复变函数论第7章第2节课件.ppt

1、1、分式线性变换及其分解、分式线性变换及其分解2、分式线性变换的共形性、分式线性变换的共形性3、分式线性变换的保交比性、分式线性变换的保交比性4、分式线性变换的保圆周、分式线性变换的保圆周(圆圆)性性5、分式线性变换的保对称点性、分式线性变换的保对称点性6、分式线性变换的应用、分式线性变换的应用2 2 分式线性变换分式线性变换0 bcaddcba.)(zLw 简记为简记为,dczbazw 称为称为分式线性变换分式线性变换，说明说明:否则否则,2)(dddczbcadzw 那末整个那末整个z平面变换成平面变换成 w平面上的一点平面上的一点.)1)1.7(变换变换1 1、分式线性变换及其分解、分式

2、线性变换及其分解.0 保角性保角性的限制，保证了变换的的限制，保证了变换的 bcad.常数常数有有 w,0 由于由于分式线性变换的分式线性变换的逆映射逆映射,也是分式线性变换也是分式线性变换.3)0(bcaddczbazw)0(bcadacwbdwz2)2.7(现将分式线性变换现将分式线性变换(7.1)在扩充在扩充z平面上作如下补充定义：平面上作如下补充定义：,0 c若若,wcdz处定义处定义在在处处在在 z;caw 定义定义,0 c若若.wz处定义处定义在在分式线性变换分式线性变换(7.1)在扩充在扩充z平面上是保域的平面上是保域的.)1.7(dczbazw 由由注：注：分式线性变换首先由德

3、国数学家默比乌斯分式线性变换首先由德国数学家默比乌斯(17901868)研究研究,所以也称为所以也称为默比乌斯变换默比乌斯变换.一个一般形式的分式线性变换一个一般形式的分式线性变换(7.1)总可以分解成总可以分解成下列简单类型变换的复合：下列简单类型变换的复合：()(),)0(khkzw()().1zw 已经是已经是时时当当(7.1),0 c()型变换型变换;dbzdaw )3.7()4.7()1.7(dczbazw 式式可可改改写写为为时时当当)1.7(,0 c)(dczcadbccaw ,)(1cadczcadbc 它就是以下三个形如它就是以下三个形如()和和()的变换的变换dcz ,1

4、,cacadbcw .的复合的复合因此，知道了因此，知道了()和和()型变换的几何性质，型变换的几何性质，就可以知道一般分式线性变换就可以知道一般分式线性变换(7.1)的特征的特征.)1.7(dczbazw ()()hkzw ()().1zw 分别考察分别考察下面下面 ,()和和()型变换的几何意义型变换的几何意义.()型变换型变换hkzw 称为称为整线性变换整线性变换.,iek 如果如果则则hzewi 它可以分解成三个更简单的变换：它可以分解成三个更简单的变换：旋转、伸缩和平移旋转、伸缩和平移.旋转与伸旋转与伸 缩变换缩变换)(zewi 它先将它先将z以原点为中心旋转以原点为中心旋转作作一一

5、然然后后再再将将|zw z o)()(wz 一个角度一个角度，,的伸缩变换的伸缩变换个比例系数为个比例系数为,hw o)()(wz w hw平移映射平移映射的的方方向向所所表表示示的的向向量量即即复复数数最最后后沿沿向向量量)(hh.,wh就就得得到到后后平平移移一一段段距距离离因此，因此，在在整整线线形形变变换换之之下下，原像原像.原像与像相似原像与像相似不过，不过，这这种种变变换换是是.变变换换不不改改变变图图形形方方向向的的相相似似如右图如右图,(为方便起见为方便起见 将将原原像像与与像像.)画在同一平面画在同一平面像像三三角角形形的的三三三三角角形形个个顶顶点点的的方方向向要要与与原原

6、像像.三三个个顶顶点点的的方方向向相相一一致致 o像像h旋转旋转伸缩伸缩平移平移()型变换型变换zw1 称为称为反演变换反演变换.它可以分解为下面两个简单变换的复合：它可以分解为下面两个简单变换的复合：,1z .w的的前前者者称称为为关关于于单单位位圆圆周周,对称变换对称变换 与与并称并称 z;点点是是关关于于单单位位圆圆周周的的对对称称后后者者称称为为关关于于实实轴轴的的对对,称变换称变换.是是关关于于实实轴轴的的对对称称点点与与并并称称 w定义：设定义：设C为以原点为圆心，为以原点为圆心，R为半径的圆为半径的圆.在以圆在以圆心为起点的一条半直线上，如果有两点心为起点的一条半直线上，如果有两

7、点P和和P满足：满足：OP OPR2，则称这两点关于圆，则称这两点关于圆C是对称点是对称点(如图如图).CTPP OR,1,zz 可可用用下下列列几几何何方方法法作作出出已已知知点点然后然后.1zw 就就可可作作出出作图作图:与与直直角角由由于于直直角角三三角角形形 OzA，相似相似三角形三角形 OA于是于是,1|1z 从而，从而，21|z,)(半径平方半径平方.对称对称与与故故 z.z.o1 zw1 A,o设有单位圆设有单位圆为圆内一点，为圆内一点，z1都在过单都在过单与与并且并且z 的同一条射线上，的同一条射线上，位圆圆心位圆圆心 o0)(1 zzw将将通通过过单单位位圆圆规规定定反反演演

8、变变换换,w映射成映射成.0 wz映射成映射成将将1例例:试证试证,外外除恒等变换除恒等变换zw 一一切切分分式式线线性性变变换换二二重重的的恒恒有有两两个个相相异异的的或或一一个个不动点不动点 即即自自己己变变成成(.)自自己己的的点点证：证：分分式式线线性性变变换换dczbazw )0(bcad的不动点一定适合方程的不动点一定适合方程)1.7(dczbazz 即即0)(2 bzadcz分分式式线线性性变变换换)1.7(dczbazw )5.7(,)5.7(式系数全为零式系数全为零若若.)1.7(zw 就成为恒等变换就成为恒等变换则则.)5.7(的系数不全为零的系数不全为零故故)1(,0 c

9、若若有两个根有两个根则方程则方程)5.7(,22,1cdaz ，bcda4)(2 ,0时时当当 .)1.7(21zz 和和有有两两个个相相异异的的不不动动点点,0时时当当 .2)1.7(cdaz 有有一一个个二二重重不不动动点点.0 c若若成为成为这时方程这时方程)5.7()5.7(0)(2 bzadcz.0)(bzad，时时当当0 da)2(式有根式有根)5.7(,adbz 成为成为这时这时)1.7(,dbzdaw 所以这时有不动点所以这时有不动点.和和adbz,0时时当当 da.0 b必必不动点不动点 adbz.)1.7(为二重不动点为二重不动点以以故这时故这时)1.7(dczbazw 平

10、平面面上上是是在在扩扩充充为为了了证证明明分分式式线线性性变变换换z)1.7(,共形的共形的只要证明只要证明()和和()型变换在扩充型变换在扩充z平面上是平面上是,保角的保角的.)1.7(平平面面上上是是单单叶叶的的在在扩扩充充因因为为z对于对于()型变换型变换,1来说来说zw ,0 zz只要只要则有则有,012 zdzdw.0的的各各处处是是保保角角的的、所所以以在在 zz2 2、分式线性变换的共形性、分式线性变换的共形性()()0(khkzw()()zw1 处，处，在在 z,0 dzdw.保角性出现问题保角性出现问题,0处处保保角角性性的的讨讨论论及及在在关关于于 zz.处处交交角角的的定

11、定义义关关于于两两曲曲线线在在无无穷穷远远点点要用到要用到两条伸向无穷远的曲线在无穷远点处的交角两条伸向无穷远的曲线在无穷远点处的交角,等于它们在反演变换等于它们在反演变换 zw1 之下两条象曲线在原点之下两条象曲线在原点的的交角交角.3.7定义定义,按照这个定义按照这个定义 zzzw及及在在01()型变换型变换:处是保角的处是保角的)(补充规定补充规定时，时，当当 z,1 1 ztzw 中令中令在在.0 )()()()().()1()(1 0 )()(态态附附近近的的性性在在，再再讨讨论论化化为为变变换换将将先先通通过过反反演演点点附附近近的的性性态态时时，可可以以在在函函数数按按照照这这一

12、一规规定定，当当讨讨论论，其其中中点点及及其其邻邻域域的的性性态态确确定定在在由由函函数数点点及及其其邻邻域域的的性性态态可可在在规规定定函函数数 tttzfzzfwzfztztttzzfw ,)(ttw 则则因而因而()型变换在扩充型变换在扩充z平面上是保角的平面上是保角的.,01)(0 )(ttttw 处解析且处解析且在在显然显然因此，因此，.1 是保角的是保角的在在变换变换 zzw wwzzzw 1 0 1 在在处的保角性可由处的保角性可由在在至于至于.处的保角性得到处的保角性得到有有因此因此,7.7定理定理.)1.7(平面上是共形的平面上是共形的在扩充在扩充分式线性变换分式线性变换z注

13、：注：.缩缩率率的的不不变变性性在在无无穷穷远远点点处处不不考考虑虑伸伸4.7定义定义，记作记作),(4321zzzz.:),(231324144321zzzzzzzzzzzz ，时时四四个个点点中中有有一一个个点点为为若若当当 应应将将包包含含此此点点.1代替代替的项用的项用，时时例如例如 1z即有即有.1:1),(2324432zzzzzzz )(取极限取极限即令即令 z3 3、分式线性变换的保交比性、分式线性变换的保交比性设设z1,z2,z3,z4是扩充是扩充z 平面上的四个相异点，平面上的四个相异点，则称比则称比23132414:zzzzzzzz 为为z1,z2,z3,z4 的的交比，

14、交比，即即8.7定理定理.,四点的交比不变四点的交比不变在分式线性变换下在分式线性变换下证：证：设设,dczbazwiii .4,3,2,1 i则则,)()(dczdczzzbcadwwjijiji 因此因此)()(:)()(),(231324144321wwwwwwwwwwww 23132414:zzzzzzzz .),(4321zzzz 从形式上看，从形式上看，具具有有四四个个参参数数分分式式线线性性变变换换)1.7(.,dcba，可知可知但由条件但由条件0 bcad其中至少有一其中至少有一,个不为零个不为零,)1.7(的的分分子子及及分分母母可可以以用用它它去去除除于是，于是，.)1.7

15、(参数参数实际上只依赖于三个复实际上只依赖于三个复含有三个独立的常数含有三个独立的常数,)0(bcaddczbazw分式线性变换分式线性变换一个分式线性变换一个分式线性变换.,因因此此 只需给定三个条件就能决定只需给定三个条件就能决定)1.7(dczbazw ).3,2,1(kwk依次变成依次变成 ,321zzzz异异的的点点平平面面上上任任意意给给定定三三个个相相在在 ,321wwww相相异异的的点点平平面面上上也也任任意意给给定定三三个个在在)3,2,1(kzk将将,线线性性变变换换那那末末就就存存在在惟惟一一的的分分式式9.7定理定理可以写成可以写成231321:wwwwwwww 231

16、321:zzzzzzzz 证证依次变成依次变成)3,2,1(kdczbazwkkk)3,2,1(kzk)0(bcaddczbazw设设将相异点将相异点kww 所以所以kww 3由此得由此得231321:wwwwwwww )2,1(,)()(kdczdczbcadzzkk)2,1(,)()(33 kdczdczbcadzzkk.:231321zzzzzzzz .映映射射这这就就是是所所求求的的分分式式线线性性这这个个分分式式线线性性.确确定定的的变变换换变变换换是是由由三三对对对对应应点点所所所以三对对应点可唯一确定一个分式线性映射所以三对对应点可唯一确定一个分式线性映射.也将也将如果另一映射如

17、果另一映射)0(zzw),3,2,1()3,2,1(kzzwkzkkkk 依次映射成依次映射成重复上述步骤重复上述步骤,证毕证毕相同形式的结果相同形式的结果.，后后在消去常数在消去常数 ,仍得到仍得到惟一性惟一性:2例例.1,12,2的分式线性变换的分式线性变换对应地变为对应地变为求将求将ii 解：解：所所求求分分式式线线性性变变换换为为),2,2(),1,1(ziwi 即即iiww 111:1,222:2iizz 化化简简为为iww 1,)(4)2)(31(izzi 于是，于是，所所求求的的分分式式线线性性变变换换为为.236 izizw整理得整理得,)(4)2)(31()2)(31()(1

18、1izziziiwww 3例例,1,0 1,121321 wwzizz映为映为分别分别求将求将.3的分式线性变换的分式线性变换 w解：解：所所求求分分式式线线性性变变换换为为),1,1(),1,0(ziw 即即11:10 ww,111:1iizz 化简为化简为,2111iizzww 整理得整理得.11zziw 都具有都具有及反演变换及反演变换整线性变换整线性变换zwhkzw1 性性圆圆保圆周保圆周)(.)(或直线或直线变为圆周变为圆周直线直线即将圆周即将圆周.具具有有保保圆圆性性是是显显然然的的整整线线性性变变换换hkzw .1也也具具有有保保圆圆性性下下面面说说明明反反演演变变换换zw ,由

19、由第第一一章章中中习习题题知知为为圆周或直线方程可表示圆周或直线方程可表示.0 CzzzAz )|,(2ACCA 为实数为实数4 4、分式线性变换的保圆周、分式线性变换的保圆周(圆圆)性性.0 CzzzAz ，时时当当0 A.即即为为直直线线方方程程,1zw 经经过过反反演演变变换换方程化为方程化为,0 AwwwCw .它它表表示示直直线线或或圆圆周周换换是是整整线线性性变变换换和和反反演演变变由由于于分分式式线线性性变变换换)1.7(,的复合的复合有有因此因此,10.7定理定理变变为为直直线线的的圆圆周周分分式式线线性性变变换换将将平平面面上上)(.圆周或直线圆周或直线注：注：在扩充平面上，

20、在扩充平面上，.点点的的圆圆周周直直线线可可视视为为经经过过无无穷穷远远由于圆周方程可改写为由于圆周方程可改写为,0 zzCzzA ,因此因此：可得可得由定理由定理10.7下下，在在分分式式线线性性变变换换)1.7(平平面面上上的的圆圆周周变变扩扩充充 z，平平面面上上的的圆圆周周为为扩扩充充 w同时，同时，.圆圆被被保保形形变变换换成成圆圆.保保圆圆周周性性这这就就是是分分式式线线性性变变换换的的欲使其经过欲使其经过，必须且只需必须且只需A=0.问题问题:圆域内部被映射成什么区域圆域内部被映射成什么区域?.内内任任意意两两点点为为 21,zz1z.2z.1w2w.Q.,:212121内部内部

21、在在外部外部在在且且圆弧圆弧假设假设 wwwwzz 上某点上某点上某点上某点 21zzQ与一一对应性与一一对应性相矛盾相矛盾.在分式线性映射下在分式线性映射下,的内部不是映射成的内部不是映射成 结论结论:的内部便是映射成的内部便是映射成 的外部的外部.,)(是是一一分分式式线线性性变变换换设设zLw 平平为扩充为扩充 z 面面上上的的一一个个圆圆周周，平面上的一平面上的一是扩充是扩充则则wL)(.个圆周个圆周,分分为为两两个个区区域域由由于于扩扩充充平平面面被被圆圆周周划划如如;,21ddz 平平面面为为区区域域分分扩扩充充,1Dw 平平面面为为分分扩扩充充,2D中中的的一一个个，和和的的像像

22、必必然然是是则则可可以以断断定定211DDd而而.212中的另一个中的另一个和和的像是的像是DDd,域域为为了了确确定定对对应应的的映映射射区区可采用如下两种可采用如下两种方法：方法：方法方法1,在一区域在一区域，中中如如1d,0z任取一点任取一点若若,)(100Dzfw ;)(11dLD 则可以断定则可以断定否则，否则，.)(12dLD 方法方法2,321zzz上任取三点上任取三点在在 绕绕使沿使沿321zzz3w.1w.2w.1z.2z.3z,时时行行，在观察者的左方在观察者的左方1d321www沿对应的沿对应的时，时，绕行绕行.1的的像像域域就就是是在在观观察察者者左左方方的的那那个个区

23、区d1d1Dzw2d2D 1z.2z.3z1d 1w 3w 2wzwNn)(zLw 1D2D2d注：注：)1(为直线时，为直线时，或或当当)(zL 其所界的圆是其所界的圆是；面面以以它它为为边边界界的的两两个个半半平平)2(在在分分式式线线性性变变换换之之下下，如如果果给给定定的的圆圆周周或或直直线线点，点，上没有点映射成无穷远上没有点映射成无穷远那么它就映射成半径为那么它就映射成半径为有限的圆周；有限的圆周；远点，远点，如果有一点映射成无穷如果有一点映射成无穷那么它那么它.就就映映射射成成直直线线)(11dLD ：于于圆圆周周的的对对称称点点的的概概念念在在第第一一段段中中曾曾经经讲讲过过关

24、关5.7定义定义2121,|:,zzRazzz对称是指对称是指关于圆周关于圆周 ,的同一条射线上的同一条射线上都在过圆心都在过圆心 a a1z2z且满足且满足221|Razaz 此外，此外，.为对称的为对称的也是关于也是关于与点与点还规定圆心还规定圆心 a5 5、分式线性变换的、分式线性变换的保对称点性性下述定理从几何方面说明了对称点的特性下述定理从几何方面说明了对称点的特性.11.7定理定理对对称称关关于于圆圆周周平平面面上上两两点点扩扩充充 21,zzz的的充充要要条条件件是是，.,21正交正交的任意圆周都与的任意圆周都与通过通过 zz证证 设设 为过为过z1,z2的任意圆周，的任意圆周，

25、则以下两种情形定理则以下两种情形定理显然是成立的：显然是成立的：(1)为直线；为直线；(2)为直线为直线(即即z1,z2中有一个为无穷远点中有一个为无穷远点).因此，以下仅就因此，以下仅就 为有限圆且为有限圆且z1,z2为有限点的情为有限点的情形加以证明形加以证明.,:的的一一对对对对称称点点Raz ,21是是关关于于圆圆周周设设zz必要性必要性 a.1z.2z.,的的切切线线作作从从 a,212azazaz 所以所以.,:的的半半径径就就是是的的切切线线且且上上在在即即 zaz z.,2R.z 切点为切点为则过则过z1,z2的直线必与圆的直线必与圆 正交正交(因因z1,z2在在a发出的同一条

26、射线上发出的同一条射线上).由平面几何切割线定理有由平面几何切割线定理有又由又由z1,z2是关于圆周是关于圆周 的对称点知的对称点知azaz 21.Raz .正交正交与与因此因此 a.1z.2z.z.充分性充分性设过设过z1,z2的任一圆周都与的任一圆周都与 正交正交.过过z1,z2作圆周作圆周，设交点之一为设交点之一为 z .的切线的切线必为必为的半径的半径则则 za 联结联结z1,z2，延长后必经过延长后必经过a(因过因过z1,z2的直线与的直线与 正交正交).发出的同一条射线上，发出的同一条射线上，在由在由于是于是 ,21azz并且由平面并且由平面几何切割线定理知几何切割线定理知则则 与

27、与 正交，正交，.|1222azazazR .21的的一一对对对对称称点点是是关关于于圆圆周周与与 zz即即变变换换的的下下述述定定理理就就是是分分式式线线性性12.7定理定理对对关关于于圆圆周周平平面面上上两两点点设设扩扩充充 21,zzz称，称，为为一一分分式式线线性性变变换换)(zLw ,)(11zLw 则则.)()(22为为对对称称两两点点关关于于圆圆周周 LzLw .保对称点性保对称点性证证的任意圆周，的任意圆周，与与是过是过设设 21ww 是是则其原像则其原像 .21的圆的圆与与过过zz对称，对称，关于关于与与由由 21zz正交，正交，与与则则 正交，正交，与与由保角性知由保角性知

28、 的任意圆与的任意圆与与与即过即过 21ww正交，正交，.21对称对称关于关于与与因此因此 ww6 6、分式线性变换的、分式线性变换的应用 上半平面和单位圆是两个非常典型的区域，利用上半平面和单位圆是两个非常典型的区域，利用分式线性变换，可实现这两个区域自身及区域之间的分式线性变换，可实现这两个区域自身及区域之间的转换，而一般区域间的共形映射往往会划归为这两个转换，而一般区域间的共形映射往往会划归为这两个区域间的转换。因此，这两个区域自身及区域之间的区域间的转换。因此，这两个区域自身及区域之间的转换显得非常重要。下面通过例题来加以说明，这也转换显得非常重要。下面通过例题来加以说明，这也可看作是

29、分式线性变换的实际应用。可看作是分式线性变换的实际应用。例例4 4 证明：将上半平面证明：将上半平面 Im z 0 共形映射成上半平面共形映射成上半平面Im w 0的分式线性变换为的分式线性变换为,dczbazw 其中其中a,b,c,d为实数，且满足条件为实数，且满足条件.0 bcad证证根据保圆性知，根据保圆性知，该线性变换将实轴该线性变换将实轴Im z=0映为实轴映为实轴Im w=0.在在z平面实轴上任取不同的三点平面实轴上任取不同的三点x1,x2,x3,在在w平面的实轴上也任取不同的三点平面的实轴上也任取不同的三点u1,u2,u3,则可惟一确则可惟一确定该分式线性变换，且有定该分式线性变

30、换，且有.:231321231321xxxxxzxzuuuuuwuw 整理得整理得dczbazw ),0(bcad又由又由)(21Imwwiw dzcbzadczbazi 21izzdczbcad2|2 .Im|2zdczbcad ,321321均为实数均为实数及及由于由于uuuxxx也为实数，也为实数，故故,cba这说明，这说明，,0Im w有有.0 bcad还应满足条件还应满足条件性性变变换换为为从从而而得得到到所所求求的的分分式式线线为实数，为实数，其中其中,dcba.0 bcad且且zdczbcadwwiwIm|)(21Im2 注：注：满足本题条件的分式线性变换也将下半平面映射满足本题

31、条件的分式线性变换也将下半平面映射成下半平面成下半平面.dczbazw )6.7(时时满足当满足当所求的分式线性变换要所求的分式线性变换要0Im z(7.6)(7.6)为上半平面映射为上半平面的一般形式为上半平面映射为上半平面的一般形式oxyz .10Im分式线性变换分式线性变换的的共形映射成单位圆共形映射成单位圆求将上半平面求将上半平面 wz1.1.i解解,1,0,1 321 zzzx轴上任取三点轴上任取三点在在.1,1 1 321 wiwww上上的的三三点点依依次次对对应应于于.1.1.例例5 5ouvw使之使之方法一方法一所求分式线性变换为所求分式线性变换为iiww 111:1.1 iz

32、izw化简得化简得:如果仅要求把上半如果仅要求把上半z平面变换为平面变换为w平面的单位平面的单位圆，而不作其它限制的话，上面的式子已经足够圆，而不作其它限制的话，上面的式子已经足够了，但必须清楚的是，这一问题本身可以有无穷了，但必须清楚的是，这一问题本身可以有无穷多解，它们与三对点的选取有关多解，它们与三对点的选取有关.,321321绕向相同绕向相同与与由于由于wwwzzz,0111:01 zz注注:下面给出的解法可以得到通解下面给出的解法可以得到通解.1,0,1 321 zzz取取1,1321 wiww设将实轴映射成单位圆周设将实轴映射成单位圆周,.waz必映射成必映射成那么那么则所求变换具

33、有下列形式则所求变换具有下列形式:.0Im,akazazkw为常数为常数a.a.w方法二方法二上半平面某点上半平面某点 z=a映射成圆心映射成圆心 w=0,根据分式线性变换的保对称点性根据分式线性变换的保对称点性,oxyzwouv.)7.7(.0Im,akazazkw为常数为常数由于由于z为实数时为实数时,1 w,1 azazazazkw 所以所以即即上半平面映为单位圆的分式线性变换的一般形式上半平面映为单位圆的分式线性变换的一般形式).0(Im aazazewi ,1 k下面确定常数下面确定常数 k：iek ).(为任意实数为任意实数 因此所求变换为因此所求变换为)7.7()7.7(0Im

34、akazazkw为常数，为常数，如如:,ia 取取 .1 izizw得得,ia 若取若取 .izizw 得得)7.7()0(Im aazazewi 在上述变换中，即使在上述变换中，即使 a 给定，还有一个实参数给定，还有一个实参数 需需要确定要确定.为了确定为了确定 的值，或者指出实轴上一点与单的值，或者指出实轴上一点与单位圆上某点的对应关系，位圆上某点的对应关系，或者指出变换在或者指出变换在 z=a 处的旋处的旋).(arg aw 转角转角)2)(arg aw,2 ,0 ,10Im wz共共形形映映射射成成单单位位圆圆求求将将上上半半平平面面.0)2(arg,0)2(的分式线性变换的分式线性

35、变换且满足条件且满足条件 iwiw解解,0)2(知知由条件由条件 iw .0 2 wiz映射成映射成设所求分式线性变换为设所求分式线性变换为,22izizewi 例例6 6因为因为所以所以,)2(4)(2iziezwi ).4()2(ieiwi ).0(Im aazazewi )2(argiw从而所求分式线性变换为从而所求分式线性变换为.22iziziw ,0)2(所以所以)4()2(ieiwi izizewi22 )4arg(argiei ,2 z解解 ,0 waz设设 1 az 则则.a.a1.的分式线的分式线映射成单位圆映射成单位圆求将单位圆求将单位圆 1 1 wz例例7 7性变换，性变

36、换，.0 )1|(|waaz变到变到并使一点并使一点zoxywouv.wazazkw1 ，)(111akkzaazkw 于是于是.1 因此可设所求分式线性变换为因此可设所求分式线性变换为:)8.7(整理得整理得选择常数选择常数 k 1，aakw 111使得使得 z=1 变成单位圆周变成单位圆周|w|=1上的点，上的点，azazkw1 ，因为因为 11aa ,11 k所所以以).(1为实数为实数令令 iek 故所求分式线性变换为故所求分式线性变换为:zaazewi 1).1|(z将单位圆映为单位圆的常用映射将单位圆映为单位圆的常用映射1111 aakw)8.7(注注:的确定还要求附加条件的确定还

37、要求附加条件.)(arg aw例例8解解,021 知知由条件由条件 w .021 wz映射成映射成依上题结论，依上题结论，.212zzewi 求将单位圆共形映射成单位圆，且符合条件求将单位圆共形映射成单位圆，且符合条件).(021,021zLwww 的分式线性变换的分式线性变换)8.7()1|(|1 azaazewi 设所求分式线性变换为设所求分式线性变换为由此得由此得,3421 iew .212zzw ,021 w因为因为,21为正实数为正实数则则 w从而所求分式线性变换为从而所求分式线性变换为.21arg w故故,0 得得,3421 iew 注注:分式线性变换分式线性变换w=L(z)的惟一

38、性条件是下列的惟一性条件是下列两种形式：两种形式：)1(baL)(),(一对内点对应一对内点对应.再加一对边界点对应再加一对边界点对应)2(baL)(),(一对内点对应一对内点对应 )(argaLa (即在点即在点).处的旋转角固定处的旋转角固定 上面通过例题得出的式子上面通过例题得出的式子 (7.6)(7.6)、(7.7)(7.7)、(7.8)(7.8)是比较重要的式子是比较重要的式子.在将一些一般的区域映射为单位在将一些一般的区域映射为单位圆时，常常会通过某些方法将它先变成上半平面，再圆时，常常会通过某些方法将它先变成上半平面，再借助借助 (7.7)(7.7)变成单位圆变成单位圆.)7.7

39、()0(Im aazazewi)6.7(dczbazw )8.7()1|(|1 azaazewi.2)2(arg ,2)2(iwiiw分析分析,22 iw成成圆圆为为将将上上半半平平面面共共形形映映射射.i 2上半平面上半平面0Im z单位圆域单位圆域1 圆域圆域22 iw例例9 9 求将上半求将上半 z 平面共形映射成圆平面共形映射成圆|w 2i|2 的分式的分式线性变换线性变换 w=L(z)，使符合条件，使符合条件ozo wo:可考虑可考虑平移平移伸长伸长解解.i 2iziz22 iw22 .izziw22)1(2 故所求分式线性变换为故所求分式线性变换为:.i 2.zoo wo)7.7()0(Im aazazewi)0(取取如图所示如图所示方法一方法一如图示如图示:izizei22 22iw 0)2(i 所以所以由此得由此得.i 2.方法二方法二owo oz)7.7()0(Im aazazewi,2222izizeiwi .412)2(ieiwi 得得由于已知条件由于已知条件于是所求的分式线性变换为于是所求的分式线性变换为,2222iziziw .22)1(2izziw ,2)2(arg iw2)2(arg ,2)2(iwiiwieiwi412)2(,2)2(iwizizeiwi2222 即即.0 作作 业业:.317P.10,8,7,)3)(1(4,3,1