主成分分析和因子分析(同名4)课件.ppt

1、整理课件1主成分分析和因子分析主成分分析和因子分析 整理课件2汇报什么？汇报什么？假定你是一个公司的财务经理，掌握了公司的所有数据，比如假定你是一个公司的财务经理，掌握了公司的所有数据，比如固定资产、流动资金、每一笔借贷的数额和期限、各种税费、固定资产、流动资金、每一笔借贷的数额和期限、各种税费、工资支出、原料消耗、产值、利润、折旧、职工人数、职工的工资支出、原料消耗、产值、利润、折旧、职工人数、职工的分工和教育程度等等分工和教育程度等等。如果让你向上面介绍公司状况，你能够把这些指标和数字都如果让你向上面介绍公司状况，你能够把这些指标和数字都原原封不动地摆出去吗封不动地摆出去吗？当然不能。当然

2、不能。你必须要把各个方面作出高度概括，你必须要把各个方面作出高度概括，用一两个指标简单明了地用一两个指标简单明了地把情况说清楚。把情况说清楚。整理课件3主成分分析主成分分析 每个人都会遇到有每个人都会遇到有很多变量很多变量的数据。的数据。比如全国或各个地区的带有许多经济和社会变量的数据；各个比如全国或各个地区的带有许多经济和社会变量的数据；各个学校的研究、教学等各种变量的数据等等。学校的研究、教学等各种变量的数据等等。这些数据的共同特点是变量很多，在如此多的变量之中，有很这些数据的共同特点是变量很多，在如此多的变量之中，有很多是相关的。人们希望能够找出它们的多是相关的。人们希望能够找出它们的少

3、数少数“代表代表”来对它们来对它们进行描述。进行描述。本章就介绍两种把变量维数降低以便于描述、理解和分析的方本章就介绍两种把变量维数降低以便于描述、理解和分析的方法：法：主成分分析主成分分析（principal component analysisprincipal component analysis）和）和因子分因子分析析（factor analysisfactor analysis）。实际上）。实际上主成分分析可以说是因子分析主成分分析可以说是因子分析的一个特例的一个特例。在引进主成分分析之前，先看下面的例子。在引进主成分分析之前，先看下面的例子。整理课件4成绩数据（成绩数据（stude

4、nt.sav）100个学生的数学、物理、化学、语文、历史、英语的成绩如下个学生的数学、物理、化学、语文、历史、英语的成绩如下表（部分）。表（部分）。整理课件5从本例可能提出的问题从本例可能提出的问题 目前的问题是，能不能把这个数据的目前的问题是，能不能把这个数据的6 6个变量个变量用一两个综合变量来表示呢？用一两个综合变量来表示呢？这一两个综合变量包含有多少原来的信息呢？这一两个综合变量包含有多少原来的信息呢？能不能利用找到的综合变量来对学生排序呢？能不能利用找到的综合变量来对学生排序呢？这一类数据所涉及的问题可以推广到对企业，这一类数据所涉及的问题可以推广到对企业，对学校进行分析、排序、判别

5、和分类等问题。对学校进行分析、排序、判别和分类等问题。整理课件6空间的点空间的点 例中的的数据点是六维的；也就是说，每个观测值是例中的的数据点是六维的；也就是说，每个观测值是6维空间中维空间中的一个点。我们希望把的一个点。我们希望把6维空间用低维空间表示。维空间用低维空间表示。先假定只有二维，即只有两个变量，它们由横坐标和纵坐标所先假定只有二维，即只有两个变量，它们由横坐标和纵坐标所代表；因此每个观测值都有相应于这两个坐标轴的两个坐标值；代表；因此每个观测值都有相应于这两个坐标轴的两个坐标值；如果这些数据形成一个椭圆形状的点阵（这在变量的二维正态如果这些数据形成一个椭圆形状的点阵（这在变量的二

6、维正态的假定下是可能的）的假定下是可能的）那么这个椭圆有一个长轴和一个短轴。在短轴方向上，数据变那么这个椭圆有一个长轴和一个短轴。在短轴方向上，数据变化很少；在极端的情况，短轴如果退化成一点，那只有在长轴化很少；在极端的情况，短轴如果退化成一点，那只有在长轴的方向才能够解释这些点的变化了；这样，由二维到一维的降的方向才能够解释这些点的变化了；这样，由二维到一维的降维就自然完成了。维就自然完成了。整理课件7-4-2024-4-2024整理课件8椭球的长短轴椭球的长短轴 当坐标轴和椭圆的长短轴平行，那么代表长轴的变量就描述当坐标轴和椭圆的长短轴平行，那么代表长轴的变量就描述了数据的主要变化，而代表

7、短轴的变量就描述了数据的次要了数据的主要变化，而代表短轴的变量就描述了数据的次要变化。变化。但是，坐标轴通常并不和椭圆的长短轴平行。因此，需要寻但是，坐标轴通常并不和椭圆的长短轴平行。因此，需要寻找椭圆的长短轴，并进行变换，使得新变量和椭圆的长短轴找椭圆的长短轴，并进行变换，使得新变量和椭圆的长短轴平行。平行。如果长轴变量代表了数据包含的大部分信息，就用该变量代如果长轴变量代表了数据包含的大部分信息，就用该变量代替原先的两个变量（舍去次要的一维），降维就完成了。替原先的两个变量（舍去次要的一维），降维就完成了。椭圆（球）的长短轴相差得越大，降维也越有道理。椭圆（球）的长短轴相差得越大，降维也越

8、有道理。整理课件9-4-2024-4-2024整理课件10主轴和主成分主轴和主成分 对于多维变量的情况和二维类似，也有高维的椭球，对于多维变量的情况和二维类似，也有高维的椭球，只不过无法直观地看见罢了。只不过无法直观地看见罢了。首先把高维椭球的主轴找出来，再用代表大多数数首先把高维椭球的主轴找出来，再用代表大多数数据信息的最长的几个轴作为新变量；这样，主成分据信息的最长的几个轴作为新变量；这样，主成分分析就基本完成了。分析就基本完成了。注意，和二维情况类似，高维椭球的主轴也是互相注意，和二维情况类似，高维椭球的主轴也是互相垂直的。这些互相正交的新变量是原先变量的线性垂直的。这些互相正交的新变量

9、是原先变量的线性组合，叫做主成分组合，叫做主成分(principal component)。整理课件11主成分之选取主成分之选取 正如二维椭圆有两个主轴，三维椭球有三个主轴一正如二维椭圆有两个主轴，三维椭球有三个主轴一样，有几个变量，就有几个主成分。样，有几个变量，就有几个主成分。选择越少的主成分，降维就越好。什么是标准呢？选择越少的主成分，降维就越好。什么是标准呢？那就是这些被选的主成分所代表的主轴的长度之和那就是这些被选的主成分所代表的主轴的长度之和占了主轴长度总和的大部分。有些文献建议，所选占了主轴长度总和的大部分。有些文献建议，所选的主轴总长度占所有主轴长度之和的的主轴总长度占所有主轴

10、长度之和的大约大约85%即可，即可，其实，其实，这只是一个大体的说法这只是一个大体的说法；具体选几个，要看；具体选几个，要看实际情况而定。实际情况而定。整理课件12主成分分析的数学 要寻找方差最大的方向。即使得要寻找方差最大的方向。即使得向量向量X的线性组的线性组合合aX的方差最大的方向的方差最大的方向a.而而Var(aX)=aCov(X)a;由于由于Cov(X)未知；未知；于是于是用用X的样本相关阵的样本相关阵R来近似来近似.因此，要寻找向量因此，要寻找向量a使得使得aRa最大最大(注意相关阵和协方差阵差一个常注意相关阵和协方差阵差一个常数数 记得相关阵和特征值问题吗记得相关阵和特征值问题吗

11、?回顾一下吧回顾一下吧!选择几个主成分呢选择几个主成分呢?要看要看“贡献率贡献率.”整理课件13 对于我们的数据，对于我们的数据，SPSSSPSS输出为输出为 这里的这里的Initial Eigenvalues就是这里的六个主轴长度，又就是这里的六个主轴长度，又称特征值（数据相关阵的特征值）。称特征值（数据相关阵的特征值）。头两个成分特征值头两个成分特征值累积占了总方差的累积占了总方差的81.142%。后面的特征值的贡献越来。后面的特征值的贡献越来越少。越少。T To ot ta al l V Va ar ri ia an nc ce e E Ex xp pl la ai in ne ed d

12、3.73562.25462.2543.73562.25462.2541.13318.88781.1421.13318.88781.142.4577.61988.761.3235.37694.137.1993.32097.457.1532.543100.000Component123456Total%of VarianceCumulative%Total%of VarianceCumulative%Initial EigenvaluesExtraction Sums of Squared LoadingsExtraction Method:Principal Component Analysis

13、.整理课件14 特征值的贡献还可以从特征值的贡献还可以从SPSS的所谓碎石图看出的所谓碎石图看出Scree PlotComponent Number654321Eigenvalue43210整理课件15 怎么解释这两个主成分。前面说过主成分是原始六个变怎么解释这两个主成分。前面说过主成分是原始六个变量的线性组合。是怎么样的组合呢？量的线性组合。是怎么样的组合呢？SPSSSPSS可以可以输出下面输出下面的表。的表。C Co om mp po on ne en nt t M Ma at tr ri ix xa a-.806.353-.040.468.021.068-.674.531-.454-.2

14、40-.001-.006-.675.513.499-.181.002.003.893.306-.004-.037.077.320.825.435.002.079-.342-.083.836.425.000.074.276-.197MATHPHYSCHEMLITERATHISTORYENGLISH123456ComponentExtraction Method:Principal Component Analysis.6 components extracted.a.这里每一列代表一个主成分作为原来变量线性组合的系数（比这里每一列代表一个主成分作为原来变量线性组合的系数（比例）。比如第一主成分为

15、数学、物理、化学、语文、历史、英例）。比如第一主成分为数学、物理、化学、语文、历史、英语这六个变量的线性组合，系数（比例）为语这六个变量的线性组合，系数（比例）为-0.806,-0.674,-0.675,0.893,0.825,0.836。整理课件16 如用如用x x1 1,x x2 2,x x3 3,x x4 4,x x5 5,x x6 6分别表示原先的六个变量，而用分别表示原先的六个变量，而用y y1 1,y y2 2,y y3 3,y y4 4,y y5 5,y y6 6表示新的主成分，那么，第一和第二主表示新的主成分，那么，第一和第二主成分为成分为11234562123456-0.80

16、6-0.674-0.6750.8930.8250.8360.3530.5310.5130.3060.4350.425yxxxxxxyxxxxxx 这些系数称为主成分载荷（这些系数称为主成分载荷（loading），它表示主成分和相应的），它表示主成分和相应的原先变量的相关系数。原先变量的相关系数。比如比如y1表示式中表示式中x1的系数为的系数为-0.806，这就是说第一主成分和数学，这就是说第一主成分和数学变量的相关系数为变量的相关系数为-0.806。相关系数相关系数(绝对值）越大，主成分对该变量的代表性也越大。可绝对值）越大，主成分对该变量的代表性也越大。可以看得出，第一主成分对各个变量解释得

17、都很充分。而最后的以看得出，第一主成分对各个变量解释得都很充分。而最后的几个主成分和原先的变量就不那么相关了。几个主成分和原先的变量就不那么相关了。整理课件17可以把第一和第二主成分的载荷可以把第一和第二主成分的载荷点出一个二维图以直观地显示它点出一个二维图以直观地显示它们如何解释原来的变量的。这个们如何解释原来的变量的。这个图叫做载荷图。图叫做载荷图。整理课件18Component PlotComponent 11.0.50.0-.5-1.0Component 21.0.50.0-.5-1.0englishhistoryliteratchemphysmath该图该图左面三个点是数学、物理、化

18、学三科左面三个点是数学、物理、化学三科，右边三个点是语文、历史、外右边三个点是语文、历史、外语三科。语三科。图中的六个点由于比较挤，不易分清，但只要认识到这些点的坐图中的六个点由于比较挤，不易分清，但只要认识到这些点的坐标是前面的第一二主成分载荷，坐标是前面表中第一二列中的数目，还是标是前面的第一二主成分载荷，坐标是前面表中第一二列中的数目，还是可以识别的。可以识别的。整理课件19因子分析因子分析 主成分分析从原理上是寻找椭球的所有主轴。因此，原先有几个变量，主成分分析从原理上是寻找椭球的所有主轴。因此，原先有几个变量，就有几个主成分。就有几个主成分。而因子分析是事先确定要找几个成分，这里叫因

19、子（而因子分析是事先确定要找几个成分，这里叫因子（factor）（比如两）（比如两个），那就找两个。个），那就找两个。这使得在数学模型上，因子分析和主成分分析有不少区别。而且因子分这使得在数学模型上，因子分析和主成分分析有不少区别。而且因子分析的计算也复杂得多。根据因子分析模型的特点，它还多一道工序：因析的计算也复杂得多。根据因子分析模型的特点，它还多一道工序：因子旋转（子旋转（factor rotation）；这个步骤可以使结果更好。）；这个步骤可以使结果更好。当然，对于计算机来说，因子分析并不比主成分分析多费多少时间。当然，对于计算机来说，因子分析并不比主成分分析多费多少时间。从输出的结果

20、来看，因子分析也有因子载荷（从输出的结果来看，因子分析也有因子载荷（factor loading）的概念，）的概念，代表了因子和原先变量的相关系数。但是在因子分析公式中的因子载荷代表了因子和原先变量的相关系数。但是在因子分析公式中的因子载荷和主成分分析中的因子载荷位置不同。因子分析也给出了二维图；但解和主成分分析中的因子载荷位置不同。因子分析也给出了二维图；但解释和主成分分析的载荷图类似。释和主成分分析的载荷图类似。整理课件20 主成分分析与因子分析的公式上的区别主成分分析与因子分析的公式上的区别111 11221221 122221 122ppppppppppya xa xa xya xa

21、xaxya xaxa x1111122112211222221122mmmmppppmmpxafafafxafafafxafafaf 111 11221221 122221 122ppppmmmmppfxxxfxxxfxxx主成分分析主成分分析因子分析因子分析(m ex=eigen(cor(z)；ex$values1 2.87331359 1.79666009 0.21483689 0.09993405 0.01525537$vectors house services employ school poppop 0.3427304-0.60162927 0.05951715-0.2040327

22、4 0.6894972617school 0.4525067 0.40641449 0.68882245 0.35357060 0.1748611748employ 0.3966948-0.54166500 0.24795775-0.02293716-0.6980136963services 0.5500565 0.07781686-0.66407565 0.50038572-0.0001235807house 0.4667384 0.41642892-0.13964890-0.76318182-0.0824254824 sweep(ex$ve,2,sqrt(ex$va),*)载荷载荷 hou

23、se services employ school poppop 0.5809571-0.8064212 0.02758650-0.064499538 8.516163e-02school 0.7670373 0.5447561 0.31927265 0.111771968 2.159757e-02employ 0.6724314-0.7260453 0.11492966-0.007250974-8.621352e-02services 0.9323926 0.1043054-0.30780239 0.158183675-1.526378e-05house 0.7911612 0.558179

24、5-0.06472796-0.241259690-1.018059e-02整理课件55正交性验证正交性验证 t(ex$ve)%*%ex$ve house services employ school pop house 1.00e+00 -5.55e-17 6.9e-17 -1.11e-16 0.00e+00 services -5.55e-17 1.00e+00 4.16e-17 0.00e+00 -8.33e-17 employ 6.94e-17 4.16e-17 1.00e+00 2.78e-17 5.38e-17 school -1.11e-16 0.00e+00 2.78e-17 1

25、.00e+00 -1.39e-17 pop 0.00e+00 -8.33e-17 5.38e-17 -1.39e-17 1.00e+00整理课件56相关阵的特征值相关阵的特征值:(R输出输出)2.8733 1.7967 0.2148 0.0999 0.0153特征向量矩阵特征向量矩阵(列向量列向量)A(R输出输出)0.343-0.6016 0.0595-0.2040 0.6894970.453 0.4064 0.6888 0.3536 0.1748610.397-0.5417 0.2480-0.0229-0.6980140.550 0.0778-0.6641 0.5004-0.0001240.

26、467 0.4164-0.1396-0.7632-0.082425整理课件57LA dataIndexEigen Value123450.00.51.01.52.02.53.0LA dataIndexCumulative Eigen Values123450.00.20.40.60.81.0整理课件58The SAS System 11:15 Sunday,September 22,2002Eigenvalues of the Correlation Matrix Eigenvalue Difference Proportion Cumulative PRIN1 2.87331 1.07665

27、 0.574663 0.57466 PRIN2 1.79666 1.58182 0.359332 0.93399 PRIN3 0.21484 0.11490 0.042967 0.97696 PRIN4 0.09993 0.08468 0.019987 0.99695 PRIN5 0.01526 .0.003051 1.00000 Eigenvectors PRIN1 PRIN2 PRIN3 PRIN4 PRIN5 X1 0.342730 0.601629 0.059517 0.204033 0.689497 X2 0.452507 -.406414 0.688822 -.353571 0.1

28、74861 X3 0.396695 0.541665 0.247958 0.022937 -.698014 X4 0.550057 -.077817 -.664076 -.500386 -.000124 X5 0.466738 -.416429 -.139649 0.763182 -.082425(SAS输出输出)整理课件59销售人员数据销售人员数据(salesmen.sav)（50个观测值）个观测值）销售增长销售增长 销售利润销售利润 新客户销售额新客户销售额 创造力创造力 机械推理机械推理 抽象推理抽象推理 数学推理数学推理93.0096.0097.809.0012.009.0020.00

29、88.8091.8096.807.0010.0010.0015.0095.00100.3099.008.0012.009.0026.00101.30103.80106.8013.0014.0012.0029.00102.00107.80103.0010.0015.0012.0032.0095.8097.5099.3010.0014.0011.0021.0095.5099.5099.009.0012.009.0025.00110.80122.00115.3018.0020.0015.0051.00102.80108.30103.8010.0017.0013.0031.00106.80120.50

30、102.0014.0018.0011.0039.00103.30109.80104.0012.0017.0012.0032.0099.50111.80100.3010.0018.008.0031.00103.50112.50107.0016.0017.0011.0034.0099.50105.50102.308.0010.0011.0034.00整理课件60特征值、累积贡献率特征值、累积贡献率Total Variance Explained5.03571.92371.9235.03571.92371.923.93413.33685.259.93413.33685.259.4987.11392.

31、372.4216.01898.3908.104E-021.15899.5472.034E-02.29199.8381.134E-02.162100.000Component1234567Total%ofVarianceCumulative%Total%ofVarianceCumulative%Initial EigenvaluesExtraction Sums of Squared LoadingsExtraction Method:Principal Component Analysis.整理课件61Scree PlotComponent Number7654321Eigenvalue654

32、3210特征值图特征值图整理课件62Component PlotComponent 11.0.50.0-.5-1.0Component 21.0.50.0-.5-1.0mathdabsdmechdcreativenewsalebenefitsale二主成分因子负二主成分因子负荷图荷图(,)ijiijr YXal整理课件63主成分的因子负荷主成分的因子负荷(每列平方和为相应特征值每列平方和为相应特征值,而每列除以相应特而每列除以相应特征值的平方根为相应的特征向量征值的平方根为相应的特征向量)这是主成分与各个变量的相关系这是主成分与各个变量的相关系数数有的书把它当成特征向量了有的书把它当成特征向量

33、了SPSS没有给出特征向量没有给出特征向量Component Matrixa.973.943.945.660.783.649.914SALEBENEFITNEWSALECREATIVEMECHDABSDMATHD1ComponentExtraction Method:Principal Component Analysis.1 components extracted.a.(,)ijiijr YXal整理课件64The SAS System Eigenvalues of the Correlation Matrix Eigenvalue Difference Proportion Cumula

34、tive PRIN1 5.03460 4.10108 0.719228 0.71923 PRIN2 0.93352 0.43560 0.133359 0.85259 PRIN3 0.49792 0.07667 0.071131 0.92372 PRIN4 0.42125 0.34021 0.060178 0.98390 PRIN5 0.08104 0.06070 0.011577 0.99547 PRIN6 0.02034 0.00900 0.002906 0.99838 PRIN7 0.01134 .0.001620 1.00000 Eigenvectors PRIN1 PRIN2 PRIN

35、3 PRIN4 PRIN5 PRIN6 PRIN7 SALE 0.433672 -.111754 -.075489 -.042373 0.632494 -.336596 -.527825 BENEFIT 0.420214 0.029287 -.442479 0.010753 -.000118 0.785342 -.099483 NEWSALE 0.421051 0.009202 0.204189 -.324928 -.701026 -.156811 -.399164 CREATIV 0.294286 0.668416 0.451492 -.302712 0.261008 0.114171 0.

36、299960 MECHD 0.349092 0.294944 0.005922 0.846604 -.174263 -.196909 0.072311 ABSD 0.289167 -.642378 0.603780 0.153674 0.086959 0.236261 0.228444 MATHD 0.407404 -.200368 -.434040 -.246013 -.049583 -.371111 0.636224(SAS输出输出)整理课件65后面是因子分析后面是因子分析(Factor Analysis)整理课件66因子分析因子分析(Factor Analysis)整理课件67男子径赛记

37、录数据男子径赛记录数据(MTF,p384)100m 200m 400m 800m 1500m 5000m 10000m Marathon10.39 20.81 46.84 1.813.7014.04 29.36 137.72 argentin 10.3120.0644.84 1.743.5713.28 27.66 128.30 australi 10.44 20.81 46.82 1.793.6013.26 27.72 135.90 austria 10.34 20.68 45.04 1.733.6013.22 27.45129.95 belgium 10.2820.58 45.91 1.80

38、3.7514.68 30.55 146.62 bermuda 10.22 20.43 45.21 1.733.6613.62 28.62 133.13 brazil 女子径赛记录数据女子径赛记录数据(FTF,p34)100m 200m 400m 800m 1500m 3000m Marathon11.6122.94 54.50 2.154.439.79178.52 argentin 11.2022.35 51.08 1.984.139.08152.37 australi11.4323.09 50.62 1.994.229.34159.37 austria 11.4123.04 52.00 2.

39、004.148.88157.85 belgium 11.4623.05 53.30 2.164.589.81169.98 bermuda 11.3123.17 52.80 2.104.499.77168.75 brazil.整理课件68人口普查数据人口普查数据(census,p383)5.9414.22.272.272.911.5213.1.60.752.622.60 12.71.241.111.724.0115.21.65.813.02(两个方法区别不大两个方法区别不大)股票数据股票数据(stock,p382).00.00.00.04.00.03-.04.00-.01.04.12.06.09

40、.09.08.06.03.07.01.02.整理课件691995中国社会数据中国社会数据(317.sav)变量变量:人均人均GDP(元元)新增固定资产新增固定资产(亿元亿元)城镇居民人均年可支配收入城镇居民人均年可支配收入(元元)农村居民家庭人均纯收人农村居民家庭人均纯收人(元元)高高等学校数等学校数(所所)卫生机构数卫生机构数(个个)地区地区:北京北京 天津天津 河北河北 山西山西 内蒙内蒙 辽宁辽宁 吉林吉林 黑龙江黑龙江 上海上海 江苏江苏 浙江浙江 安徽安徽 福建福建 江西江西 山东山东 河南河南 湖北湖北 湖南湖南 广广东东 广西广西 海南海南 四川四川 贵州贵州 云南云南 陕西陕西

41、 甘肃甘肃 青海青海 宁夏宁夏 新疆新疆 (296矩阵矩阵)北京北京 10265 30.81 6235 3223 65 4955天津天津 8164 49.13 4929 2406 21 3182河北河北 3376 77.76 3921 1668 47 10266山西山西 2819 33.97 3305 1206 26 5922内蒙内蒙 3013 54.51 2863 1208 19 4915.于秀林书上说可有三个因子于秀林书上说可有三个因子:收入因子收入因子,社会因子社会因子,投资因子投资因子整理课件7035家中国上市公司家中国上市公司2000年年报数据年年报数据(Chcomp.sav)变量变

42、量:净资产收益率净资产收益率%,总资产报酬率总资产报酬率%,资产负债率资产负债率%,总资产周转率总资产周转率,流动资产周转率流动资产周转率,已已获利息倍数获利息倍数,销售增长率销售增长率%,资本积累率资本积累率%公司公司:深能源深能源,深南电深南电,富龙热力富龙热力,穗恒运穗恒运,粤电力粤电力,韶能股份韶能股份,惠天热电惠天热电,原水股份原水股份,大连热电大连热电,龙电龙电股份股份,华银电力华银电力,长春经开长春经开,兴业房产兴业房产,金丰投资金丰投资,新黄新黄 浦浦,浦东金桥浦东金桥,外高桥外高桥,中华企业中华企业,渝开发渝开发,辽房辽房天天,粤宏远粤宏远,ST中福中福,倍特高新倍特高新,三

43、木集团三木集团,寰岛实业寰岛实业,中关中关 村村,中兴通讯中兴通讯,长城电脑长城电脑,青鸟华光青鸟华光,清华同清华同方方,永鼎光缆永鼎光缆,宏图高科宏图高科,海星科技海星科技,方正科技方正科技,复华实业复华实业(358矩阵矩阵)深能源深能源16.8512.3542.32.371.787.1845.7354.5深南电深南电22.0015.3046.51.761.7715.6748.1119.41富龙热力富龙热力8.977.9830.56.17.5810.4317.809.44.整理课件71Spearmans Example有一组古典文学、法语、英语、数学和音乐的测验成绩，有一组古典文学、法语、英

44、语、数学和音乐的测验成绩，从它们的相关性从它们的相关性表明存在一个潜在的表明存在一个潜在的“智力智力”因子（因子（F1）。而另一组变量，表示身体健康）。而另一组变量，表示身体健康的得分，只要有效就可以对应另一个潜在的因子（的得分，只要有效就可以对应另一个潜在的因子（F2）。记这些变量为）。记这些变量为(X1,Xp).我要寻求下面这样的结构：我要寻求下面这样的结构：111111221122211222221122,mmmmpppppmmpXa Fa Fa FXa Fa FaFXa Fa FaFor with matrix notationXAF整理课件7211111122112221122222

45、1122Or,with matrix notationmmmmpppppmmpXa Fa Fa FXa Fa FaFXa Fa FaFXAF整理课件73正交因子模型：正交因子模型：X-=AF+i 变量变量i的均值的均值 i 第第i个特殊因子个特殊因子Fi 第第i个公共因子个公共因子aij 第第i个变量在个变量在第第j个因子上的载荷个因子上的载荷不能观测的值满足下列条件：不能观测的值满足下列条件：F和和 独立独立E(F)=0,Cov(F)=IE()=0,Cov()=Y Y,Y Y是对角矩阵是对角矩阵整理课件74F为公共因子向量为公共因子向量,每个公共因子每个公共因子(如如Fi)是对是对模型中每个

46、变量都起作用的因子模型中每个变量都起作用的因子;而而 为特为特殊因子向量殊因子向量,每个特殊因子每个特殊因子(如如 i)只对一个只对一个变量变量(第第i个个)起作用起作用.整理课件75因子分析的方法在于估计因子分析的方法在于估计S S=AA+Y Y和和Y Y,再再分解以得到分解以得到A.X的协方差阵的协方差阵S S可以可以分解成分解成11 11 110(,.,)0pi i ippipppeUUeeeeelllllllS 这里这里l l1 l l2 l lp为为S S的特征值的特征值;而而e1,ep为相应的为相应的特征向量特征向量(e1,ep为主成分的系数为主成分的系数,因此称为主成分因此称为主

47、成分法法).上面分解总是取和数的重要的头几项来近似上面分解总是取和数的重要的头几项来近似.整理课件76X的协方差阵的协方差阵S S可以近似为可以近似为(如如Y Y忽略忽略)1 11 11(,.,)mi i immimmeeeeeAAelllllS 如如Y Y不忽略不忽略,S S可以近似为可以近似为21 111 120(,.,)0mmpmmeAAeeellllS Y 应用中应用中,S,S可以用样本相关阵可以用样本相关阵R代替代替.整理课件77正交模型正交模型X=+AF+的协方差结构的协方差结构根据前面模型，可以得出下面结果：根据前面模型，可以得出下面结果：22222i111.Cov(X)=AA+

48、(Var(X)(),(,)2.Cov(X,F)=A,(,)mmiiijiiiikijkjjjijijahCov XXa aCov X FaY S上面上面 ii2=S Sjaij2+i2中中,S Sjaij2称为称为共性方差共性方差(公共方差公共方差或或变量共同度变量共同度common variance,communalities)，而，而 i2称称为为特殊方差特殊方差.变量共同度刻画全部公共因子对变量变量共同度刻画全部公共因子对变量Xi的总方差所做的贡献的总方差所做的贡献.整理课件78的统计意义就是第的统计意义就是第i个变量与第个变量与第j个公共因子的相关个公共因子的相关系数系数,表示表示Xi

49、依赖依赖Fj的份量的份量,这里这里eij是相应于特征值是相应于特征值l li的特征向量的特征向量ei的第的第j个分量个分量.因子载荷阵中各列元素的平方和因子载荷阵中各列元素的平方和Sj=S Siaij2称为公共称为公共因子因子Fj对对X诸变量的方差贡献之总和诸变量的方差贡献之总和ijiijael因子载荷因子载荷整理课件79除主成分法外还有最大似然法来估计除主成分法外还有最大似然法来估计A,和和Y Y(在多在多元正态分布的假定下元正态分布的假定下).).当然当然,还有其他方法还有其他方法(有些互有些互相类似相类似).).整理课件80令令T为任意为任意m正交方阵正交方阵(TT=TT=I),则则X-

50、=AF+ATTF+AA*F*+,这里这里A A*AT,F*TF.因此因此S S=AA+Y Y=ATTA+Y Y=(A*)(A*)+Y Y也就是说也就是说,因子载荷因子载荷A只由一个正交阵只由一个正交阵T决定决定.载载荷荷A A*AT与与A都给出同一个表示都给出同一个表示.由由AA=(A*)(A*)对角元给出的共性方差对角元给出的共性方差,也不因也不因T的选的选择而改变择而改变.整理课件81正交变换正交变换T相当于相当于刚体刚体旋转旋转(或反射或反射),因子载荷因子载荷A的正交变换的正交变换AT称为称为因子因子旋转旋转估计的协方差阵或相关阵估计的协方差阵或相关阵,残差阵残差阵,特殊方差及共性方差