清华第五版数值分析第5章课件.ppt
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- 清华 第五 数值 分析 课件
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1、 第五章第五章 线性代数方程组的数值解法线性代数方程组的数值解法 ,0,X,.11ijn nTAXbAAT nna,),)(x(bxbb 矩矩阵阵表表示示记记为为这这里里我我们们假假设设11112211211222221122 nnnnnnnnnnna xa xa xba xa xa xba xa xa xb 阶阶线线性性方方程程组组:引言引言 关于线性方程组的数值解法一般有两类。关于线性方程组的数值解法一般有两类。直接法直接法:经过有限步算术运算,可求得方程组:经过有限步算术运算,可求得方程组的精确解的方法(若在计算过程中没有舍入误的精确解的方法(若在计算过程中没有舍入误差)差).代表性的算
2、法是高斯代表性的算法是高斯(Gauss)(Gauss)消去法。消去法。计计算代价高算代价高.迭代法:迭代法:用某种极限过程去逐步逼近线性方程用某种极限过程去逐步逼近线性方程组精确解的方法组精确解的方法.简单实用。简单实用。思思路路首先将首先将A通过通过初等行变换初等行变换化为化为上三角阵上三角阵,此此过程称为过程称为消去过程消去过程,再求解如下形状的方,再求解如下形状的方程组,此过程称为程组,此过程称为回代求解回代求解。5.1 高斯消去法高斯消去法=,.,n,iubxu.bxu.xubxu.xuxuiinnnnnnnn2102222211212111 其中,其中,12,.11,ni)/uxu(
3、bx/ubxiinijjijiinnnn 上三角方程组的回代上三角方程组的回代求解求解:二二 高斯消去法步骤如下:高斯消去法步骤如下:第一步:第一步:niiaaai,2,1,0)1()1()1(11111 行行第第行行第第当当 )1()1()1()1()1()1(2)1()1()1()1()1()1(2122221111211nnnnbaaabaaabaaannn )2()2()2(2)2(2)2(2)2(22)1()1()1()1(00111211nnnnnbaabaabaaan),.,2(),.,2;,.,2(1)1(1)1()2()1(11)1()2(nimbbbnjniamaaiiij
4、iijij niaamii,.,3,2,)1(11)1(11 令令则则设设 Ax=b.记记A(1)=A b(1)=b第二步:第二步:niiaaai,3,2,0)2(22)2(2)2(22 行行第第行行第第当当 )(n)(nn)(n)()(n)()()(n)()(nbaabaabaaabaaaa333333333332222223222(1)1(1)1(1)13(1)12(1)1100000 )(n)(nn)(n)()(n)(nbaabaabaaa22222222222(1)1(1)1(1)12(1)1100)3()33(2222322223n,.,ibmbbn,.,j;n,.,iamaa)(i
5、)(i)(i)(ji)(ij)(ij niaamii,.,3,2,)2(22)2(22 令令则则 重复上述过程重复上述过程,最后得最后得 )n(n)k(k)()()n(nn)k(kn)k(kk)(n)()(n)()()n()n(b.b.bba.a.a.a.aa.aabA22112222211112111)n()n(bx A再再解解原方程组的同解方程组原方程组的同解方程组 n,.,ki,aam)k(kk)k(ikikn,.,ki,bmbbn,.,kj;n,.,ki,amaan,.,k)k(kik)k(i)k(i)k(kjik)k(ij)k(ij111112111 其中其中对于对于Gauss Ga
6、uss 消去法消去法(1)(1)(1)(1)11112211(2)(2)(2)22222()()()01 2nnnnnnnnnniiia xa x.a xbax.axb.axba,i,.,n其中,()()()()()11,.2 1nnnnnnniiiiiijjiij ixb/ain,x(ba x)/a 上三角方程组的回代上三角方程组的回代求解求解:定理:定理:若若A的各阶的各阶顺序主子式不等于顺序主子式不等于0,则高斯消,则高斯消去法能顺序进行消元,得到唯一解。去法能顺序进行消元,得到唯一解。iiiiiaaaaA.)det(1111 高斯消去法条件(高斯消去法适用范围)证明:高斯消去法能进行下
7、去的充要条件是而消元过程不会改变顺序主子式的值。所以解的唯一性又要求(1)(2)()1122det()iiiiAa aaL()0iiia()1det()/det()iiiiiaAA(1,1)inL|0A 高斯消去法存在的问题:高斯消去法存在的问题:2.2.如果某个如果某个 ,但很小,会引入较大的误差。但很小,会引入较大的误差。1.1.在高斯消去法消去过程中可能出现在高斯消去法消去过程中可能出现 的情况,这时高斯消去法将无法进行的情况,这时高斯消去法将无法进行()0kkka()0kkka:消消元元因因子子)(k(kkkikikaam 三三 高斯列主元消去法高斯列主元消去法 nnnnnnn)()(
8、baaabaaabaaab,Ab,AbAX2122222111121111 的增广矩阵为的增广矩阵为设方程组设方程组具体步骤为:具体步骤为:然后进行消元,得然后进行消元,得行,行,行和第行和第交换第交换第第一步:选第一步:选1111,1,max1iaainii 基本思想基本思想:在每轮消元之前,选列主元素:在每轮消元之前,选列主元素(绝对值最大的元素)(绝对值最大的元素))(n)(nn)(n)()(n)()()(n)()()()(baabaabaaab,A22222222222111111211122.,2,)3()3(2)2(22)2(2,max2bAiaainii然然后后进进行行消消元元,
9、得得行行,行行和和第第交交换换第第第第二二步步:选选 )2()2()2(2)2(2)2(2)2(2211121100nnnnnnbaabaabaaa以第二步为例以第二步为例:挑选从第二行开始挑选从第二行开始的第二列中的最大的第二列中的最大元素元素,交换行将其变交换行将其变为主元为主元.kik,aakk)k(knnik)k(k,imaxk次消元次消元然后进行第然后进行第行,行,行和第行和第交换第交换第步:选步:选第第 如此至多经过如此至多经过n-1n-1步步,就得到与之同解的上三角形方就得到与之同解的上三角形方 程组的增广矩阵程组的增广矩阵,再用回代过程即可得方程组的解再用回代过程即可得方程组的
10、解.12324 6349 2511 34xxx 例:用Gauss列主元消去法解方程组24 6 349 2 549 2 524 6 311 3 411 3 4 解:49 2511052255 110424 49 2555 110424110522 492555110424300 45 12rr2112rr3114rr23rr3225rr12313953,20220 xxx 回代求解得:高斯列主元消去法的适用范围 定理:系数矩阵非奇异,这高斯列主元消去法可行。高斯消元法每一消元步骤相当于对系数矩阵左乘一个行初等矩阵,具体为nnI 111nnmE 111212nnmE 1111313第一行乘第一行乘
11、 m21加到第二行加到第二行nnI 111第一行乘第一行乘 m31加到第三行加到第三行nnnnmE 1111nnI 111第一行乘第一行乘 mn1加到第加到第n行行记记 L1=EnE3E2 高斯消元法第一步:高斯消元法第一步:n,irmrii32)(11 )1()1()1()1()1()1(2)1()1()1()1()1()1(2122221111211nnnnbaaabaaabaaannn )2()2()2(2)2(2)2(2)2(22)1()1()1()1(00111211nnnnnbaabaabaaan等价于等价于L1A(1)=A(2),L1b(1)=b(2)A(1)b(1)A(2)b(
12、2)1001001121nmm)()(iiaam111111 令令高斯消元法的矩阵形式高斯消元法的矩阵形式 )3()3()3(3)3(3)3(3)3(33)2(2)2(2)2(23)2(221113121100000nnnnnnnbaabaabaaabaaaa )2()2()2(2)2(2)2(2)2(22)1()1()1()1(00111211nnnnnbaabaabaaanA(2)b(2)A(3)b(3)n,irmrii43)(22 )()(iiaam222222 令令第二步消元第二步消元等价于等价于L2A(2)=A(3),L2b(2)=b(3)100010001000012322.m.m
13、.Ln其中其中Lk A(k)=A(k+1),Lkb(k)=b(k+1)一般第一般第k步消元的矩阵表示为步消元的矩阵表示为Lk=1.11,1knkkmm 其中其中 1kL,1.11,1knkkmm Ua.a.aa.aaa.aaaALL.LL)n(nn)(n)()(n)()()(n)()()(nn 0000003333322223222111131121111221最最后后可可得得A(n)为上三角阵为上三角阵为单位下三角阵,为单位下三角阵,其中其中所以所以U1.111.).(1213231211112121111221LLUUmmmmmmULLLLULLLLAnnnnnnnn L 为单位下三角阵而
14、为单位下三角阵而 U 为为一般一般上三角阵的分解称上三角阵的分解称为为Doolittle 分解分解(2)L 为一般下三角阵而为一般下三角阵而 U 为为单位单位上三角阵的分解称为上三角阵的分解称为Crout 分解分解。基于这些想法我们得到下面的三角分解解线性方程组的方法基于这些想法我们得到下面的三角分解解线性方程组的方法 L5.2 矩阵的三角分解法矩阵的三角分解法一一 矩矩阵的三角分解阵的三角分解 若矩阵若矩阵A有分解:有分解:A=LU,其中,其中L为下三角阵,为下三角阵,U为上三角阵,则称该分解为为上三角阵,则称该分解为A的的LU分解。分解。若矩阵若矩阵A有分解有分解A=LU,则解线性方程组,
15、则解线性方程组 就等价于求解就等价于求解Ax b()LybL UUxyxb当系数矩阵当系数矩阵A相同,有很多不同的右端向量时,相同,有很多不同的右端向量时,用此方法很有效。如求用此方法很有效。如求即求方程即求方程的解,用此法很合适。的解,用此法很合适。下面看什么情况下,可对系数矩阵做三角分解。下面看什么情况下,可对系数矩阵做三角分解。-1A(1,2,)iAxe inL三角分解的存在唯一性定理 定理。分解,且分解是唯一的分解,且分解是唯一的必可作必可作则方阵则方阵零,即零,即的各阶顺序主子式不为的各阶顺序主子式不为阶方阵阶方阵如果如果LUAAaaaaa,0,0,0An2221121111 引理:
16、若 则()ijALUUu1122det()(1,)iiiAu uu inLL存在唯一性证明证明:存在性:高斯消去法能进行下去,则三角分解存在。唯一性:设则下三角阵=上三角阵,所以所以1122ALUL U111212L LU U111212L LU UI1212LLUU,4L Un 此此分分解解在在于于如如何何算算出出的的各各元元素素,以以为为例例 000000 1010010001 4434334423221413121143424132312144434241343332312423222114131211uuuuuuuuuullllllaaaaaaaaaaaaaaaauululululul
17、ululululuululuulululululuuluuluululuuuu4434432442144133432342134122421241114134243214313323321331223212311131241421231321221221112114131211 二二 矩矩阵的直接三角分解阵的直接三角分解直接计算直接计算 A 的的 LU 分解分解(例例)(续)(续)uulululululululululuululuulululululuuluuluululuuuu4434432442144133432342134122421241114134243214313323321331
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