大学精品课件：结构力学-8力法.PPT

1、1 2 82 超静定次数的确定 83 力法的基本概念 84 力法的典型方程 86 对称性的利用 85 力法的计算步骤和示例 87 超静定结构的位移计算 89 温度变化时超静定结构的计算 810 支座移动时超静定结构的计算 811 超静定结构的特性 88 最后内力图的校核 81 超静定结构概述 第八章第八章 力力 法法 3 41 概 述 1. 静定结构与超静定结构 静定结构： 超静定结构： A B C P P 全部反力和内力只用平衡条件便可确 定的结构。 仅用平衡条件不能确定全部反力和 内力的结构。 A B P HA V A RB V A HA RB RC 外力超静定问题 内力超静定问题 返返

2、回回 4 P A B C P 1 X 2 . 超静定结构在几何组成上的特征 多余联系与多余未知力的选择。 是几何不变且具有“多余”联系（外部或内部）。 多余联系： 这些联系仅就保持结构的几何不变 性来说，是不必要的。 多余未知力： 多余联系中产生的力称为多余未 知力（也称赘余力）。 此超静定结构有一个多余联此超静定结构有一个多余联 系，既有一个多余未知力。系，既有一个多余未知力。 此超静定结构有二个多余联此超静定结构有二个多余联 系，既有二个多余未知力。系，既有二个多余未知力。 1 X 2 X 返返 回回 5 3. 超静定结构的类型 （1）超静定梁; （2）超静定桁架； （3）超静定拱； 4.

3、 超静定结构的解法 求解超静定结构，必须 综合考虑三个方面的条件: （1）平衡条件； （2）几何条件； （3）物理条件。 具体求解时，有两种基本(经典)方法力法和位移法。 （4）超静定刚架； （5）超静定组合结构。 返返 回回 6 42 超静定次数的确定 1. 超静定次数： 2 .确定超静定次数的方法: 解除多余联系的方式通 常有以下几种： （1）去掉或切断一根链杆，相 当于去掉一个联系。 1 X （2）拆开一个单铰，相当 于去掉两个联系。 用力法解超静定结构时，首先必须确定多余联系 或多余未知力的数目。 1 X 1 X 2 X 多余联系或多余未知力的个数。 采用解除多余联系的 方法。 返返

4、回回 7 3. 在刚结处作一切口， 或去掉一个固定端，相当 于去掉三个联系。 1 X 1 X 3 X 4. 将刚结改为单铰联 结，相当于去掉一个联系。 1 X 1 X 应用上述解除多余 联系(约束)的方法，不难 确定任何 超静定结构的 超静定次数。 X X2 2 X X2 2 返返 回回 8 3. 例题:确定图示结构的超静定次数（n）。 1 X 2 X 3 X 4 X5 X 6 X n=6 1 X 2 X 3 X 4 X 5 X 6 X n=37=21 对于具有较多框格的结构，可 按 框格的数目确定，因为一个封 闭框格，其 超 静定次数等于三。 当结构的框格数目为 f ,则 n=3f 。 返返

5、 回回 9 43 力法的基本概念 首先以一个简单的例子，说明力法的思路和基本概 念。讨论如何在计算静定结构的基础上，进一步寻求计 算超静定结构的方法。 A B EI L 1判断超静定次数： n=1 q q 1 X A B 原结构原结构 2. 确定(选择)基本结构。 3写出变形(位移)条件: 1 X 11 P1 (a)(a) (b)(b) q 基本结构基本结构 根据叠加原理，式（a） 可写成 返返 回回 10 图1M 图 P M 1X1 图M 8 qL 2 2 qL 2 L 8 qL 2 将 代入(b)得 4 .建立力法基本方程 (41) 5. 计算系数和常数项 6. 将11、 11代入力法方程

6、式(4-1)，可求得 A B EI L q (b)(b) 此方程便为一次超静定结 构的力法方程。 = EI 1 2 L 2 3 2L 11= 11x1 = EI 1 2 qL 2 4 3L _ ( 3 1 L ) 多余未知力x1求出后，其余反力、内 力的计算都是静定问题。利用已绘出 的 M1图 和MP图按叠加法绘M图。 q 返返 回回 11 结结 论论 象上述这样解除超静定结构的多余联系而 得到静定的基本结构，以多余未知力作为基本未 知量，根据基本结构应与原结构变形相同而建立 的位移条件，首先求出多余未知力，然后再由平 衡条件计算其余反力、内力的方法，称为力法力法。 力法整个计算过程自始至终都

7、是在基本结构 上进行的，这就把超静定结构的计算问题，转化 为已经熟悉的静定结构的内力和位移的计算问题。 返返 回回 12 44 力法的典型方程 1. 三次超静定问题的力法方程 用力法计算超静定结构的关键，是根据位移条件建立力法方 程以求解多余未知力，下面首先以三次超静定结构为例进行推导。 A B P P 首先选取基本结构（见图b） X X1 1 X X2 2 A B P P X X3 3 基本结构的位移条件为： 1=0 2=0 3=0 设当 和荷载 P 分别作用在结构上时， A点的位移 沿X1方向： 沿X2方向： 沿X3方向： 据叠加原理，上述位移条件可写成 原结构 基本结构 1= （42）

8、（a） （b） 11 21、22、23和2P ； 31、32、33和3P 。 2=21X1+22X2+23X3+2P=0 3=31X1+32X2+33X3+3P=0 11X1 +12X2 +13X3 +1P =0 、12 、13 和1P ； 返返 回回 13 2. n次超静定问题的力法典型(正则)方程 对于n次超静定结构,有n个多余未知力，相应也有 n个位移条件，可写出n个方程 11X1+ 12X2+ + 1iXi+ + 1nXn+1P=0 （43） 这便是n次超静定结构的力法典型(正则)方程。式中 Xi为多余未知力， i i为主系数，i j(ij)为副系数, iP 为常数项（又称自由项）。

9、11X1+12X2+13X3+1P=0 （42） 21X1+22X2+23X3+2P=0 31X1+32X2+33X3+3P=0 i 1X1+ i 2X2+ + i iXi+ + i nXn+iP=0 n1X1+ n2X2+ + niXi+ + nnXn+nP=0 返返 回回 14 3. 力法方程及系数的物理意义 （1）力法方程的物理意义为： （2）系数及其物理意义： 下标相同的系数 i i 称为主系数(主位移)，它是单位 多余未知力 单独作用时所引起的沿其自身方向上 的位移，其值恒为正。 系数 i j(ij)称为副系数(副位移)，它是单位多余未知力 单独作用时所引起的沿 Xi方向上的位移，

10、其值可能为正、为负或为零。据位移互等定理，有 i j= j i i P称为常数项(自由项)它是荷载单独作用时所引起 的沿Xi方向的位移。其值可能为正、为负或为零。 上述方程的组成具有规律性，故称为力法典型方程。 基本结构在全部多余 未知力和荷载共同作用下，基本结构沿多余未知力方向 上的位移，应与原结构相应的位移相等。 返返 回回 15 4. 力法典型(正则)方程系数和自由项的计算 典型方程中的各项系数和自由项，均是基本结构在 已知力作用下的位移，可以用第七章的方法计算。对于 平面结构，这些位移的计算公式为 对不同结构选取不同项计算。系数和自由项求得后， 代入典型方程即可解出各多余未知力。 返返

11、 回回 16 85 力法的计算步骤和示例 1. 示例 P A B C I1 I2=2I1 a 2 a 2 a n=2(二次超静定) 原 选择基本结构如图示 P A C B 基 X1 X2 力法典型方程为： 11X1 计算系数和常数项，为 此作 图1M 1X1 a 图2M 1X2 a a 计算结果如下 (a) a 21X1 + 22X2+2P=0 + 12X2 +1P=0 2EI1 1 2 a2 3 2a = 6EI1 a3 2EI1 1 2 a2 a = 4EI1 a3 返返 回回 17 图1M a 图2M a a P 图 P M 2 Pa 将以上各系数代入方程(a) 并消去(a3/EI1)得

12、 解联立方程得 多余未知力求得后其余反力、 内力的计算便是静定问题。 例如 最后内力图的绘制用叠加法 15/88Pa M图 13/88Pa P A B C 3/88Pa a MAC= a . 11 4P + a( 88 3P ) 2 Pa 返返 回回 18 2 .力法的计算步骤 （1）确定原结构的超静定次数。 （2）选择静定的基本结构(去掉多余联系， 以多余未知力代替)。 （3）写出力法典型方程。 （4）作基本结构的各单位内力图和荷载内力 图，据此计算典型方程中的系数和自由项。 （5）解算典型方程，求出各多余未知力。 （6）按叠加法作内力图。 返返 回回 19 例 41 用力法分析两端固定的梁

13、，绘弯矩图。EI=常数。 A B L a b P 解： n=3 选取简支梁为基本结构 P X1 X2 X3 基本结构 典型方程为 11X1+ 12X2+ 13X3+1P=0 21X1+ 22X2+ 23X3+2P=0 31X1+ 32X2+ 33X3+3P=0 1 1X2 图2M 1X1 1 1X3 图1M 图3M MP图 P 3=0,故 13= 31= 23= 32= 3P=0 则典型方程第三式为 33X3=0 330(因X3的解唯一) 故 作基本结构各 和MP图 由于 X3=0 L Pab L3 bL 2 2 L bPa M图 2 2 L Pab 11X1+ 12X2+1P=0 21X1+

14、 22X2+2P=0 由图乘法求得 代入典型方程(消去公因子)得 解得 代入典型方程解得 作弯矩图。 按式 返返 回回 20 例 42 用力法计算图示桁 架内力，设各杆EA相同。 解： n=1(一次超静定)。 0 1 2 3 4 P P 2a 2a a 选择基本结构如图示。 0 1 2 3 4 P P X1 基本结构 写出力法典型方程 11X1+1P=0 按下列公式计算系数和自由项 为此，求出基本结构的 和NP值 0 1 2 3 4 X1=1 1N 22 22 -1/2 对称 0 1 2 3 4 P P NP P 2 2 +P/2 对称 0 列表计算(见书141页)后得 EA11=(3+ )

15、a EA1P=Pa 返返 回回 21 0 1 2 3 4 X1=1 1N 22 22 -1/2 对称 0 1 2 3 4 P P NP P 2 2 +P/2 对称 0 0 1 2 3 4 P P N 对称 代入典型方程，解得 各杆内力按式 叠加求得。 +0.414P +0.172P 例如 N03=0.7070.172P -0.707 =0.586P =0.172P 返返 回回 22 86 对称性的利用 用力法分析超静定结构，结构的超静定次数愈高， 计算工作量就愈大，主要工作量是组成(计算系数、常数 项)和解算典型方程。利用结构的对称性可使计算得到简 化。简化的原则是使尽可能多的副系数、自由项等

16、于零。 结构的对称性： 例如： EI1 EI1 EI2 a a 对称对称 EI1 EI1 对称对称 指结构的几何形状、约束、刚度和 荷载具有对称性(正对称或反对称)。正对称简称对称。 返返 回回 23 1. 选取对称的基本结构 EI1 EI1 EI2 对 称 轴 基本结构 X1 X2 X3 多余未知力X1、X2是 正对称，X3是反对称的。 基本结构的各单位弯 矩图(见图)。 图1M 1X1 图2M 1X2 图3M 1X3 、 是正对称， 是反对称。 则 13= 31= 23= 32=0 于是， 力法典型方程简 化为 11X1+12X2+1P=0 21X1+22X2+2P=0 33X3+3P=0

17、 下面就对称结构作进一步讨论。 返返 回回 24 （1）对称结构作用对 称荷载 a a P P P P MP图图 MP图是正对称的，故3P=0。 11X1+12X2+1P=0 21X1+22X2+2P=0 33X3+3P=0 则 X3=0 。 这表明：对称的超静定结构，在对称的荷载作用下， 只有对称的多余未知力，反对称的多余未知力必为零。 a a P P P P MP图图 （2）对称结构作用反 对称荷载 MP图是反对称的，故 1P= 2P=0 则得 X1=X2=0 这表明：对称的超静定结构，在反对称的荷载作用下， 只有反对称的多余未知力，对称的多余未知力必为零。 返返 回回 25 例 84 分

18、析图示刚架。 10kN 10kN 6m 6m 6m 解： 这是一个对称结构，为四次 超静定。 选取对称的基本结构 如图示， X1 只有反对称多余未知力X1 基 为计算系数和自由项分别作 和MP图(见图)。 1X1 EI=常数 3 3 1M 图 (m) 10kN MP图 (kN m) 60 60 120 由图乘法可得 EI11=(1/2332) 4 +（363）2 =144 EI1P=(3630+1/23 380) 2=1800 代入力法方程 11X1+1P=0 X1= 弯矩图由 作出。 解得 返返 回回 26 这样，求解两个多余未知 力的问题就转变为求解新 的两对多余未知力的问题。 当选基本结

19、构为时， 2. 未知力分组及荷载分组 （1）未知力分组 A B P X1 X2 P 为使副系数等于零，可采 取未知力分组的方法。 P Y1 Y1 Y2 Y2 有 X1=Y1+Y2 ， X2=Y1Y2 作 、M2图。 1Y11Y1 1M图 1Y21Y2 M2图 正对称 反对称 故 12= 21=0 典型方程化简为 11Y1+1P=0 22Y2+2P=0 返返 回回 27 （2）荷载分组 当对称结构承受一般非对称荷载时，可以将荷 载分解为正、反对称的两组，分别求解然后叠加。 若取对称的基本 结构计算，在正对称 荷载作用下将只有对 称的多余未知力。 若取对称的基本结构计算，在反对称荷载作用下将 只有

20、反对称的多余未知力。 P P 2 P 2 P 2 P 2 X1 X1 X2 X2 2 P 2 P 2 P 2 P 返返 回回 28 3.取一半结构计算 当结构承受正对称或反对称荷载时，也可以只截取结 构的一半进行计算，又称为半刚架法。下面分别就奇数跨 和偶数跨两种对称刚架进行讨论。 （1）奇数跨对称刚架 p p 对称 p 二次超静定 对称荷载 反对称荷载 p p 反对称 p 。 一次超静定 返返 回回 29 （2）偶数跨对称刚架 对称荷载 p p 对称 p 三次超静定 反对称荷载 p p I p I/2 三次超静定 p p I/2 I/2 p p I/2 I/2 C QC QC 返返 回回 3

21、0 47 超静定结构的位移计算 上一章所述位移计算的原理和公式，对超静定结构 也是适用的，下面以85的例题予以说明。 求CB杆中点K 的竖向位移KY K P=1 P A B C I1 I2=2I1 a 2 a 2 a 原 虚拟状态如图 为了作 8/44a 3/44a 图KM 需解 算一个二次超静定问题，较为麻烦。 K 图中所示的M图 就是实际状态。 基本结构的内力和位移与原结构完全 相同，则可以在基本结构上作 。 K P=1 a/4 图KM图乘得 6/44a () 返返 回回 31 结 论 综上所述，计算超静定结构位移的步骤是： （1）解算超静定结构，求出最后内力， 此为实际状态。 （2）任选

22、一种基本结构，加上单位力求 出虚拟状态的内力。 （3）按位移计算公式或图乘法计算所求 位移。 返返 回回 32 48 最后内力图的校核 用力法计算超静定结构，因步骤多易出错，应注意 检查。尤其是最后的内力图，是结构设计的依据，应加 以校核。校核应从两个方面进行。 1.平衡条件校核 取结构的整体或任何部分为隔离体，其受力应满足 平衡条件。 （1）弯矩图：通常检查刚结点处是否满足M=0的 平衡条件。例如 取结点E为隔离体 E MMED ED MMEB EB MMEF EF 应有 ME=MED+MEB+MEF=0 MM图图 返返 回回 33 （2）剪力图和轴力图 可取结点、杆件或结构的某一部分为隔离

23、体，检查 是否满足 X=0和 Y=0的平衡条件。 2.位移条件校核 检查各多余联系处的位移是否与已知的实际位移相 符。对于刚架，可取基本结构的单位弯矩图与原结构的 最后弯矩图相乘，看所得位移是否与原结构的已知位移 相符。例如 图1M P P A A B B C C I I1 1 I I2 2=2I=2I1 1 a a 2 a 2 a 原 检查A支座的水 平位移 1是否 为零。 将M图与 相乘得 =0 返返 回回 34 49 温度变化时超静定结构的计算 对于超静定结构，温度变化时不但产生变形和位移， 同时产生内力。 用力法分析 超静定 结构在温度变化时产生的内力， 其原理与荷载作用下的计算相同。

24、例如图示刚架温度发 生变化，选取基本结构（见图）， t t1 1 t t1 1 t t2 2 t t3 3 t t1 1 t t1 1 t t2 2 t t3 3 X X1 1 X X2 2 X X3 3 典型方程为 11X1+12X2+13X3+1t=0 21X1+22X2+23X3+2t=0 31X1+32X2+33X3+3t=0 其中系数的计算同前， 自由项1t、 2t、 3t 分别为基本结构由于温 度变化引起的沿X1、X2 X3方向的位移。即 返返 回回 35 例46 刚架外侧温度升高25，内侧温度升高35， 绘弯矩图并求横梁中点的竖向位移。刚架EI=常数，截面 对称于形心轴，其高度h

25、=L/10,材料的膨胀系数为。 L L + + 2525 +35+35 解： n=1 选取基本结构 X X1 1 基 + + 2525 +35+35 典型方程为: 11X1+1t=0 计算 并绘制 图 1 1 1M图 1N L L L L - -1 1 求得系数和自由项为 = 故得 = =230230 L L 返返 回回 36 按 M图 作弯矩图 求横梁中点K的位移K， 作基本结构虚拟状态的 图 并求出 ，然后计算位移 K K 1 1 KN 0 0 KM 图 L/4L/4 138138 EI/LEI/L 1/21/2 1/21/2 返返 回回 37 810 支座位移时超静定结构的计算 超静定结

26、构当支座移动时，位移的同时将产 生内力。 对于静定结构，支座移动时将使其产生位移， 但并不产生内力。例如 A A B B C C A A B B C C 返返 回回 38 用力法分析超静定结构在支座移动时的内力，其原 理同前，唯一的区别仅在于典型方程中的自由项不同。 例如图示刚架， A A B B L a b 可建立典型方程如下： 11X1+12X2+13X3+1=0 21X1+22X2+23X3+2= 31X1+32X2+33X3+3=a A A B B X X1 1 X X2 2 X X3 3 基 式中系数的计算同前，自由项按 式(715)计算。 （715) 最后内力按下式计算 在求位移时

27、，应加上支座移动的 影响： 返返 回回 39 例：87 两端固定的等截面梁A端发生了转角，分 析其内力。 A B L 解： n=3 选取基本结构如图， X1 X2 X3 基本结构 因 X3=0,则典型方程为 11X1+12X2+1= 21X1+22X2+2=0 绘出 图， 1 1X2 图2M 1X1 1 图1M图乘得 ， ， 由题意知：1t= 2t=0,将上 述结果代入方程后解得 按式 作弯矩图。 A B l EI4 l EI2 M图 返返 回回 40 411 超静定结构的特性 超静定结构与静定结构对比，具有以下一些重要特性： 1.由于存在多余联系，当结构受到荷载外其他因素 影响，如温度变化、支座移动时结构将产生内力。 2.超静定结构的内力仅由平衡条件不能全部确定， 必须考虑变形条件，因此内力与杆件的刚度有关。 3.超静定结构的多余联系被破坏后，仍能维持几何 不变，故有较强的防御能力。 4.超静定结构由于存在多余联系，一般地说要比相 应的静定结构刚度大些，内力分布也均匀些。 返返 回回