第7章数字滤波器设计课件.ppt

1、7.1 数字滤波器的分类数字滤波器的分类数字滤波器是具有一定选择特性的数字信号处数字滤波器是具有一定选择特性的数字信号处理系统（物理装置或软件算法）。按照不同的分类方理系统（物理装置或软件算法）。按照不同的分类方法，可以对数字滤波器进行多种分类。此处首先介绍法，可以对数字滤波器进行多种分类。此处首先介绍一种最重要的分类方法，所得到的概念不仅是数字滤一种最重要的分类方法，所得到的概念不仅是数字滤波器的最基本和最重要的概念，而且是数字滤波器设波器的最基本和最重要的概念，而且是数字滤波器设计的理论基础。计的理论基础。数字滤波器是离散时间系统，其系统函数（或数字滤波器是离散时间系统，其系统函数（或称为

2、传递函数）一般可以表示为有理函数的形式：称为传递函数）一般可以表示为有理函数的形式：iNiiMiiiaiNiiMiiizazbzazbzXzYzH1010010令此处不失一般性，令此处不失一般性，令a0=1，称为归一化。，称为归一化。（1）FIR数字滤波器数字滤波器如果其余系数如果其余系数ai全为零，则此时数字滤波器的全为零，则此时数字滤波器的系统函数为：系统函数为：对此式作对此式作z反变换，可得相应的单位脉冲响应反变换，可得相应的单位脉冲响应函数函数h(n)为有限长度的脉冲序列：为有限长度的脉冲序列：称此类数字滤波器为有限脉冲响应数字滤波器称此类数字滤波器为有限脉冲响应数字滤波器（Finit

3、e Impulse Response Digital Filter），简称），简称FIR数字滤波器。数字滤波器。MiiizbzH0 Miiinbnh0 iNiiMiiizazbzH101（2）IIR数字滤波器数字滤波器如果其余系数如果其余系数ai不全为零，此处以最简单的情不全为零，此处以最简单的情况为例，设况为例，设a1=-1，且设，且设b0=1，其余系数，其余系数ai和和bi全为零，全为零，则此时数字滤波器的系统函数为：则此时数字滤波器的系统函数为：对此式作对此式作z反变换，可得相应的单位脉冲响应反变换，可得相应的单位脉冲响应函数函数h(n)为无限长度的脉冲序列：为无限长度的脉冲序列：称此类

4、数字滤波器为无限脉冲响应数字滤波器称此类数字滤波器为无限脉冲响应数字滤波器（Infinite Impulse Response Digital Filter），简称），简称IIR数字滤波器。数字滤波器。1110zzbzH设收敛域 000iinbnubnh iNiiMiiizazbzH101例例1：已知某数字滤波器的差分方程为：已知某数字滤波器的差分方程为 110nxbnxbny即该离散时间系统的输出序列即该离散时间系统的输出序列y(n)是当前时刻的输入序列是当前时刻的输入序列x(n)与前一时刻的输入序列与前一时刻的输入序列x(n-1)的两点加权平均值（也的两点加权平均值（也称为输入序列的两点移

5、动加权平均值），其中称为输入序列的两点移动加权平均值），其中b0和和b1为加为加权平均系数。试求该系统的单位脉冲响应序列权平均系数。试求该系统的单位脉冲响应序列h(n)。解：对差分方程的两边取（单边）解：对差分方程的两边取（单边）z变换，得变换，得 zXzbzXbzY110进而得数字滤波器的传递函数为进而得数字滤波器的传递函数为 110zbbzXzYzH对上式取对上式取z反变换，可得该数字滤波器的单位脉冲响应反变换，可得该数字滤波器的单位脉冲响应序列序列h(n)为为 110nbnbnh显然，此显然，此h(n)为有限长序列，此系统为为有限长序列，此系统为FIR系统。系统。该该FIR系统的频率特性

6、（频率响应）：系统的频率特性（频率响应）：jezjzHeH00.10.20.30.40.50.60.70.80.91-100-80-60-40-200Normalized Frequency (rad/sample)Phase(degrees)00.10.20.30.40.50.60.70.80.91-60-40-200Normalized Frequency (rad/sample)Magnitude(dB)110zbbzXzYzHb0=0.5;b1=0.5;num=b0 b1;den=1;freqz(num,den);由图可见：由图可见：（1）该系统的幅频特性具有低通滤波的特性。）该系统的

7、幅频特性具有低通滤波的特性。（2）该系统没有极点，或者可以认为极点在原点处，）该系统没有极点，或者可以认为极点在原点处，所以系统总是稳定的。所以系统总是稳定的。（3）当）当b0=0.5，b1=0.5时，具有线性相位。时，具有线性相位。该该FIR系统的实现：非递归（开环，无反馈）。系统的实现：非递归（开环，无反馈）。从该从该FIR系统的差分方程为可知，这种滤波器的系统的差分方程为可知，这种滤波器的输出输出y(n)只与当前时刻的输入只与当前时刻的输入x(n)以及过去时刻的输入以及过去时刻的输入x(n-1)有关，而与过去时刻的输出无关。所以，该有关，而与过去时刻的输出无关。所以，该FIR系统通常采用

8、非递归的结构形式来实现。系统通常采用非递归的结构形式来实现。110nxbnxbny zXzbzXbzY110可以证明，可以证明，FIR数字滤波器具有严格线性相位的充要条件数字滤波器具有严格线性相位的充要条件是其单位脉冲响应序列是其单位脉冲响应序列h(n)为偶对称，即为偶对称，即h(n)=h(N-1-n)，即即n=(N1)/2是是h(n)的偶对称中心。的偶对称中心。例例2：已知某数字滤波器的差分方程为：已知某数字滤波器的差分方程为 nbxnayny1即该离散时间系统的输出序列即该离散时间系统的输出序列y(n)不仅与当前时刻的输不仅与当前时刻的输入序列入序列x(n)有关，而且与前一时刻的输出序列有

9、关，而且与前一时刻的输出序列y(n-1)也也有关，其中有关，其中a和和b为系数。试求该系统的单位脉冲响应序为系数。试求该系统的单位脉冲响应序列列h(n)。解：对差分方程的两边取（单边）解：对差分方程的两边取（单边）z变换，得变换，得 zbXzYazzY1进而得数字滤波器的传递函数为进而得数字滤波器的传递函数为 azazbzXzYzH设收敛域11对上式取对上式取z反变换，可得该数字滤波器的单位脉冲响应反变换，可得该数字滤波器的单位脉冲响应序列序列h(n)为为显然，此显然，此h(n)为无限长序列，此系统为为无限长序列，此系统为IIR系统。系统。0inninbanubanh该该IIR系统的频率特性（

10、频率响应）：系统的频率特性（频率响应）：jezjzHeHb=0.5;a=0.5;num=b;den=1-a;freqz(num,den);azazbzXzYzH设收敛域1100.10.20.30.40.50.60.70.80.91-30-20-100Normalized Frequency (rad/sample)Phase(degrees)00.10.20.30.40.50.60.70.80.91-10-8-6-4-20Normalized Frequency (rad/sample)Magnitude(dB)由图可见：由图可见：（1）该系统的幅频特性具有低通滤波的特性。）该系统的幅频特性具

11、有低通滤波的特性。（2）当）当a1时，极点时，极点z=a位于单位圆以内，系统稳定。位于单位圆以内，系统稳定。（3）稳定的系统具有非线性相位。）稳定的系统具有非线性相位。该该IIR系统的实现：递归（闭环，有反馈）。系统的实现：递归（闭环，有反馈）。从该从该IIR系统的差分方程为可知，这种滤波器的系统的差分方程为可知，这种滤波器的输出输出y(n)不仅与当前时刻的输入不仅与当前时刻的输入x(n)有关，而且与前一有关，而且与前一时刻的输出时刻的输出y(n-1)也有关。所以，该也有关。所以，该IIR系统通常采用系统通常采用递归的结构形式来实现。递归的结构形式来实现。nbxnayny1 zbXzYazzY

12、17.2 数字滤波器的设计原理数字滤波器的设计原理数字滤波器是一种具有频率选择性的离散时间线数字滤波器是一种具有频率选择性的离散时间线性时不变系统，即选频滤波器。许多信息处理过程，性时不变系统，即选频滤波器。许多信息处理过程，例如信号的过滤、检测、预测等都要用到滤波器。数例如信号的过滤、检测、预测等都要用到滤波器。数字滤波器是数字信号处理中使用得最广泛的一种线性字滤波器是数字信号处理中使用得最广泛的一种线性系统，是数字信号处理的重要基础。系统，是数字信号处理的重要基础。数字滤波器的功能（本质）是，将一组输入的数数字滤波器的功能（本质）是，将一组输入的数字序列，通过一定的运算后，转变为另一组输出

13、的数字序列，通过一定的运算后，转变为另一组输出的数字序列。实现方法主要有两种：数字信号处理硬件和字序列。实现方法主要有两种：数字信号处理硬件和计算机软件。计算机软件。数字滤波器的设计，就是确定其系统函数（传递数字滤波器的设计，就是确定其系统函数（传递函数）并实现的过程。函数）并实现的过程。7.2.1 数字滤波器的基本设计步骤数字滤波器的基本设计步骤（1）按照实际需要确定滤波器的性能指标。）按照实际需要确定滤波器的性能指标。（2）用一个因果稳定的离散线性时不变系统的系统函数）用一个因果稳定的离散线性时不变系统的系统函数去逼近这一性能要求，求出去逼近这一性能要求，求出H(z)或或h(n)。根据不同

14、要求，。根据不同要求，可以用可以用IIR系统函数，也可以用系统函数，也可以用FIR系统函数去逼近。系统函数去逼近。（3）利用有限精度算法来实现这个系统函数。这里包括）利用有限精度算法来实现这个系统函数。这里包括选择运算结构（例如级联型、并联型等），选择合适的选择运算结构（例如级联型、并联型等），选择合适的字长（包括系数的量化，输入变量、中间变量和输出变字长（包括系数的量化，输入变量、中间变量和输出变量的量化），以及选择有效数字的处理方法（舍入、截量的量化），以及选择有效数字的处理方法（舍入、截尾）等。尾）等。（4）采用适当的软件和硬件技术来实现。包括可以采用）采用适当的软件和硬件技术来实现。包

15、括可以采用通用计算机软件或数字滤波器硬件来实现，或者采用二通用计算机软件或数字滤波器硬件来实现，或者采用二者结合的方法来实现。者结合的方法来实现。7.2.2 数字滤波器的基本设计思想数字滤波器的基本设计思想（1）确定数字滤波器的传递函数确定数字滤波器的传递函数H(z)的过程，称为数的过程，称为数字滤波器设计。字滤波器设计。（2）在大多数应用中，关键的问题是用一个可实现的在大多数应用中，关键的问题是用一个可实现的传递函数去逼近给定的滤波器幅度响应指标，而滤波传递函数去逼近给定的滤波器幅度响应指标，而滤波器的相位响应可以通过级联全通滤波器来校正。器的相位响应可以通过级联全通滤波器来校正。（3）在设

16、计数字传递函数）在设计数字传递函数H(z)之前，有两个关键的问之前，有两个关键的问题需要考虑：题需要考虑：分析使用数字滤波器的整个系统的需求，确定分析使用数字滤波器的整个系统的需求，确定合理的滤波器频率响应指标。合理的滤波器频率响应指标。确定所设计的滤波器是确定所设计的滤波器是FIR数字滤波器，还是数字滤波器，还是IIR数字滤波器。数字滤波器。7.2.3 数字滤波器的基本性能指标数字滤波器的基本性能指标符号规则说明：符号规则说明：在数字信号处理中，为了书写方便起见，原来用在数字信号处理中，为了书写方便起见，原来用大写希腊字母表示的数字频率大写希腊字母表示的数字频率，现在用，现在用小写希腊字小写

17、希腊字母母来表示。而模拟频率却用来表示。而模拟频率却用大写希腊字母大写希腊字母表示。表示。（1）理想滤波器的幅频响应）理想滤波器的幅频响应理想滤波器的单位脉冲响应是非因果、无限长序理想滤波器的单位脉冲响应是非因果、无限长序列，在物理上无法实现。现实中，需要指定可接受的列，在物理上无法实现。现实中，需要指定可接受的误差容限，并且在通带和阻带之间指定一个过渡带。误差容限，并且在通带和阻带之间指定一个过渡带。1 0 c cHLP(ej)0 c c1HHP(ej)1 1 c1 c1 c2 c2HBP(ej)1 c1 c1 c2 c2HBS(ej)说明：说明：前面已经证明，数字频率前面已经证明，数字频率

18、具有周期性，且最小周期为具有周期性，且最小周期为2。数字滤波器与模拟滤波器相似，根据幅频响应的特性也可以分数字滤波器与模拟滤波器相似，根据幅频响应的特性也可以分为低通、高通、带通、带阻等类型。为低通、高通、带通、带阻等类型。与模拟滤波器不同之处是，数字滤波器是离散系统，其幅频特与模拟滤波器不同之处是，数字滤波器是离散系统，其幅频特性性|H(ej)|是以是以2为周期的周期函数。因为实数序列的离散时间为周期的周期函数。因为实数序列的离散时间傅里叶变换为偶函数，所以数字低通、高通、带通、带阻等幅频傅里叶变换为偶函数，所以数字低通、高通、带通、带阻等幅频特性都是指数字角频率在特性都是指数字角频率在=0

19、的频率范围之内而言的。在一般的频率范围之内而言的。在一般情况下，情况下，=0为最低数字角频率，为最低数字角频率，=为最高数字角频率。为最高数字角频率。（2）实际低通数字滤波器的典型幅频响应性能指标）实际低通数字滤波器的典型幅频响应性能指标数字滤波器指标：数字滤波器指标：通带：通带：0 pppjpforeH,11阻带：阻带：s ssjforeH,p:通带截止频率通带截止频率(passband edge frequency)s:阻带截止频率阻带截止频率(stopband edge frequency)p:通带波纹通带波纹(peak ripple value in the passband)s:阻带

20、波纹阻带波纹(peak ripple value in the stopband)0 p:峰值通带波纹（峰值通带波纹（Peak passband ripple）s:最小阻带衰减（最小阻带衰减（Minimum stopband attenuation）dBpp1log2010dBss10log20损益函数（损益函数（loss function）：）：dBeHj10log20)(A（3）归一化的（）归一化的（normalized form）低通数字滤波器）低通数字滤波器的典型幅频响应性能指标的典型幅频响应性能指标dB210max1log20dBpp221log2010max211通带幅度的最大值设

21、定为通带幅度的最大值设定为1。最大通带波纹最大通带波纹(maximum passband deviation):最大阻带波纹最大阻带波纹(maximum stopband magnitude):最大通带衰减最大通带衰减(maximum passband attenuation):A1数字滤波器设计，需要将以数字滤波器设计，需要将以Hz为单位的截止频为单位的截止频率，按归一化角频率来设计，需要做如下计算：率，按归一化角频率来设计，需要做如下计算：设设FT为采样频率（为采样频率（Hz），），Fp 和和Fs分别为通带和分别为通带和阻带的截止频率（阻带的截止频率（Hz），则归一化截止角频率为：），则归

22、一化截止角频率为：2ppTFF2ssTFF例：设例：设FT=25kHz,Fp=7kHz,Fs=3kHz,则归一化截止则归一化截止角频率为（角频率为（rad）：）：56.01025107233p24.01025103233s7.3 IIR数字滤波器设计数字滤波器设计IIR数字滤波器的基本设计思想：数字滤波器的基本设计思想：将将IIR数字滤波器的技术指标转换成模拟数字滤波器的技术指标转换成模拟滤波器的技术指标，设计出该模拟滤波器，然滤波器的技术指标，设计出该模拟滤波器，然后再将其转换成后再将其转换成IIR数字滤波器。数字滤波器。7.3.1 IIR数字滤波器的设计原理数字滤波器的设计原理7.3.1.

23、1 IIR数字滤波器的设计步骤数字滤波器的设计步骤（1）按照实际需要确定滤波器的性能要求。）按照实际需要确定滤波器的性能要求。（2）用一个因果稳定系统的）用一个因果稳定系统的H(z)或或h(n)去逼近去逼近这个性能要求。这个性能要求。（3）用一个有限精度的运算去实现这个系统）用一个有限精度的运算去实现这个系统函数。函数。7.3.1.2 IIR数字滤波器的设计方法数字滤波器的设计方法（1）先设计一个合适的模拟滤波器，然后变换）先设计一个合适的模拟滤波器，然后变换成满足预定指标的数字滤波器。成满足预定指标的数字滤波器。（2）由于模拟滤波器的设计理论已经发展得很）由于模拟滤波器的设计理论已经发展得很

24、成熟，模拟滤波器有简单而严格的设计公式，设成熟，模拟滤波器有简单而严格的设计公式，设计起来方便、准确，可以将这些理论推广到数字计起来方便、准确，可以将这些理论推广到数字滤波器的设计，作为设计数字滤波器的工具。滤波器的设计，作为设计数字滤波器的工具。（3）因为数字滤波器在很多场合所要完成的任）因为数字滤波器在很多场合所要完成的任务与模拟滤波器相同，这时数字滤波也可看作是务与模拟滤波器相同，这时数字滤波也可看作是“模仿模仿”模拟滤波器。在模拟滤波器。在IIR滤波器设计中，采滤波器设计中，采用这种设计方法目前最普遍。用这种设计方法目前最普遍。7.3.1.2 根据模拟滤波器设计根据模拟滤波器设计IIR

25、滤波器的原则滤波器的原则利用模拟滤波器设计数字滤波器，就是从利用模拟滤波器设计数字滤波器，就是从已知的模拟滤波器传递函数已知的模拟滤波器传递函数H(s)出发，设计数出发，设计数字滤波器的传递函数字滤波器的传递函数H(z)，这归根到底是一个，这归根到底是一个由由s平面到平面到z平面的映射，这种映射应当遵循两平面的映射，这种映射应当遵循两个基本原则：个基本原则：（1）H(z)的频响要能模仿的频响要能模仿H(s)的频响，即的频响，即s平面平面的虚轴应当映射到的虚轴应当映射到z平面的单位圆上。平面的单位圆上。（2）H(s)的因果性和稳定性应当在映射成的因果性和稳定性应当在映射成H(z)之后保持不变，即

26、之后保持不变，即s平面的左半平面平面的左半平面Res0应应当映射到当映射到z平面的单位圆以内平面的单位圆以内|z|1。下面介绍下面介绍IIR数字滤波器设计的两种常用的映射方法：数字滤波器设计的两种常用的映射方法：（1）脉冲响应不变法）脉冲响应不变法(Impulse Invariance Method)（2）双线性变换法）双线性变换法(Bilinear Transform Method or Tustins Method)所对应的所对应的MATLAB Function分别为：分别为：（1）Function:impinvarDescription:Impulse invariance method

27、 for analog-to-digital filter conversion.（2）Function:bilinearDescription:Bilinear transform method for analog-to-digital filter conversion.具体使用方法参见：具体使用方法参见：MATLAB Signal Processing ToolboxFilter Discretization7.3.2 脉冲响应不变法脉冲响应不变法采用模拟滤波器的理论设计数字滤波器，采用模拟滤波器的理论设计数字滤波器，就是使数字滤波器能够就是使数字滤波器能够“模仿模仿”模拟滤波器的模拟

28、滤波器的特性。这种特性。这种“模仿模仿”可从不同的角度出发。可从不同的角度出发。脉冲响应不变法就是从滤波器的单位脉冲脉冲响应不变法就是从滤波器的单位脉冲响应出发，使数字滤波器的单位脉冲响应序列响应出发，使数字滤波器的单位脉冲响应序列h(n)正好等于模拟滤波器的单位脉冲响应正好等于模拟滤波器的单位脉冲响应h(t)的的采样值，即采样值，即h(n)=h(t)|t=nT，其中，其中T为采样周期。为采样周期。下图为脉冲响应不变法的原理图。下图为脉冲响应不变法的原理图。以以H(s)和和H(z)分别表示分别表示h(t)的拉氏变换和的拉氏变换和h(n)的的z变换，即变换，即H(s)=Lh(t)，H(z)=Zh

29、(n)，下面举例说明如何从下面举例说明如何从H(s)推导和计算出推导和计算出H(z)。脉冲响应不变法的原理：数字滤波器的脉冲响应不变法的原理：数字滤波器的单位脉冲响应序列是模拟滤波器的单位单位脉冲响应序列是模拟滤波器的单位脉冲响应函数的采样值。脉冲响应函数的采样值。(ILT)(Sample)(ZT)H(s)h(t)h(n)H(z)不失一般性，设具有单极点的模拟滤波不失一般性，设具有单极点的模拟滤波器的传递函数器的传递函数H(s)为为 asbsH显然此显然此H(s)的极点为的极点为s=-a。下面推导脉冲响应不变法的映射规律。下面推导脉冲响应不变法的映射规律。对对H(s)进行拉氏反变换，得模拟滤波

30、器进行拉氏反变换，得模拟滤波器的单位脉冲响应函数为的单位脉冲响应函数为 tubesHLthat1以采样间隔以采样间隔T对对h(t)进行等间隔采样，得进行等间隔采样，得数字滤波器的单位脉冲响应序列数字滤波器的单位脉冲响应序列h(n)为为 nTubethnhanTnTt显然此显然此H(z)的极点为的极点为z=e-aT。考察考察H(s)的极点与的极点与H(z)的极点的映射关系，的极点的映射关系，可得脉冲响应不变法的映射规律，就是将可得脉冲响应不变法的映射规律，就是将s平面平面的极点的极点s=-a映射到映射到z平面的极点平面的极点z=e-aT。该映射关。该映射关系就是从拉氏变换到系就是从拉氏变换到z变

31、换的映射关系：变换的映射关系：z=esT本例中的极点：本例中的极点：sTez 对对h(n)进行进行z变换，得数字滤波器的传递函变换，得数字滤波器的传递函数数H(z)为为 101zebznhnhZzHaTnnaTezas说明说明1：从上述的推导过程可以看到，：从上述的推导过程可以看到，s平面的极平面的极点点s=-a映射到映射到z平面的极点是平面的极点是z=e-aT，而，而H(s)与与H(z)中的部分分式所对应的分子部分的系数不变。但中的部分分式所对应的分子部分的系数不变。但应当注意，只有将应当注意，只有将H(s)表示为部分分式形式时，表示为部分分式形式时，这种从这种从H(s)到到H(z)的对应变

32、换关系才成立。的对应变换关系才成立。说明说明2：稳定性分析。如果模拟滤波器：稳定性分析。如果模拟滤波器H(s)是稳是稳定的，则所有极点定的，则所有极点p都应当在都应当在s平面的左半平面，平面的左半平面，即即Rep0，进而可得，进而可得|epT|1，所以变换后的数，所以变换后的数字滤波器字滤波器H(z)的极点的极点epT也都在单位圆以内，因此也都在单位圆以内，因此数字滤波器数字滤波器H(z)是稳定的。是稳定的。说明说明3：脉冲响应不变法的映射规律只考虑极点：脉冲响应不变法的映射规律只考虑极点的映射，并没有考虑零点的映射。或者可以说，的映射，并没有考虑零点的映射。或者可以说，零点的映射没有规律。零

33、点的映射没有规律。虽然脉冲响应不变法能保证虽然脉冲响应不变法能保证s平面与平面与z平面平面的极点位置有一一对应的代数关系，但这并不是的极点位置有一一对应的代数关系，但这并不是说整个说整个s平面与平面与z平面就存在着这种一一对应的关平面就存在着这种一一对应的关系。特别是数字滤波器系。特别是数字滤波器H(z)的零点位置与的零点位置与s平面平面上的零点没有一一对应关系，而是随着上的零点没有一一对应关系，而是随着H(s)的极的极点点p与系数与系数b的不同而不同。的不同而不同。说明说明4：采用脉冲响应不变法设计：采用脉冲响应不变法设计IIR数字滤波数字滤波器，即将模拟滤波器器，即将模拟滤波器H(s)转换

34、为数字滤波器转换为数字滤波器H(z)所完成的从所完成的从s平面到平面到z平面的极点的映射关系，平面的极点的映射关系，就是从拉氏变换到就是从拉氏变换到z变换的映射关系。变换的映射关系。为周期。以且数字频率为线性关系，显然，其中令2)(TTerreeeeezTjTjTTjsTj0TT3T3T)Im(zj)Re(z0s平面，采样间隔为平面，采样间隔为Tz平面平面:映射关系映射关系z=esT的规律：的规律：（1）s平面内每一条宽为平面内每一条宽为2/T的横带部分，的横带部分，都将重叠地映射到都将重叠地映射到z平面的整个平面上。平面的整个平面上。（2）每一条横带的左半部分，映射到）每一条横带的左半部分，

35、映射到z平面平面的单位圆以内。的单位圆以内。（3）每一条横带的右半部分，映射到）每一条横带的右半部分，映射到z平面平面的单位圆以外。的单位圆以外。（4）虚轴映射到单位圆上。）虚轴映射到单位圆上。（5）虚轴上每一段）虚轴上每一段2/T都对应于绕单位圆都对应于绕单位圆一周。一周。例例3：采用脉冲响应不变法设计数字滤波器：采用脉冲响应不变法设计数字滤波器H(z)，已知所对应的模拟低通滤波器的传递，已知所对应的模拟低通滤波器的传递函数函数H(s)为为 3422sssH解：将传递函数解：将传递函数H(s)分解为部分分式之和分解为部分分式之和 31113123422sssssssH该系统有两个极点：该系统

36、有两个极点：s1=-1,s2=-3对上式进行拉氏反变换，得模拟低通滤对上式进行拉氏反变换，得模拟低通滤波器的单位脉冲响应函数为波器的单位脉冲响应函数为 tuetuethtt3对上式进行对上式进行z变换，得数字低通滤波器的变换，得数字低通滤波器的传递函数传递函数H(z)为为根据脉冲响应不变法的基本原理，以采根据脉冲响应不变法的基本原理，以采样间隔样间隔T对对h(t)进行等间隔采样，得数字低通进行等间隔采样，得数字低通滤波器的单位脉冲响应序列滤波器的单位脉冲响应序列h(n)为为 nTuenTuethnhnTnTnTt3 2413131311131310111111111zezeezeezezeze

37、zezezeznhzHTTTTTTTTTTTnn该系统的两个极点分别为：该系统的两个极点分别为：z1=e-T，z2=e-3T从以上推导还可以看出，零点的映射没有规律。从以上推导还可以看出，零点的映射没有规律。模拟滤波器和所对应的数字滤波器的频率模拟滤波器和所对应的数字滤波器的频率特性的表达式和图形分别如下所示。显然从图特性的表达式和图形分别如下所示。显然从图中可以看出，数字滤波器的频率特性与采样间中可以看出，数字滤波器的频率特性与采样间隔隔T有关。如果采样间隔有关。如果采样间隔T越小，即采样频率越小，即采样频率fs越大，则频率特性的衰减就越大，那么频谱的越大，则频率特性的衰减就越大，那么频谱的

38、混叠就越小。混叠就越小。4)3(2)3)(1(2)()(2jjjsHjHjs2433)(1)()()(jTjTTjTTezjeeeeeeeezHeHj 3422sssH 3422sssH 2413131zezeezeezHTTTTT下面对模拟低通滤波器下面对模拟低通滤波器H(s)与数字低通滤波器与数字低通滤波器H(z)的频率特性进行比较，进而分析用于的频率特性进行比较，进而分析用于IIR数字滤数字滤波器设计的波器设计的脉冲响应不变法的特点。脉冲响应不变法的特点。从例从例3可以看出，任何一个实际的模拟滤波器可以看出，任何一个实际的模拟滤波器H(s)，其频率特性都不可能真正是带限的。所以，采，其频

39、率特性都不可能真正是带限的。所以，采用脉冲响应不变法设计用脉冲响应不变法设计IIR数字滤波器数字滤波器H(z)，不可避，不可避免地存在着频谱混叠的情况，如下图所示。这时，数免地存在着频谱混叠的情况，如下图所示。这时，数字滤波器字滤波器H(z)的频率特性将不同于原来的模拟滤波器的频率特性将不同于原来的模拟滤波器H(s)的频率特性，而是具有一定的失真。的频率特性，而是具有一定的失真。如果模拟滤波器如果模拟滤波器H(s)的频率特性在折叠频率的的频率特性在折叠频率的以上部分衰减得越大，则数字滤波器以上部分衰减得越大，则数字滤波器H(z)的频率特性的频率特性的失真就会越小。这时，采用脉冲响应不变法所设计

40、的失真就会越小。这时，采用脉冲响应不变法所设计的的IIR数字滤波器才能得到比较的效果。数字滤波器才能得到比较的效果。)(jeH)(TjH00脉冲响应不变法中的频谱混叠脉冲响应不变法中的频谱混叠20)(sjH这时，数字滤波器这时，数字滤波器H(z)的频率特性才能不的频率特性才能不失真地重现模拟滤波器失真地重现模拟滤波器H(s)的频率特性（存在的频率特性（存在于折叠频率于折叠频率S/2以内）以内）)(1)(TjHTeHj正如采样定理所讨论的，如果模拟滤波器正如采样定理所讨论的，如果模拟滤波器H(s)的频率特性带限于折叠频率的频率特性带限于折叠频率S/2以内，即以内，即采用脉冲响应不变法设计采用脉冲

41、响应不变法设计IIR数字滤波器总结：数字滤波器总结：（1）脉冲响应不变法的一个重要特点是频率坐）脉冲响应不变法的一个重要特点是频率坐标的变换是线性的，即标的变换是线性的，即，其中，其中与与是线是线性关系。因此，如果模拟滤波器的频响带限于折性关系。因此，如果模拟滤波器的频响带限于折叠频率以内，通过变换后数字滤波器的频响可不叠频率以内，通过变换后数字滤波器的频响可不失真地反映原响应与频率的关系。例如，线性相失真地反映原响应与频率的关系。例如，线性相位的贝塞尔低通滤波器，通过脉冲响应不变法得位的贝塞尔低通滤波器，通过脉冲响应不变法得到的仍然是线性相位的低通数字滤波器。到的仍然是线性相位的低通数字滤波

42、器。（2）在某些场合，要求数字滤波器在时域上能）在某些场合，要求数字滤波器在时域上能够模仿模拟滤波器的功能时，例如要实现时域脉够模仿模拟滤波器的功能时，例如要实现时域脉冲响应的模仿，一般采用脉冲响应不变法。冲响应的模仿，一般采用脉冲响应不变法。TjHeHj)()(（3）如果）如果H(s)是稳定的，即其极点在是稳定的，即其极点在s左半平面，左半平面，映射后得到的映射后得到的H(z)也是稳定的。也是稳定的。（4）脉冲响应不变法的最大缺点：有频谱周期）脉冲响应不变法的最大缺点：有频谱周期延拓效应。因此脉冲响应不变法只能用于带限的延拓效应。因此脉冲响应不变法只能用于带限的频响特性，例如衰减特性很好的低

43、通或带通。如频响特性，例如衰减特性很好的低通或带通。如果高频衰减越大，那么频响的混叠效应就越小。果高频衰减越大，那么频响的混叠效应就越小。对于高通和带阻滤波器，由于它们在高频部分不对于高通和带阻滤波器，由于它们在高频部分不衰减，因此将完全混淆在低频响应中。此时，可衰减，因此将完全混淆在低频响应中。此时，可增加一个保护滤波器，滤掉高于折叠频率增加一个保护滤波器，滤掉高于折叠频率S/2的的频带，再用脉冲响应不变法转换为数字滤波器。频带，再用脉冲响应不变法转换为数字滤波器。但这会增加设计的复杂性和滤波器阶数。因此，但这会增加设计的复杂性和滤波器阶数。因此，只有在要求满足频率的线性关系，或者要求保持只

44、有在要求满足频率的线性关系，或者要求保持系统的瞬态响应时，才采用脉冲响应不变法。系统的瞬态响应时，才采用脉冲响应不变法。7.3.3 双线性变换法双线性变换法上述脉冲响应不变法的基本思想是使模拟上述脉冲响应不变法的基本思想是使模拟滤波器与数字滤波器的脉冲响应互相模仿，从而滤波器与数字滤波器的脉冲响应互相模仿，从而达到两者频响之间的互相模仿。达到两者频响之间的互相模仿。双线性变换法的基本思想是使模拟滤波器双线性变换法的基本思想是使模拟滤波器与数字滤波器的输入和输出信号分别互相模仿，与数字滤波器的输入和输出信号分别互相模仿，从而达到频响的互相模仿。从而达到频响的互相模仿。下图为双线性变换法的原理图。

45、下图为双线性变换法的原理图。双线性变换法的原理：对模拟滤波器的输入双线性变换法的原理：对模拟滤波器的输入和输出信号同时进行离散化，即数字滤波器和输出信号同时进行离散化，即数字滤波器的差分方程是模拟滤波器的微分方程的离散的差分方程是模拟滤波器的微分方程的离散化近似。化近似。不失一般性，设具有单极点的模拟滤波器不失一般性，设具有单极点的模拟滤波器的传递函数的传递函数H(s)为为 asbsH显然此显然此H(s)的极点为的极点为s=-a。下面推导双线性变换法的映射规律。下面推导双线性变换法的映射规律。设系统设系统H(s)的输入信号为的输入信号为x(t)，输出信号，输出信号为为y(t)，所对应的拉氏变换

46、分别为，所对应的拉氏变换分别为X(s)和和Y(s)，则有则有 sbXsaYssYasbsXsYsH以采样间隔以采样间隔T对输出信号对输出信号y(t)的一阶导函数的一阶导函数y(t)进行等间隔采样，即当进行等间隔采样，即当t=nT时，得输出信时，得输出信号号y(t)的一阶导函数的一阶导函数y(t)的离散化结果为的离散化结果为对上式进行拉氏反变换，得模拟滤波器对上式进行拉氏反变换，得模拟滤波器（连续时间系统）的微分方程为（连续时间系统）的微分方程为 tbxtaydttdytbxtaydttdy，或 1nTbxnTaynTytydttdynTtnTt 211111TnbxTnayTnytydttdy

47、TntTnt显然，当显然，当t=(n-1)T时，有下式成立时，有下式成立另一方面，根据高等数学的理论，可以将另一方面，根据高等数学的理论，可以将输出信号输出信号y(t)表示为其一阶导函数表示为其一阶导函数y(t)的变上限的变上限积分的形式，即积分的形式，即 ttttttdytydydydyty0000其中其中t0为某一个固定的时刻，则为某一个固定的时刻，则y(t0)为一数值，为一数值，因为因为y(t0)是无穷积分（定积分）的结果。是无穷积分（定积分）的结果。以采样间隔以采样间隔T对由该变上限积分的形式所表对由该变上限积分的形式所表示的输出信号示的输出信号y(t)进行等间隔采样。如果取固定进行等

48、间隔采样。如果取固定时刻时刻t0=t-T，即，即t0与与t相差一个采样间隔相差一个采样间隔T，即，即t0是是t的前一点采样时刻，那么当的前一点采样时刻，那么当t=nT时，有时，有t0=nT-T=(n-1)T。此时可得上述输出信号。此时可得上述输出信号y(t)的离散化结的离散化结果为果为)3(11nTTndyTnynTy 211TTnynTydynTTnTnbxTnaynTbxnTayTTnynTy1121因为采样间隔因为采样间隔T可以足够小，所以可以将上可以足够小，所以可以将上式右端的定积分采用梯形近似法来近似计算，得式右端的定积分采用梯形近似法来近似计算，得作为近似计算，可以将上式取等号，然

49、后代作为近似计算，可以将上式取等号，然后代入（入（3）式，可得数字滤波器（离散时间系统）式，可得数字滤波器（离散时间系统）的差分方程为的差分方程为将式（将式（1）和式（）和式（2）代入上式，得）代入上式，得 TnbxTnaynTbxnTayTdynTTn1121 zXzTbzYzTazzXzTbzYzTazYzzXbzzYazzbXzaYTzYzzY11111111112121121212对上式差分方程的等号两边取对上式差分方程的等号两边取z变换，得变换，得进而可得数字滤波器（离散时间系统）的进而可得数字滤波器（离散时间系统）的传递函数传递函数H(z)为为 azzTbzTazzTbzXzYzH

50、1111111212112 azzTbzXzYzH11112 asbsXsYsH 111211211211zzfzzTzzTss 222222121sfsfsTsTsTsTzss对比对比H(s)与与H(z)，可以看出二者，可以看出二者“双线性双线性”的映射关系：无论是从的映射关系：无论是从s到到z的变量映射，还是的变量映射，还是从从z到到s的变量映射，分子与分母都是变量的线的变量映射，分子与分母都是变量的线性函数。而且此映射为单值映射。性函数。而且此映射为单值映射。11112zzTssHzH下面讨论采用双线性变换法由模拟滤波器下面讨论采用双线性变换法由模拟滤波器H(s)设计数字滤波器设计数字滤