人教A版高中数学等差数列上课1课件.pptx

1、5.2.2等差数列的前n项和激趣诱思知识点拨泰姫陵坐落于印度古都阿格拉,是17世纪莫卧儿帝国皇帝沙贾汗为纪念其爱妃所建,被评为世界新七大奇迹之一.它的主体建筑由纯白大理石砌建而成,陵寝以宝石镶饰,图案之细致令人叫绝.传说陵寝中有一个三角形图案,以相同大小的圆宝石镶饰而成,共有100层(如图),你知道这个图案一共用了多少颗宝石吗?激趣诱思知识点拨一、等差数列的前n项和公式设等差数列an的前n项和为Sn,激趣诱思知识点拨名师点析 对前n项和公式的几点说明(1)等差数列的两个求和公式一共涉及a1,an,Sn,n,d五个量,通常已知其中三个,可求另外两个,方法就是解方程组,这也是等差数列的基本问题形式

2、.激趣诱思知识点拨微练习(1)在等差数列an中,已知a1=-1,a10=11,则S10等于()A.30B.40C.50 D.60(2)已知等差数列an中,a1=-5,d=3,则S8=()A.44B.40C.15 D.5答案:(1)C(2)A激趣诱思知识点拨微拓展等差数列前n项和的性质性质1:等差数列的依次k项之和仍然是等差数列,即Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,S4k-S3k,成等差数列,且公差为k2d.性质3:等差数列an中,若an=m,am=n,则am+n=0;若Sn=m,Sm=n(mn),则Sm+n=-(m+n).激趣诱思知识点拨性质1表示等差数列的前k项、第(k+1)项至第2k项、

3、第(2k+1)项至第3k项仍成等差数列,而不是Sk,S2k,S3k成等差数列.激趣诱思知识点拨二、等差数列的前n项和公式与函数的关系 激趣诱思知识点拨微思考从函数的角度认识等差数列的前n项和,你有何新发现?(2)设等差数列an共有(2n+1)项,则奇数项有(n+1)项,偶数项有n项,中间项是第(n+1)项,即an+1.故n=13时,Sn有最大值169.已知a10=30,a20=50.(3)已知a16=3,求S31.设数列an是等差数列,且a2=-6,a8=6,Sn是数列an的前n项和,则()(方法四)先求出d=-2(同方法一),则Sn的图像如图所示,等差数列前n项和的最值问题答案:(1)C(2

4、)A设数列an是等差数列,且a2=-6,a8=6,Sn是数列an的前n项和,则()性质3:等差数列an中,若an=m,am=n,则am+n=0;若Sn=m,Sm=n(mn),则Sm+n=-(m+n).(3)通项法:由于Sn=Sn-1+an,所以当an0时,SnSn-1;当an0时,SnSn-1,因此当a10,且d0时,使an0的最大的n的值,使Sn最大;当a10时,满足an0的最大的n的值,使Sn最小.思路分析在等差数列的前n项和公式中有五个基本量a1,an,d,n,Sn,只要已知任意三个量,就可以求出其他两个量.在等差数列an中,首项a1与公差d是两个最基本的元素,有关等差数列的问题,均可化

5、成有关a1,d的方程或方程组求解.由二次函数的性质得当n=13时,Sn有最大值169.性质1表示等差数列的前k项、第(k+1)项至第2k项、第(2k+1)项至第3k项仍成等差数列,而不是Sk,S2k,S3k成等差数列.(2)等差数列an的前m项和为30,前2m项和为100,则它的前3m项和为()所以a5=0,从而有S4=S5.d=-20,a130,a140.它的主体建筑由纯白大理石砌建而成,陵寝以宝石镶饰,图案之细致令人叫绝.探究一探究二素养形成当堂检测等差数列的前n项和公式的直接应用例1在等差数列an中,(1)已知S8=24,S12=84,求a1和d;(2)已知a6=20,S5=10,求a8

6、和S8;(3)已知a16=3,求S31.思路分析在等差数列的前n项和公式中有五个基本量a1,an,d,n,Sn,只要已知任意三个量,就可以求出其他两个量.探究一探究二素养形成当堂检测探究一探究二素养形成当堂检测反思感悟 等差数列的求解策略在等差数列an中,首项a1与公差d是两个最基本的元素,有关等差数列的问题,均可化成有关a1,d的方程或方程组求解.解题过程中,要注意:选择适当的公式;合理利用等差数列的有关性质.探究一探究二素养形成当堂检测变式训练1设Sn为等差数列an的前n项和,S4=14,S10-S7=30,则S9=.答案:54 探究一探究二素养形成当堂检测等差数列前n项和性质的应用例2(

7、1)等差数列an中共有3m项,前2m项的和为100,后2m项的和为200,求中间m项的和.(2)项数为奇数的等差数列,奇数项之和为44,偶数项之和为33,求这个数列的中间项及项数.思路分析(1)本题考查等差数列前n项和的性质及前n项和公式的应用.(2)已知等差数列的奇、偶数项的和,求特殊项与项数,可从整体上直接考虑奇、偶数项的和与特殊项及项数的关系.探究一探究二素养形成当堂检测(方法二)Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成等差数列,2(S2m-Sm)=Sm+(S3m-S2m).又S2m=100,S3m-Sm=200,探究一探究二素养形成当堂检测(2)设等差数列an共有(2n+1)项,则奇数项有

8、(n+1)项,偶数项有n项,中间项是第(n+1)项,即an+1.2n+1=7.又S奇=(n+1)an+1=44,an+1=11.故这个数列的中间项为11,共有7项.探究一探究二素养形成当堂检测反思感悟 等差数列前n项和的性质主要有以下两类:(1)在等差数列an中,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,成等差数列.探究一探究二素养形成当堂检测变式训练2(1)已知某等差数列an共有10项,其奇数项之和为15,偶数项之和为30,则其公差为()A.5B.4C.3D.2(2)等差数列an的前m项和为30,前2m项和为100,则它的前3m项和为()A.130B.170 C.210D.260探究一探究二素养形

9、成当堂检测(2)由Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成等差数列,且Sm=30,S2m=20,得2(S2m-Sm)=Sm+S3m-S2m,即2(100-30)=30+S3m-100,解得S3m=210.答案:(1)C(2)C 探究一探究二素养形成当堂检测等差数列前n项和的最值问题典例在等差数列an中,a1=25,S17=S9,求Sn的最大值.名师点拨本题可用二次函数求最值或由通项公式求n,使an0,an+10,探究一探究二素养形成当堂检测(方法三)先求出d=-2(同方法一).由S17=S9,得a10+a11+a17=0,又a10+a17=a11+a16=a12+a15=a13+a14,故a13+

10、a14=0.d=-20,a130,a140,且d0时,使an0的最大的n的值,使Sn最大;当a10时,满足an0的最大的n的值,使Sn最小.探究一探究二素养形成当堂检测变式训练等差数列an中,|a3|=|a9|,公差d0,a90,因此|a3|=|a9|可化为a3+a9=0,即a6=0,S5=S6,故使an的前n项和Sn最大,n的值为5或6.答案:C探究一探究二素养形成当堂检测解析:由题意可得4a1+6d=a1+5d-3a1=d,答案:C 探究一探究二素养形成当堂检测2.(2020四川宜宾第四中学校高三月考)设等差数列an的前n项和为Sn,已知13a3+S13=52,则S9=()A.9 B.18

11、C.27 D.36答案:B 探究一探究二素养形成当堂检测3.设数列an是等差数列,且a2=-6,a8=6,Sn是数列an的前n项和,则()A.S4S5B.S4=S5C.S6S5D.S6=S5解析:(方法一)设该等差数列的首项为a1,公差为d,从而有S4=-20,S5=-20,S6=-18.从而有S4=S5.(方法二)由等差数列的性质知a5+a5=a2+a8=-6+6=0,所以a5=0,从而有S4=S5.答案:B 探究一探究二素养形成当堂检测4.已知等差数列an的前n项和为Sn,a4+a7+a10=9,S14-S3=77,则使Sn取得最小值时n的值为.答案:5探究一探究二素养形成当堂检测5.等差数列an的前n项和记为Sn.已知a10=30,a20=50.(1)求通项an;(2)若Sn=242,求n.