第七章-层流边界层的流动与换热课件.ppt

1、高等传热学内容?第一章导热理论和导热微分方程?第二章稳态导热?第三章非稳态导热?第四章凝固和熔化时的导热?第五章导热问题的数值解?第六章对流换热基本方程?第七章层流边界层的流动与换热?第八章槽道内层流流动与换热?第九章湍流流动与换热?第十章自然对流?第十一章 热辐射基础?第十二章 辐射换热计算?第十三章 复合换热第七章层流边界层的流动与换热?上一章从质量、动量和能量守恒出发，建立了对流换热的数学描述。但是，由于方程的强非线性，得到这些偏微分方程的分析解通常是十分困难的，只有极个别的问题采用经典方法得到了分析解。?本章讨论边界层理论，导出边界层微分力程，它是基于守恒原理的数学近似，为求解实际问题

2、大大简化了数学方程组。有关边界层微分方程的经典解法 相似解，在本章中给予详细讨论，同时，对求解简单积分方程的方法进行介绍。7-1 对流换热中的根本问题对流换热中的根本问题?工程上经常遇到的典型对流换热的外部问题，如图7-1 所示，流体以均匀的速度u和温度T流过温度为Tc的平板。这种换热表面可以是建筑围护结构、电于器件冷却表面，也可以是换热器的表面或肋表面。工程中需要了解以下两个问题：?(1)介质中平板的受力情况。?(2)平板与介质的换热情况。?对第一个问题的分析，可以得到流动的阻力(压力损失)，也就是维持流动所需要的泵功率或能耗。这是流体力学与工程热力学应用于传热过程的问题。通过对第二个问题的

3、回答，可以预测平板与介质之间的传热速率，这是传热学的根本问题。7-1 对流换热中的根本问题对流换热中的根本问题图7-1 沿平板流动的边界层速度和温度分别7-1 对流换热中的根本问题对流换热中的根本问题?可以通过实验的方法，也可以通过分析的方法得到以上问题的速度分布和温度分布，进而获得流动阻力和热流密度。?以二维常物性不可压缩流体为例，控制微分方程组可由第六章中的基本方程得到：0uvxy?22221()uupuuuvxyxxy?22221()vvpvvuvxyxxy?2222()TTTTuvaxyxy?边界条件为：?壁面处?u=0，非滑移界面?v=0，无渗透表面?T=Tc，常壁温?远离壁面处?u

4、U，均匀流?v=0，均匀流?T=T，均匀温度?求解以上方程组，可以得到速度场和温度场，利用粘性定律可以得到表面摩擦阻力，利用傅里叶定律可以得到壁面处的热流密度。7-1 对流换热中的根本问题对流换热中的根本问题?上一节给出的二维稳态常物性的数学方程是一组非线性偏微分方程，除极少数简单状况外，通常不能得到分析解。1904 年，普朗特提出的边界层理论大大简化了纳维-斯托克斯方程，使许多工程间题得到了有效的解决。?7-2-1 速度边界层?通过实验观察可以发现，流体流过平板时，由于流体粘性的作用，在壁面处流体的速度为零，在垂直于流动方向的很短距离内，速度迅速增加到接近主流速度（即速度梯度主要出现在靠近壁

5、面的区域）。边界层理论认为，只在贴壁处的薄层内考虑粘性的影响，此薄层称为速度边界层，如图7-2 所示。7-2 边界层分析边界层分析7-2 边界层分析边界层分析图7-2 外掠平板的速度边界层?通常定义边界层的外缘为速度达到主流速度的99处，即u=0.99U，U 表示主流速度。在y以外区域，粘性的影响由于速度梯度很小而忽略不计，按理想流体处理。边界层理论将流场分为两个区域。其一是流体粘性起主要作用的边界层区。此区域中垂直于主流方向的速度梯度很大，尽管介质的粘性较小，但粘性切应力很大，动量传递主要依靠分子扩散，认为边界层外缘的速度已达到主流速度，此处横向速度梯度接近于零。另一区域是边界层外的流动，该

6、区域中流体的速度梯度接近于零，粘性力可以忽略不计，按无粘性的势流处理，符合伯努利方程。严格地讲，边界层区与主流区无明确的分界面，按实际壁面粘性滞止作用的影响区，其边界应在无限远处。因此，边界层是一种人为引进的理想化概念。?边界层的另一重要特点是其厚度远远小于平壁的长度L，即占L。理论上讲，在平板前缘边界层理论并不成立，在以后的分析中不难得到此结论。?此外，边界层内的流动也分为层流区、湍流区和缓冲层区，这些在流体力学和基础传热学中已有详细介绍，这里不再重复。7-2 边界层分析边界层分析?7-2-2 温度边界层温度边界层?与速度边界层类似，当具有均匀温度的流体流过一壁面时，若壁面温度与流体温度不同

7、，流体温度将在靠近壁面的一个很薄的区域内从壁面温度变化到主流温度，该层称为温度边界层，或热边界层。热边界层厚度用t表示，如图7-3 所示，通常规定其边界在垂直于流动方向流体温差tt 等于0.99(ttw)处，t表示主流温度，tw表示壁面温度。在温度边界层内，温度梯度很大，而其外部温度梯度很小可以忽略不计，即热边界层外可近似按等温区处理。热边界层厚度与流动方向的尺寸相比也是小量。速度边界层厚度通常不等于温度边界层厚度，两者的关系通常取决于流体的热物性。7-2 边界层分析边界层分析7-2 边界层分析边界层分析图7-3 外掠平板的温度边界层?7-2-3 边界层微分方程组边界层微分方程组?在主流区?(

8、7-2-1)?用表示速度u由壁面处的u=0 变化到接近主流速度U的距离的数量级。在边界层区域，可以得到如下数量级关系：?x L，y，uU(7-2-2)?在包含边界层的L区域，考虑连续性方程?(7-2-3)?可知(7-2-4)7-2 边界层分析边界层分析,0,vpp tt?u=U0uvxy?UVL?UVL?考虑边界层内x 方向的动量方程?在上式中，惯性力项均为，不能忽略任一项。但在边界层区域，则速度边界层外的速度u 等于主流速度U，得到该区域的速度。将其带入方程(7-2-24)，不难发现对流项主要由第一项控制，即?(7-2-25)?进一步可以得到?(7-2-26)2,tttttuvaL?vUL?

9、2ttUt La?1 21 21 2 Pr RetLPeL?7-2 边界层分析边界层分析?其中是贝克来数。比较式(7-2-20)和式(7-2-26)可以发现，温度边界层厚度与速度边界层厚度之间的关系取决于普朗特数，即?(7-2-27)?低普朗特数(Pr1)下的对流换热表面传热系数可以表示为?，Pr 1 (7-2-33)?，Pr1 (7-2-34)?在边界层内，惯性力与粘性力始终是平衡的，Re反映的是一个几何尺寸特性一边界层的厚度与流动长度的比值见式(7-2-20)。1 31 2 PrRetLL?1 3 Pr1t?1 31 2PrReLhL?1 31 2 PrReLNu7-3 层流边界层流动和换

10、热的相似解层流边界层流动和换热的相似解?7-3-1 外掠平板层流边界层流动和换热的相似解?1.布劳修斯解布劳修斯解?上节边界层分析给出了边界层微分方程组，在一定条件下，通过不同方式可以获得解，本书采用相似变换求解，也称相似解。相似解的核心是经过选择合适的相似变量，将偏微分方程转化为常微分方程。1908 年，布劳修斯采用无量纲流函数及无量纲坐标，求解了外掠平板层流边界层流动的偏微分方程，如图7-4 所示，边界层内流动方向的速度从壁面处为零一直变化到远离壁面处的u=U。尽管边界层内速度分布不相似，但不同x处的速度变化范围是相同的,即速度分布被伸展。7-2 边界层分析边界层分析图7-4 平壁上的速度

11、边界层7-3 层流边界层流动和换热的相似解层流边界层流动和换热的相似解?引入无量纲速度和相似变量：?(7-3-1)?相似变量与坐标y成正比，比例系数与x有关。令?(7-3-2)?可见，边界层内不同x处与的关系是相同的，对于的无量纲速度分布亦是相同的。?将速度用流函数表示：?(7-3-3)?则(7-3-4)uU?()uU?1 2Re()xUyyyxxvx?uU?,uvyx?1uUUy?7-3 层流边界层流动和换热的相似解层流边界层流动和换热的相似解?引入前面定义的相似变量，得到?(7-3-5)?令，称无量纲流函数，则有了?(7-3-6)?考虑常物性不可压流体流过平板的二维稳态边界层的连续性方程(

12、7-1-1)和动量方程(7-2-14)：?(1)?(2)()uUU vx?fU vx?1 2()()U vxf?0uvxy?22uvuuvvxyy?7-3 层流边界层流动和换热的相似解层流边界层流动和换热的相似解?对应的边界条件是?y=0,u=v=0 (7-3-7)?y ,u U(7-3-8)?应用流函数，连续性方程得到满足,动量方程的形式为?(7-3-9)?对应的边界条件是?y=0,=0,(7-3-10)?y,(7-3-11)22323vy x yx yy?0y?y?7-3 层流边界层流动和换热的相似解层流边界层流动和换热的相似解?将式(7-3-6)代人式(7-3-9)(7-3-11)，可以

13、得到相似变换后的常微分方程，并简化为?(7-3-12)?边界条件?(7-3-13)?(7-3-14)?方程(7-3-12)称为布劳修斯方程。?布劳修斯采用泰勒级数展开的方法求解了这个非线性方程。将f()取的泰勒级数得?(7-3-15)?上式取导数得?(7-3-16)20fff?0,0ff?,1f?233201()2!3!ccfcc?23212()2!3!ccfc?7-3 层流边界层流动和换热的相似解层流边界层流动和换热的相似解?由边界条件可得，。进一步求出和，将所得结果代入方程(7-3-12)，得到?(7-3-17)?为保证在0 范围内上式均成立，则常数项和相似变量前的系数必须为零，即和?所有

14、不为零的系数等均可表示成c2的关联式。于是得到?(7-3-18)010,0cc?ff225234222()2!2!cccc?340,0cc?252202!2!cc?2252cc?25811,c c c c222582221111()2!2 5!48!cccf?7-3 层流边界层流动和换热的相似解层流边界层流动和换热的相似解?由时，得，等等。赛比西(Cebeci)等采用龙格-库塔法求解了同样问题，霍沃思(Howarth)给出了更高精度的数值解，表7-l 是其部分结果。?由表7-1可知，=5.0时，通常边界层外缘处速度取，即?(7-3-19)?(7-3-20)?1f?250.332,0.055cc

15、?0.99155ufU?5.0vxU?1 25.0Rexx?7-3 层流边界层流动和换热的相似解层流边界层流动和换热的相似解7-3 层流边界层流动和换热的相似解层流边界层流动和换热的相似解?获得速度分布后，可以进一步得到壁面处的粘性剪应力w：?(7-3-21)?由表7-1 知，故?(7-3-22)?引入局部摩擦系数?(7-3-23)?对应于整个平板长度L的平均摩擦系数为?(7-3-24)32002()()(0)wyyUufyyvx?(0)0.332f?320.3320.332RewxUUx?1 220.664Re12wfxCU?1 2,011.328ReLf mfLCC dxL?7-3 层流边

16、界层流动和换热的相似解层流边界层流动和换热的相似解?2.波尔豪森解波尔豪森解?常物性流体以均匀流速U和均匀温度t外掠平壁，平壁壁面温度为tw，流体与壁面间的换热使得在壁面上形成温度边界层。根据前面的边界层分析，对于忽略粘性耗散的常物性不可压缩流体的二维稳态流动，其边界层能量方程即式(7-3-20)为?y=0,t=tw(7-3-25)?y,t=tw(7-3-26)?引入无量纲温度?(7-3-27)?上述边界层能量方程变为?(7-3-28)22tttuvaxyy?wwtttt?22uvaxyy?7-3 层流边界层流动和换热的相似解层流边界层流动和换热的相似解?与动量方程相似解方法类似，引入相似变量

17、有?(7-3-29)?(7-3-30)?(7-3-31)1 2Re()xUyyyxxvx?111()()()22Uyvxxxxx?()Uyyvx?22()Uyvx?7-3 层流边界层流动和换热的相似解层流边界层流动和换热的相似解?将式(7-3-29)(7-3-31)和流函数表示的速度代入边界层能量方程(7-3-28)，可以得到?(7-3-32)?相应的边界条件是?(7-3-33)?波尔豪森首先得到了上述常微分方程的解。采用分离变量积分方法，由式(7-3-32)可得?(7-3-34)?进一步积分得?(7-3-35)1Pr02f?0,0,1?和0Pr()(0)exp()2fd?0Pr()2fdd?

18、0（）=（0）exp7-3 层流边界层流动和换热的相似解层流边界层流动和换热的相似解?由边界条件式(7-3-33)得?(7-3-36)?显然，局部对流表面传热系数为?(7-3-37)?因此?(7-3-38)?式(7-3-36)已表明是Pr数的函数，波尔豪森给出了一系列的数值。表7-2 给出了不同Pr数时外掠平壁的的数值。可以发现，在Pr=0.6 15的范围内，可以十分精确地用表示，即得10Pr()2fd?x0（0）=exp-1 2Rexxhx?（0）1 2Rex?xNu（0）?（0）?（0）?（0）?（0）130.332Pr7-3 层流边界层流动和换热的相似解层流边界层流动和换热的相似解7-3

19、 层流边界层流动和换热的相似解层流边界层流动和换热的相似解?(7-3-38)?对于Pr 0.6的低普朗数流体，其导热性能很好，前面边界层分析已说明，当 时，与前面推导的基本假设不一致，因而式(7-5-16)、(7-5-17)不适用于低Pr数的液态金属。然而，对于Pr=0.51范围内的介质，时可得t 。x0=0时，积分方程的解与相似解十分接近，因而前面的公式也可用于气体。?由牛顿冷却公式可得壁面处的对流换热表面传热系数?(7-5-18)?则局部Nu数为?(7-5-19)?若无初始加热段，x0=0，则与精确解完全一致。33()22wwtqhtt?1 31 21 300.332RePr1xxhxNu

20、x?3 4（）001xx?7-5 层流边界层积分方程的近似解层流边界层积分方程的近似解?7-5-2 Pr 1 的边界层能量方程的近似解的边界层能量方程的近似解?若流体的Pr 1，则其温度边界层的厚度t，远大于速度边界层厚度。温度边界层的速度分布将分为两部分：在速度边界层内，与前面假设的三次方多项式相同；在速度边界层外、温度边界层内，即yt，根据边界层的定义，速度为主流速度，uU，而温度边界层内的温度分布为?(7-5-20)?将速度分布和温度分布代人能量积分方程式，得?(7-5-21)?简化得到?(7-5-22)331()2wttttyytt?333031333()()1()()1()22222

21、twwwtttttttdyyyydyyUttdy Uttdyadxdx?24312 11 13(1)85352dadxU?7-5 层流边界层积分方程的近似解层流边界层积分方程的近似解?因，代入上式有?(7-5-23)?因流体的Pr1，1/1，可以近似简化为?(7-5-24)?(7-5-25)?进一步可得局部数为?(7-5-26)?与精确解相差5左右。14013ddxU?22412 11 11(1)5352.69Pr?212.69 Pr?1 21Pr1.64t?1 21 30.531RePrxNu?7-5 层流边界层积分方程的近似解层流边界层积分方程的近似解?7-5-3 U任意变化的边界层积分方

22、程的近似解任意变化的边界层积分方程的近似解?1.动量积分方程式动量积分方程式?把边界层位移厚度和动量厚度?代入动量积分方程，得到?(7-5-27)000()()ydUdduu Uu dyUu dydxdxdy?1020(1)(1)udyUuudyUU?221wddUUUdxdx?7-5 层流边界层积分方程的近似解层流边界层积分方程的近似解?两侧同乘以，得到?(7-5-28)?定义边界层剪切厚度?(7-5-29)?取无量纲形状参数，代入式(7-5-29)，有?(7-5-30)2U?22212222(2)wUddUdxUdx?40wyUUdudy?12H?24T?2222()22(2)ddUUTH

23、dxdx?7-5 层流边界层积分方程的近似解层流边界层积分方程的近似解?其中除物性参数外其它参数U、2和H、T 均与坐标x有关，因而可以将影响归属于一个当地参数?(7-5-31)?边界层内速度分布取为?(7-5-32a)?其中?根据以上速度分布，可以求出边界层厚度1、2和4以及H、T 和w，并都是的函数。式(7-5-30)的左端可以表示为?(7-5-32b)22()dUxdx?()()uFGU?2431,()22,()(1)6yFG?2222()()()ddUUdxdx?7-5 层流边界层积分方程的近似解层流边界层积分方程的近似解?对于楔状流(Ucxm)，速度分布的解前面已经给出。许多研究者指

24、出，楔状流的积分方程解与精确解十分接近。塞邦(Sebang)建议可以用直线表示()函数，即?(7-5-33)?其中a=0.44，b=5.68。?将式(7-5-33)代入式(7-5-32)，得?(7-5-34)?(7-5-35)?（）=ab2212()bd Ua Udx?0.54.841 222.8400.664()xUdxU?7-5 层流边界层积分方程的近似解层流边界层积分方程的近似解?2.能量积分方程式能量积分方程式?二维层流无喷注的能量积分方程可以写为?(7-5-36)?考虑换热厚度的定义，有?(7-5-37)?式(7-5-36)两侧同乘以，得到?(7-5-38)22()wpwpqddUc

25、 UttdxU x?4()wpwpqhc UttU?4U?44241PrUddUdxdx?7-5 层流边界层积分方程的近似解层流边界层积分方程的近似解?引入边界层内三次方温度分布和速度分布，经整理可以得到与动量方程类似的描述：?(7-5-39)?对于Pr=0.7的情况，可以用直线来近似，建议的直线方程为?(7-5-40)?积分上式，经整理得(Pr=0.7)?(7-5-41)?(7-5-42)2244()(,Pr)ddUUfdxdx?224411.682.87U ddUdxdx?21.872.874011.68xUdx U?1 20.43521.870.5400.418()xUhStUUdx?7-5 层流边界层积分方程的近似解层流边界层积分方程的近似解?若U=常数，平板流动，上式简化为?(7-5-43)?(7-5-44)?与精确解十分接近。1 20.4350.50.9350.50.4180.418RexUStUx?0.51 30.330RePr,Pr0.7xNu?