大学精品课件：向量空间.ppt

1、4.3 向量空间向量空间 一、向量空间的概念一、向量空间的概念 二、子空间二、子空间 数数三、向量空间的基和维三、向量空间的基和维 四、基变换与坐标变换 五、小节、思考题五、小节、思考题 说明说明 .,VRV 则则数数若若 ;,VVV 则则若若 一、向量空间的概念 定义定义1 1 设设 为为 维向量的集合，如果集合维向量的集合，如果集合 非空，非空， 且集合且集合 对于加法及数乘两种运算封闭，那么就称对于加法及数乘两种运算封闭，那么就称 集合集合 为向量空间为向量空间 n V V V V 集合集合 对于加法及数乘两种运算封闭指对于加法及数乘两种运算封闭指 V ., 3 3 是一个向量空间是一个

2、向量空间维向量的全体维向量的全体R例1例1 .33 ,33 3 R维向量，它们都属于维向量，它们都属于维向量仍然是维向量仍然是乘乘 数数维向量维向量维向量之和仍然是维向量之和仍然是因为任意两个因为任意两个 . 间间 ，也是一个向量空，也是一个向量空维向量的全体维向量的全体类似地，类似地， n Rn 例例2 2 判别下列集合是否为向量空间判别下列集合是否为向量空间. RxxxxxV n T n , 0 221 解解 .V 是向量空间是向量空间 1 的任意两个元素的任意两个元素因为对于因为对于 1 V T n T n bbaa, 0, 0 22 ,V1 122 , 0Vbaba T nn 有有 .

3、, 0 12 Vaa T n 例例3 3 判别下列集合是否为向量空间判别下列集合是否为向量空间. RxxxxxV n T n , 1 222 解解 .2 ,2 , 22 22 Vaa T n 则则 .V 不是向量空间不是向量空间 2 , 1 22 Vaa T n 因为若因为若 维向量，集合维向量，集合为两个已知的为两个已知的设设nba, 例4例4 RbaxV , 试判断集合是否为向量空间试判断集合是否为向量空间. baxV 111 . 因为若因为若是一个向量空间是一个向量空间解解 ，bax 222 则有则有 ,)()( 212121 Vbaxx .)()( 111 Vbkakkx . , 间间

4、 所生成的向量空所生成的向量空量量这个向量空间称为由向这个向量空间称为由向ba RaaaxV mmm , 212211 间间 所生成的向量空所生成的向量空由向量组由向量组 m aaa, 21 一般地，一般地， 为为 . , , , 21 2122112 2122111 11 VV RbbbxV RaaaxV bbaa sss mmm sm 试证：试证： 记记 等价，等价，与向量组与向量组设向量组设向量组 例5例5 一般记作一般记作),( 21m aaaspan ., 11 线性表示线性表示可由可由，则，则设设 m aaxVx 证证 ,: 12 VxVx 则则若若类似地可证类似地可证 . 211

5、221 VVVVVV ，所以，所以，因为因为 线性表示，线性表示， 可由可由线性表示，故线性表示，故可由可由因因 s sm b bxbbaa, 111 . 2 Vx 所以所以 ，则，则这就是说，若这就是说，若 21 VxVx . 21 VV 因此因此 . 12 VV 因此因此 定义定义2 2 设有向量空间设有向量空间 及及 ，若向量空间，若向量空间 ， 就说就说 是是 的子空间的子空间 21 VV 1 V 2 V 1 V 2 V 实例实例 , R V n 显然显然.的子空间的子空间总是总是所以所以 R V n 二、子空间 设设 是由是由 维向量所组成的向量空间，维向量所组成的向量空间， V n

6、 ;,)1( 21 线性无关线性无关 r 那末，向量组那末，向量组 就称为向量就称为向量 的一个的一个 r , 21 V 基基， 为向量为向量 在这个基下的坐标，在这个基下的坐标， 称为向量空间称为向量空间 的的维数维数，并称并称 为为 维向量空间维向量空间 V r Vr 三、向量空间的基与维数 定义定义3 3 给定给定向量空间向量空间 的一组向量的一组向量 若满足若满足 12 , r V R, xV rrr 1 2211 （2 2） 中任一向量中任一向量 都可由都可由 线性线性 表示，即有数表示，即有数 使成立使成立 V 12 , r 12 , r 1122rr 12 , r （1）只含有零

7、向量的向量空间称为）只含有零向量的向量空间称为0维向量维向量 空间，因此它没有基空间，因此它没有基 说明说明 （2）若把向量空间）若把向量空间 看作向量组，那末看作向量组，那末 的基的基 就是向量组的最大无关组就是向量组的最大无关组, 的维数就是向量组的的维数就是向量组的 秩秩. VV V 的基。的基。关向量组都是关向量组都是 的维数相等的线性无的维数相等的线性无个数与线性空间个数与线性空间 V V)4( R,xV rrr 12211 （3）若向量组）若向量组 是向量空间是向量空间 的一的一 个基，则个基，则 可表示为可表示为 r , 21 V V , 221 212 122 ),( 321

8、aaaA , 24 30 41 ),( 21 bbB . , 21 3 321 线性表示线性表示 用这个基用这个基的一个基，并把的一个基，并把是是验证验证bbRaaa 设矩阵设矩阵 例6例6 . , 321 3 321 IA aaaRaaa 线性无关，即只要证线性无关，即只要证 的一个基，只要证的一个基，只要证是是要证要证解解 ， 设设 3322221122 3312211111 , axaxaxb axaxaxb ,),(),( 3231 2221 1211 32121 xx xx xx aaabb 即即 .AXB 记作记作 . , )( 1 3 321 BAX BIARaaa IABA 变

9、为变为时，时，变为变为的一个基，且当的一个基，且当为为则则 ，能变为能变为施行初等行变换，若施行初等行变换，若对矩阵对矩阵 24221 30212 41122 )(BA )1( )1( 31 21 r r ) 3 1 ( 1 r 24221 30212 31111 )1( )2( 13 12 r r )1( )1( 31 21 r r ) 3 1 ( 1 r 24221 30212 31111 55330 32030 31111 ) 3 1 ( 2 r ) 3 1 ( 3 r )1( )2( 13 12 r r 55330 32030 31111 3 5 3 5 110 1 3 2 010 3

10、1111 )1( 31 r )1( 23 r ) 3 1 ( 2 r ) 3 1 ( 3 r 3 5 3 5 110 1 3 2 010 31111 3 2 1100 1 3 2 010 3 4 3 2 001 的一个基，且的一个基，且为为，故，故因有因有 3 321 ,RaaaIA . 3 2 1 1 3 2 3 4 3 2 ),(, 32121 aaabb 3 2 1100 1 3 2 010 3 4 3 2 001 ) ( 初等行变换初等行变换 BA 即即 四、基变换与坐标变换四、基变换与坐标变换 1212 1212 1212 1 1212 , , , ,. 设与是 维向量空间 的两个基

11、，且满足 其中 是 阶可逆矩阵，称上式为， 称 为由基到基 ，的， 且 定义4 过渡矩阵 基变换公式 nn nn nn nn n V P Pn P P 12 1212 12 1 , , 设n维向量空间V中元素 在基， 与基下的坐标 定理 分别为 则有坐标变换公式 或 成立. 1 n T nn T n xxxx yyyy xPyyP x 坐标变换坐标变换 12 312 3 3 123123 123123 123 123 1.= 1 1 1= 1 10 = 100,= 653,221, = 1 1 1. (1), (2), (3),2,13, 例 已知两个三维向量组， 以及 试证以及 ，均为 R

12、的基； 求由基到 ， 的过渡矩阵； 若 在基下得坐标为求 在 基 ，下的坐标. TT TTT T T 123 3 123123 3 123123 111 = 110 =-10, 100 621 = 521 =10, 311 R R 解：(1)因为 所以，线性无关，故，为的一个基。 同理故 ，为的一个基 123123 1 123123 1 2= 111621311 110521210 100311100 P P （ ）由，知 ， 123123 1 2 (3)=-1 =, 3 200123 101217 311130 y yP 因为，所以 3 12 312 3123123 123123 12 2.

13、=,1,1,= 0,1, = 0,0,=1,1,=,1,1, =1,1, 111 012 020 (1) , , 1,2,3 例 已知中的两个基分别为 与 且由基，到基 ， 的过渡矩阵为 试求：与x,y,z的值； (2) =在，下的坐标及 ，下的坐标； (3)求在基， TT TTT T T Rab cxy z Q a b c 3123 和基 ，下有相同坐标的向量。 123123 (1) = 1100111 1110012 1111020 1 1,2,1,1,5. 2 Q ya zb xc abcxyz 解： 由已知可得 ， 即 可得 123 (2),即x 1 1001 10011 111 12

14、0202 222 133 312511 2 x 123 1 , 139 1 222 11111 315 115212 222 11133 111 0 22 y y 即 123123 (3) , 2-112-11 2-150,2-1580 33 20-20- 22 0,0,0. 由题意知 ， 即 而 所以 T xx x x 向量空间的概念；向量空间的概念； 向量的集合向量的集合对加法及数乘两种运算封闭对加法及数乘两种运算封闭； 由向量组生成的向量空间由向量组生成的向量空间 子空间的概念子空间的概念 向量空间的基和维数：向量空间的基和维数： 求向量空间基和维数的方法求向量空间基和维数的方法 五、小结 4基变换和坐标变换基变换和坐标变换