第6章-非线性方程的计算方法课件.ppt
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- 关 键 词:
- 非线性 方程 计算方法 课件
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1、2 Bisection Methodabx1x2abWhen to stop?11xxkk 2)(xf 或或不能保证不能保证 x 的精的精度度x*2xx*6.1.1 Bisection Method误差误差 分析:分析:第第1步产生的步产生的21bax 有误差有误差21abx*|x 第第 k 步产生的步产生的 xk 有误差有误差kkabx*|x2 对于给定的精度对于给定的精度 ,可估计二分法所需的步数可估计二分法所需的步数 k:2lnlnln2abkabk 简单简单;对对f(x)要求不高要求不高(只要连续即可只要连续即可).无法求复根及偶重根无法求复根及偶重根 收敛慢收敛慢 用二分法求根,最好
2、先给出用二分法求根,最好先给出 f(x)草图以确定根的大草图以确定根的大概位置。或用搜索程序,将概位置。或用搜索程序,将a,b分为若干小区间,对每一分为若干小区间,对每一个满足个满足 f(ak)f(bk)0 的区间调用二分法程序,可找出区的区间调用二分法程序,可找出区间间a,b内的多个根,且不必要求内的多个根,且不必要求 f(a)f(b)0。6.1.1 Bisection MethodLab 02.Bisection Method Use the Bisection method to find on m given intervals the m real roots of a given
3、polynomial of degree 5 n m,.InputThere are several sets of inputs.For each set:The 1st line contains an integer n which is the degree of a polynomial.n=1 signals the end of file.The 2nd line contains n+1 real numbers which are the coefficients of the polynomial.The numbers are separated by spaces.Th
4、e 3rd line contains an integer Max and two real numbers eps1 and eps2,where Max is the maximum number of iterations,eps1 is the accuracy bound for x and eps2 is the accuracy bound for p(x).The 4th line contains an integer m(n m 0),followed by m pairs of real numbers a1 b1 am bm which are the end poi
5、nts of the intervals a1,b1 am,bm.0111.)(cxcxcxcxpnnnn 01.cccnOutputEach root is to be printed as in the C fprintf:fprintf(outfile,%12.7f,root);/*hererepresentsaspace*/If there is no root found in an interval,simply print“noroot”.The output of the next set must be printed in a new line.Sample Input(r
6、epresents a space)210 110000.000000010.000000012 2 0.50.523100 110000.000000010.000000012 1002 1Sample Output(represents a space)1.00000001.0000000noroot1.00000006.1.1 Bisection Method6.1.2 迭代法迭代法 /*Fixed-PointIteration*/f(x)=0 x=(x)等价变换等价变换f(x)的根的根(x)的不动点的不动点思思路路从一个初值从一个初值 x0 出发,计算出发,计算 x1=(x0),x2=
7、(x1),xk+1=(xk),若若 收敛,即存在收敛,即存在 x*使得使得 ,且,且 连续,则由连续,则由 可可知知 x*=(x*),即,即x*是是 的不动点,也就是的不动点,也就是f 的根。的根。0kkx*limxxkk 1limlimkkkkxx So basically we are done!I cant believe its so simple!Whats the problem?Oh yeah?Who tells you that the method is convergent?6.1.2 Fixed-Point Iterationxyy=xxyy=xxyy=xxyy=xx*x
8、*x*x*y=(x)y=(x)y=(x)y=(x)x0p0 x1p1 x0p0 x1p1 x0p0 x1p1x0p0 x1p16.1.2 Fixed-Point Iteration定理定理考虑方程考虑方程 x=(x),(x)Ca,b,若若(I)当当 x a,b 时,时,(x)a,b;(II)0 L 1 使得使得|(x)|L 1 对对 x a,b 成立。成立。则任取则任取 x0 a,b,由,由 xk+1=(xk)得到的序列得到的序列 收收敛于敛于(x)在在a,b上的唯一不动点。并且有误差估计式:上的唯一不动点。并且有误差估计式:0kkx|11|*|1kkkxxLxx|1|*|01xxLLxxk
9、(k=1,2,)且存在极限且存在极限 1*lim*kkkxxxxx k6.1.2 Fixed-Point Iteration证明:证明:(x)在在a,b上存在不动点?上存在不动点?令令()()f xxx()axb ()()0,f aaa ()()0f bbb )(xf有根有根 不动点唯一?不动点唯一?反证:若不然,设还有反证:若不然,设还有 ,则,则()xx (*)()()(*),xxxx xx*在在和和之间。之间。*xx()(1()0 x*x 而而|()|1*xx 当当k 时,时,xk 收敛到收敛到 x*?|*|kxx111|(*)()|()|*|kkkxxxx 0|*|.|*|01 xxL
10、xxLkk 6.1.2 Fixed-Point Iteration?|11|*|1kkkxxLxx|*|*|*|*|11kkkkkkxxLxxxxxxxx?|1|*|01xxLLxxkk 111110|()()|()()|.|kkkkkkkkkkxxxxxxL xxLxx 1*lim*?*kkkxxxxx 1*()(*)limlim(*)*kkkkkkkxxxxxxxxx 可用可用 来来控制收敛精度控制收敛精度|1kkxx L 越越 收敛越快收敛越快小小定理条件非必要条件,可将定理条件非必要条件,可将a,b缩小,定义缩小,定义局部收局部收敛性敛性:若在:若在 x*的某的某 领域领域 B =x|
11、x x*|有有 C1a,b 且且|(x*)|1,则由则由 x0 B 开始的迭开始的迭代收敛。即代收敛。即调整初值可得到收敛的结果。调整初值可得到收敛的结果。6.1.2 Fixed-Point IterationAlgorithm:Fixed-PointIterationFind a solution to x=(x)given an initial approximation x0.Input:initial approximation x0;tolerance TOL;maximum number of iterations Nmax.Output:approximate solution
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