第三讲-古代希腊数学下课件.ppt

1、亚历山大（匈牙利,1980）亚历山大时期：希腊数学黄金时代亚历山大时期：希腊数学黄金时代从公元前从公元前330年左右到公元前年左右到公元前30年左右，年左右，希腊数学希腊数学的中心从雅典转移到了埃及的亚历山大城。的中心从雅典转移到了埃及的亚历山大城。亚历亚历山大帝国一分为三后，托勒密帝国统治希腊埃及，山大帝国一分为三后，托勒密帝国统治希腊埃及，其首都亚历山大城成为希腊文化的中心。其首都亚历山大城成为希腊文化的中心。托勒密一世曾经是亚里士多德的学生，他在执政托勒密一世曾经是亚里士多德的学生，他在执政后修建了（亚历山大）缪斯艺术宫，这实际上是后修建了（亚历山大）缪斯艺术宫，这实际上是一个大博物馆，

2、收藏的图书和手稿据说有一个大博物馆，收藏的图书和手稿据说有5070万卷。当时的许多著名学者都被请到亚历山大里万卷。当时的许多著名学者都被请到亚历山大里亚，用国家经费供养着。亚，用国家经费供养着。学者云集，人才辈出！学者云集，人才辈出！先后出现了欧几里得、阿基米德先后出现了欧几里得、阿基米德和阿波罗尼奥斯三大数学家，和阿波罗尼奥斯三大数学家，他们的成就标志了古典希腊数他们的成就标志了古典希腊数学的巅峰。学的巅峰。一、欧几里得与几何原本一、欧几里得与几何原本 欧几里得（约公元前欧几里得（约公元前330260），应托勒密一），应托勒密一世之邀到亚历山大，成为亚历山大学派的奠基世之邀到亚历山大，成为亚

3、历山大学派的奠基人。欧几里得系统地整理了以往的几何学成就，人。欧几里得系统地整理了以往的几何学成就，写出了写出了13卷原本，欧几里得的工作不仅为卷原本，欧几里得的工作不仅为几何学的研究和教学提供了蓝本，而且对整个几何学的研究和教学提供了蓝本，而且对整个自然科学的发展有深远的影响。自然科学的发展有深远的影响。爱因斯坦说：爱因斯坦说：“西方科学的发展是以两个伟大西方科学的发展是以两个伟大的成就为基础的，那就是：希腊哲学家发明形的成就为基础的，那就是：希腊哲学家发明形式逻辑体系（在欧几里得几何学中），以及通式逻辑体系（在欧几里得几何学中），以及通过系统的实验发现有可能找到因果关系（在文过系统的实验发

4、现有可能找到因果关系（在文艺复兴时期）。艺复兴时期）。”一一几何原本几何原本的产生的产生公元前约公元前约300年年 欧几里德（欧几里德（Euclid）集前人工作之大成，把欧多克斯、泰特托斯、集前人工作之大成，把欧多克斯、泰特托斯、希波克拉底等人的著作收入希波克拉底等人的著作收入几何原本几何原本，加以整理和系统化加以整理和系统化意义：意义：欧几里德欧几里德几何原本几何原本的出现，是数学史上的出现，是数学史上一个伟大的里程碑，它不仅是几何学建立一个伟大的里程碑，它不仅是几何学建立的标志，同时也是公理体系在具体学科中的标志，同时也是公理体系在具体学科中应用成功的标志。应用成功的标志。二二几何原本几何

5、原本的内容简介的内容简介13卷卷475个命题个命题5个公理（一切科学公有的真理）个公理（一切科学公有的真理）5个公设（某一门科学所接受的第一性原理）个公设（某一门科学所接受的第一性原理）点、线、面原始概念（不加定义或者说给出描述性定义：实质不能算作定义）n第一卷：直边形，全等、平行公理、毕达哥拉斯定理、初等作图法等n第二卷：几何方法解代数问题，求面积、体积n第三、四卷：圆、弦、切线、圆的内接、外切n第五、六卷：比例论与相似形n第七、八、九、十卷：数论n第十一、十二、十三卷：立体几何，包括穷竭法，是微积分思想的来源五条公理：五条公理：1.等于同量的量彼此相等.2.等量加等量,和相等.3.等量减等

6、量,差相等.4.彼此重合的图形是全等的.5.整体大于部分.五条公设：五条公设：从任意一点到任意一点可作直线（线段）（也就是：两点从任意一点到任意一点可作直线（线段）（也就是：两点决定一条直线）；决定一条直线）；有限直线可以继续延长；有限直线可以继续延长；以任意一点为中心及任意的距离（为半径）可以画圆；以任意一点为中心及任意的距离（为半径）可以画圆；所有直角都相等；所有直角都相等；同一平面内一条直线和另外两条直线相交，若在某一侧的同一平面内一条直线和另外两条直线相交，若在某一侧的两个内角和小于两直角，则这两直线经无限延长后在这一侧两个内角和小于两直角，则这两直线经无限延长后在这一侧相交。相交。n

7、几何原本的不足：1）定义并不严格2）公理并不总是自明的：关于第五公设n第五公设的等价公设：过已知直线外一点能且只能作一条直线与已知直线平行 n高斯、罗巴切夫斯基、波约 创立非欧几何（球面几何、双曲几何、椭圆几何）n这场几何学的革命冲破了欧氏几何传统的束缚，从此几何学呈现出更加精彩纷呈的局面 三三几何原本几何原本思想方法的特点思想方法的特点1 封闭的演绎体系封闭的演绎体系2 抽象化的内容抽象化的内容3 公理化的方法公理化的方法四四几何原本几何原本思想方法的深远意义思想方法的深远意义近代西方数学的主要源泉之一近代西方数学的主要源泉之一对数学认识的一个质的飞跃对数学认识的一个质的飞跃古希腊数学的最高

8、成就之一古希腊数学的最高成就之一对世界数学的发展和数学人才的培养（教育与对世界数学的发展和数学人才的培养（教育与传播）产生了巨大影响传播）产生了巨大影响几何原本的影响几何原本的影响几何原本对后来数学思想有重要影响。几何原本对后来数学思想有重要影响。其一：公理化思想其一：公理化思想从一些基本的概念和公理出发，从一些基本的概念和公理出发，利用纯逻辑推理的方法，把一门学科建立成演绎系统利用纯逻辑推理的方法，把一门学科建立成演绎系统的方法。后来的许多著作都仿照这种格式写成，如牛的方法。后来的许多著作都仿照这种格式写成，如牛顿的自然哲学的数学原理等；顿的自然哲学的数学原理等；其二：几何直观与严格逻辑推理

9、的结合使欧几里得几何其二：几何直观与严格逻辑推理的结合使欧几里得几何长期被认为是最正宗的数学知识，笛卡儿在发明了解长期被认为是最正宗的数学知识，笛卡儿在发明了解析几何后仍坚持对每一个几何作图给出综合证明，牛析几何后仍坚持对每一个几何作图给出综合证明，牛顿在第一次公开他的微积分发明时也要对这一算法作顿在第一次公开他的微积分发明时也要对这一算法作出几何解释；出几何解释；其三：导致非欧几何的诞生。其三：导致非欧几何的诞生。原本原本具体内容例说具体内容例说第、及（6）卷包含了平面几何的一些基本内容，如全等三角形、平行线、多边形、圆、毕达哥拉斯定理、初等作图及相似形等。毕达哥拉斯定理（卷命题47）的证明

10、是用面积来做的。勾股定理之欧几里得证法：首先证明ABD FBC，推得矩形BL的面积与正方形ABFG的面积相等（）；同理推得矩形CL的面积与正方形ACKH的面积相等。新娘的轿椅新娘的轿椅或或修士的头巾修士的头巾 第、卷中涉及所谓“几何代数”的内容，即以几何形式处理的代数问题。例如卷命题4：若把一线在任意一点割开，则在整个线上的正方形等于两段上的正方形加上以两段为边的矩形（如图）。相当于代数关系式：相当于代数关系式：2222)(bababa第卷讲比例论，是以欧多克斯的工作为基础的。有人认为这一卷代表了原本的最大成就，因为它在当时的认识水平上消除了由不可公度量引起的数学危机。第卷是将比例理论由可公度

11、量推广到不可公度量，使它能适用于更广泛的几何命题证明，从而巧妙地回避了无理量引起的麻烦。同原本的其它部分相比，第5卷的内容颇引人争议。问题的根本解决，要到19世纪，当人们借助极限过程对无理数作出严格定义之后。比例论举例:定理 如果两个三角形的高相等,则它们的面积之比等于两底长之比比例定义：A，B；C，D对任何正整数m和n，关系 nDmCnBmABmC=m(BC)，ABmC=m(ABC)；DEn=n(DE)，ADEn=n(ADE)。由已证明的结果，可知 DECBDAECABnmnm也就是说，)()()()(DEnBCmADEnABCm据比例定义，有ABC：ADEBC：DE DECBDAECABn

12、mnm第、卷是关于数论的内容，其中陈述了求两数最大公因子的辗转相除法，即著名的欧几里得算法。这几卷给出了关于整数的一些定理及其证明，特别是素数分解的唯一性、素数个数无穷，等等。这些内容说明，将原本看成是一部纯几何的著作是多少有些误解的。试证：素数有无穷多个试证：素数有无穷多个.第卷讨论不可公度量，并试图进行分类。该卷篇幅最大，实际上欧几里得在这里仅涉及了可表为 的无理数。最后的三卷（、）主要是立体几何的内容，包括棱柱、棱锥、圆柱、圆锥和球等立体的体积定理以及对正多面体的讨论（在卷中证明了正多面体只有五种）。卷中详细陈述了穷竭法。穷竭法是古希腊数学家证明面积、体积定理时经常使用的一种得力方法。它

13、由安提丰首创，但完善、成熟的穷竭法主要归功于欧多克斯，也就是原本卷中所记载的方法。ba 穷竭法穷竭法古希腊的安提芬(Antiphon 480-403BC)最早表述了穷竭法，他在研究“化圆为方”问题时，提出了使用圆内接正多边形面积“穷竭”圆面积的思想。后来，古希腊数学家欧多克斯(Eudoxus of Cnidus,408-355 BC)改进了安提芬的穷竭法。将其定义为：“在一个量中减去比其一半还大的量，不断重复这个过程，可以使剩下的量变得任意小”。（联想古代庄子的说法！）即即原本原本卷卷 命题命题2圆内接正方形的面积等于外切正方形面积的一半；圆内接正方形的面积大于圆面积的一半；圆内接正八边形的面

14、积与圆内接正方形面积之差大于圆与内接正方形面积之差的一半；圆内接正2n边形与正n边形面积之差必大于圆与正n边形面积之差的一半。n1482 第一个拉丁文印刷本(威尼斯)n1607 中译本几何原本(徐光启,利玛窦)二、阿基米德的数学成就二、阿基米德的数学成就 阿基米德阿基米德阿基米德（阿基米德（Archimedes，公元前公元前287-212）出生于西西里岛的叙拉古，曾在亚历山大出生于西西里岛的叙拉古，曾在亚历山大跟欧几里得的学生学习过，离开亚历山大跟欧几里得的学生学习过，离开亚历山大后仍与那里的师友保持联系，他的许多成后仍与那里的师友保持联系，他的许多成果都是通过与亚历山大学者的通信而保存果都是

15、通过与亚历山大学者的通信而保存下来的。因此，阿基米德通常被看成是亚下来的。因此，阿基米德通常被看成是亚历山大学派的成员。历山大学派的成员。阿基米德的著作很多，内容涉及数学、力阿基米德的著作很多，内容涉及数学、力学及天文学等。学及天文学等。n穷竭法是安蒂丰首先使用，并被古希腊数穷竭法是安蒂丰首先使用，并被古希腊数学家普遍用来证明面积和体积的方法。穷学家普遍用来证明面积和体积的方法。穷竭法可以用来严格证明已经猜想出来的命竭法可以用来严格证明已经猜想出来的命题，但不能用来发现新的结果。题，但不能用来发现新的结果。阿基米德的数学著作集中探讨与面积和体积计算相关的问题。在圆的度量中，阿基米德将穷竭法应用

16、于圆的周长和面积公式。他从圆内接正三角形出发，边数逐次加倍，计算到正96边形而得到圆周率的近似值22/7（约率）；355/113作为密率，是由中国数学家祖冲之计算得出的，又称祖率。又，祖冲之利用刘徽的割圆术，从圆内接正六边形出发一直连续计算到正24576边形，得到3.14159263.1415927。n阿基米德发明了求面积和体积的阿基米德发明了求面积和体积的“平衡法平衡法”，求出面积或体积后再用求出面积或体积后再用“穷竭法穷竭法”加以证明。加以证明。阿基米德阿基米德“平衡法平衡法”与与“穷竭法穷竭法”的结合是的结合是严格证明与创造技巧相结合的典范。严格证明与创造技巧相结合的典范。n阿基米德用阿

17、基米德用“平衡法平衡法”推导了球体积公式。推导了球体积公式。刻在阿基米德墓碑上的几何图形代表了他所刻在阿基米德墓碑上的几何图形代表了他所证明的一条数学定理：以球的直径为底和高证明的一条数学定理：以球的直径为底和高的圆柱，其体积是球体积的的圆柱，其体积是球体积的3/2，其表面积，其表面积是球面积的是球面积的3/2。n在1906年，一位叫海伯格的丹麦学者在君士坦丁堡发现了一份新的阿基米德手稿。那是一本羊皮书，表面看是一本祷告书，但在杂乱的祷告文字下，竟然掩藏着公元十世纪拜占庭时期制作的阿基米德著作抄本，其中包括一篇过去从不为人所知的作品-阿基米德致另一位希腊数学家埃拉托塞尼的一封信,阿基米德在信中

18、陈述了15 个命题,借以阐释发现求积公式的方法,即通常被称为“平衡法”的方法,此文因此又以方法论著称。n“平衡法”实质上是一种原始的积分法，我们下面要介绍的阿基米德球体积公式的推导，基本上是方法论中命题2 的复述。海伯格的发现轰动一时，那份被称作阿基米德羊皮书的手稿被誉为“20世纪最重大的考古发现”。正当更多的人期望一探真容时，阿基米德羊皮书又神秘地离开了它长期藏身的君士坦丁堡东正教修道院图书馆。此后羊皮书曾转辗于法国巴黎古董商和私人收藏家之手，直到1998年出现在纽约克里斯蒂拍卖行。一位不愿透露姓名的买家以200万美元的巨款购得这本看上去破旧不堪的羊皮书，不久将它托交美国巴尔的摩华特艺术博物

19、馆并允其公开展示。目前，阿基米德羊皮书在华特艺术博物馆得到了现代技术的维护和修复，并有一个很强的专家组对其进行全面深入的研究阿基米德 圆柱容球图圆柱容球图:球球;圆柱圆柱;圆锥圆锥球：（设球片半径r，则有圆锥：圆柱：(球+圆锥)2R:求和:2R(球体积圆锥体积)4R圆柱体积*2R(球体积 球体积 xxRx)2()2(2)(2222xRxxxRRxRr）xR 2xx 2xxRRxxxxRx2242)2(48 R)3/83R3/43R*阿基米德认为:每一小片至定点的力矩和相当于整体置于中心至同一点的力矩.n与欧几里得相比，阿基米德可以说是一位应用数与欧几里得相比，阿基米德可以说是一位应用数学家。在

20、论浮体中论述了浮力原理、在论学家。在论浮体中论述了浮力原理、在论平面图形的平衡或其重心中论述了杠杆原理。平面图形的平衡或其重心中论述了杠杆原理。曾设计了一组复杂的滑车装置，使叙拉古国王亲曾设计了一组复杂的滑车装置，使叙拉古国王亲手移动了一只巨大的三桅货船，他说：手移动了一只巨大的三桅货船，他说：“给我一给我一个支点，我可以移动地球个支点，我可以移动地球”。在保卫叙拉古的战。在保卫叙拉古的战斗中发明了许多军械如石炮、火镜等。后被罗马斗中发明了许多军械如石炮、火镜等。后被罗马士兵杀害，死时士兵杀害，死时75岁。传说曾下令不要杀死阿基岁。传说曾下令不要杀死阿基米德的罗马主将马塞吕斯事后特意为阿基米德

21、建米德的罗马主将马塞吕斯事后特意为阿基米德建墓。墓。应用数学家阿基米德应用数学家阿基米德阿基米德之墓碑阿基米德之死三、阿波罗尼奥斯与圆锥曲线论三、阿波罗尼奥斯与圆锥曲线论 阿波罗尼奥斯阿波罗尼奥斯阿波罗尼奥斯（阿波罗尼奥斯（Apollonius，公元前公元前262-190）出生于小亚细亚（今土尔其一）出生于小亚细亚（今土尔其一带），年轻时曾在亚历山大城跟随欧几带），年轻时曾在亚历山大城跟随欧几里得的学生学习，后到小亚细亚西岸的里得的学生学习，后到小亚细亚西岸的帕加蒙王国居住与工作，晚年又回到亚帕加蒙王国居住与工作，晚年又回到亚历山大。历山大。阿波罗尼奥斯的主要数学成就是在前人阿波罗尼奥斯的主要

22、数学成就是在前人工作的基础上创立了相当完美的圆锥曲工作的基础上创立了相当完美的圆锥曲线理论，编著圆锥曲线论线理论，编著圆锥曲线论。n全书共全书共8卷，含卷，含487个命题。在阿波罗尼奥斯之前，个命题。在阿波罗尼奥斯之前，希腊人用三种不同圆锥面导出圆锥曲线，阿波罗希腊人用三种不同圆锥面导出圆锥曲线，阿波罗尼奥斯则第一次从一个对顶圆锥得到所有的圆锥尼奥斯则第一次从一个对顶圆锥得到所有的圆锥曲线，并给它们以正式的名称：亏曲线、齐曲线、曲线，并给它们以正式的名称：亏曲线、齐曲线、盈曲线（李善兰翻译时取意译名椭圆、抛物线、盈曲线（李善兰翻译时取意译名椭圆、抛物线、双曲线）。双曲线）。n圆锥曲线论可以说是

23、希腊演绎几何的最高成圆锥曲线论可以说是希腊演绎几何的最高成就。几何学的新发展要到就。几何学的新发展要到17世纪笛卡儿等人的解世纪笛卡儿等人的解析方法出现后才得以来临。析方法出现后才得以来临。阿波罗尼奥斯用统一的方式引出三种圆锥曲线后，便阿波罗尼奥斯用统一的方式引出三种圆锥曲线后，便展开了对它们性质的广泛讨论，内容涉及圆锥曲线展开了对它们性质的广泛讨论，内容涉及圆锥曲线的直径、公轭直径、切线、中心、双曲线的渐进线、的直径、公轭直径、切线、中心、双曲线的渐进线、椭圆与双曲线的焦点以及处在不同位置上的圆锥曲椭圆与双曲线的焦点以及处在不同位置上的圆锥曲线的交点数等。圆锥曲线论中包含了许多即使线的交点数

24、等。圆锥曲线论中包含了许多即使按今天的眼光看也是很深奥的问题。第按今天的眼光看也是很深奥的问题。第5卷中关于卷中关于定点到圆锥曲线的最长和最短线段的探讨，实质上定点到圆锥曲线的最长和最短线段的探讨，实质上提出了圆锥曲线的法线包络即渐屈线的概念，它们提出了圆锥曲线的法线包络即渐屈线的概念，它们是近代微分几何的课题。第是近代微分几何的课题。第3、4卷中关于圆锥曲线卷中关于圆锥曲线的极点与极线的调和性质的论述，则包含了射影几的极点与极线的调和性质的论述，则包含了射影几何学的萌芽思想。何学的萌芽思想。公元前公元前6世纪，在意大利半岛的台伯河畔，有一座世纪，在意大利半岛的台伯河畔，有一座罗马城逐渐建立起

25、来。公元前罗马城逐渐建立起来。公元前509年，罗马建立了共年，罗马建立了共和国。古罗马经过多个世纪的战争，时分时合多次。和国。古罗马经过多个世纪的战争，时分时合多次。公元前公元前27年，罗马建立了元首政治，共和国宣告灭亡，年，罗马建立了元首政治，共和国宣告灭亡，从此进入罗马帝国时代。在公元前从此进入罗马帝国时代。在公元前1世纪完全征服了世纪完全征服了希腊各国而夺得了地中海地区的霸权，建立了强大的希腊各国而夺得了地中海地区的霸权，建立了强大的罗马帝国。罗马帝国。1世纪时，罗马帝国继续扩张，到世纪时，罗马帝国继续扩张，到2世纪，世纪，帝国版图确定下来，它地跨欧、亚、非三洲，地中海帝国版图确定下来，

26、它地跨欧、亚、非三洲，地中海成了它的内湖。传统的史学家把公元前成了它的内湖。传统的史学家把公元前27年到公元年到公元284年称为早期罗马帝国。年称为早期罗马帝国。罗马帝国的建立，唯理的希腊文明从而罗马帝国的建立，唯理的希腊文明从而被务实的罗马文明所取代。同气势恢弘的罗被务实的罗马文明所取代。同气势恢弘的罗马建筑相比，罗马人在数学领域远谈不上有马建筑相比，罗马人在数学领域远谈不上有什么显赫的功绩。由于希腊文化的惯性影响什么显赫的功绩。由于希腊文化的惯性影响以及罗马统治者对自由研究的宽松态度，在以及罗马统治者对自由研究的宽松态度，在相当长一段时间内亚历山大城仍然维持学术相当长一段时间内亚历山大城仍

27、然维持学术中心的地位，产生了一批杰出的数学家和数中心的地位，产生了一批杰出的数学家和数学著作。从公元前学著作。从公元前30年公元年公元600年常称为希年常称为希腊数学的腊数学的“亚历山大后期亚历山大后期”。n海伦（海伦（Heron，前，前1世纪世纪公元公元1世纪）推导出求三世纪）推导出求三角形面积的海伦公式。角形面积的海伦公式。n托勒密（托勒密（Ptolemy约约100170）的地球中心学说。托）的地球中心学说。托勒密利用大量的观察资料，进行浩繁的计算，写出勒密利用大量的观察资料，进行浩繁的计算，写出八卷本的大综合论（又译天文学大成，简八卷本的大综合论（又译天文学大成，简称大成），详细论述了太

28、阳系和宇宙以地球为称大成），详细论述了太阳系和宇宙以地球为中心的学说。在托勒密的地心说中，行星是绕着一中心的学说。在托勒密的地心说中，行星是绕着一种数学上的点（本轮中心）运动的，而这些点又位种数学上的点（本轮中心）运动的，而这些点又位于均轮上围绕地球运转。托勒密的地心说虽然不反于均轮上围绕地球运转。托勒密的地心说虽然不反映宇宙的实际结构，但是依据上述的数学图解却比映宇宙的实际结构，但是依据上述的数学图解却比较完满地解释了当时所观测到的行星运动情况。较完满地解释了当时所观测到的行星运动情况。是三角形的半周长pcpbpapp)()(n托勒密将圆周分成托勒密将圆周分成360度，角的度量采用度，角的度

29、量采用60进制，还应用托勒密定理（圆内接四边形中，进制，还应用托勒密定理（圆内接四边形中，两条对角线长的乘积等于两对对边长乘积之两条对角线长的乘积等于两对对边长乘积之和）造出了一张正弦表。和）造出了一张正弦表。n梅涅劳斯（梅涅劳斯（Menelaus，约公元，约公元1世纪）的球世纪）的球面学是球面三角学的开山之作。面学是球面三角学的开山之作。n罗马时期希腊数学的一个重要特征是突破了以几罗马时期希腊数学的一个重要特征是突破了以几何学为中心的传统，使算术和代数成为独立的学何学为中心的传统，使算术和代数成为独立的学科。丢番图（科。丢番图（Diophantus）的算术用纯分析）的算术用纯分析的途径处理数

30、论与代数问题（包括不定方程），的途径处理数论与代数问题（包括不定方程），可以看作是希腊算术与代数的最高成就可以看作是希腊算术与代数的最高成就。n现在我们通常把现在我们通常把“求整系数不定方程的整数解问求整系数不定方程的整数解问题题”叫做叫做“丢番图问题丢番图问题”。n费马大定理费马大定理亚历山大后期（罗马时期）亚历山大后期（罗马时期）的数学成就的数学成就 之丢番图的算术之丢番图的算术丢番图的丢番图的算术算术丢番图的墓志铭关于丢番图的生平没有什么记载，大约公元关于丢番图的生平没有什么记载，大约公元250年前后活动于亚历山大城，他活了年前后活动于亚历山大城，他活了84岁。岁。这可以从他的墓志铭中算

31、出：丢番图的童年这可以从他的墓志铭中算出：丢番图的童年占一生的占一生的1/6，此后过了一生的，此后过了一生的1/12开始长胡开始长胡子，再过一生的子，再过一生的1/7后结婚，婚后后结婚，婚后5年生了个年生了个孩子，孩子活到父亲一半的年龄，孩子死后孩子，孩子活到父亲一半的年龄，孩子死后4年父亲也去世了。年父亲也去世了。如何求解？如何求解？n罗马时期的最后一位重要数学家是帕波斯（罗马时期的最后一位重要数学家是帕波斯（Pappus，约公元，约公元300-350），著作数学汇编是一部总结前人成果的典型著），著作数学汇编是一部总结前人成果的典型著作，在数学史上有特殊的意义，有许多古代希腊数学的宝贵资作，

32、在数学史上有特殊的意义，有许多古代希腊数学的宝贵资料就是因为有数学汇编的记载才得以保存下来。料就是因为有数学汇编的记载才得以保存下来。n数学汇编也包含了帕波斯本人的创造性贡献。突出例子有数学汇编也包含了帕波斯本人的创造性贡献。突出例子有等周问题；在周长相等的平面图形中，圆的面积最大。帕波斯等周问题；在周长相等的平面图形中，圆的面积最大。帕波斯还据此考察了蜂巢结构的某种极值性质。关于旋转体体积的帕还据此考察了蜂巢结构的某种极值性质。关于旋转体体积的帕波斯定理波斯定理一平面图形绕同一平面上的轴线旋转形成的立体体一平面图形绕同一平面上的轴线旋转形成的立体体积，等于这图形的面积乘以其重心所画圆周的长，

33、到积，等于这图形的面积乘以其重心所画圆周的长，到17世纪世纪被古尔丁被古尔丁(P.Guldin)重新发现。重新发现。n数学汇编的有些内容还刺激了近代解析几何与射影几何的数学汇编的有些内容还刺激了近代解析几何与射影几何的生长。生长。古希腊数学的落幕古希腊数学的落幕数学汇编被认为是古希腊数学的安魂数学汇编被认为是古希腊数学的安魂曲。帕波斯之后，希腊数学日渐衰微。曲。帕波斯之后，希腊数学日渐衰微。喧嚣尘上的基督教在罗马被奉为国教后，喧嚣尘上的基督教在罗马被奉为国教后，将希腊学术视为异端邪说，对异教学者将希腊学术视为异端邪说，对异教学者横加迫害。公元横加迫害。公元415年，亚历山大女数年，亚历山大女数

34、学家希帕蒂亚学家希帕蒂亚(Hypatia)被一群听命于主被一群听命于主教西里尔教西里尔(Cyril)的基督暴徒残酷杀害。的基督暴徒残酷杀害。希帕蒂亚是评注欧几里得原本的塞希帕蒂亚是评注欧几里得原本的塞翁的女儿，她本人也注释过阿基米德、翁的女儿，她本人也注释过阿基米德、阿比罗尼奥斯和丢番图的著作，是历史阿比罗尼奥斯和丢番图的著作，是历史上第一位杰出的女数学家。希帕蒂亚的上第一位杰出的女数学家。希帕蒂亚的被害预示了在基督教的阴影的笼罩下整被害预示了在基督教的阴影的笼罩下整个中世纪欧洲数学的厄运。个中世纪欧洲数学的厄运。希帕蒂娅 约公元370-415谢谢大家！请多指教！谢谢大家！请多指教！E-mail: