第二课时-向量的坐标表示课件.ppt

1、1平面向量基本定理及坐标表示平面向量基本定理及坐标表示 (1)平面向量基本定理平面向量基本定理 定理定理：如果如果e1，e2是同一平面内的两个是同一平面内的两个 的向量，那么对于这一平面内的的向量，那么对于这一平面内的任意向量任意向量a，一对实数一对实数1，2，使使a .其中其中，叫做表示这一平面内所有向量的一组基底叫做表示这一平面内所有向量的一组基底不共线不共线有且只有有且只有1e12e2不共线的向量不共线的向量e1、e2(2)平面向量的正交分解平面向量的正交分解一个平面向量用一组基底一个平面向量用一组基底e1、e2表示成表示成a1e12e2的形式，我们称它为向量的形式，我们称它为向量a的的

2、 当当e1，e2所在直线互相垂直时，这种分解也称为向量所在直线互相垂直时，这种分解也称为向量a的的 (3)平面向量的坐标表示平面向量的坐标表示对于向量对于向量a，当它的起点移至原点，当它的起点移至原点O时，其终点坐标时，其终点坐标(x，y)称为向量称为向量a的的 ，记作记作a 分解分解正交分解正交分解坐标坐标(x，y)2平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算(1)加法、减法、数乘运算加法、减法、数乘运算向量向量abababa坐标坐标(x1，y1)(x2，y2)(x1x2，y1y2)(x1x2，y1y2)(x1，y1)(2)向量坐标的求法向量坐标的求法已知已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，则

3、，则 (x2x1，y2y1)，即一个向量的坐标等于该向量即一个向量的坐标等于该向量 的坐标减去的坐标减去 的坐标的坐标(3)向量平行的坐标表示向量平行的坐标表示设设a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中，其中b0，则则a与与b共线共线a .终点终点始点始点x1y2x2y10b1(2010南京市第九中学高三调研测试南京市第九中学高三调研测试)已知向量已知向量a(1,2)，b(2,3)，若若(ab)(ab)，则，则_.解析：解析：(ab)(ab)(2,23)(1，1)0.2230，答案：答案：2.已已知点知点A（2，3），），B（-1，5），且），且 则点则点C，D的坐标分别是的坐标分别是_，_

4、.解析：解析：(3,2)，设，设C(x，y)，则由，则由 得：得：(x2，y3)(3,2)，x1，y ，C(1，)同理得同理得D(7,9)答案：答案：(1，)(7,9)1由平面向量基本定理知，平面内的任一向量都可以用一组基底表示，由平面向量基本定理知，平面内的任一向量都可以用一组基底表示，基底不同，表示的方法也不同基底不同，表示的方法也不同2利用基底表示向量，主要是利用平行四边形法则或三角形法则进行利用基底表示向量，主要是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的线性运算向量的线性运算【例例1】如右图如右图，在平行四边形在平行四边形ABCD中中，M，N分别为分别为DC，BC的中点的中点，已知已知

5、 试用试用c，d表示表示 思路点拨：思路点拨：直接用直接用c，d表示表示 有难度，可换一个角度，有难度，可换一个角度，由由 表示表示 ，进而求，进而求 解：解：解法一解法一：设设 则则 ，b ，将将代入代入得得a ，代入，代入得得bc 解法二：解法二：设设 .因因M，N分别为分别为CD，BC中点，中点，所以所以，因而因而 即即 1向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行，若已知向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用方程思想的运用2利用向

6、量的坐标运算解题主要是根据相等的向量坐标相同这一利用向量的坐标运算解题主要是根据相等的向量坐标相同这一原则，通过列方程原则，通过列方程(组组)进行求解进行求解3利用坐标运算求向量的基底表示，一般先求出基底向量和被表示利用坐标运算求向量的基底表示，一般先求出基底向量和被表示向量的坐标，再用待定系数法求出线性系数向量的坐标，再用待定系数法求出线性系数4向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来，就可以使很多几了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来，就可以使很多几何问题的解答转化为我们

7、熟知的数量运算何问题的解答转化为我们熟知的数量运算【例例2】已知已知A(2,4)、B(3，1)、C(3，4)且且 ，求点求点M、N及及 的坐标的坐标思路点拨：思路点拨：由由A、B、C三点的坐标易求得三点的坐标易求得 的坐标，的坐标，再根据向量坐标的定义就可求出再根据向量坐标的定义就可求出M、N的坐标的坐标解：解：A(2,4)、B(3，1)、C(3，4)，(1,8)，(6,3)，设设M(x，y)，则有，则有 (x3，y4)，M点的坐标为点的坐标为(0,20)同理可求得同理可求得N(9,2)，因此，因此 (9，18)，故所求点故所求点M、N的坐标分别为的坐标分别为(0,20)、(9,2)，的坐标为

8、的坐标为(9，18)1平面向量平面向量a与与b(b0)共线的充要条件是共线的充要条件是ab，用坐标表示为：，用坐标表示为：abx1y2x2y10(a(x1，y1)，b(x2，y2)且且b 0)2向量共线的坐标表示提供了通过代数运算来解决向量共线的方法，也为向量共线的坐标表示提供了通过代数运算来解决向量共线的方法，也为点共线、线平行问题的处理提供了容易操作的方法解题时要注意共线向点共线、线平行问题的处理提供了容易操作的方法解题时要注意共线向量定理的坐标表示本身具有公式特征，应学会利用这一点来构造函数和方量定理的坐标表示本身具有公式特征，应学会利用这一点来构造函数和方程，以便用函数与方程的思想解题

9、程，以便用函数与方程的思想解题【例例3】向量向量 (k k,12)，(4,5)，(10，k k)，当当k k为何值时，为何值时，A、B、C三点共线三点共线 思路点拨：思路点拨：根据向量共线的充要条件，若根据向量共线的充要条件，若A、B、C三点共线，三点共线，只要只要 满足满足 (或或 )，就可以列方程求出，就可以列方程求出k k的值的值 或利用向量平行的充要条件求出或利用向量平行的充要条件求出k k的值的值解：解法一：解：解法一：(4,5)(k k,12)(4k k，7)，(10，k k)(4,5)(6，k k5)A、B、C三点共线，三点共线，即，即(4k k，7)(6，k k5)(6，(k

10、k5)解得解得k k11或或2.解法二：解法二：接解法一，接解法一，A、B、C三点共线，三点共线，(4k k)(k k5)6(7)，解得解得k k11或或2.1向量平行的充要条件是建立向量的坐标及其运算的理论依据；平面向量的基向量平行的充要条件是建立向量的坐标及其运算的理论依据；平面向量的基本定理是平面向量坐标表示的基础本定理是平面向量坐标表示的基础2利用平面向量的基本定理，可将几何问题转化为向量问题，其具体过程大致为：利用平面向量的基本定理，可将几何问题转化为向量问题，其具体过程大致为：(1)适当选择基底适当选择基底(两个彼此不共线向量两个彼此不共线向量)；(2)用基底显示几何问题的条件和结

11、论；用基底显示几何问题的条件和结论；(3)利用共线向量的充要条件、向量垂直的充要条件，通过向量的运算解决平行、利用共线向量的充要条件、向量垂直的充要条件，通过向量的运算解决平行、垂直、成角和距离的证明和计算等问题垂直、成角和距离的证明和计算等问题【规律方法总结规律方法总结】【例例4】已知向量已知向量a(1,2)，b(2,1)，k k，t为正实数为正实数，xa(t21)b，y(1)若若xy，求求k k的最大值的最大值；(2)是否存在是否存在k k，t，使使xy？若存在，求出若存在，求出k k的取值范围的取值范围；若不存在，请说明理由若不存在，请说明理由.本题最易出错的是向量的坐标运算，如计算向量

12、本题最易出错的是向量的坐标运算，如计算向量x，y时，对数与向量的乘积只乘向时，对数与向量的乘积只乘向量的一个坐标；以坐标形式的向量加减运算时，漏掉其中的某个坐标；当向量量的一个坐标；以坐标形式的向量加减运算时，漏掉其中的某个坐标；当向量x，y垂直时数量积的运算错误，向量垂直时数量积的运算错误，向量x，y平行时，向量的坐标之间的关系用错等如把平行时，向量的坐标之间的关系用错等如把xy的条件是两个向量坐标交叉相乘之差等于零写成交叉之积的和等于零，即：的条件是两个向量坐标交叉相乘之差等于零写成交叉之积的和等于零，即：，其结果是，其结果是k k这样只要给正数这样只要给正数t一个大于一个大于 的值，就得

13、到一个正数的值，就得到一个正数k k，其结果就是存在的，其结果就是存在的【错因分析错因分析】解：解：x(1,2)(t21)(2,1)(2t21，t23)，y(1)若若xy，则则xy0，即即 整理得整理得，k k，当且仅当当且仅当t ，即即t1时取等号时取等号，k kmax(2)假设存在正实数假设存在正实数k k，t，使使xy，则则 化简得化简得 0，即即t3tk k0.(2)因为因为k k、t为正实数，故不存在正数为正实数，故不存在正数k使上式成立，从而不存在使上式成立，从而不存在k k、t，使，使xy.,【答题模板答题模板】向量的模与数量积向量的模与数量积之间有关系式向量的模与数量积向量的模

14、与数量积之间有关系式|a|2a2aa，这是一个简，这是一个简单而重要但又容易用错的地方，由这个关系还可以得到如单而重要但又容易用错的地方，由这个关系还可以得到如|ab|2|a|22ab|b|2，|abc|a|2|b|2|c|22ab2bc2ca等公式，是用向量的数量积解等公式，是用向量的数量积解决向量模的重要关系式在解决与向量模有关的问题时要仔细辨别题目的已知条决向量模的重要关系式在解决与向量模有关的问题时要仔细辨别题目的已知条件，用好向量的模与数量积之间的关系件，用好向量的模与数量积之间的关系.【状元笔记状元笔记】1如图，在平行四边形如图，在平行四边形ABCD中，中，A(1,1)，(6,0)

15、，点点M是线段是线段AB的中点，线段的中点，线段CM与与BD交于点交于点P.(1)若若 =(3,5)，求点，求点C的坐标；的坐标；(2)当当 时，求点时，求点P的轨迹方程的轨迹方程 分析分析：(1)可根据两个向量相等，对应的坐标相等求出可根据两个向量相等，对应的坐标相等求出C的坐标；的坐标；(2)设出点设出点P的坐标，用坐标表示两个对角线所表示的向量，根据的坐标，用坐标表示两个对角线所表示的向量，根据 菱形的对角线互相垂直，求出菱形的对角线互相垂直，求出P的轨迹方程的轨迹方程解：解：(1)设点设点C的坐标为的坐标为(x0，y0)=(9,5)，(x0-1，y0-1)=(9,5)，x0=10，y0=6，即点即点C的坐标为的坐标为(10,6)(2)设点设点P的坐标为的坐标为(x，y)，则则=(x-7，y-1)，=(3x-9,3y-3)，ABCD为菱形为菱形，从而有从而有(x-7，y-1)(3x-9,3y-3)=0，(x-7)(3x-9)+(y-1)(3y-3)=0，x2+y2-10 x-2y+22=0(y1)即点即点P的轨迹方程为的轨迹方程为x2+y2-10 x-2y+22=0(y1)