|=MA,M=(W,V,R)(可以简记为M),则此模型称为Leibnitz模型。在Leibnitz模型中,下列若干公式成立(性质,一个定理):第1组:AAAA第3章 非经典逻辑30 第2组:AAAAAAAA 第2组公式在模态逻辑的所有模型中均成立,而其余两组未必 第3组:(AB)(AB)(AB)(AB)(AB)(AB)(AB)(A
13、B)(AB)(AB)第3章 非经典逻辑31 下面给出对第1组公式的证明,其他两组可依此类推 第1组公式:AA,AA 证明:对于第1个公式,该式左边表示对所有可能世界,皆有|=A成立,右边表示对于一个未显式说明的可能世界,|=A成立,故可从左边推到右边。第3章 非经典逻辑32 对于第2个公式,左边表示存在一个可能世界,有|=A成立;右边表示对于所有皆有|=MA。根据定义,其含义为,使|=M A成立;因为与无关,所以“对于所有”可去掉。因为都是表示存在一个可能世界,所以用或符号都没有关系。因此,左右表示是相同的(PP),即知从左可推到右。反过来,利用性质1,可证从右到左。第3章 非经典逻辑33 标
14、准模型的定义:若R定义了模型M=(W,R,V)中WW上的一个二元关系,且定义模态算子为:(1)|=MA当且仅当对每个使RW成立的有|=MA 成立;(2)|=MA当且仅当W满足关系R,有|=MA 成立则M称为标准模型第3章 非经典逻辑34 这里R理解为可达到关系,即:A为真,当且仅当从目前所在的可能世界出发,在能够到达的一切可能世界中,A皆为真;A为真,当且仅当从目前所在的可能世界出发,能够到达某个可能世界,在此中A为真。第3章 非经典逻辑35 注意:此处未对R限定任何条件,因此在Leibnitz模型中成立的公式(定理),此处不成立。例如当R不具备自反性质时,AA不成立 例子:A表示享福,R父子
15、关系,A表示子孙享福,由于R不成立,所以本人未必A(即子孙享福未必本人享福)第3章 非经典逻辑36 定理(1)|=MA|=MA(2)|=MA|=MA 证明:(1)|=MA 等价于存在,R,使|=MA;等价于并非对于每个满足R的,都有|=MA(第2组公式2);等价于并非对于每个满足R的,都有|=M A;等价于|=MA;等价于|=M A第3章 非经典逻辑37(2)|=MA等价于对于所有满足R的,有|=MA;等价于不存在一个满足R的,使|=MA成立;等价于不存在一个满足R的,使|=MA成立;等价于|=MA;等价于|=MA 第3章 非经典逻辑38 定义:设R是标准模型M=(W,R,V)中的关系,则:(
16、1)若对每个W,存在W,有R,则R称为序列的(有序的);(2)若对每个W,有R,则R称为自反的;(3)若对每个、W,只要R,有R,则R称为对称的;(4)若对每个、W,只要R、R,有R,则R称为传递的;(5)若对每个、W,只要R、R,有R,则R称为欧基里德的。第3章 非经典逻辑39 从上述定义可得:若R是欧基里德的,则R是自反的(用2个R)、对称的(自反推出)、传递的即是等价的 定理(不同关系的性质)(1)若R为序列的,则AA为真;(2)若R为自反的,则AA和AA为真;(3)若R为对称的,则AA为真;(4)若R为传递的,则AA为真;(5)若R为欧基里德的,则AA为真。第3章 非经典逻辑40 证明
17、:(证真即前提真蕴涵结论真)(1)R为序列的,则对每个W存在,有R,由A定义知|=A成立,由A定义知其为真;(2)R为自反的,由R可知A能推出|=A,因此A为真;同样可证|=A,即A为真;第3章 非经典逻辑41(3)R为对称的,设当前世界为,若不存在,使R成立,则A成立(仅在当前世界);否则,令是使R成立的任意一个可能世界,则由对称性知R成立。由A在中为真可知|=A成立(到);由的任意性,则可知|=A成立(到);第3章 非经典逻辑42(4)R为传递的,设当前世界为,A表示凡满足R的均使|=A为真(世界),若有使R成立,由传递性可知R也成立,即对任意的,使|=A为真(世界).按照定义知,在世界中
18、有A成立,在 世界中有A成立;第3章 非经典逻辑43(5)R为欧几里德的,设当前世界为,A表示存在,使 R且|=A为真,又因 R 和 R 知有R(欧几里德的),即R为自反的,即说明|=A为真。现在设是一个任意的使得 R 成立的可能世界,由 R和 R知有R 成立(欧几里德的),由A定义知|=A(|=A为真),由的任意性知|=A成立(世界)。第3章 非经典逻辑3.3 知道逻辑和信念逻辑知道的含义知道逻辑的表示与层次群体知道逻辑信念逻辑的解释信念逻辑的表示与层次第3章 非经典逻辑45 知道逻辑研究的对象 共同发起攻击时间取得一致的问题:A、B两个敌对方交战,A1、A2占据两边山头,B军占据中间,A1
19、、A2双方联络必须穿过B,联络员两边穿梭,就共同发起攻击时间无法取得一致 庄子谈话问题:人不知鱼很高兴 特点:无休止的循环下去第3章 非经典逻辑46 实际意义:多个独立主体构成的分布式系统中,每个主体应该知道什么信息,包括知道其他主体知道什么 知道的不同含义:(1)某人确切地知道某事:知道某事,则此事必然(2)某人认为某事是真的:仅是其主观认识第3章 非经典逻辑47 知道逻辑定义 知道逻辑的模态算子:知道逻辑引入新的模态词-K知道;Z认可或不排除(或用:%表示)这里为简单起见,以命题知道逻辑为例 这两个模态算子的关系与、相同,即K AZA,Z AKA第3章 非经典逻辑48 关于“知道”的4个层
20、次,即:凡人知道逻辑、圣人知道逻辑、超人知道逻辑、上帝知道逻辑,每个层次都有不同的认识能力(1)在凡人知道逻辑中:清楚(知道)自己知道什么K AKKA;ZAZZA;ZAKZA;ZAZKA(2)在圣人知道逻辑中:圣人不犯错误知道命题为真,则命题为真增加公理:K AA第3章 非经典逻辑49(3)在超人知道逻辑中:超人的推理能力继续增加公理:K(AB)(K AKB)(加上推理的传递规则,可推出一切被已知知识蕴含的知识)(4)在上帝知道逻辑中:无事不知,洞察一切客观上为真的命题公理:(A)(K A)(存在A为真,则知道A为真)第3章 非经典逻辑50 认识的主体不只是一个人,而是一群有不同知识的个体,简
21、称群体/研究群体类型的知道机制就是群体知道逻辑/研究课题比较难 可能的应用:多智能体之间的相互联系/分布式体系结构(如网络)中各主体之间的通讯和协议/规划/网络游戏 在分布式系统推理中,有:“处理器1不能发送包给处理器2直到1知道2收到了前一个包”Kripke的可能世界模型是探索群体知道逻辑的有效工具第3章 非经典逻辑51 定义:设有m个个体,编号为1,m,另有一个命题集合=A,B,用K1Km表示m个模态算子,其中Ki P表示第i个个体知道P,以Lm()表示群体的最小知识闭包,即 Lm()若ALm(),则ALm()若A,BLm(),则ABLm()若ALm(),则Ki ALm(),1im 其他逻
22、辑运算包括:AB定义为(AB)/AB定义为(AB)/AB定义为(AB)(BA)第3章 非经典逻辑52 基本思想是用可能世界集合来表示:每个个体ai被赋予了一个可能世界集Wi,Wi中每个每个可能世界w都是ai心目中可能的现实世界 如:无生命和有生命的火星都是天文学家心目中的可能世界 个体ai知道某个事实p的含义是:p在Wi的每个对ai来说是可到达的可能世界中为真。反之,如果p至少在Wi的一个可达世界中为假,则称ai不知道p。如果p在Wi的所有可达世界中都为假,则称ai知道非p第3章 非经典逻辑53 关于信念的解释:至少有3种不同的解释(1)信念表示尚未被完全证实的知道。此种含义下,只有已经被证实
23、(变成知道)的知道和尚未被证实的信念之分,但不存在可能被否证的信念(单调性)(2)信念表示不一定正确的知道。此种含义下,信念既可以被证实,也可以被否证。如:某学生相信自己能考好,结果却砸了锅(3)信念表示对已有证据积累的一种函数,体现了对某个命题的相信程度。此时,信念就是一种概率(不精确程度的其他量),它在证据积累过程中可以变化,用于专家系统的不精确推理第3章 非经典逻辑54 信念逻辑的算子:B表示信念,W表示可接受 存在关系:W ABA,B AWA 信念逻辑的层次(1)凡人信念逻辑中,如下公理是直观的:K ABAB ABBABA WAWAWWAWA ZA第3章 非经典逻辑55“理智的”凡人:
24、BABK A(若相信A,则一定相信知道A)“卤莽的”凡人:ZABA(若不排除A,则就相信A)“谨慎的”凡人:ZAWA(若不排除A,则可以接受A)第3章 非经典逻辑56(2)超人信念逻辑,继续增加推理规则:由BA和B(AC)可知有BC成立或B(AC)BABC再加上普通命题逻辑的推理规则,可推出被已知信念蕴含的所有信念。此时,与知道逻辑中的逻辑全知问题相对应,是逻辑全信问题。应予以避免。(3)上帝信念逻辑,再加上新公理:BAK A(凡相信者必真,只有上帝可做到)第3章 非经典逻辑57 知道和信念相联系,如前解释 对于面向现实世界的逻辑推理任务,知道逻辑和信念逻辑提供了可用的形式化表示方法/考虑用模
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