8习题课斯托克斯公式(教资优择)课件.ppt
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1、一、主要内容一、主要内容二、二、典型例题典型例题 曲线积分与曲面积分习题课曲线积分与曲面积分习题课1教资借鉴(一)(一)曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分(二)各种积分之间的联系(二)各种积分之间的联系(三)场论初步(三)场论初步 一、主要内容一、主要内容2教资借鉴曲线积分曲线积分曲面积分曲面积分对面积的对面积的曲面积分曲面积分对坐标的对坐标的曲面积分曲面积分对弧长的对弧长的曲线积分曲线积分对坐标的对坐标的曲线积分曲线积分定义定义计算计算定义定义计算计算联系联系联系联系(一)(一)曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分3教资借鉴 曲曲 线线 积积 分分对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分对坐标的曲
2、线积分对坐标的曲线积分定定义义 niiiiLsfdsyxf10),(lim),(LdyyxQdxyxP),(),(),(),(lim10iiiniiiiyQxP 联联系系dsQPQdyPdxLL)coscos(计计算算 dtfdsyxfL22,),()(dtQPQdyPdxL),(),(与方向有关)4教资借鉴与路径无关的四个等价命题与路径无关的四个等价命题条条件件在在单单连连通通开开区区域域D上上),(),(yxQyxP具具有有连连续续的的一一阶阶偏偏导导数数,则则以以下下四四个个命命题题成成立立.LQdyPdxD与路径无关与路径无关内内在在)1(CDCQdyPdx闭曲线闭曲线,0)2(Qdy
3、PdxduyxUD 使使内存在内存在在在),()3(xQyPD ,)4(内内在在等等价价命命题题5教资借鉴 曲曲 面面 积积 分分对面积的曲面积分对面积的曲面积分对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分定定义义 niiiiisfdszyxf10),(lim),(xyiniiiiSRdxdyzyxR)(),(lim),(10 联联系系 RdxdyQdzdxPdydz计计 算算 (与侧无关)(与侧有关)dSRQP)coscoscos(dszyxf),(xyDyxdxdyzzyxzyxf221),(,dxdyzyxR),(xyDdxdyyxzyxR),(,6教资借鉴定积分定积分曲线积分曲线积分重积分重积分曲
4、面积分曲面积分计算计算计算计算计算计算Green公式公式Stokes公式公式Guass公式公式(二)(二)各种积分之间的联系各种积分之间的联系7教资借鉴点函数点函数)(,)(lim)(10MfMfdMfnii .)()(,1 badxxfdMfbaR 时时上区间上区间当当.),()(,2 DdyxfdMfDR 时时上区域上区域当当积分概念的联系积分概念的联系定积分定积分二重积分二重积分8教资借鉴 dVzyxfdMfR),()(,3 时时上区域上区域当当.),()(,3 dszyxfdMfR 时时上空间曲线上空间曲线当当.),()(,3 SdSzyxfdMfSR 时时上曲面上曲面当当曲面积分曲面
5、积分曲线积分曲线积分三重积分三重积分.),()(,2 LdsyxfdMfLR 时时上平面曲线上平面曲线当当曲线积分曲线积分9教资借鉴计算上的联系计算上的联系)(,),(),()()(21面元素面元素 ddxdyyxfdyxfbaxyxyD)(,),(),()()(),(),(2121体元素体元素dVdzzyxfdydxdVzyxfbaxyxyyxzyxz baLdsdxyxyxfdsyxf)(,1)(,),(2曲曲线元素线元素 baLdxdxxyxfdxyxf)(,)(,),(投影投影线元素线元素)(ba 10教资借鉴 xyDyxdxdyzzyxzyxfdszyxf221),(,),(xyDd
6、xdyyxzyxfdxdyzyxR),(,),(其中其中dsRQPdxdyRQdzdxPdydz)coscoscos(dsQPQdyPdxL)coscos()(曲曲面元素面元素ds)(投影投影面元素面元素dxdy11教资借鉴理论上的联系理论上的联系1.定积分与不定积分的联系定积分与不定积分的联系)()()()()(xfxFaFbFdxxfba 牛顿牛顿-莱布尼茨公式莱布尼茨公式2.二重积分与曲线积分的联系二重积分与曲线积分的联系)()(的正向的正向沿沿LQdyPdxdxdyyPxQLD 格林公式格林公式12教资借鉴3.三重积分与曲面积分的联系三重积分与曲面积分的联系 RdxdyQdzdxPdy
7、dzdvzRyQxP)(高斯公式高斯公式4.曲面积分与曲线积分的联系曲面积分与曲线积分的联系 dxdyyPxQdzdxxRzPdydzzQyR)()()(RdzQdyPdx斯托克斯公式斯托克斯公式13教资借鉴 DLdxdykFrotrdF)(DLdxdyFdivrdFGreenGreen公式公式,GuassGuass公式公式,StokesStokes公式公式之间的关系之间的关系 SdFrotrdF RQPzyxdxdydzdxdydzRdzQdyPdx dvFdivsdFdvzRyQxPRdxdyQdzdxPdydz)(DLdxdyyPxQQdyPdx)(DLdxdyyQxPPdyQdx)(或
8、推广推广为平面向量场为平面向量场)(MF为空间向量场为空间向量场)(MF14教资借鉴梯度梯度kzujyuixugradu 通量通量旋度旋度环流量环流量zRyQxPFdiv RdxdyQdzdxPdydzkyPxQjxRzPizQyRFrot)()()(RdzQdyPdx散度散度(三)(三)场论初步场论初步15教资借鉴例例 1 1 计算计算 LdyyxdxxyxI)()2(422,其中其中L为由点为由点)0,0(O到点到点)1,1(A的曲线的曲线xy2sin .思路思路:LQdyPdxIxQyP xQyP 0 LQdyPdxI ),(),(00yxyxQdyPdxI闭合闭合非闭非闭闭合闭合 Dd
9、xdyyPxQI)(非闭非闭补充曲线或用公式补充曲线或用公式二、二、典型例题典型例题16教资借鉴解解xxyxyyP2)2(2 知知xyxxxQ2)(42 ,xQyP 即即 104102)1(dyydxx故原式故原式.1523 xyo11A dyyxdxxyxI)()2(422由由17教资借鉴例例 2 2 计算计算 LxxdymyedxmyyeI)cos()sin(,其中其中L为由点为由点)0,(a到点到点)0,0(的上半圆周的上半圆周0,22 yaxyx.解解myemyyeyyPxx cos)sin(yemyexxQxxcos)cos(xQyP 即即(如下图如下图)18教资借鉴xyo)0,(a
10、AMdxdyyPxQDAMOA )(Ddxdym,82am 0)(00 medxxaAO,0 082 am.82am AMOAAOAOAOLI AMOAAOI19教资借鉴曲面面积的计算法曲面面积的计算法SDxy),(yxfz xyoz dSS xyDyxdxdyzz221dsyxfSBAL ),(),(dxyyxfba 21),(zxoy),(yxfz sLABab20教资借鉴曲顶柱体的表面积曲顶柱体的表面积 LDyxdsyxfdffS),()11(22 xzyo),(yxfz LD如图曲顶柱体,如图曲顶柱体,21教资借鉴例例 3 3 求柱面求柱面13232 yx在球面在球面1222 zyx内
11、内的侧面积的侧面积.解解由对称性由对称性 LLdsyxzdsS2218,1:3232 yxL)20(,sin,cos33 ttytx参参数数方方程程为为22教资借鉴,cossin3)()(22tdttdtyxdstt tdttttScossin3sincos182066 tdttttcossincossin3242022 2022cossin324tdtt.233 23教资借鉴在第一卦限部分的上侧在第一卦限部分的上侧为平面为平面为连续函数为连续函数其中其中计算计算1,),(,),(),(2),(zyxzyxfdxdyzzyxfdzdxyzyxfdydzxzyxfI例例xyoz111 解解利用两
12、类曲面积分之间的关系利用两类曲面积分之间的关系,1,1,1 n的的法法向向量量为为.31cos,31cos,31cos 24教资借鉴dszzyxfdzdxyzyxfdydzxzyxfI),(31),(231),(31 dszyx)(31 xyDdxdy3131.21 25教资借鉴2 22222计计算算 Iydydzxdzdxz dxdy,Iydydzxdzdxz dxdy,其其中中为为锥锥面面 zxyzxy被被平平面面 z1,z2z1,z2 所所截截部部分分的的外外侧侧 例例解解1 12 2补补上上:z2,:z2,取取上上側側:z1,:z1,取取下下側側D 利用高斯公式利用高斯公式2222xy
13、xyD:xy4D:xy42222xyxyD:xy1D:xy1 26教资借鉴151515151616 .2222 121222222zdvz dxdyz dxdy2zdvz dxdyz dxdyxyxyxyxy2 22 21 1D DD D2z2z z dz4dxdydxdyz dz4dxdydxdy 121212122 22 2I(ydydzxdzdxz dxdy)I(ydydzxdzdxz dxdy)(ydydzxdzdxz dxdy)(ydydzxdzdxz dxdy)27教资借鉴例例 6 6 计算曲面积分计算曲面积分yzdxdydzdxyxdydzyI4)1(2)18(2 ,其中其中 是
14、由曲线是由曲线)31(01 yxyz绕绕y轴旋转一周轴旋转一周所成的曲面所成的曲面,它的法向量与它的法向量与y轴正向的夹角恒大于轴正向的夹角恒大于2.解解2 22 2z zy y1 1绕绕y y轴轴旋旋转转曲曲面面方方程程为为x x0 0y y1 1z zx x (如下图如下图)28教资借鉴xyzo132 *I且有且有dxdydzzRyQxP)(*dxdydzyyy)4418(yzdxdydzdxyxdydzyI4)1(2)18(2 欲求欲求 dv xzD31dxdzdy 2dy)1y(3129教资借鉴 *2)31(2dzdx,32 )32(2 I故故.34 30教资借鉴22222222222
15、2例例7:7:在在变变力力 Fyz izx jxy kFyz izx jxy k 的的作作用用下下,质质点点xyzxyz由由原原点点沿沿直直线线运运动动到到椭椭球球面面1 1上上第第abcabc一一卦卦限限的的点点M(M(,),),问问当当,取取何何值值时时,力力 F F 所所作作的的功功W W最最大大?并并求求出出W W的的最最大大值值.)933,3,3,(abcWcbaW 时时 31教资借鉴一、一、选择题选择题:1 1、设设L为为230,0 yxx,则则 Lds4的值为的值为().().(A)(A)04x,(B)(B),6 (C)(C)06x.2 2、设设L为直线为直线0yy 上从点上从点
16、),0(0yA到点到点),3(0yB的的有向直线段有向直线段,则则 Ldy2=().=().(A (A)6;(B)6;(B)06y;(C)0.;(C)0.3 3、若若L是上半椭圆是上半椭圆 ,sin,costbytax取顺时针方向取顺时针方向,则则 Lxdyydx的值为的值为().().(A (A)0 0;(B);(B)ab2;(C);(C)ab.测验题测验题32教资借鉴4 4、设、设),(,),(yxQyxP在单连通区域在单连通区域D内有一阶连续内有一阶连续 偏导数偏导数,则在则在D内与内与 LQdyPdx路径无关的条件路径无关的条件 DyxyPxQ ),(,是是().().(A)(A)充分
17、条件充分条件;(B);(B)必要条件必要条件;(C);(C)充要条件充要条件.5 5、设、设 为球面为球面1222 zyx,1 为其上半球面为其上半球面,则则 ()()式正确式正确.(A)(A)12zdszds;(B)(B)12zdxdyzdxdy;(C)(C)1222dxdyzdxdyz.33教资借鉴6 6、若、若 为为)(222yxz 在在xoy面上方部分的曲面面上方部分的曲面,则则 ds等于等于().().(A)(A)rrdrrd022041 ;(B);(B)2022041rdrrd ;(C)(C)2022041rdrrd .7 7、若、若 为球面为球面2222Rzyx 的外侧的外侧,则
18、则 zdxdyyx22等于等于().().(A)(A)xyDdxdyyxRyx22222;(B)(B)2 2 xyDdxdyyxRyx22222;(C)0(C)0 .34教资借鉴8 8、曲曲面面积积分分 dxdyz2在在数数值值上上等等于于().(A A)向向量量iz2穿穿过过曲曲面面 的的流流量量;(B B)面面密密度度为为2z的的曲曲面面 的的质质量量;(C C)向向量量kz2穿穿过过曲曲面面 的的流流量量 .9 9、设设 是是球球面面2222Rzyx 的的外外侧侧,xyD是是xoy面面 上上的的圆圆域域222Ryx ,下下述述等等式式正正确确的的是是().(A A)xyDdxdyyxRy
19、xzdsyx2222222;(B B)xyDdxdyyxdxdyyx)()(2222;(C C)xyDdxdyyxRzdxdy2222.35教资借鉴1 10 0、若若 是是空空间间区区域域 的的外外表表面面,下下述述计计算算中中运运用用高高斯斯 公公式式正正确确的的是是().(A A)外侧外侧dxdyyzdydzx)2(2 =dxdydzx)22(;(B B)外侧外侧zdxdyydzdxxdydzyzx232)(=dxdydzxx)123(22;(C C)内侧内侧dxdyyzdydzx)2(2 =dxdydzx)12(.36教资借鉴二、计算下列各题二、计算下列各题:1 1、求、求 zds,其中
20、其中 为曲线为曲线 ,sin,costzttyttx)0(0tt ;2 2、求、求 Lxxdyyedxyye)2cos()2sin(,其中其中L为上为上 半圆周半圆周222)(ayax ,0 y,沿逆时针方向沿逆时针方向.三、计算下列各题三、计算下列各题:1 1、求、求 222zyxds其中其中 是界于平面是界于平面Hzz 及及0 之间的圆柱面之间的圆柱面222Ryx ;37教资借鉴2 2、求求 dxdyyxdzdxxzdydzzy)()()(222,其中其中 为锥面为锥面)0(22hzyxz 的外侧;的外侧;3 3、3222)(zyxzdxdyydzdxxdydz其中其中 为曲面为曲面9)1
21、(16)2(5122 yxz)0(z的上侧的上侧.四、证明四、证明:22yxydyxdx 在整个在整个xoy平面除去平面除去y的负半轴及的负半轴及原点的开区域原点的开区域G内是某个二元函数的全微分内是某个二元函数的全微分,并并求出一个这样的二元函数求出一个这样的二元函数.五、求均匀曲面五、求均匀曲面222yxaz 的重心的坐标的重心的坐标.38教资借鉴六、求向量六、求向量kzjyixA 通过区域通过区域:,10 x10,10 zy的边界曲面流向外侧的通量的边界曲面流向外侧的通量.七、流体在空间流动七、流体在空间流动,流体的密度流体的密度 处处相同处处相同(1 ),),已知流速函数已知流速函数k
22、zyjyxixzV222 ,求流体在单求流体在单位时间内流过曲面位时间内流过曲面zzyx2:222 的流量的流量(流流向外侧向外侧)和沿曲线和沿曲线:Lzzyx2222 ,1 z的环流的环流量量(从从z轴正向看去逆时针方向轴正向看去逆时针方向).).39教资借鉴测验题答案测验题答案一、一、1 1、B B;2 2、C C;3 3、C C;4 4、C C;5 5、B B;6 6、C C;7 7、B B;8 8、C C;9 9、C C;10 10、B B.二、二、1 1、322)2(2320 t;2 2、2a.三、三、1 1、RHarctan2;2 2、44h ;3 3、0 0.四、四、)ln(21
23、),(22yxyxu .五、五、)2,0,0(a.六、六、3.3.七、七、0,1532.40教资借鉴常数项级数常数项级数函数项级数函数项级数一一般般项项级级数数正正项项级级数数幂级数幂级数三角级数三角级数收收敛敛半半径径R R泰勒展开式泰勒展开式数或函数数或函数函函 数数数数任任意意项项级级数数傅氏展开式傅氏展开式傅氏级数傅氏级数泰勒级数泰勒级数0)(xR为常数为常数nu)(xuunn为函数为函数满足狄满足狄 氏条件氏条件0 xx 取取在收敛在收敛 级数与数级数与数条件下条件下 相互转化相互转化 一、主要内容一、主要内容41教资借鉴 nnnuuuuu32111 1、常数项级数、常数项级数 常数
24、项级数收敛常数项级数收敛(发散发散)nns lim存在存在(不存在不存在).niinnuuuus121级数的部分和级数的部分和定义定义级数的收敛与发散级数的收敛与发散42教资借鉴性质性质1 1:级数的每一项同乘一个不为零的常数级数的每一项同乘一个不为零的常数,敛散性不变敛散性不变.性质性质2 2:收敛级数可以逐项相加与逐项相减收敛级数可以逐项相加与逐项相减.性质性质3 3:在级数前面加上有限项不影响级数的敛在级数前面加上有限项不影响级数的敛散性散性.性质性质4 4:收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛于原来的和于原来的和.0lim nnu级数收敛的必要条件级数收
25、敛的必要条件:收敛级数的基本性质收敛级数的基本性质43教资借鉴常数项级数审敛法常数项级数审敛法正正 项项 级级 数数任意项级数任意项级数1.2.4.充要条件充要条件5.比较法比较法6.比值法比值法7.根值法根值法4.绝对收敛绝对收敛5.交错级数交错级数(莱布尼茨定理莱布尼茨定理)3.按基本性质按基本性质;,则级数收敛则级数收敛若若SSn;,0,则级数发散则级数发散当当 nun一般项级数一般项级数4.绝对收敛绝对收敛44教资借鉴定义定义0,1 nnnuu.有界有界部分和所成的数列部分和所成的数列正项级数收敛正项级数收敛ns2 2、正项级数及其审敛法、正项级数及其审敛法审敛法审敛法(1)(1)比较
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