大学精品课件：向量组的秩.ppt

1、4.2 向量组的秩向量组的秩 概念概念一、最大无关向量组的一、最大无关向量组的 关系关系二、矩阵与向量组秩的二、矩阵与向量组秩的 论论三、向量组秩的重要结三、向量组秩的重要结 四、小节、思考题四、小节、思考题 0. 它的秩为它的秩为 有最大无关组，规定有最大无关组，规定只含零向量的向量组没只含零向量的向量组没 ，满足，满足 个向量个向量中能选出中能选出，如果在，如果在设有向量组设有向量组 r A rAA ,: 210 定义定义 线性无关；线性无关；）向量组）向量组（ r A ,:1 210 关，关，个向量的话）都线性相个向量的话）都线性相 中有中有个向量（如果个向量（如果中任意中任意）向量组）

2、向量组（ 1 12 r ArA . 的的 称为向量组称为向量组数数最大无关组所含向量个最大无关组所含向量个r; 0 ） （简称（简称的一个的一个向量组向量组 是是那末称向量组那末称向量组 A A 最大线性无关向量组最大线性无关向量组 最大最大 无关组无关组 一、最大（线性）无关向量组 秩秩 最大无关组即其自身！最大无关组即其自身！注：线性无关向量组的注：线性无关向量组的 . 它的行向量组的秩它的行向量组的秩 量组的秩，也等于量组的秩，也等于矩阵的秩等于它的列向矩阵的秩等于它的列向 证证 . 0 ,)(),( 21 r m D rrAraaaA阶子式阶子式并设并设，设设 定理定理 关；关； 列线

3、性无列线性无知所在的知所在的由由定理定理根据根据rDr021 . 4 .1 1 个列向量都线性相关个列向量都线性相关 中任意中任意阶子式均为零，知阶子式均为零，知中所有中所有又由又由 r ArA 关组，关组，的列向量的一个最大无的列向量的一个最大无 列是列是所在的所在的因此因此ArDr . r等于等于 所以列向量组的秩所以列向量组的秩 ).(ArA的行向量组的秩也等于的行向量组的秩也等于类似可证类似可证 二、矩阵与向量组秩的关系 的秩也记作的秩也记作向量组向量组 m aaa, 21 . 最大无关组最大无关组行即是行向量组的一个行即是行向量组的一个所在的所在的 最大无关组，最大无关组，列即是列向

4、量组的一个列即是列向量组的一个所在的所在的 ，则，则的一个最高阶非零子式的一个最高阶非零子式是矩阵是矩阵若若 r Dr DAD r rr ;1一一）最大无关组可以不唯）最大无关组可以不唯（ ., 21m aaar 结论：结论： 说明：说明： 关组是等价的；关组是等价的；）向量组与它的最大无）向量组与它的最大无（2 .3无关组是等价的无关组是等价的）向量组的任两个最大）向量组的任两个最大（ 是线性无关的，是线性无关的， 向量组向量组维单位坐标向量构成的维单位坐标向量构成的因为因为 n eeeI n ,:)( 21 解解 . 的秩的秩一个最大无关组及一个最大无关组及 的的，求，求作作维向量构成的向

5、量组记维向量构成的向量组记全体全体 n nn R RRn例1例1 个向量都线性相关，个向量都线性相关，中的任意中的任意 知知的性质的性质又根据又根据 1 1. 4 n Rn . )( nRR I nn 的秩等于的秩等于的一个最大无关组，且的一个最大无关组，且是是 因此向量组因此向量组 来？来？ 示出示出用该最大无关组线性表用该最大无关组线性表无关组？并将其余向量无关组？并将其余向量 的秩？一个最大的秩？一个最大，如何求给定向量组如何求给定向量组 m 11 上述三个问题。上述三个问题。成的矩阵的秩”来解决成的矩阵的秩”来解决 的秩等于以其为列构的秩等于以其为列构答：我们利用“向量组答：我们利用“

6、向量组 质呢？质呢？ 性性到底能保留矩阵的那些到底能保留矩阵的那些变换，那么初等行变换变换，那么初等行变换 利用到矩阵的初等行利用到矩阵的初等行而求矩阵的秩，就必须而求矩阵的秩，就必须 . . 的行向量组等价的行向量组等价的行向量组与的行向量组与于是于是 的行向量组线性表示，的行向量组线性表示，的行向量组能由的行向量组能由可知，可知， 由初等变换可逆性由初等变换可逆性的行向量组线性表示的行向量组线性表示组能由组能由 的行向量的行向量，即，即的行向量组的线性组合的行向量组的线性组合向量都是向量都是 的每个行的每个行，则，则经初等行变换变成经初等行变换变成设矩阵设矩阵 BA BA A BA BBA

7、 相同的线性相关性。相同的线性相关性。 标号的列向量组具有标号的列向量组具有且等价的俩矩阵的相同且等价的俩矩阵的相同 利用齐次线性方程组解性质，利用齐次线性方程组解性质，Ax=0与与Bx=0 ，的秩的秩，求，求 ， ，设有向量组设有向量组 r T TT TT 543215 43 21 9, 4, 4, 2 7, 2, 1, 1 9, 2, 2, 1 6, 6, 1, 13, 4, 1, 2 例2例2 .线性表示线性表示的列向量用最大无关组的列向量用最大无关组 关组关组关组，并把不属最大无关组，并把不属最大无求向量组的一个最大无求向量组的一个最大无 解：解：构造矩阵得构造矩阵得 97963 42

8、264 41211 21112 , 54321 A 行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵施行初等行变换变为施行初等行变换变为对对 A 。，知向量组的秩为，知向量组的秩为由由33)( Ar A ， 00000 31000 01110 41211 初等行变换初等行变换 .3 个向量个向量组含组含故列向量组的最大无关故列向量组的最大无关 三列，三列，、元在元在而三个非零行的非零首而三个非零行的非零首421 ., 421 无关组无关组为列向量组的一个最大为列向量组的一个最大故故aaa 00000 31000 30110 40101 初等行变换初等行变换 4215 213 334 , aaaa aaa 即得即得 0

9、0000 31000 01110 41211 A . , 42153 成行最简形矩阵成行最简形矩阵 再变再变线性表示，必须将线性表示，必须将用用要把要把Aaaaaa . 的秩的秩的秩不大于向量组的秩不大于向量组量组量组 线性表示，则向线性表示，则向能由向量组能由向量组设向量组设向量组 AB AB . , : ,: 10 10 sr aaAA bbBB s r 要证要证的一个最大无关组为的一个最大无关组为向量组向量组 ，的一个最大无关组为的一个最大无关组为设向量组设向量组 证证 定理定理 . 0 0 组线性表示组线性表示组能由组能由表示，表示， 组线性组线性组能由组能由组线性表示，组线性表示，组

10、能由组能由因因 AA ABBB . 00 组线性表示组线性表示组能由组能由故故AB 使得使得即存在系数矩阵即存在系数矩阵),( ijsr kK 三、向量组秩的重要结论 . 0 srsr B 不能成立，所以不能成立，所以线性无关矛盾，因此线性无关矛盾，因此 组组这与这与 srs r sr kk kk aabb 1 111 11 ),(),( ），），有非零解（因有非零解（因 简记为简记为，则方程组，则方程组如果如果 rsKr Kx x x Ksr r sr )( )0( 0 1 有非零解，有非零解， 从而方程组从而方程组 0),( 1 Kxaa s 有非零解，有非零解，即即0),( 1 xbb

11、r !证毕 . rsBA和和的秩依次为的秩依次为与向量组与向量组设向量组设向量组证证 . 等价的向量组的秩相等等价的向量组的秩相等推论推论1 1 ,同时成立同时成立与与故故srrs 示，示， 表表两个向量组能相互线性两个向量组能相互线性因两个向量组等价，即因两个向量组等价，即 . rs 所以所以 ).()(),()( BrCrArCr BAC nssmnm ，则，则设设推论推论2 2 用其列向量表示为用其列向量表示为和和设矩阵设矩阵AC 证证 ).,(),( 11sn aaAccC ，而而)( ij bB sns n sn bb bb aacc 1 111 11 ),(),( 由由 ).()(

12、ArCr 因此因此 ),()(, TTTTT BrCrABC 由上段证明知由上段证明知因因 的列向量组线性表示，的列向量组线性表示，的列向量组能由的列向量组能由知矩阵知矩阵AC ).()(BrCr 即即 此即：此即： )(),(min)(BrArABr , rrB个向量，则它的秩为个向量，则它的秩为含含设向量组设向量组 证证 . 3 的一个最大无关组的一个最大无关组是向量组是向量组则向量组则向量组 线性表示，线性表示，能由向量组能由向量组线性无关，且向量组线性无关，且向量组组组 的部分组，若向量的部分组，若向量是向量组是向量组设向量组设向量组推论推论 AB BAB AB . 1 条件条件 所规

13、定的最大无关组的所规定的最大无关组的满足定义满足定义所以向量组所以向量组B ，组的秩组的秩组线性表示，故组线性表示，故组能由组能由因因rABA 个向量线性相关，个向量线性相关，组中任意组中任意从而从而1 rA . , 等价等价与向量组与向量组秩相等，证明向量组秩相等，证明向量组 且它们的且它们的线性表示线性表示能由向量组能由向量组设向量组设向量组 BA AB例3例3 .线性表示线性表示能由向量组能由向量组只要证明向量组只要证明向量组BA ,:,: 1010rr bbBaaA BAr 和和的最大无关组依次为的最大无关组依次为 组组组和组和，并设，并设设两个向量组的秩都为设两个向量组的秩都为 使使

14、阶方阵阶方阵表示，即有表示，即有 组线性组线性组能由组能由组线性表示，故组线性表示，故组能由组能由因因 r Kr ABAB 00 证证: rrr Kaabb),(),( 11 rbbrKr rr ),()( 22 1 ，有，有推论推论根据定理根据定理 .),( 10 rbbrB r 组线性无关，故组线性无关，故因因 .)()(rKrrKr rr ，因此，因此但但 ,),(),( 1 11 rrr r Kbbaa K 可逆，并有可逆，并有于是矩阵于是矩阵 . 00 组线性表示组线性表示组能由组能由即即BA . 组线性表示组线性表示组能由组能由从而从而BA 证毕证毕 ）（关于矩阵秩的不等式（关于矩

15、阵秩的不等式定理定理 3 ；其中常数其中常数0);()()1( kArkAr );()()()2(BrArBAr ;)()()()3(nABrBrAr pnnm )(),(min)()4(BrArABr 以及前已证明的以及前已证明的 的行数！的列数，是）式中的注意：（BAn3 矩阵，试证明：矩阵，试证明：是是，的矩阵为列满秩矩阵的矩阵为列满秩矩阵 称秩等于列数称秩等于列数阶矩阵，且阶矩阵，且是是若若 nmB mArmlA ) ()( )()(BrABr 。；得 所以，又再由 证明：由性质可知 )()()()( )(,)()()( );()(),(min)( BrABrBrABr mArmBrA

16、rABr BrBrArABr 4例例 ，试证明：，试证明：满足满足阶矩阵阶矩阵AIAAn34 2 nIArIAr )()4( 证：证：得得由由,43 2 OIAA OIAIA )()4( 由性质由性质;)()()()3(nABrBrAr pnnm 即得即得 nnOrIArIAr )()()4( 又由性质又由性质);()()()2(BrArBAr 即得即得 nIrIrIAIAr IArIArIArIAr )()5()()4( )()4()()4( 综合综合 ，即知命题得证。 ，即知命题得证。 , 59 35 46 45 ),(, 13 11 20 32 ),( A 2121 bbBaa 已知俩矩

17、阵已知俩矩阵5 5例例 ., 2121 等价等价与与证明向量组证明向量组bbaa 同时有解。同时有解。方程方程 亦即矩阵亦即矩阵使使 、阶方阵阶方阵证存在证存在要证两向量组等价，即要证两向量组等价，即 BYAAXB YbbaaXaabb YX , .),(),(,),(),( ,2 21212121 证明证明 5913 3511 4620 4532 ),( 2121 bbaaBA 其充要条件必为其充要条件必为由第三章方程组理论，由第三章方程组理论， )()()()(BArArABrBr ，及，及 ),()()(BArBrAr 亦即亦即 5913 4532 4620 3511 5913 3511

18、 4620 4532 ),( 2121 bbaaBA 13 r 4620 101550 4620 3511 )2( 13 r )3( 14 r 4620 101550 4620 3511 )2( 13 r )3( 14 r ) 2 1 ( )1( )5( 2 24 23 r r r 0000 0000 2310 3511 . 0000 0000 2310 1201 )1( 21 r 1 1 r ) 2 1 ( )1( )5( 2 24 23 r r r 0000 0000 2310 3511 等价。等价。与与 故俩向量组故俩向量组显然，有显然，有 2121 , ),()()( bbaa BAr

19、BrAr 推论：推论：等价的充分必要条件是等价的充分必要条件是、俩向量组俩向量组BA )()()(BArBrAr 最大线性无关向量组的概念：最大线性无关向量组的概念： 最大性最大性、线性无关性线性无关性 矩阵的秩与向量组的秩的关系：矩阵的秩与向量组的秩的关系： 矩阵的秩矩阵列向量组的秩矩阵的秩矩阵列向量组的秩 矩阵行向量组的秩矩阵行向量组的秩 关于向量组秩的一些结论：关于向量组秩的一些结论： 两个定理两个定理、三个推论三个推论 求向量组的秩以及最大无关组的方法：求向量组的秩以及最大无关组的方法： 将向量组中的向量作为列向量构成一个矩将向量组中的向量作为列向量构成一个矩 阵，然后进行初等行变换阵

20、，然后进行初等行变换 四、小结 思考题1 有“等价必等秩”？有“等价必等秩”？对俩向量组而言，是否对俩向量组而言，是否)1( 有“等秩必等价”？有“等秩必等价”？对俩向量组而言，是否对俩向量组而言，是否)2( “等价必等秩”？“等价必等秩”？对俩矩阵而言，是否有对俩矩阵而言，是否有)3( “等秩必等价”？“等秩必等价”？对俩矩阵而言，是否有对俩矩阵而言，是否有)4( 思考题1解答 等秩！等秩！对向量组而言，等价必对向量组而言，等价必)1( 必等价！例如必等价！例如对向量组而言，等秩未对向量组而言，等秩未)2( , 0 0 1 0 , 0 0 0 1 21 , 1 0 0 0 , 0 1 0 0

21、 21 必等价！（证明略）必等价！（证明略） 秩，等秩也秩，等秩也对矩阵而言，等价必等对矩阵而言，等价必等、 )4()3( 思考题 2 ：的伴随矩阵，如何证明的伴随矩阵，如何证明维矩阵维矩阵为为设设AnA 2)(0 1)(1 )(, )( nAr nAr nArn Ar 思考题2解答 1 , 0)()1( n AAAnAr由由时，则时，则当当 .)(nAr 即知即知 由性质由性质而而即即这时这时 阶子式非零，阶子式非零，有有时，时，当当 ,; 1)(, 11)()2( OIAAAArOA nAnAr ;)()()(nABrBrAr pnnm 综合即得综合即得进而推得进而推得即得即得, 1)(,)()( ArnArAr . 1)( Ar 由此可知由此可知即即 阶子式全为零，阶子式全为零，时，所有时，所有当当 , 12)()3( OA nnAr . 0)( Ar 2)(0 1)(1 )(, )( nAr nAr nArn Ar故