大学精品课件：行列式的计算.ppt

1、2.4 行列式的计算行列式的计算 常见方法常见方法一、行列式计算的几种一、行列式计算的几种 二、小节、思考题二、小节、思考题 ：行列式计算的方法行列式计算的方法 换”的换”的、利用行列式“初等变、利用行列式“初等变1“降阶法。”“降阶法。” 、2“递推法。”“递推法。” 、3 “归纳法。”“归纳法。”、4 “升阶法。”“升阶法。” 质”的质”的、利用行列式“加法性、利用行列式“加法性6“拆边法。”“拆边法。” 、5“分块矩阵法。”“分块矩阵法。” 求解行列式求解行列式例例1 9333 3333 3323 3331 D ，所，所列元素全为列元素全为行、第行、第注意到行列式的第注意到行列式的第解解

2、333 再行观察，再行观察，倍加到其余各列上去，倍加到其余各列上去，列的列的以可以用第以可以用第)1(3 9333 3333 3323 3331 D 6300 0300 0310 0302 “降阶法”之例“降阶法”之例 6300 0300 0310 0302 行展开，有行展开，有”不为零，故尝试按该”不为零，故尝试按该行只有“行只有“第第 阵，但阵，但三角形也非下三角形矩三角形也非下三角形矩注意，此行列式既非上注意，此行列式既非上 33 6 1 2 )1(3 33 D !666)1()2(3 例例2 2 计算计算 阶行列式阶行列式 n abbb babb bbab bbba D 解法解法1 a

3、bbbna babbna bbabna bbbbna 1 1 1 1 D 将第将第 列都加到第一列得列都加到第一列得 n, 3 , 2 2“降阶法”之例“降阶法”之例 abb bab bba bbb bna 1 1 1 1 ) 1( ba ba ba bbb bna 1 ) 1( 0 0 .)() 1( 1 n babna 第第1行的行的 (-1) 倍分别加到倍分别加到 其余各行！其余各行！ 阶行列式阶行列式计算计算例例n3 xy xy xy aaaaxa Dn 000 000 000 之例之例“递推法”“递推法” 列展开，列展开，按第按第将将解解nDn y x xy xy axDD n nn

4、 1 1 )1( 可得可得 1 1 n n ayxD 整理得整理得 1 1 n nn ayxDD 2 21 n nn ayxDD 1 12 ayxDD 再相加，得再相加，得 后，后，个式子两边分别同乘以个式子两边分别同乘以将上述将上述 22 ,11 n xxxn 221 1 1 nnnn n ayxxayayDxD xx )( 2n x 2 )( n x 所以所以而而, 111 xaaD )( 2211 nnnnn n yxxyyxaxD ) 例例2 2（续）（续） 计算计算 阶行列式阶行列式 n abbb babb bbab bbba D “升阶法”之例“升阶法”之例 解法解法2 倍分倍分行

5、的行的新的第新的第增加一行一列后，用增加一行一列后，用)1(1 可得可得别加到其余各行上去，别加到其余各行上去， 1 0 0 1 n n ab ba bb D ba ba bb 01 01 1 ba ba bb ba nb ba 00 00 )1( 列上去，列上去，倍加到新的第倍加到新的第时，用每一列的时，用每一列的当当1 )( 1 ba ba 1 )( )1( n babna ., 0 上述答案也符合上述答案也符合时，时，当当 n Dba 证证 用数学归纳法用数学归纳法 21 2 11 xx D 12 xx , )( 12 ji ji xx ）式成立）式成立时（时（当当12 n 例例4 证明

6、范德蒙德证明范德蒙德(Vandermonde)行列式行列式 1 11 2 1 1 22 2 2 1 21 ).( 111 jin ji n n nn n n n xx xxx xxx xxx D )1( 之例之例“归纳法”“归纳法” ，阶范德蒙德行列式成立阶范德蒙德行列式成立）对于）对于假设（假设（11 n )()()(0 )()()(0 0 1111 1 2 13 2 312 2 2 1133122 11312 xxxxxxxxx xxxxxxxxx xxxxxx D n n n nn nn n n 提出，就有提出，就有 因子因子列展开，并把每列的公列展开，并把每列的公按第按第 ), , 2

7、()(1 1 n ixxi 则得则得行为止行为止倍，一直进行到第倍，一直进行到第 减去上一行的减去上一行的，从最后一行起，每行，从最后一行起，每行那么，对那么，对 ,2 1 xDn )()()( 2 11312j jin inn xxxxxxxxD ).( 1 j jin i xx 22 3 2 2 32 11312 111 )()( n n nn n n xxx xxx xxxxxx n-1阶范德蒙德行列式阶范德蒙德行列式 阶行列式阶行列式计算下列计算下列例例n5之例之例“分块矩阵法”“分块矩阵法” a a a A 1 1 列，即得列，即得换到第换到第 列依次列依次行，再将第行，再将第行依次

8、换到第行依次换到第将第将第解解 2 2nn a a a a A 1 1 性质性质利用分块矩阵行列式的利用分块矩阵行列式的 BA BO OA pp kk 即得即得 a a a a a a a a a A 1 1 1 1 22 )1( n aa 阶行列式阶行列式计算下列计算下列例例n6之例之例“拆边法”“拆边法” 72 5 72 572 57 n D 列拆成两组数的和，得列拆成两组数的和，得将第将第解解1 72 5 72 572 57 n D 72 5 72 572 52 72 5 72 570 55 72 5 72 572 52 n D 72 5 72 570 55 列展开，得列展开，得对后一行

9、列式，按第对后一行列式，按第加到下一行上去加到下一行上去 ）倍）倍行起，每一行的（行起，每一行的（对前一个行列式，从第对前一个行列式，从第 1; 11 20 5 20 520 52 n D 1 72 5 72 57 5 n 1 52 n n D 略）即可解得略）即可解得再用“递推法”（此处再用“递推法”（此处 nnnnn n D55252522 1221 注意：注意： 几种方法。几种方法。方法，往往要综合使用方法，往往要综合使用 不会孤立地只使用一种不会孤立地只使用一种一般解题过程中，大都一般解题过程中，大都 二、小结 常见的就这几种，还有常见的就这几种，还有行列式的解题方法中，行列式的解题方

10、法中， . . 行列式行列式列式的诸多性质来计算列式的诸多性质来计算 但一般要会利用行但一般要会利用行等等等等包括原始的“定义法”包括原始的“定义法” 法，法，子”法、“范德蒙德”子”法、“范德蒙德”技巧较高的所谓“析因技巧较高的所谓“析因 思考题1 等于多少？等于多少？）（，列式列式 阶行阶行，则，则，式式 阶行列阶行列且且维列向量，维列向量，都是都是，若若 21123 32211321 21321 4 44 nm 思考题1 解答 解解)( , 21123 21231123 , 23211321 , 32211321 , nm 思考题思考题2 求下列方程的根求下列方程的根 0 781 241

11、 221 1011 681 341 121 1111 3 2 3 2 x x x x x x 思考题思考题2解答解答 0 781 241 221 1011 681 341 121 1111 3 2 3 2 x x x x x x 性质，于是性质，于是想到要用行列式的加法想到要用行列式的加法 列元素不同，故而列元素不同，故而第第注意到两个行列式只有注意到两个行列式只有3 解解 3 2 3 2 3 2 7681 2341 2121 10111 781 241 221 1011 681 341 121 1111 x x x x x x x x x 0 781 241 221 1011 681 341 121 1111 3 2 3 2 x x x x x x 即化为即化为 即即 3 2 3 2 3 2 181 141 121 1111 781 241 221 1011 681 341 121 1111 x x x x x x x x x 范德蒙德行列式范德蒙德行列式 0)1)(2)(1)(21)(11)(12( xxx 大下标减去大下标减去 小下标元素小下标元素 于是，得到于是，得到 121 xxx或或或或