欧姆定律的微分形式课件.ppt

1、1、利用汤姆逊定理：静电平衡时，电场能量最小。证明导体球壳，电荷只能分布在外表面，电场能量最小。2、一球形电容器由金属和外面有厚度的同心金属球壳构成，充电后，两极分别带上等量异号电荷。设电荷都是球对称分布的，试证明：只有电荷分布在相向的两个表面上，电场能量最小。3、一金属球外有一同心、有厚度的金属球壳，两者不带电。今将相同电荷Q分别放在球和球壳上。设电荷都是球对称分布的，球上、壳上电荷如何分布，电场能量最小。2012E304QErr1：22000128VVQWdVE dVR若外表面以内有电荷分布：则内部电场不为零。222221010101001142022RRVWE dVEr drE r dr

2、01WWW0WW21230:4QEr RrRr2：若静电平衡时，Q有部分在导体内，-Q有部分在壳体内，还有部分在壳外表面，则球与壳间的电场不变，壳外电场为0，球体内及壳体内电场不为零：2122200200121114248RRQQWr drrRR2002riiVWE dV 若Q，-Q对称分布在相向的两个球表面：1120:,ErR rR2011022iiriE DE 00iWWWW3壳内表面：-Q球表面：Q壳外表面：2Q球上均匀分布电荷对球外电场没有影响电荷在球表面分布时，球内电场为0，能量最低壳上均匀分布电荷对壳外电场没有影响在壳内表面以内产生电场为0壳体电场为0时，能量最低1 1 电流和电流

3、密度电流和电流密度2 2 稳恒电流稳恒电流3 3 欧姆定律和焦耳定律的微分形式欧姆定律和焦耳定律的微分形式4 4 电动势电动势5 5 金属导体的经典电子理论金属导体的经典电子理论一、电流强度一、电流强度1.电流电流形成条件1)导体内可以自由运动的电荷；2)推动电荷作定向流动的电场或某种非静电力。2.电流强度大小：单位时间通过导体某一横截面的电量。方向：正电荷运动的方向，沿电场方向，从高电势流向低电势。单位：安培 AtqtqItddlim0二、电流密度二、电流密度1.电流密度电流密度矢量：描写空间各点电流大小和方向的物理量。某点的电流密度方向：该点正电荷定向运动的方向。大小：通过垂直于该点正电荷

4、运动方向的单位面积上的电流强度。SIjdd电流场：导体内每一点都有自己的j，j=j(x,y,z)dSdS n电流线电流线单位：安培/米2，A/m22.电流密度和电流强度的关系1)通过面元dS 的电流强度SjSjSjIdcosddd电流强度是通过某一面积的电流密度的通量。2)通过电流场中任一面积S 的电流强度SSjId三、电流的连续性方程三、电流的连续性方程0dSSj电荷的运动可形成电流，也可引起空间电荷分布的变化。由电荷守恒定律，单位时间内由S 流出的净电量应等于S 内的电量的减少。电流连续性方程：若（流入正电荷流出正电荷）面内正电荷增加（流出正电荷流入正电荷）面内正电荷减少则0dSSjStq

5、 0dd内Stq 0dd内若则电流的连续性方程电流的连续性方程负号表示减少（微分形式）sdqj dsdt 积分形式sVVjj dsdqddVdVtt()0jt 一、稳恒电流一、稳恒电流二、稳恒条件二、稳恒条件0ddtq内稳恒条件：1.稳恒条件则在电流场内作一任意闭合S 面，有若电流场内 不随时间t 变 要求空间电荷分布不随时间t 变j电流场中每一点的 的大小和方向均不随时间改变。j0dSSj稳恒电流的闭合性：（微分形式）sdqj dsdt 积分形式0jt 0t 0j0sj ds 稳恒条件稳恒电流线是连续的闭合曲线电流线管一、欧姆定律的微分形式一、欧姆定律的微分形式在导体的电流场中设想取出一小圆

6、柱体（长dl，横截面dS）dU 小柱体两端的电压；dI 小柱体中的电流强度由欧姆定律RIU dd)d/d(dEdSlSjlEj)/1(EjdSdl jdU电导率：1导体中任一点电流密度的方向（正电荷运动方向）和该点场强方向相同，有 欧姆定律的微分形式。Ej二、焦耳定律的微分形式二、焦耳定律的微分形式在导体内取一小柱体dSdl jdUEdI小柱体的发热功率体dVjEljjESjlESjUIPd)/()d()d()d(ddd由jEVPw体ddEj有22jwE焦耳定律的微分形式对导体内任一点2Ew一、基本概念一、基本概念1.自由电子气金属导体具有晶体结构，正离子排列成整齐的空间点阵。自由电子在点阵间

7、热运动，运动图象与容器中的气体分子的热运动相似。金属中自由电子的整体 自由电子气。古典电子论的基本观点：气体分子运动论的规律同样适应于金属中的自由电子气。2.金属导体中电流形成的微观过程1)金属中无电场时2)金属中存在电场时电子受电场力 在热运动基础上叠加一定向运动（漂移运动）。自由电子速度=热运动速度+定向速度自由电子平均速度=定向速度平均值（漂移速度）大量电子的漂移运动 形成金属中的电流E漂移方向漂移方向3.电流密度和漂移速度的关系设导体内某点处自由电子数密度 n)(Stnueqt 时间内穿过左端面的电量的大小电流强度电流密度tqI/neuSIjunejj在该点附近取小圆柱体（截面垂直）S

8、 j uu t二、由古典电子论推导欧姆定律二、由古典电子论推导欧姆定律1.推导欧姆定律微分形式设导体内有电场E每个自由电子受力Eef 加速度mEea由于电子与点阵碰撞，电子不能一直加速，电子定向速度增加受到限制。由于热运动速度 定向速度电子与点阵碰撞所受冲力 电场力设两次碰撞间电子平均自由飞行时间为下次碰撞前的定向速度u0=0ut 某次碰撞某次碰撞下一次碰撞下一次碰撞碰撞后电子向各方向运动概率相等 每次碰撞后瞬间平均而言，定向速度为零，即此后运动中的定向初速度 u0=0EmeautEmeuuut220内平均定向速度，即漂移速度有Emnej22由unej可见电导率mne222.古典电子论的困难上

9、式中可近似写作vv 平均自由程 和 T 无关 热运动平均速率 T1/2 有211T电阻率21T这就定性说明了 随T 增加的事实。但实验指出，对大多数金属，T例：铜线中有电流密度：2.4A/mm2,自由电子数密度：n=8.4X1028m3,求自由电子的漂移速度。近代物理学指出，只有根据量子力学来研究金属导电时，才能得到与实验一致的结果。41 8 10./jum sne 01()t 电场很大：()EJ与E是非线性的非线性元件：低电压：平均自由程很长()nn EJ与E是非线性的超导体：稳恒电流电场性质 电流是闭合的。0sJds 电荷密度不随时间变化。0t 稳恒电流电场：环路定理、高斯定理成立。欧姆定

10、律成立的导体：内部电场：JE 0ssJdsEds 0sEds 0Q 当闭合曲面S上各点电导率都相等时，S内全部电量代数和等于零。均匀导体的内部12nnjj 界面上出现宏观的面电荷分布。电导率不同的两种导体的分界面：1122nnEE 12nnEE 一侧绝缘体：10nE 导体侧电场与界面平行。弯曲导线内部电场始终沿导线方向两同轴长园柱形铜管间填滿石墨。求管间电阻。导体表面可以有面电荷：导体外侧电场有垂直分量。r1r2EU1U22211121lnrrrrrUEdrkdrkrr21()/(ln)rE rUrr 221/(ln)rIL Ur 221/(ln)/()rRU ILr 石墨电阻率大于铜的千倍稳

11、恒电路中接入铜球，分析发热情况。限流电阻位置关系分析。AB间总电阻为1欧姆，求未知电阻。ABcdefgh11111xxxxx1x一、非静电力一、非静电力凡电源内部都有非静电力；非静电力使正电荷由负极经电源内部到达正极。FKq 非单位正电荷所受的非静电力引入：非静电力场强普遍形式欧姆定律：普遍形式欧姆定律：F非非RI()jKE 把单位正电荷经电源内部由负极移向正极过程中，非静电力所作的功()dKl 若电动势存在于整个电流回路L，可写作dLKl 把电荷q 由负极移向正极（经电源内部）非静电力作功()()ddAFlqKl非非电动势qA非单位：伏特IrUUIr路端电压：UUU断路：UUUEdlKdl

12、放电：jKE充电：IrIR例：20A充电，U12.30V；12A放电,U2=1.98V,求电动势，内阻。一、化学电池一、化学电池 chemical cell电极电极：将金属放入对应的溶液后所组成：将金属放入对应的溶液后所组成的系统。的系统。化学电池化学电池：由两支电极构成的系统；化：由两支电极构成的系统；化学能与电能的转换装置；学能与电能的转换装置；电化学分析法中涉及到两类化学电池：电化学分析法中涉及到两类化学电池：原电池原电池：自发地将化学能转变成电能；：自发地将化学能转变成电能；电解电池电解电池：由外电源提供电能，使电流：由外电源提供电能，使电流通过电极，在电极上发生电极反应的装通过电极，

13、在电极上发生电极反应的装置。置。电池工作时，电流必须在电池内部和外电池工作时，电流必须在电池内部和外部流过，构成回路。部流过，构成回路。溶液中的电流溶液中的电流：正、负离子的移动。：正、负离子的移动。原电池原电池阳极：发生氧化反应的电极（负极）；阴极：发生还原反应的电极（正极）；阳极正极阴极负极电极电位较高的为正极1.1.平衡电极电位平衡电极电位 可以将金属看成离子和自由电子构成。以锌-硫酸锌为例 当锌片与硫酸锌溶液接触时，金属锌中Zn2+的化学势大于溶液中Zn2+的化学势，则锌不断溶解到溶液中，而电子留在锌片上。结果：金属带负电，溶液带正电；形成双电层。双电层的形成建立了相间的电位差；电位差

14、排斥Zn2+继续进入溶液；金属表面的负电荷又吸引Zn2+；达到动态平衡，相间平衡电位 平衡电极电位。丹聂耳（Danill）原理 电极：Cu,Zn 溶液:CuSO4,ZnSO4 导电离子:Cu2+,Zn2+,SO42-UAUDUCUB充电过程：UAUDUCUB放电过程：温差电现象温差电现象CuFeII热热接接头头冷冷接接头头 1.温差电动势：温差电动势：两种金属接成一个两种金属接成一个回路若两个接头处的温度不同则回回路若两个接头处的温度不同则回路中形成温差电动势。路中形成温差电动势。2.温差电动势产生的原因：温差电动势产生的原因：1）在同种金属中温差形成自由电子的热扩散（汤姆孙）在同种金属中温差

15、形成自由电子的热扩散（汤姆孙 Thomon 电动势）电动势）2）不同金属中由电子浓度不同在接头处产生与温度有关）不同金属中由电子浓度不同在接头处产生与温度有关的扩散的扩散 （珀耳帖（珀耳帖 Peltier 电动势）电动势）BAEKUAUBUAUB电势电势nAnB珀耳帖珀耳帖 Peltier 电动势电动势BiSb冰水电流非静电力对电流做功正功吸热负功放热lnAABBnKTen同一温度下闭合回路的总电动势？温差电现象温差电现象 一般一般 mV/100 C。T2T1 待测待测已已知知恒恒温温（测（测）电电位位差差计计ABCBiSb 10-2V/100 C。（铋）（铋）（锑）（锑）温差电动势的应用温差

16、电动势的应用:1）热电偶热电偶优点：优点：热容小热容小 灵敏度高灵敏度高(10-3 0C)可逐点测量可逐点测量 测小范围内温度变化测小范围内温度变化测温范围大（测温范围大（-2000C20000C）便于自动控制便于自动控制0()ABABTT塞贝克系数温差电现象温差电现象扫描热显微镜扫描热显微镜压电控制装置压电控制装置钨钨镍镍绝缘体绝缘体通向电子装置通向电子装置芯片芯片温差电现象温差电现象扫描热显微镜简介扫描热显微镜简介性能：性能：热探针针尖直径只有约热探针针尖直径只有约30nm，可在数十纳米的尺度上，可在数十纳米的尺度上，测出万分之一度的温度变化。测出万分之一度的温度变化。工作原理：工作原理：

17、通电流使探针加热并接近试样表面通电流使探针加热并接近试样表面针尖和被测表面距离针尖和被测表面距离 针尖散热针尖散热 温度温度；针尖和被测表面距离针尖和被测表面距离 针尖散热针尖散热 温度温度 由此可反映出探由此可反映出探针尖与试样表面间隙的大小。针尖与试样表面间隙的大小。当探针在试样表面上扫描时，就能测出试样表面的起伏状况。当探针在试样表面上扫描时，就能测出试样表面的起伏状况。0.6V 5cm2 0.1A核能放出粒子（2e)()12ABkUUEe()kE:粒子动能()65,2.5 10kEMeVV电路中电流I与电阻无关，与放射源的强度有关61122103.2 10IesA复杂电路基本概念节点：

18、三条或更多条支路的联接点支路：电源和电阻串联而成的通路回路：几条支路构成的闭合通路I1I2I3A典型问题：1.已知电源电动势、内阻、电阻求支路电流2.已知电流求电阻或电动势理论基础：稳恒电流条件0sdj流向节点电流为负 流出节点电流为正汇于节点的各支路电流代数和为0.N个节点 N-1个独立方程理论基础：环路定理0LEdl 电位从高到低，电位降为正电位从低到高，电位降为负沿回路一周，电位降落的代数和为0.电源：正到负，电位降为正 负到正，电位降为负电阻：沿电流方向看去，电位降为正 逆电流方向看去，电位降为负例题例题：下图是一个电桥电路，其中G为检流计（内阻为Rg），求通过检流计的电流Ig与各臂阻

19、值R1、R2、R3、R4的关系（电源内阻可忽略，为已知）。GR4R3R2R1I2I1II21II21IgABCDgR解：标定各支路电流的方向如图，这里有Ig、I1、I2三个未知变量，我们相应的列出三个方程来：（所谓“桥”指的就是对角线BD）.0IABCEFA;0,BCDB0 ABDA,311142312211RIIRRIRIIRIIRIRIRIggggggg，回路回路；回路整理后得到：.0033114342312211RIRRIRRRIRIRIRIRIRIggggg；ggI其中：3314343210RRRRRRRRRRRgg3241314321000RRRRRRRRRRg由此可知，当R2R3-

20、R1R4=0时即：时，Ig=0，电桥平衡；反之，当电桥平衡时，Ig=0，因此上式是电桥平衡的充要条件。用平衡电桥测量电阻时，误差的来源主要有二：（1）检流计不够灵敏带来的误差；（2）其他电阻不够准确引起的误差。因此，从误差的来源看，只要检流计和电阻选得合适，用这种方法测电阻可以有很高的准确度。4321RRRR例题例题：下图是电位差计的原理图，求待测电池的电动势X。.G(a)x0GxABCR(b)分析：电位差计是用来准确测量电源电动势的仪器，也可以用它准确地测量电压、电流和电阻。我们知道直接用伏特计测量电源电动势是不准确的。要准确的测量一个电源的电动势，必须在没有任何电流通过该电源的情况下测定它

21、的路端电压。解决这个问题的办法就是利用补偿法补偿法。补偿法的原理见图（a），当调节电动势0的大小，使检流计的指针不偏转时，得X=0，这时，我们称电路达到平衡，知道了平衡状态下0的大小，就可以测定x 为了得到准确、稳定、便于调节的0，实际中采用电路图（b），供电电源、制流电阻R和电阻AB所组成的回路，叫做辅助回路辅助回路，它实质上是一个分压器，UAC就是用来代替可调电动势0的。AXGC一段支路叫做补偿回路补偿回路，它和（a）中的X和G所组成的一段相当，当拨动滑动接触头C，找到一个位置，使G的指针不发生偏转，这时x=UAC=IRAC,I表示流过滑线电阻AB的电流，通常叫做辅助回路的工作电流工作电流

22、。电位差计就是根据上述补偿原理来测定电动势的。要准确的测定电动势x，就要准确测定平衡时AC一段的电阻RAC和辅助回路的工作电流I。在实际的电位差计中，滑线电阻由一系列标准电阻串联而成，所以RAC无需测量，而工作电流I出于设计和使用的考虑，总是标定为一定数值I0（学生式电位差计中工作电流I标定为0.010A）。这样做的好处是电位差总是在统一的工作电流I0下达到平衡，由 可知，这时电阻值和电动势就存在着一一对应的关系，从而可以把待测电动势的数值一一地直接标刻在各段电阻上，即无需计算就可直接读数。因此,要准确地测量电动势，首先就得调节制流电阻R使工作电流准确地达到标定值I0,这一步工作叫做电位差计的

23、校准。ACRI00 在实际的电位差计中，校准和测量采用的是同一个电路，如图（C）所示，图中S是标准电池，它的电动势是很稳定的，而且准确地已知（镉汞电池的电动势是1.0186伏）。校准时K拨到位置“1”，测量时K拨到位置“2”。GxABCR。12Ks(c)II1I2r0rx校准时，即把标准电池接入补偿回路。把滑动接头C拔到对应于标准电池电动势熟知的位置上，观察检流计G的指针有无偏转。如果检流计G的指针有偏转，则表明这时工作电流I偏离标定值。于是，调节制流电阻R,直到检流计G的指针没有偏转，即电流达到平衡。这时，工作电流准确地达到标定值，校准工作就完成了。测量时，即把待测电源接入补偿回路。这时不应再动制流电阻R,而只需拨动滑动接头C，找到平衡位置，就可以从仪器的面板上直接读出待测电动势的数值。总结上面所说，使用电位差计时，总是先校准后测量，不论校准或测量，所根据的都是同样的补偿原理。用电位差计测量电源电动势，要求标准电阻的阻值和标准电池的电动势都很准确，如果再选用高灵敏度的检流计，那么测量结果就可以有很高的准确度。基尔霍夫方程组I、U正负问题：I0,实际电流与标定电流一致I0,沿标定方向看去电位下降U0,沿标定方向看去电位上升0I()()0UIR期中考试（电学部分）稳恒磁场