2020年山东省高考数学模拟试卷（8）.docx

1、 第 1 页（共 20 页） 2020 年山东省高考数学模拟试卷（年山东省高考数学模拟试卷（8） 一选择题（共一选择题（共 8 小题，满分小题，满分 40 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）已知全集 UR，集合 Mx|3x1，Nx|x|1，则阴影部分表示的集 合是（ ） A1，1 B （3，1 C （，3）（1，+） D （3，1） 2 （5 分）已知复数2 = 1 ，其中， ，是虚数单位，则|a+bi|（ ） A1+2i B1 C5 D5 3 （5 分） （x22x3） （2x1）6的展开式中，含 x3项的系数为（ ） A348 B88 C232 D612 4 （5 分）已知

2、等差数列an的公差为 d，前 n 项和为 Sn，则“d0”是“S3+S52S4”的 （ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分又不必要条件 5（5 分） 已知定义在 R 上的函数 f （x） 的周期为 4， 当 x2， 2） 时， () = (1 3) 4， 则 f （log36）+f（log354）（ ） A3 2 B3 2 32 C 1 2 D2 3 + 32 6 （5 分）在平行四边形 ABCD 中， + =（ ） A2 B0 C2 D2 7 （5 分）现有一个封闭的棱长为 2 的正方体容器，当水平放置时，如图，水面的高度正好 为棱长的一半若将该正方体绕下底面

3、（底面与水平面平行）的某条棱任意旋转，则容 器里水面的最大高度为（ ） 第 2 页（共 20 页） A1 B2 C3 D22 8 （5 分）抛物线 y22px（p0）的焦点为 F，准线为 l，A，B 是抛物线上的两个动点， 且满足AFB= 2 3 设线段 AB 的中点 M 在 l 上的投影为 N， 则| | 的最大值是 （ ） A3 B 3 2 C 3 3 D 3 4 二多选题（共二多选题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 9 （5 分）某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分 布饼状图、90 后从事互联网行业岗位分布条形图，

4、则下列结论正确的是（ ） 注：90 后指 1990 年及以后出生，80 后指 19801989 年之间出生80 前指 1979 年及以 前出生 A互联网行业从业人员中从事技术和运营岗位的人数占总人数的三成以上 B互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的 20% C互联网行业中从事运营岗位的人数 90 后比 80 前多 D互联网行业中从事技术岗位的人数 90 后比 80 后多 10 （5 分）某大学为了解学生对学校食堂服务的满意度，随机调査了 50 名男生和 50 名女 生，每位学生对食堂的服务给出满意或不满意的评价，得到如图所示的列联表经计算 K2的观测值 k4.762，则可以推断出（ ）

5、满意 不满意 男 30 20 女 40 10 第 3 页（共 20 页） P （k2k） 0.100 0.050 0.010 k 2.706 3.841 6.635 A该学校男生对食堂服务满意的概率的估计值为3 5 B调研结果显示，该学校男生比女生对食堂服务更满意 C有 95%的把握认为男、女生对该食堂服务的评价有差异 D有 99%的把握认为男、女生对该食堂服务的评价有差异 11 （5 分）已知空间中不同直线 m、n 和不同平面 、，下列命题中是真命题的是（ ） A若 m、n 互为异面直线，m，n，m，n，则 B若 mn，m，n，则 C若 n，m，则 nm D若 ，m，nm，则 n 12 （5

6、 分）下列判断正确的是（ ） A命题 p： “x0，使得 x2+x+10“，则 p 的否定： “x0，都有 x2+x+10” BABC 中，角 A，B，C 成等差数列的充要条件是 B= 3 C线性回归直线 = + 必经过点（x1，y1） ， （x2，y2） ，（xn，yn）的中心点（，） D若随机变量 服从正态分布 N（1，2） ，P（4）0.79，则 P（2）0.21 三填空题（共三填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）已知 = 3 4，( + ) = 1 4，则 tan 14 （5 分）一个房间的地面是由 12 个正方形所组成，如图

7、所示今想用长方形瓷砖铺满地 面，已知每一块长方形瓷砖可以覆盖两块相邻的正方形，即或，则用 6 块瓷砖铺满房间地面的方法有 种 15 （5 分）学校准备从甲、乙、丙三位学生中随机选两位学生参加问卷调查，则甲被选中 的概率为 第 4 页（共 20 页） 16 （5 分）过点 M（m，0） （m0）的直线 l 与直线 3x+y30 垂直，直线 l 与双曲线 ： 2 2 2 2 = 1(0，0)的两条渐近线分别交于点 A，B，若点 P（m，0）满足|PA| |PB|，则双曲线 C 的渐近线方程为 ，离心率为 四解答题（共四解答题（共 6 小题，满分小题，满分 70 分）分） 17 （10 分）等差数列

8、an的前 n 项和为 Sn，a33，S410 （1）求an的通项公式； （2）设= 1 ，求数列bn的前 n 项和 Tn 18 （12 分）在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 8cos2+ 2 2cos2A3 （1）求 A； （2）若 a2，且ABC 面积的最大值为3，求ABC 周长的取值范围 19 （12 分）在四边形 ABCP 中， = = 2， = 3 ， = = 2；如图，将PAC 沿 AC 边折起，连结 PB，使 PBPA，求证： （1）平面 ABC平面 PAC； （2）若 F 为棱 AB 上一点，且 AP 与平面 PCF 所成角的正弦值为 3 4 ，求二面

9、角 FPC A 的大小 20 （12 分）为了解甲、乙两个快递公司的工作状况，假设同一个公司快递员的工作状况基 本相同，现从甲、乙两公司各随机抽取一名快递员，并从两人某月（30 天）的快递件数 记录结果中随机抽取 10 天的数据，整理如下： 甲公司员工 A：410，390，330，360，320，400，330，340，370，350 乙公司员工 B：360，420，370，360，420，340，440，370，360，420 每名快递员完成一件货物投递可获得的劳务费情况如下： 甲公司规定每件 0.65 元，乙公司规定每天 350 件以内（含 350 件）的部分每件 0.6 元超 出 350

10、 件的部分每件 0.9 元 （1）根据题中数据写出甲公司员工 A 在这 10 天投递的快件个数的平均数和众数； 第 5 页（共 20 页） （2）为了解乙公司员工 B 每天所得劳务费的情况，从这 10 天中随机抽取 1 天，他所得 的劳务费记为 （单位：元） ，求 的分布列和数学期望； （3）根据题中数据估算两公司被抽取员工在该月所得的劳务费 21 （12 分）已知椭圆： 2 2 + 2 2 = 1(0)过点 M（1，1）离心率为 2 2 （1）求的方程； （2）如图，若菱形 ABCD 内接于椭圆，求菱形 ABCD 面积的最小值 22 （12 分）已知函数 f（x）ax+x2lnx （1）证明

11、：当 a0 时，函数 f（x）有唯一的极值点； （2）设 a 为正整数，若不等式 f（x）ex在（0，+）内恒成立，求 a 的最大值 第 6 页（共 20 页） 2020 年山东省高考数学模拟试卷（年山东省高考数学模拟试卷（8） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 8 小题，满分小题，满分 40 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）已知全集 UR，集合 Mx|3x1，Nx|x|1，则阴影部分表示的集 合是（ ） A1，1 B （3，1 C （，3）（1，+） D （3，1） 【解答】解：因为全集 UR，集合 Mx|3x1， Nx|x|11，1， UN（

12、，1）（1，+） ； 阴影部分表示的集合是 M（UN）（3，1） 故选：D 2 （5 分）已知复数2 = 1 ，其中， ，是虚数单位，则|a+bi|（ ） A1+2i B1 C5 D5 【解答】解：由2 = 1 ，得：2aii（1bi）b+i， 所以 a1，b2， 则 a+bi1+2i， 所以|a+bi|1+2i|= (1)2+ 22= 5 故选：D 3 （5 分） （x22x3） （2x1）6的展开式中，含 x3项的系数为（ ） A348 B88 C232 D612 【解答】解：解： （x22x3） （2x1） 6（x22x3） （ 6 0 （2x）661 （2x）5+62 （2x） 4+

13、6 5 （2x）+66） ， 故展开式中，含 x3项的系数为（3） （6 323 ）+（2） 6422+1 （652）480+（ 120）12348， 第 7 页（共 20 页） 故选：A 4 （5 分）已知等差数列an的公差为 d，前 n 项和为 Sn，则“d0”是“S3+S52S4”的 （ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分又不必要条件 【解答】解：等差数列an的公差为 d，S3+S52S4， S3+S4+a5S3+a4+S4， a5a4d0， 则“d0”是“d0”的充要条件， 故选：C 5（5 分） 已知定义在 R 上的函数 f （x） 的周期为 4， 当

14、 x2， 2） 时， () = (1 3) 4， 则 f （log36）+f（log354）（ ） A3 2 B3 2 32 C 1 2 D2 3 + 32 【解答】解：因为函数 f（x）的周期为 4，当 x2，2）时，() = (1 3) 4， f（log36）f（log31 6）= ( 1 3) 31 6log31 6 42+log36； f（log354）f（3+log32）f（log321）f（log32 3）= ( 1 3) 3 2 3 log32 3 4= 3 2 log32+1 4= 3 2 log323； f（log36）+f（log354）2+log36+ 3 2 log32

15、3= 3 2； 故选：A 6 （5 分）在平行四边形 ABCD 中， + =（ ） A2 B0 C2 D2 【解答】解：ABCD 是平行四边形， + = + + = + = 2 故选：A 7 （5 分）现有一个封闭的棱长为 2 的正方体容器，当水平放置时，如图，水面的高度正好 为棱长的一半若将该正方体绕下底面（底面与水平面平行）的某条棱任意旋转，则容 第 8 页（共 20 页） 器里水面的最大高度为（ ） A1 B2 C3 D22 【解答】解：现有一个封闭的棱长为 2 的正方体容器， 当水平放置时，如图，水面的高度正好为棱长的一半， 正方体的面对角线长为 22， 将该正方体绕下底面（底面与水平

16、面平行）的某条棱任意旋转， 当旋转到对角线与小平面垂直时容器里水面的高度最大， 容器里水面的最大高度为面对角线长的一半， 容器里水面的最大高度为2 故选：B 8 （5 分）抛物线 y22px（p0）的焦点为 F，准线为 l，A，B 是抛物线上的两个动点， 且满足AFB= 2 3 设线段 AB 的中点 M 在 l 上的投影为 N， 则| | 的最大值是 （ ） A3 B 3 2 C 3 3 D 3 4 【解答】解：设|AF|a，|BF|b，A、B 在准线上的射影点分别为 Q、P， 连接 AQ、BQ 由抛物线定义，得|AF|AQ|且|BF|BP|， 在梯形 ABPQ 中根据中位线定理，得 2|MN

17、|AQ|+|BP|a+b 由余弦定理得|AB|2a2+b22abcos2 3 =a2+b2+ab， 配方得|AB|2（a+b）2ab， 又ab（ + 2 ） 2， （a+b）2ab（a+b）2（ + 2 ） 2=3 4（a+b） 2 第 9 页（共 20 页） 得到|AB| 3 2 （a+b） 所以| | + 2 3 2 (+) = 3 3 ， 即| | 的最大值为 3 3 故选：C 二多选题（共二多选题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 9 （5 分）某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分 布饼状图、90 后从事互联网行业

18、岗位分布条形图，则下列结论正确的是（ ） 注：90 后指 1990 年及以后出生，80 后指 19801989 年之间出生80 前指 1979 年及以 前出生 A互联网行业从业人员中从事技术和运营岗位的人数占总人数的三成以上 B互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的 20% C互联网行业中从事运营岗位的人数 90 后比 80 前多 D互联网行业中从事技术岗位的人数 90 后比 80 后多 【解答】解：在 A 中，由整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90 后从事互联网行业 岗位分布条形图得到： 第 10 页（共 20 页） 56%（39.6%+17%）31.696%30%， 互联网行业从业

19、人员中从事技术和运营岗位的人数占总人数的三成以上，故 A 正确； 在 B 中，由整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90 后从事互联网行业岗位分布条形 图得到： 56%39.6%22.176%20%， 互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的 20%，故 B 正确； 在 C 中，由整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90 后从事互联网行业岗位分布条形 图得到： 17%56%9.52% 互联网行业中从事运营岗位的人数 90 后比 80 前多，故 C 正确； 在 D 中，由整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90 后从事互联网行业岗位分布条形 图得到： 互联网行业中从事技术岗位的人数 90 后不

20、一定比 80 后多，故 D 错误 故选：ABC 10 （5 分）某大学为了解学生对学校食堂服务的满意度，随机调査了 50 名男生和 50 名女 生，每位学生对食堂的服务给出满意或不满意的评价，得到如图所示的列联表经计算 K2的观测值 k4.762，则可以推断出（ ） 满意 不满意 男 30 20 女 40 10 P （k2k） 0.100 0.050 0.010 k 2.706 3.841 6.635 A该学校男生对食堂服务满意的概率的估计值为3 5 B调研结果显示，该学校男生比女生对食堂服务更满意 C有 95%的把握认为男、女生对该食堂服务的评价有差异 D有 99%的把握认为男、女生对该食堂

21、服务的评价有差异 【解答】解：由统计表格知：女生对食堂的满意率为：4 5；男生对食堂的满意率为 3 5； 第 11 页（共 20 页） 故 A，该学校男生对食堂服务满意的概率的估计值为3 5，A 正确； 对于 B，应为该校女生比男生对食堂服务更满意；B 错误； 由题意算得，k24.7623.841，参照附表，可得： 有 95%的把握认为男、女生对该食堂服务的评价有差异； 故 C 正确，D 错误 故选：AC 11 （5 分）已知空间中不同直线 m、n 和不同平面 、，下列命题中是真命题的是（ ） A若 m、n 互为异面直线，m，n，m，n，则 B若 mn，m，n，则 C若 n，m，则 nm D若

22、 ，m，nm，则 n 【解答】解：由 m，n 是不同的直线， 是不同的平面，知： 在中，若 m、n 互为异面直线，m，n，m，n，则 ，是真命题； ，m，n，则 m 与 n 平行或异面，故错误； 在中，mn，m，n，则 ，或 与 相交或平行，故错误； 在中 n，m，则 nm，故是真命题； 在中，m，nm，则 n，也可能 n，故错误 故选：AC 12 （5 分）下列判断正确的是（ ） A命题 p： “x0，使得 x2+x+10“，则 p 的否定： “x0，都有 x2+x+10” BABC 中，角 A，B，C 成等差数列的充要条件是 B= 3 C线性回归直线 = + 必经过点（x1，y1） ， （

23、x2，y2） ，（xn，yn）的中心点（，） D若随机变量 服从正态分布 N（1，2） ，P（4）0.79，则 P（2）0.21 【解答】解：对于 A；命故错； 对于 B，ABC 中，B60A+C2B，ABC 的三内角 A，B，C 成等差数列，故正 确； 对于 C，在研究变量 x 和 y 的线性相关性时，线性回归直线方程必经过散点图中心（， ） ，故正确； 第 12 页（共 20 页） 对于 D，已知随机变量 服从正态分布 N （1，2） ，图象关于 x1 对称，根据 P （4） 0.79， 可得 P（2）0.79，得 P（2）10，790.21，故正确； 故选：BCD 三填空题（共三填空题（

24、共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）已知 = 3 4，( + ) = 1 4，则 tan 16 13 【解答】解：依题意， = ( + ) = 1 1 3 16 = 16 13 14 （5 分）一个房间的地面是由 12 个正方形所组成，如图所示今想用长方形瓷砖铺满地 面，已知每一块长方形瓷砖可以覆盖两块相邻的正方形，即或，则用 6 块瓷砖铺满房间地面的方法有 11 种 【解答】解：由题意只能分成三类铺砖： 第一类横 5 竖 1：竖砖只能排在上两行中（如图所示的竖线位置之一） ，两头与中间， 其余排竖砖，共 3 种； 第二类横 3 竖 3：左下

25、角一块横砖，另外三块竖砖排在上面两行，中间形成四个空，两 块横砖上下并排插空共 4 种铺法；或左上角一块横砖，另两块横砖并排排在上面两行右 边部分，其余空排竖砖，有 2 种排法所以此类共有 6 种排法 第 13 页（共 20 页） 第三类横 1 竖 5：横砖只能排在最左边最上一行或最下一行，其余排竖砖，共有 2 种铺 法； 综上一共有 3+6+211 种排法 故答案为：11 15 （5 分）学校准备从甲、乙、丙三位学生中随机选两位学生参加问卷调查，则甲被选中 的概率为 2 3 【解答】解：学校准备从甲、乙、丙三位学生中随机选两位学生参加问卷调查， 基本事件总数 n= 3 2 =3， 甲被选中包

26、含的基本事件个数 m= 1 121 =2， 则甲被选中的概率为 P= = 2 3 故答案为：2 3 16 （5 分）过点 M（m，0） （m0）的直线 l 与直线 3x+y30 垂直，直线 l 与双曲线 ： 2 2 2 2 = 1(0，0)的两条渐近线分别交于点 A，B，若点 P（m，0）满足|PA| |PB|，则双曲线 C 的渐近线方程为 = 1 2 ，离心率为 5 2 【解答】解：过点 M（m，0） （m0）的直线 l 与直线 3x+y30 垂直，可得： 直线 l：x3y+m0（m0） ， 由双曲线的方程可知，渐近线为 y x， 分别与 x3y+m0（m0）联立，解得 A（ 3， 3） ，

27、B（ +3， +3） ， 第 14 页（共 20 页） AB 中点坐标为（ 2 922， 32 922） ， 点 P（m，0）满足|PA|PB|， 32 9220 2 922 = 3， a2b， 双曲线 C 的渐近线方程为：y= 1 2x c= 5b， e= = 5 2 故答案为：y= 1 2x： 5 2 四解答题（共四解答题（共 6 小题，满分小题，满分 70 分）分） 17 （10 分）等差数列an的前 n 项和为 Sn，a33，S410 （1）求an的通项公式； （2）设= 1 ，求数列bn的前 n 项和 Tn 【解答】解： （1）由题意，设等差数列an的公差为 d，则 3= 1+ 2

28、= 3 4= 41+ 43 2 = 10， 整理，得1 + 2 = 3 21+ 3 = 5， 解得1 = 1 = 1 an1+（n1） 1n，nN* （2）由（1）知，Sn= (+1) 2 ， = 1 = 2 (+1) =2（1 1 +1） Tnb1+b2+bn 2（1 1 2）+2（ 1 2 1 3）+2（ 1 1 +1） 2（1 1 2 + 1 2 1 3 + + 1 1 +1） 2（1 1 +1） 第 15 页（共 20 页） = 2 +1 18 （12 分）在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 8cos2+ 2 2cos2A3 （1）求 A； （2）若 a2，且

29、ABC 面积的最大值为3，求ABC 周长的取值范围 【解答】解： （1）82 + 2 22 = 3， 4（1+cos（B+C） ）2cos2A3， 整理得 4cos2A+4cosA30， 解得 = 1 2 或 = 3 2（舍去） ， 又 A（0，） = 3， （2）由题意知= 1 2 = 3 4 3， bc4， 又 b2+c2a22bccosA，a2， b2+c24+bc， （b+c）24+3bc16， 又 b+c2， 所以 2b+c4，4a+b+c6， ，ABC 周长的取值范围是（4，6 19 （12 分）在四边形 ABCP 中， = = 2， = 3 ， = = 2；如图，将PAC 沿 A

30、C 边折起，连结 PB，使 PBPA，求证： （1）平面 ABC平面 PAC； （2）若 F 为棱 AB 上一点，且 AP 与平面 PCF 所成角的正弦值为 3 4 ，求二面角 FPC A 的大小 【解答】证明： （1）在 中， = = 2， = 3PAC 为正三角形，且 AC 第 16 页（共 20 页） 2 在 中， = = 2ABC 为等腰直角三角形，且 ABBC 取 AC 的中点 O，连接 OB，OP ， #/DEL/# = 1， = 3， = = 2#/DEL/# OPOB OPACO， AC， OP平面 PACOB平面 PACOB平面 ABC平面 ABC平面 PAC （2）以 O

31、为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 Oxyz， 则(0， 1，0)，(1，0，0)，(0，1，0)，(0，0，3)， = (1，1，0)， = (0，1，3)， = (0， 1，3)， = (0， 2，0)， 设 = (01)，则 = + = (， 2，0) 设平面 PFC 的一个法向量为 n（x，y，z） ，则 = 0 = 0 + ( 2) = 0 + 3 = 0 令 = 3，解得 = 2 3 = 1 = (2 3 ， 3 ，1)AP 与平面 PFC 所成角的正弦 值为 3 4 ， | | | = 23 3(2) 2 2 +3+1 2 = 3 4 整理得 3m2+4m40 解得 = 2

32、 3或 = 2（舍去） = (23， 3 ，1) 又 为平面 PAC 的一个法向量 ， = | = 3 2 #/DEL/# ， = 6 #/DEL/# 二面角 FPAC 的大小为 6 第 17 页（共 20 页） 20 （12 分）为了解甲、乙两个快递公司的工作状况，假设同一个公司快递员的工作状况基 本相同，现从甲、乙两公司各随机抽取一名快递员，并从两人某月（30 天）的快递件数 记录结果中随机抽取 10 天的数据，整理如下： 甲公司员工 A：410，390，330，360，320，400，330，340，370，350 乙公司员工 B：360，420，370，360，420，340，440，

33、370，360，420 每名快递员完成一件货物投递可获得的劳务费情况如下： 甲公司规定每件 0.65 元，乙公司规定每天 350 件以内（含 350 件）的部分每件 0.6 元超 出 350 件的部分每件 0.9 元 （1）根据题中数据写出甲公司员工 A 在这 10 天投递的快件个数的平均数和众数； （2）为了解乙公司员工 B 每天所得劳务费的情况，从这 10 天中随机抽取 1 天，他所得 的劳务费记为 （单位：元） ，求 的分布列和数学期望； （3）根据题中数据估算两公司被抽取员工在该月所得的劳务费 【解答】解： （1）由题意知： 甲公司员工 A 在这 10 天投递的快递件数的平均数为： 1

34、 10 (410 + 390 + 330 + 360 + 320 + 400 + 330 + 340 + 370 + 350) = 360， 众数为 330 （2） 设乙公司员工 B1 天的投递件数为 X， 则 X 的可能取值为 340， 360， 370， 420， 440， 当 X340 时， = 340 0.6 = 204，( = 204) = 1 10， 当 X360 时， = 350 0.6 + (360 350) 0.9 = 219，( = 219) = 3 10， 当 X370 时， = 350 0.6 + (370 350) 0.9 = 228，( = 228) = 1 5，

35、当 X420 时， = 350 0.6 + (420 350) 0.9 = 273，( = 273) = 3 10， 当 X440 时， = 350 0.6 + (440 350) 0.9 = 291，( = 291) = 1 10， 第 18 页（共 20 页） 的分布列为 204 219 228 273 291 P 1 10 3 10 1 5 3 10 1 10 () = 204 1 10 + 219 3 10 + 228 1 5 + 273 3 10 + 291 1 10 = 242.7 （3）由（1）估计甲公司被抽取员工在该月所得的劳务费为 360300.657020（元） 由（2）估

36、计乙公司被抽取员工在该月所得的劳务费为： 242.70.6304368.6（元） 21 （12 分）已知椭圆： 2 2 + 2 2 = 1(0)过点 M（1，1）离心率为 2 2 （1）求的方程； （2）如图，若菱形 ABCD 内接于椭圆，求菱形 ABCD 面积的最小值 【解答】解： （1）由题意， 1 2 + 1 2 = 1 = 2 2 2= 2+ 2 ，解得2= 3，2= 3 2 椭圆的方程为 2 3 + 22 3 = 1； （2）菱形 ABCD 内接于椭圆， 由对称性可设直线 AC：yk1x，直线 BD：yk2x 联立 2 + 22= 3 = 1 ，得方程（212+ 1）x230， 2=

37、 2= 3 212+1， |OA|OC|=1 + 12 3 212+1 第 19 页（共 20 页） 同理，|OB|OD|=1 + 22 3 222+1 又ACBD，|OB|OD|=1 + 1 12 3 2 12+1 ，其中 k10 从而菱形 ABCD 的面积 S 为： S2|OA|OB|21 + 12 3 212+11 + 1 12 3 2 12+1 ， 整理得 S6 1 2+ 1 (1+ 1 1) 2 4，其中 k10 当且仅当 1 1 = 1时取“” ， 当 k11 或 k11 时，菱形 ABCD 的面积最小，该最小值为 4 22 （12 分）已知函数 f（x）ax+x2lnx （1）证

38、明：当 a0 时，函数 f（x）有唯一的极值点； （2）设 a 为正整数，若不等式 f（x）ex在（0，+）内恒成立，求 a 的最大值 【解答】 （1）证明：函数 f（x）的定义域为（0，+） ，f（x）a+x+2xlnx， 设 g（x）a+x+2xlnx， 则 g（x）2lnx+3，2 分 当 x（ 3 2，+）时，因为 g（x）0， 所以 g（x）在（ 3 2，+）内单调递增， 又因为 g（ 3 2）a+ 3 2+2 3 2ln 3 2=a2 3 20， g （e a） a+ea+2ealneaa+ea2aeaea+a （12ea） 0， 所以存在x 0 （ 3 2， ea） ， 使 g（

39、x0）0，对于 x（ 3 2，x0） ，都有 g（x）0，对于 x（x0，+） ，都有 g（x） 0；4 分 当 x（0， 3 2）时，g（x）a+x（1+2lnx）a2x0，5 分 因为 g（x）0， 所以 g（x）在（ 3 2，+）内单调递增， 第 20 页（共 20 页） 又因为 g（ 3 2）a+ 3 2+2 3 2ln 3 2=a2 3 20， 综上可得，f（x0）0，当（0，x0）时，f（x）0，当 x（x0，+）时，f（x） 0，因此，当 a0 时，函数 f（x）有唯一的极值点；6 分 （2）解：当 x（0，+）时，不等式 f（x）ex，等价于 2 lnx 0， 令 x1，得 a

40、e， 又因为 a 为正整数，所以 a1 或 2，当 a2，7 分 不等式 f（x）ex，即 2 lnx 2 0， 设 h（x）= 2 lnx 2 ， 则 h（x）= 22 4 1 + 2 2 = (2)() 3 ，8 分 设 k（x）exx，则 k（x）ex1，因为当 x0 时，k（x）0，所以函数 k（x） 在0，+）上单调递增，又因为 k（0）10，所以当 x0 时，k（x）0，即 exx 0，9 分 令 h（x）0，得 x2，因为 exx0， 所以当 x（0，2）时，h（x）0，当 x（2，+）时，h（x）0，时， 所以 h（x）minh（2）= 2 4 ln21， 又因为 h（2）0，所以 h（x）0， 因此，当 x0 时，h（x）0 恒成立 也就是说当 a2 时，不等式 f（x）ex在（0，+）内恒成立11 分 故的最大值为 212 分