大学精品课件：向量组的线性相关与线性无关.ppt

1、4.1向量组的线性相关与线性无关向量组的线性相关与线性无关 阵阵一、向量、向量组与矩一、向量、向量组与矩 二、线性相关性的概念二、线性相关性的概念 三、线性相关性的判定三、线性相关性的判定 六、小节、思考题六、小节、思考题 性质性质四、向量组的线性相关四、向量组的线性相关 线性无关三者的关系线性无关三者的关系 关以及关以及五、线性表示、线性相五、线性表示、线性相 若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）若干个同维数的列向量（或同维数的行向量） 所组成的集合叫做向量组所组成的集合叫做向量组 例如例如 维列向量维列向量个个有有矩阵矩阵mnaijA nm )( aaaa aaaa aaaa A mn

2、mjmm nj nj 21 222221 111211 a1 . , , 的列向量组的列向量组称为矩阵称为矩阵向量组向量组A a1a2an 一、向量、向量组与矩阵 a2ajana1a2ajan 维行向量维行向量个个又有又有矩阵矩阵类似地类似地nm ij a A nm )( , aaa aaa aaa aaa A mnmm inii n n 21 21 22221 11211 T 1 T 2 T i T m T 1 T 2 T i T m 向量组向量组 , , ， 称为矩阵称为矩阵A的行向量组的行向量组 T 1 T 2 T m 反之，由有限个向量所组成的向量组可以构反之，由有限个向量所组成的向量

3、组可以构 成一个矩阵成一个矩阵. 矩阵构成一个 组维列向量所组成的向量个 mn nm m21 , 矩阵矩阵构成一个构成一个 的向量组的向量组 维行向量所组成维行向量所组成个个 nm nm T m TT , 21 T m T T B 2 1 ),( 21m A b 2211 xxx nn 线性方程组的向量表示线性方程组的向量表示 . , , 2211 22222121 11212111 bxaxaxa bxaxaxa bxaxaxa mnmnmm nn nn 方程组与增广矩阵的列向量组之间方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应一一对应 ，组实数组实数 ，对于任何一，对于任何一给定向量组给定向量组

4、 m m kkk A , ,: 21 21 定义定义 . , 21 个线性组合的系数个线性组合的系数 称为这称为这， m kkk，称为向量组的一个称为向量组的一个 向量向量 2211mm kkk 线性组合线性组合 mm b 2211 ，使，使，一组数一组数 如果存在如果存在和向量和向量给定向量组给定向量组 m m bA , ,: 21 21 . 2211 有解有解 即线性方程组即线性方程组 bxxx mm 的线性组合，这时称的线性组合，这时称是向量组是向量组则向量则向量Ab 向量向量 能能 由向量组由向量组 线性表示线性表示 b A 有解，有解，也就是方程组也就是方程组bAx ., 21n A

5、 其中，其中， .),( ),( 21 21 的秩的秩， 的秩等于矩阵的秩等于矩阵，条件是矩阵条件是矩阵 线性表示的充分必要线性表示的充分必要能由向量组能由向量组向量向量 bB A Ab m m 定理定理1 1 例：例：，即可由向量组即可由向量组向量向量 0 1 0 0 0 1 0 3 2 21 b 3213 032 1 0 0 b线性表示，且为：线性表示，且为： . .,:,: 2121 这两个这两个能相互线性表示，则称能相互线性表示，则称量组量组 与向与向若向量组若向量组称称 线性表示，则线性表示，则向量组向量组组中的每个向量都能由组中的每个向量都能由若若 及及 设有两个向量组设有两个向量

6、组 B A AB BA sm 向量组向量组 能由向量组能由向量组 线性表示线性表示 向量组等价向量组等价 BA 定义定义 ).)()(BrAr 即即 0100 3010 2001 , 321 bbAB 因为因为( . , , 1. 成立 才有时 则只有当线性无关若 0kkk 0kk nn2211 n1 n21 0 , ,: 2211 21 21 mm m m kkk kkk A 使使全为零的数全为零的数 如果存在不如果存在不给定向量组给定向量组 注意注意: . , 2. 线性相关线性相关 性无关就是性无关就是不是线不是线对于任一向量组对于任一向量组 定义定义 二、线性相关性的概念 则称向量组则

7、称向量组 是线性相关的，否则称它线性无关是线性相关的，否则称它线性无关 A ., 0, 0, 3. 线性无关线性无关则说则说若若线性相关线性相关 则说则说若若时时向量组只包含一个向量向量组只包含一个向量 .4. 组是线性相关的组是线性相关的包含零向量的任何向量包含零向量的任何向量 . ,. 5 量共面量共面 向向量相关的几何意义是三量相关的几何意义是三是两向量共线；三个向是两向量共线；三个向 义义量对应成比例，几何意量对应成比例，几何意充要条件是两向量的分充要条件是两向量的分 它线性相关的它线性相关的量组量组对于含有两个向量的向对于含有两个向量的向 ，到底线性相关还是无关到底线性相关还是无关，

8、向量组向量组 m 21 也即齐次线性方程组也即齐次线性方程组 Ax m m x x x 2 1 21 , 程组的定理，即有程组的定理，即有 方方而由上章关于齐次线性而由上章关于齐次线性有无非零解的问题，故有无非零解的问题，故 0 2211 mm xxx 三、线性相关性的判定 2定理定理线性相关的充要条件线性相关的充要条件向量组向量组 m , 21 是向量是向量其中其中的秩的秩是矩阵是矩阵mmArA m .)(, 21 的个数。的个数。 其逆否命题是：其逆否命题是： 线性无关的充要条件是线性无关的充要条件是“向量组“向量组 m , 21 ”.)(mAr 推论的逆否命题是：推论的逆否命题是： ，它

9、线性无关的，它线性无关的维向量组维向量组对对 m m , 21 充要条件是：充要条件是： 0 A 推论：推论：，它线性相关的，它线性相关的维向量组维向量组对对 m m , 21 充要条件是：充要条件是： 0 A 维向量组维向量组n T n TT eee1 , 0 , 0,0 , 1 , 0,0 , 0 , 1 21 ， .,讨论其线性相关性讨论其线性相关性维单位坐标向量组维单位坐标向量组称为称为n 解解 . ),( 21 阶单位矩阵阶单位矩阵是是 的矩阵的矩阵维单位坐标向量组构成维单位坐标向量组构成 n eeeI n n ，由由01 I 例例 的推论知，的推论知，及定理及定理 2 无关。无关。

10、维单位坐标向量组线性维单位坐标向量组线性n ， 7 4 2 5 2 0 1 1 1 321 . 21321 的线性相关性的线性相关性，及及，试讨论向量组试讨论向量组 解解 .2 , 21 321 321 即可得出结论即可得出结论）的秩，利用定理）的秩，利用定理，及（及（ ），可同时看出矩阵（可同时看出矩阵（成行阶梯形矩阵成行阶梯形矩阵 ），施行初等行变换变），施行初等行变换变，对矩阵（对矩阵（ 已知已知例例 分析分析 751 421 201 ),( 321 ) 2 5 ( 23 r ， 000 220 201 ., 2),( ,2),( 2121 321321 线性无关线性无关故向量组故向量组

11、 线性相关；线性相关；，故向量组，故向量组可见可见 r r )1( )1( 12 13 r r 550 220 201 . , , , 321133322 211321 线性无关线性无关试证试证 线性无关线性无关已知向量组已知向量组 bbbbb b 例3例3 0 , 332211 321 bxbxbx xxx使使设有设有 , 0)()( 133322211 xxx）（即即 , 0)()() 332221131 xxxxxx（亦即亦即 为零，即有线性无关，故系数必全，因 321 . 0 , 0 , 0 32 21 31 xx xx xx 证法证法1 02 110 011 101 列式列式由于此方

12、程组的系数行由于此方程组的系数行 ., 0 321 321 线性无关线性无关 向量组向量组，所以，所以故方程组只有零解故方程组只有零解 bbb xxx 证法证法2 110 011 101 ),(),( 321321 aaabbb即有，即有， .ACB 可对应记作可对应记作 , 133322211 bbb由由 02 110 011 101 C 由由 ).()(ArBr 知知 ., 321 线性无关线性无关向量组向量组bbb 进而知进而知，知，知而利用定理而利用定理, 3)(2 Ar 的线性相关判定的几的线性相关判定的几接下来，我们给出常用接下来，我们给出常用 个性质：个性质： . , ,. ,:

13、 , 11 21 也线性无关也线性无关向量组向量组则则线性无关线性无关量组量组 若向若向反言之反言之也线性相关也线性相关向量组向量组 则则线性相关线性相关：向量组向量组若若 AB B A mm m 性质性质1 1： 四、向量组的线性相关性质 .2 , 11)()()(2 ,. 1)()( ),(),( 111 线性相关线性相关知向量组知向量组根据定理根据定理 因此因此，从而，从而，有，有 则根据定理则根据定理线性相关线性相关若向量组若向量组 ，则有，则有记记 B mArBrmAr AArBr aaaBaaA mmm 证明证明 . . . :1 关关的任何部分组都线性无的任何部分组都线性无向量组

14、线性无关，则它向量组线性无关，则它 反之，若一个反之，若一个线性相关线性相关含有零向量的向量组必含有零向量的向量组必 特别地，特别地，量组线性相关量组线性相关相关的部分组，则该向相关的部分组，则该向 一个向量组若有线性一个向量组若有线性可推广为可推广为性质性质 说明：说明： 设设 ), 2 , 1(, , 2 1 2 1 mj a a a a b a a a jsr rj j j j rj j j j 性质性质2 2： . ,. , ,. 21 21 性相关性相关 也线也线则向量组则向量组线性相关线性相关反言之，若向量组反言之，若向量组关关 也线性无也线性无：则向量组则向量组线性无关线性无关

15、：若向量组若向量组个分量后得向量个分量后得向量一一添上添上即即 AB bbbB Ab mm jj 列），列），只有只有因因但但从而有从而有 ，则则线性无关线性无关若向量组若向量组则有则有 ，记记 mBmBrmBr mArABrAr bbBA mmrmmr ()(.)( )(,).()( ),(),( 1)1(1 .)(线性无关线性无关，因此向量组，因此向量组故故BmBr 即即结论也成立结论也成立量量而言的，若增加多个分而言的，若增加多个分 ）维数增加维数增加是对增加一个分量（即是对增加一个分量（即性质性质 ., 12 说明：说明： 证明：证明： 关。”关。”加长”向量组必线性无加长”向量组必线

16、性无“线性无关向量组的“线性无关向量组的“ 或或 关。”关。”截短”向量组必线性相截短”向量组必线性相“线性相关向量组的“线性相关向量组的“ . 时一定线性相关时一定线性相关于向量个数于向量个数 小小当维数当维数维向量组成的向量组，维向量组成的向量组，个个 m nnm 性质性质3 3： ., ,)(,.)(),( , 21 21 21 线性相关线性相关个向量个向量故故 则则若若，有，有 构成矩阵构成矩阵维向量维向量个个 m m mnm m mArmnnAr Anm 证明证明 4例例试判断向量组试判断向量组 , 5 2 0 0 1 1 , 5 7 0 1 0 2 , 3 2 1 0 0 3 的线

17、性相关性。的线性相关性。 解法一：解法一： ， 考察新向量组考察新向量组 21321 , 0 1 0 0 0 1 , 1 0 0 0 0 2 由由 01 10355 01272 00100 00010 00001 , 21321 即知即知 线性无关，线性无关， 21321 , ，即知，即知再由性质再由性质1 线性无关。线性无关。， 321 解法二：解法二： , 5 2 0 0 1 1 , 5 7 0 1 0 2 , 3 2 1 0 0 3 考察考察 的“截短”向量组：的“截短”向量组： , 0 0 1 1 , 0 1 0 2 , 1 0 0 3 也无关。也无关。，线性无关，故线性无关，故，显然

18、显然 321321 定理定理3 3 向量组向量组 （当（当 时）线性相关时）线性相关 的充分必要条件是的充分必要条件是 中至少有一个向中至少有一个向 量可由其余量可由其余 个向量线性表示个向量线性表示 m , 21 2 m m , 21 1 m 证明证明 充分性充分性 设设 中有一个向量（比如中有一个向量（比如 ） 能由其余向量线性表示能由其余向量线性表示. m aaa, 21 m a 即有即有 112211 mmm a 五、线性表示、线性相关、线 性无关三者的关系 而不是而不是 “每一个”“每一个” 故故 01 112211 mmm a 因因 这这 个数不全为个数不全为0， 1, 121 m

19、 m 故故 线性相关线性相关. m , 21 必要性必要性 设设 线性相关，线性相关， m , 21 则有不全为则有不全为0的数的数 使使 , 21m kkk . 0 2211 mm kkk 因因 中至少有一个不为中至少有一个不为0， m kkk, 21 不妨设不妨设 则有则有 , 0 1 k . 1 3 1 3 2 1 2 1m m k k k k k k 即即 能由其余向量线性表示能由其余向量线性表示. 1 证毕证毕. ,000,531 TT ，对向量组对向量组 因其为因其为 以该组线性相关。以该组线性相关。含零向量的向量组，所含零向量的向量组，所但也只有但也只有 !)(,0 而无而无 .

20、, ,: ,: 1 21 且表示式是唯一的且表示式是唯一的线性表示线性表示 必能由向量组必能由向量组向量向量则则线性相关线性相关组组 而向量而向量线性无关线性无关设向量组设向量组 A bbB A m m 定理定理 4 4： .)(1 )(. 1)( ;)().()( ),(),( 2121 mBrm BrmmBrB mArABrAr bBA mm ，即有，即有 所以所以组线性相关，有组线性相关，有因因 组线性无关，有组线性无关，有因因有有 记记 . ),( ,)()( 21 一一线性表示，且表示式唯线性表示，且表示式唯组组 能由向量能由向量有唯一解，即向量有唯一解，即向量 知方程组知方程组由由

21、 A bbx mBrAr m 证明：证明： 5例例 为什么？为什么？ 线性表示？线性表示？，是否可由是否可由）为什么？（为什么？（ 线性表示，线性表示，可否由可否由）线性无关，问：（线性无关，问：（ ，线性相关，线性相关，已知向量组已知向量组 3214 321 432321 2 ,1 )1(解：解：由由 432 , 线性无关，知线性无关，知 32, 线性无关。线性无关。 线性相关，即知线性相关，即知再由再由 321 , 线性表示；线性表示；，可由可由 321 不能！不能！)2(可只由可只由），即知），即知否则，由（否则，由（ 4 1 线性表示。线性表示。 32, 线性无关矛盾！线性无关矛盾！，而这显然与而这显然与 432 . 向量、向量组与矩阵之间的联系，线性方向量、向量组与矩阵之间的联系，线性方 程组的向量表示；线性组合与线性表示的概念；程组的向量表示；线性组合与线性表示的概念； . 线性相关与线性无关的概念；线性相关性线性相关与线性无关的概念；线性相关性 在线性方程组中的应用；在线性方程组中的应用；（重点重点） . 线性相关与线性无关的判定方法：定义，线性相关与线性无关的判定方法：定义， 两个定理两个定理（难点难点） 六、小结