复变函数第六章课件.ppt
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- 函数 第六 课件
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1、第一节第一节 共形映射的概念共形映射的概念第二节第二节 分式线性映射分式线性映射第三节第三节 唯一决定分式线性映射的条件唯一决定分式线性映射的条件第四节第四节 几个初等函数所构成的映射几个初等函数所构成的映射21.有向曲线的切向量z平面内的任一条有向曲线C可用z=z(t),atb如果z(t0)0,at0b,则表示z(t)的向量与C相切于点P0=z(t0).z(t0)z(a)z(b)z(t0)1 共形映射的概念P03事实上,如果通过C上两点P0与P的割线P0P的正向对应于t增大的方向,则这个方向与表示ttzttz)()(00 的方向相同.Oxyz(t0)P0Pz(t0+Dt)C(z)4当点P沿C
2、无限趋向于点P0,割线P0P的极限位置就是C上P0处的切线.因此,表示ttzttztzt)()(lim)(0000 的向量与C相切于点P0=z(t0),且方向与C的正向一致.如果我们规定这个向量的方向作为C上点P0处的切线的正向,则我们有1)Arg z(t0)就是P0处C的切线正向与x轴正向间的夹角;2)相交于一点的两条曲线C1与C2正向之间的夹角就是它们交点处切线正向间夹角52.解析函数的导数的几何意义 设函数w=f(z)在区域D内解析,z0为D内的一点,且f(z0)0.又设C为z平面内通过点z0的一条有向光滑曲线,它的参数方程是:z=z(t),atb,它的正向相应于参数t增大的方向,且z0
3、=z(t0),z(t0)0,at00映射成单位圆|w|0映射成单位圆|w|0映射成单位圆|w|0映射成|w|0映射成单位圆|w|0映射成单位圆|w|1且满足w(2i)=0,arg w(2i)=0的分式线性映射.解 由条件w(2i)=0知,所求的映射要将上半平面中的点z=2i映射成单位圆周的圆心w=0.所以由(6.3.2)得22.24()e,(2)(2).4iiiziweziiw zziiwie48所求的映射为 2e,(2)24arg(2)0,.22iiziiwwieziwipp22ziwizi49例4 求将单位圆|z|1映射成单位圆|w|1的分式线性映射.x1y(z)OOuv(w)1aa150
4、解 设z平面上单位圆|z|1内部的一点a映射成w平面上的单位圆|w|1的中心w=0.这时与1|1(0).,1,0,.zwwzwzwaaaa 点 对称于单位圆周的点应该被映射成平面上的无穷远点 即与对称的点 因此当时而当时满足这些条件的分式线性映射具有如下的形式,111zzzwkkkzzzaaaaaaakka 其中51由于z平面上单位圆周上的点要映成w平面上单位圆周上的点当|z|=1,|w|=1.将圆周|z|=1代入上式,得所以|k|=1,即k=eij.这里j是任意实数.1|11|1|1|,kwaaaa又因,1zwkzaa52因此,将单位圆|z|1映射成单位圆|w|1的分式线性映射的一般表示式是
5、 反之,形如上式的映射必将单位圆|z|1映射成单位圆|w|1.这是因为圆周|z|=1上的点z=ei(为实数)映射成圆周|w|=1上的点:同时单位圆|z|1内有一点z=a映射成w=0.所以(6.3.5)必将单位圆|z|1映射成单位圆|w|0的分式线性映射.解 由条件w(1/2)=0知,所求的映射要将z=1/2 映射成|w|0映射成|w2i|2且满足条件w(2i)=2i,arg w(2i)p/2的分式线性映射.解 容易看出,映射=(w2i)/2将|w2i|2映射成|1,且满足(2i)=0的映射易知为2e222e221(2)2e,4iiiziziwiziziwii故有由此得56221e(2)2e,2
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