大学精品课件:方阵的特征值与特征向量.ppt
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- 关 键 词:
- 大学 精品 课件 方阵 特征值 特征向量
- 资源描述:
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1、5.1方阵的特征值与特征向量方阵的特征值与特征向量 的概念的概念一、特征值与特征向量一、特征值与特征向量 的性质的性质三、特征值与特征向量三、特征值与特征向量 的求法的求法二、特征值与特征向量二、特征值与特征向量 四、小节、思考题四、小节、思考题 说明说明: : ., 0. 1言的言的特征值问题是对方阵而特征值问题是对方阵而特征向量特征向量 x .0 ,0 ,. 2 的特征值的特征值都是矩阵都是矩阵的的 即满足方程即满足方程值值有非零解的有非零解的 就是使齐次线性方程组就是使齐次线性方程组的特征值的特征值阶方阵阶方阵 A IAxIA An 一、特征值与特征向量的概念 . , , 1 的特征向量
2、的特征向量的对应于特征值的对应于特征值称为称为量量 非零向非零向的特征值的特征值称为方阵称为方阵这样的数这样的数那末那末成立成立 使关系式使关系式 维非零列向量维非零列向量和和如果数如果数阶矩阵阶矩阵是是设设定义定义 Ax A xAx xnnA 0. 3 IA 0 21 22221 11211 nnnn n n aaa aaa aaa 次方程次方程为未知数的一元为未知数的一元称以称以n 0 IA . 的的为为A特征方程特征方程 ,次多项式次多项式的的它是它是n 记记 IAf 称其称其 . 的的为方阵为方阵A特征多项式特征多项式 则有则有 的特征值为的特征值为阶方阵阶方阵设设 , ,. 4 21
3、 n ij aAn .)2( 21 A n )1(证:证:)()( 21 n IA由由 nnnn n n aaa aaa aaa 21 22221 11211 ; nnn aaa 221121 )1( 项的系数,知项的系数,知比较第二个等号两端比较第二个等号两端 1 n )( 2211nn aaa 项的系数为项的系数为右端右端 1 n 义,知义,知而根据行列式的展开定而根据行列式的展开定 的系数为的系数为等号左端等号左端 1 n )( 21n ,知成立,知成立由同次项系数应该相等由同次项系数应该相等 ;)1( 221121nnn aaa )2(证:证: ,由由)()( 21 n IA 以以的任
4、意取值都成立,故的任意取值都成立,故既然是等式,即对既然是等式,即对 代入上式,即得代入上式,即得0 .)2( 21 A n 二、特征值与特征向量的求法 例例1 1 . 31 13 的特征值和特征向量的特征值和特征向量求求 A 的特征多项式为的特征多项式为A 31 13 1)3( 2 )2)(4(68 2 . 4, 2 21 的特征值为的特征值为即得即得A IA 0 IA 解特征方程解特征方程 解解 0 0 231 123 ,2 2 1 1 x x 对应的特征向量应满足对应的特征向量应满足时时当当 . 0 , 0 21 21 xx xx 即即 , 21xx 解得解得 ;取为取为所以对应的特征向
5、量可所以对应的特征向量可 1 1 1 p , 0 0 11 11 , 0 0 431 143 ,4 2 1 2 1 2 x x x x 即即 由由时时当当 ,)2( 201 034 011 )1 ( 2 IA A的特征多项式为的特征多项式为 . 1 1 , 2 21 p xx 取为取为所以对应的特征向量可所以对应的特征向量可解得解得 例例 . 201 034 011 的特征值和特征向量的特征值和特征向量求矩阵求矩阵 A 解:解: . 1, 2 321 的特征值为的特征值为所以所以A 由由解方程解方程时时当当. 0)2(,2 1 xIA 000 010 001 001 014 013 2IA ,
6、 1 0 0 1 p 得基础解系得基础解系 )21 ( 2 2 为为的代数重数的代数重数则特征值则特征值 数,数,的次数叫做它的代数重的次数叫做它的代数重若称某特征值作为重根若称某特征值作为重根 m )12 0)( 1 1 为为的几何重数的几何重数几何重数,则特征值几何重数,则特征值 的的线性无关解的个数叫做线性无关解的个数叫做若称若称 ii xIA , 000 210 101 101 024 012 IA 由由解方程解方程时时当当. 0)1(,1 32 xIA , 1 2 1 2 p 得基础解系得基础解系 的全部特征是对应于所以1)0( 32 2 kkP .向量向量 .2)0( 1 1 的全
7、部特征向量是对应于所以 kkP .21 22 m 显然,显然, 解毕解毕 例例 设设 , 314 020 112 A求求A的特征值与特征向量的特征值与特征向量 314 020 112 IA 22)1( ,令令02)1( 2 . 2, 1 321 的特征值为的特征值为得得A 解解: 由由解方程解方程时时当当. 0,1 1 xIA , 000 010 101 414 030 111 IA , 1 0 1 1 p得基础解系得基础解系 的全体特征向量为的全体特征向量为故对应于故对应于1 1 ).0( 1 kpk 由由解方程解方程时时当当. 02,2 32 xIA , 000 000 114 114 0
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