2020年安徽省高考数学（理科）模拟试卷（8）.docx

1、 第 1 页（共 18 页） 2020 年安徽省高考数学（理科）模拟试卷（年安徽省高考数学（理科）模拟试卷（8） 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）已知集合 Ax|x2x60，Bx|ylg（x2），则 AB（ ） A （2，3） B （2，3） C （2，2） D 2 （5 分）已知 i 是虚数单位，复数 z 满足 1: =i，则 z 的模是（ ） A2 B 2 2 C1 D1 2 3 （5 分）已知 x，y 满足 0 + 0 1 ，则;3 ;2的取值范围为（ ） A3 2，4 B （1，2 C （，02，+） D （

2、，1）2，+） 4 （5 分）已知函数 f（x）x+alnx+b 在 x1 处的切线的斜率为1，若该函数存在两个不 同的零点 x1，x2，则 1 1 + 1 2的取值范围是（ ） A1，+） B （，1） C （1，+） D （，1 5 （5 分）若 mcos80+310 =1，则 m（ ） A4 B2 C2 D4 6 （5 分）已知函数 f（x）2sinxcosx2sin2x，给出下列四个结论： 函数 f（x）的最小正周期是 ； 函数 f（x）在区间 8 ， 5 8 上是减函数； 函数 f（x）的图象关于点（ 8，0）对称； 函数 f（x）的图象可由函数 y= 2sin2x 的图象向右平移

3、8个单位再向下平移 1 个单位 得到 其中正确结论的个数是（ ） A1 B2 C3 D4 7 （5 分）某工厂 2017 年的产量为 A，2018 年的增长率为 a，2019 年的增长率为 b，这两 年的平均增长率为 x，则有（ ） Ax= 1 2 ( + ) Bx 1 2 ( + ) Cx 1 2 ( + ) Dx 1 2 ( + ) 8 （5 分）某市交通部门为了提高某个十字路口通行效率，在此路口增加禁止调头标识（即 第 2 页（共 18 页） 车辆只能左转、右转、直行） ，则该十宇路口的行车路线共有（ ） A24 种 B16 种 C12 种 D10 种 9 （5 分）某几何体的三视图如图

4、所示，俯视图为正三角形，则该几何体外接球的表面积为 （ ） A25 4 B64 3 C25 D32 10 （5 分）已知 F 为抛物线 C：y24x 的焦点，过 F 作两条互相垂直的直线 l1，l2，直线 l1 与 C 交于 A， B 两点， 直线 l2与 C 交于 D， E 两点， 则四边形 ADBE 面积的最小值为 （ ） A16 B24 C32 D64 11 （5 分）若关于 x 的不等式 ax2a2xlnx4 有且只有两个整数解，则实数 a 的取值 范围是（ ） A （2ln3，2ln2 B （，2ln2） C （，2ln3 D （，2ln3） 12 （5 分）如图，在菱形 ABCD

5、中，BAD60，线段 AD，BD 的中点分别为 E，F现 将ABD 沿对角线 BD 翻折，使二面角 ABDC 的在大小为 120，则异面直线图 BE 与 CF 所成角的余弦值为（ ） A1 2 B1 3 C1 4 D1 5 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）已知向量 ， 满足| |2，| |1， =1，则| + | ， 在 上的投 影等于 14 （5 分）天气预报说，今后三天每天下雨的概率相同，现用随机模拟的方法预测三天中 第 3 页（共 18 页） 有两天下雨的概率，用骰子点数来产生随机数依据每天下雨的概率，可规定投

6、一次骰 子出现 1 点和 2 点代表下雨；投三次骰子代表三天；产生的三个随机数作为一组得到 的 10 组随机数如下：613，265，114，236，561，435，443，251，154，353则在此次 随机模拟试验中，每天下雨的概率的近似值是 ；三天中有两天下雨的概率的近似 值为 15 （5 分）已知直线 ykx（k0）与双曲线： 2 2 2 2 = 1(0，0)交于 A，B 两点， 以 AB 为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点 F，若ABF 的面积为 4a2，则双曲线的离心 率为 16 （5 分）在ABC 中，内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，若 sinC2sinA，且（ba） （

7、sinB+sinA）= 1 2asinC，则 cosB 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 12 分）分） 17（12分） 已知等差数列an的前n项和为Sn， a21， S714， 数列bn满足1 2 3= 2 2+ 2 （1）求数列an和bn的通项公式； （2）若数列cn满足 cnbncos（an） ，求数列cn的前 2n 项和 T2n 18 （12 分）如图（1） ，在矩形 ABCD 中，E，F 在边 CD 上，BCCEEFFD 沿 BE， AF 将CBE 和DAF 折起，使平面 CBE 和平面 DAF 都与平面 ABEF 垂直，如图（2） 第

8、4 页（共 18 页） （1）试判断图（2）中直线 CD 与 AB 的位置关系，并说明理由； （2）求平面 ADF 和平面 DEF 所成锐角二面角的余弦值 19 （12 分）已知 F（1，0）是椭圆 C： 2 2 + 2 2 = 1(0)的焦点，点(1， 3 2)在 C 上 （1）求 C 的方程； （2）斜率为1 2的直线 l 与 C 交于 A（x1，y1） ，B（x2，y2）两点，当 3x1x2+4y2y20 时， 求直线 l 被圆 x2+y24 截得的弦长 20 （12 分）甲，乙两人进行射击比赛，各射击 4 局，每局射击 10 次，射击中目标得 l 分， 未命中目标得 0 分，两人 4

9、局的得分情况如下： 甲 6 6 9 9 乙 7 9 7 7 （1）若从甲的 4 局比赛中，随机选取 2 局，求这 2 局的得分恰好相等的概率； （2）从甲，乙两人的 4 局比赛中随机各选取 1 局，记这 2 局的得分和为 X，求 X 的分布 列和数学期望 21 （12 分）知函数 f（x）= 2+ + ，g（x）2lnx+2a（aR） （1）求 f（x）的单调区间； （2）证明：存在 a（0，1） ，使得方程 f（x）g（x）在（1，+）上有唯一解 四解答题（共四解答题（共 1 小题，满分小题，满分 10 分，每小题分，每小题 10 分）分） 22（10 分） 在直角坐标系 xOy 中， 曲线

10、 C 的参数方程为 = 3 4 = 12 5 + 9 5 （ 为参数） 以 坐标原点 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 ( + 3) = 3 （1）曲线 C 的普通方程和直线 l 的直角坐标方程； （2）若直线 l 与曲线 C 交于 P，Q 两点，M（2，0） ，求|MP|+|MQ|的值 五解答题（共五解答题（共 1 小题）小题） 23已知函数 f（x）|x3|2|x| （1）求不等式 f（x）2 的解集； （2）若 f（x）的最大值为 m，正数 a，b，c 满足 a+b+cm，求证：a2+b2+c23 第 5 页（共 18 页） 2020 年安徽省高考

11、数学（理科）模拟试卷（年安徽省高考数学（理科）模拟试卷（8） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）已知集合 Ax|x2x60，Bx|ylg（x2），则 AB（ ） A （2，3） B （2，3） C （2，2） D 【解答】解：Ax|2x3，Bx|x2， AB（2，3） 故选：A 2 （5 分）已知 i 是虚数单位，复数 z 满足 1: =i，则 z 的模是（ ） A2 B 2 2 C1 D1 2 【解答】解： 1: =i， zi+zi， z= 1 1 = 1+ 2 = 1 2 +

12、1 2 ， |z|=1 4 + 1 4 = 2 2 ， 故选：B 3 （5 分）已知 x，y 满足 0 + 0 1 ，则;3 ;2的取值范围为（ ） A3 2，4 B （1，2 C （，02，+） D （，1）2，+） 【解答】解：设 k= 3 2，则 k 的几何意义为点 P（x，y）到点 D（2，3）的斜率， 作出不等式组对应的平面区域如图： 第 6 页（共 18 页） 由图可知当过点 D 的直线平行与 OA 时是个临界值， 此时 kKOA1 不成立， 需比 1 小； 当过点 A 时， k= 3 2取正值中的最小值， = 1 = 0A （1， 1） ， 此时 k= 3 2 = 13 12 =

13、2； 故;3 ;2的取值范围为（，1）2，+） ； 故选：D 4 （5 分）已知函数 f（x）x+alnx+b 在 x1 处的切线的斜率为1，若该函数存在两个不 同的零点 x1，x2，则 1 1 + 1 2的取值范围是（ ） A1，+） B （，1） C （1，+） D （，1 【解答】解：f（x）x+alnx+b 的导数为 f（x）1+ ， 可得在 x1 处的切线的斜率为 1+a， 由 1+a1，可得 a2， 则 f（x）x2lnx+b， 由题意可得 x12lnx1+bx22lnx2+b， 即有 1;2 1;2 =2， 由 x1，x20，可得 1 1 + 1 2 2 12， 即有 2 1 1

14、: 1 2 12； 设 x1x20，要证12 12 12， 即证 lnx1lnx21 2 2 1， 即为 ln1 2 1 2 2 1， 第 7 页（共 18 页） 设 t= 1 2，t1，即证 lnt 1 ， 即为 2ln 1 ， 设 g（x）2lnx（x 1 ） ，x1， 导数为 g（x）= 2 1 1 2 = (1)2 2 0， 可得 g（x）在 x1 递减，则 g（x）g（1）0， 可得 2lnx（x 1 ）0，x1， 则成立 则 2 1 1: 1 2 12 1;2 1;2， 则 1 1 + 1 2 1 故选：C 5 （5 分）若 mcos80+310 =1，则 m（ ） A4 B2 C

15、2 D4 【解答】解：mcos80+310 =1， msin10+3 10 10 =1，可得 sin10cos10m+3sin10cos100， 1 2sin20m2sin20， 1 2m2，解得 m4 故选：A 6 （5 分）已知函数 f（x）2sinxcosx2sin2x，给出下列四个结论： 函数 f（x）的最小正周期是 ； 函数 f（x）在区间 8 ， 5 8 上是减函数； 函数 f（x）的图象关于点（ 8，0）对称； 函数 f（x）的图象可由函数 y= 2sin2x 的图象向右平移 8个单位再向下平移 1 个单位 得到 其中正确结论的个数是（ ） A1 B2 C3 D4 第 8 页（共

16、 18 页） 【解答】解：f（x）sin2x2sin2x+11sin 2x+cos 2x1= 2sin（2x+ 4）1 因为 2，则 f（x）的最小正周期 T，结论正确 当 x 8 ， 5 8 时，2x+ 4 2， 5 8 ，则 sinx 在 8 ， 5 8 上是减函数，结论正确 因为 f（ 8）1，则函数 f（x）图象的一个对称中心为（ 8，1） ，结论不正确 函数 f（x）的图象可由函数 y= 2sin2x 的图象向左平移 8个单位再向下平移 1 个单位 得到，结论不正确 故正确结论有， 故选：B 7 （5 分）某工厂 2017 年的产量为 A，2018 年的增长率为 a，2019 年的增

17、长率为 b，这两 年的平均增长率为 x，则有（ ） Ax= 1 2 ( + ) Bx 1 2 ( + ) Cx 1 2 ( + ) Dx 1 2 ( + ) 【解答】解：由(1 + )2= (1 + )(1 + ) (1 + + 2 )2， 所有 + 2 ， 故选：B 8 （5 分）某市交通部门为了提高某个十字路口通行效率，在此路口增加禁止调头标识（即 车辆只能左转、右转、直行） ，则该十宇路口的行车路线共有（ ） A24 种 B16 种 C12 种 D10 种 【解答】解：根据题意，应分为两个步骤，用分步计数原理求解： “来”有 4 种不同的可能， “往”有 3 种不同的可能， 因此，行车路

18、线共有 4312 条 故选：C 9 （5 分）某几何体的三视图如图所示，俯视图为正三角形，则该几何体外接球的表面积为 （ ） 第 9 页（共 18 页） A25 4 B64 3 C25 D32 【解答】解：由三视图还原原几何体如图， 该几何体是三棱锥，底面三角形 ABC 是边长为 2 的等边三角形， PA底面 ABC， 设底面三角形 ABC 的外心为 G， 过 G 作底面的垂线 GO， 且使 GO= 1 2AP 则 O 为三棱锥 PABC 外接球的球心，连接 OB， GB= 23 3 ，OG2，三棱锥外接球的半径 ROB=4 + (2 3 3 )2= 43 3 该几何体外接球的表面积为 4 (

19、4 3 3 )2= 64 3 故选：B 10 （5 分）已知 F 为抛物线 C：y24x 的焦点，过 F 作两条互相垂直的直线 l1，l2，直线 l1 与 C 交于 A， B 两点， 直线 l2与 C 交于 D， E 两点， 则四边形 ADBE 面积的最小值为 （ ） A16 B24 C32 D64 【解答】解：由已知直线 l1的斜率存在且不为 0，设其方程为 yk（x1） ， 由 = ( 1) 2= 4 ，得 k2x2（2k2+4）x+k20 0，设 A（x1，y1） 、B（x2，y2） ， 1+ 2= 2 + 4 2， |AB|= 1+ 2+ 2 = 4(1+ 1 2)， 第 10 页（共

20、 18 页） 同理设 D（x3，y3） 、E（x4，y4） ， 3+ 4= 2 + 42，|DE|= 3+ 4+ 2 = 4(1 + 2)， 设四边形 ADBE 的面积 S= 1 2|AB|DE|8（2+k 2+1 2）32 当且仅当 k1 时，四边形 ADBEE 的面积取得最小值 32 故选：C 11 （5 分）若关于 x 的不等式 ax2a2xlnx4 有且只有两个整数解，则实数 a 的取值 范围是（ ） A （2ln3，2ln2 B （，2ln2） C （，2ln3 D （，2ln3） 【解答】解：由题意可知，ax2a2xlnx4， 设 g（x）2xlnx4，h（x）ax2a 由 g（x

21、）2 1 = 21 可知 g（x）2xlnx4 在（0，1 2）上为减函数， 在（1 2，+）上为增函数， h（x）ax2a 的图象恒过点（2，0） ，在同一坐标系中作出 g（x） ，h（x）的图象如图， 当 a0 时，原不等式有且只有两个整数解； 当 a0 时，若原不等式有且只有两个整数 x1，x2，使得 f（x1）0， 且 f（x2）0，则 0 (1)(1) (3) (3) ，即 0 2 2 3 ， 解得 0a2ln3， 综上可得 a2ln3， 故选：C 第 11 页（共 18 页） 12 （5 分）如图，在菱形 ABCD 中，BAD60，线段 AD，BD 的中点分别为 E，F现 将ABD

22、 沿对角线 BD 翻折，使二面角 ABDC 的在大小为 120，则异面直线图 BE 与 CF 所成角的余弦值为（ ） A1 2 B1 3 C1 4 D1 5 【解答】解：如图，取 ED 中点 M 连接 FM，AF，设菱形 ABCD 的边长为 4，因为BAD 60，AFBD，CFBD，则MFC（或补角）为 BE 与 CF 所成角 AFBECF23， 在AFC 中，AFC120，可得 AC2 23 300=6， 在ACD 中，cosADC= 2+22 2 = 1 8 在DMC 中，CD= 2+ 2 2 =32 在MFC 中，cosMFC= 2+22 2 = 1 4 故选：C 二填空题（共二填空题（

23、共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）已知向量 ， 满足| |2，| |1， =1，则| + | 7 ， 在 上的投 影等于 1 2 【解答】解：因为| |2，| |1， =1， 所以：| + |2= 2 +2 + 2 =22+12+217； | + |= 7； 的 上的投影等于：| |cos= | |= 1 2； 第 12 页（共 18 页） 故答案为：7，1 2 14 （5 分）天气预报说，今后三天每天下雨的概率相同，现用随机模拟的方法预测三天中 有两天下雨的概率，用骰子点数来产生随机数依据每天下雨的概率，可规定投一次骰 子出现 1 点和

24、2 点代表下雨；投三次骰子代表三天；产生的三个随机数作为一组得到 的 10 组随机数如下：613，265，114，236，561，435，443，251，154，353则在此次 随机模拟试验中，每天下雨的概率的近似值是 1 3 ；三天中有两天下雨的概率的近似值 为 1 5 【解答】解：每个骰子有 6 个点数，出现 1 或 2 为下雨天，则每天下雨的概率为2 6 = 1 3， 10 组数据中，114，251，表示 3 天中有 2 天下雨， 从得到的 10 组随机数来看，3 天中有 2 天下雨的有 2 组，则 3 天中有 2 天下雨的概率 近似值为： 2 10 = 1 5， 故答案为：1 3 ，

25、1 5 15 （5 分）已知直线 ykx（k0）与双曲线： 2 2 2 2 = 1(0，0)交于 A，B 两点， 以 AB 为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点 F，若ABF 的面积为 4a2，则双曲线的离心 率为 5 【解答】解：以 AB 为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点 F，以 AB 为直径的圆的方 程为 x2+y2c2， 设|AF|m， |BF|n， 则 mn2a ABF 的面积= 1 2 = 42， 且 m2+n2|AB|2 4c2， 第 13 页（共 18 页） 联立三式： = 2 = 82 2+ 2= 42 ，得 = 4 = 2 ， 故202= 42 = 5 故答案为：5 16 （5

26、分）在ABC 中，内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，若 sinC2sinA，且（ba） （sinB+sinA）= 1 2asinC，则 cosB 3 4 【解答】解：sinC2sinA，c2a， （ba） （sinB+sinA）= 1 2asinC，（ba） （b+a）= 1 2 ，即2 2= 1 2 ， 2 2= 1 2 2 = 2，b22a2， cosB= 2+22 2 = 2+4222 22 = 3 4， 故答案为：3 4 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 12 分）分） 17（12分） 已知等差数列an的前n项和为Sn， a21，

27、 S714， 数列bn满足1 2 3= 2 2+ 2 （1）求数列an和bn的通项公式； （2）若数列cn满足 cnbncos（an） ，求数列cn的前 2n 项和 T2n 【解答】解： （1）设等差数列an的公差设为 d，由 a21，S714， 可得 a1+d1，7a1+21d14，解得 a1d= 1 2，则 an= 1 2 + 1 2（n1）= 1 2n； 由1 2 3= 2 2+ 2 ，可得 b1b2b3bn12 (1) 2 （n2） ， 两式相除可得 bn2n（n2） ，对 n1 也成立， 故 bn2n（nN*） ； （2）cnbncos（an）2ncos（1 2n） ， 则 T2n2

28、cos 2 +22cos+23cos3 2 +24cos （2） +22n 1cos （1 2 （2n1） ） +22ncos （n） 22cos+24cos（2）+22ncos（n）22+2426+（1） n22n=4(1(4) 1+4 = 4+(4)+1 5 18 （12 分）如图（1） ，在矩形 ABCD 中，E，F 在边 CD 上，BCCEEFFD 沿 BE， 第 14 页（共 18 页） AF 将CBE 和DAF 折起，使平面 CBE 和平面 DAF 都与平面 ABEF 垂直，如图（2） （1）试判断图（2）中直线 CD 与 AB 的位置关系，并说明理由； （2）求平面 ADF 和平

29、面 DEF 所成锐角二面角的余弦值 【解答】解： （1）CDAB，理由如下： 连结 CD，分别取 AF，BE 的中点 M，N，连结 DM，CN，MN， 由图（1）可得，ADF 与BCE 都是等腰直角三角形且全等， 则 DMAF，CNBE，DMCN，如图， 平面 ADF平面 ABEF，交线为 AF，DM平面 ADF，DMAF， DM平面 ABEF， 同理得 CN平面 ABEF，DMCN， DMCN，四边形 CDMN 为平行四边形，CDMN， M，N 分别为 AF，BE 的中点，MNAB， CDAB （2）在 AB 边上取一点 P，使得 APDF， 由图（1）得 ADFP 为正方形，即 APFP，

30、 M 为 AF 中点，MPMA， 由（1）知 MD平面 ABEF，MA，MP，MD 两两垂直， 以 M 为坐标原点，直线 MA，MP，MD 分别为坐标轴，建立空间直角坐标系， 设 AF2，则 D（0，0，1） ，A（1，0，0） ，P（0，1，0） ，F（1，0，0） ， =（1，0，1） ， = =（1，1，0） ， 设平面 DFE 的一个法向量为 =（x，y，z） ， 由 = 0 = 0 ，得 + = 0 + = 0，取 x1，得 =（1，1，1） ， 平面 ADF 的法向量 =（0，1，0） ， 第 15 页（共 18 页） 设平面 ADF 和平面 DEF 所成锐角二面角为 ， 则平面

31、ADF 和平面 DEF 所成锐角二面角的余弦值为： cos= | | | |= 3 3 19 （12 分）已知 F（1，0）是椭圆 C： 2 2 + 2 2 = 1(0)的焦点，点(1， 3 2)在 C 上 （1）求 C 的方程； （2）斜率为1 2的直线 l 与 C 交于 A（x1，y1） ，B（x2，y2）两点，当 3x1x2+4y2y20 时， 求直线 l 被圆 x2+y24 截得的弦长 【解答】解： （1）由题意可得 c1， 1 2 + 9 42 =1，c2a2b2，解得：a24，b23， 所以椭圆的方程为： 2 4 + 2 3 =1； （2）由题意设直线 AB 的方程为：y= 1 2

32、 +m， 联立直线与椭圆的方程可得： = 1 2 + 32+ 42 12 = 0 ，整理可得：4x2+4mx+4m2120， 即 x2+mx+m230， m24 （m23） 0， 即 m24， x1+x2m， x1x2m23， y1y2 （1 2 1+m）（1 2 2+m） = 1 4x1x2+ 1 2 （x1+x2）+m2= 3 4m 23 4， 因为 3x1x2+4y2y20，所以 3（m23）+3m230，解得 m22，|m|= 2， 直线 AB 的方程整理为：x2y+2m0， 所以圆心 O 到直线 AB 的距离 d= 2| 5 = 22 5 ， 所以直线 AB 被圆 x2+y24 截得

33、的弦长为：24 (2 2 5 )2= 415 5 20 （12 分）甲，乙两人进行射击比赛，各射击 4 局，每局射击 10 次，射击中目标得 l 分， 未命中目标得 0 分，两人 4 局的得分情况如下： 甲 6 6 9 9 第 16 页（共 18 页） 乙 7 9 7 7 （1）若从甲的 4 局比赛中，随机选取 2 局，求这 2 局的得分恰好相等的概率； （2）从甲，乙两人的 4 局比赛中随机各选取 1 局，记这 2 局的得分和为 X，求 X 的分布 列和数学期望 【解答】解： （1）从甲的 4 局比赛中，随机选取 2 局， 基本事件总数 n= 4 2 =6， 这 2 局的得分恰好相等包含的基

34、本事件个数 m= 2 2 + 2 2 =2 这 2 局的得分恰好相等的概率 p= = 2 6 = 1 3 （2）甲，乙两人的 4 局比赛中随机各选取 1 局，记这 2 局的得分和为 X， 则 X 的可能取值为 13，15，16，18， P（X13）= 2 4 3 4 = 6 16 = 3 8， P（X15）= 2 4 1 4 = 2 16 = 1 8， P（X16）= 2 4 3 4 = 6 16 = 3 8， P（X18）= 2 4 1 4 = 1 8， X 的分布列为： X 13 15 16 18 P 3 8 1 8 3 8 1 8 X 的数学期望为 E（X）= 13 3 8 + 15 1

35、 8 + 16 3 8 + 18 1 8 = 103 8 21 （12 分）知函数 f（x）= 2+ + ，g（x）2lnx+2a（aR） （1）求 f（x）的单调区间； （2）证明：存在 a（0，1） ，使得方程 f（x）g（x）在（1，+）上有唯一解 【解答】解： （1）由 f（x）= 2+ + ，得() = 2+2 (+)2 （xa） 令 yx2+2axa，则由4a2+4a0，得1a0， f（x）0 在（，a）（a，+）上恒成立， 当 a1 或 a0 时，由 x2+2axa0，得 + 2+ 或 2+ ， 由 x2+2axa0，得 2+ + 2+ ， 第 17 页（共 18 页） 当1a0

36、 时，f（x）的单调递增区间为（，a） ， （a，+） ； 当a1或a0时， f （x） 的单调递增区间为(， 2+ )，( + 2+ ，+ )， 单调递减区间为( 2+ ， )，(， + 2+ ) （2）令() = () () = 2+ + 2 2（x1） ， 则当 a（0，1）时，() = (+2)(11+)(1+1+) (+)2 令 h（x）0，则 x= 1 + 1 + ， 当 1x1 + 1 + 时，h（x）0；当1 + 1 + 时，h（x）0， h（x）在(1，1+ 1 + )上单调递减，在(1 + 1 + ，+ )上单调递增， ()= (1 + 1 + )，又 h（1）12a，当

37、0a 1 2时，h（x）0， 当 1 2时，取 xe 2，则 x2lnx2e242e260，即 h（e2）0， 又 h（x）在(1 + 1 + ，+ )上单调递增，()= (1 + 1 + )0， 由零点存在性定理知，h（x）在(1 + 1 + ，+ )上存在唯一的零点， 当 1 2时，方程 h（x）0 在（1，+）上有唯一解， 即存在 a（0，1） ，方程 f（x）g（x）在（1，+）上有唯一解 四解答题（共四解答题（共 1 小题，满分小题，满分 10 分，每小题分，每小题 10 分）分） 22（10 分） 在直角坐标系 xOy 中， 曲线 C 的参数方程为 = 3 4 = 12 5 + 9

38、 5 （ 为参数） 以 坐标原点 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 ( + 3) = 3 （1）曲线 C 的普通方程和直线 l 的直角坐标方程； （2）若直线 l 与曲线 C 交于 P，Q 两点，M（2，0） ，求|MP|+|MQ|的值 【解答】解： （1）曲线 C 的参数方程 = 3 4 = 12 5 + 9 5 消去参数 得，曲线 C 的普 通方程为 2 25 + 2 9 = 1 ( + 3) = 3，3 + 23 = 0， 直线 l 的直角坐标方程为3 + 23 = 0（5 分） 第 18 页（共 18 页） （2）设直线 l 的参数方程为 = 2

39、 1 2 = 3 2 （t 为参数） ， 将其代入曲线 C 的直角坐标方程并化简得 7t26t630，1+ 2= 6 7，12 = 9 点 M（2，0）在直线 l 上， | + | = |1 2| = (1+ 2)2 412=36 49 + 36 = 302 7 （10 分） 五解答题（共五解答题（共 1 小题）小题） 23已知函数 f（x）|x3|2|x| （1）求不等式 f（x）2 的解集； （2）若 f（x）的最大值为 m，正数 a，b，c 满足 a+b+cm，求证：a2+b2+c23 【解答】解： （1）f（x）|x3|2|x|，f（x）2， 当 x0 时，f（x）|x3|2|x|（3

40、x）+2xx+3， 由 f（x）2，得 x+32，解得 x1，此时1x0 当 0x3 时，f（x）|x3|2|x|（3x）2x33x， 由 f（x）2，得 33x2，解得 1 3，此时0 1 3； 当 x3 时，f（x）|x3|2|x|（x3）2xx36， 此时不等式 f（x）2 无解， 综上，不等式 f（x）2 的解集为1， 1 3 （2）由（1）可知，() = + 3， 0 3 3，03 3， 3 当 x0 时，f（x）x+33； 当 0x3 时，f（x）33x（6，3） ； 当 x3 时，f（x）x36 函数 yf（x）的最大值为 m3，则 a+b+c3 由柯西不等式可得（1+1+1） （a2+b2+c2）（a+b+c）2， 即 3（a2+b2+c2）32，即 a2+b2+c23， 当且仅当 abc1 时，等号成立 因此 a2+b2+c23