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1、结构动力学基础结构动力学基础 哈尔滨建筑大学哈尔滨建筑大学 建筑工程学院建筑工程学院 结构力学结构力学 王焕定教授编制王焕定教授编制 1998年年8月月 结构动力学基础结构动力学基础目录目录 绪论绪论 体系的运动方程建立体系的运动方程建立 单自由度体系的振动单自由度体系的振动 多自由度体系的振动多自由度体系的振动 频率和振型的实用计算方法频率和振型的实用计算方法 随机振动初步随机振动初步 结构地震反应分析结构地震反应分析 结构的振动控制结构的振动控制 一、绪论一、绪论 1.1 阪神地震录像阪神地震录像 1.2 动力荷载及其分类动力荷载及其分类 1.3 结构动力学的研究内容和任务结构动力学的研究

2、内容和任务 1.4 结构动力分析中体系的自由度结构动力分析中体系的自由度 1.5 结构的动力特性结构的动力特性 1.6 建立结构运动方程的一般方法建立结构运动方程的一般方法 一、绪论一、绪论 1.1 阪神地震阪神地震 首先请大家看日本阪首先请大家看日本阪 神地震录像，希望能从神地震录像，希望能从 中体会到学习结构动力中体会到学习结构动力 学的重要性。学的重要性。 更希望大家能学好结更希望大家能学好结 构动力学！构动力学！ 1.2 动荷载及其分类动荷载及其分类 所谓动荷载是指：随时间变化（三要素），且作用所谓动荷载是指：随时间变化（三要素），且作用 结果使受荷物体质量的加速度（惯性力与外荷比）不

3、结果使受荷物体质量的加速度（惯性力与外荷比）不 可忽视，这种荷载称可忽视，这种荷载称动力荷载动力荷载，简称，简称动荷动荷。 自重、缓慢变化的荷载，其惯性力与外荷比很小，自重、缓慢变化的荷载，其惯性力与外荷比很小， 分析时仍视作静荷载。分析时仍视作静荷载。 静荷只与作用位置有关，而静荷只与作用位置有关，而动荷是坐标和时间的函动荷是坐标和时间的函 数数。 1.2 动荷载及其分类动荷载及其分类 动荷载可有多种分类方法，常见的是：动荷载可有多种分类方法，常见的是： 动荷载动荷载 确定确定 不确定不确定 风荷载风荷载 地震荷载地震荷载 其他无法确定变化规律的荷载其他无法确定变化规律的荷载 周期周期 非周

4、期非周期 简谐荷载简谐荷载 非简谐荷载非简谐荷载 冲击荷载冲击荷载 突加荷载突加荷载 其他确定规律的动荷载其他确定规律的动荷载 1.3结构动力学的研究内容和任务结构动力学的研究内容和任务 结构动力学是研究动荷作用下结构动力反应规律的结构动力学是研究动荷作用下结构动力反应规律的 学科。学科。 1.3.1 结构动力学的研究内容结构动力学的研究内容 当前结构动力学的研究内容可用下图表示当前结构动力学的研究内容可用下图表示 输入输入 （动力荷载）（动力荷载） 结构结构 （系统）（系统） 输出输出 （动力反应）（动力反应） 控制系统控制系统 （装置、能量）（装置、能量） 第一类问题：第一类问题：反应分析

5、反应分析正问题正问题 1.3结构动力学的研究内容和任务结构动力学的研究内容和任务 结构动力学是研究动荷作用下结构动力反应规律的结构动力学是研究动荷作用下结构动力反应规律的 学科。学科。 1.3.1 结构动力学的研究内容结构动力学的研究内容 当前结构动力学的研究内容可用下图表示当前结构动力学的研究内容可用下图表示 控制系统控制系统 （装置、能量）（装置、能量） 输入输入 （动力荷载）（动力荷载） 结构结构 （系统）（系统） 输出输出 （动力反应）（动力反应） 第二类问题：参数（或称系统）识别第二类问题：参数（或称系统）识别 1.3结构动力学的研究内容和任务结构动力学的研究内容和任务 结构动力学是

6、研究动荷作用下结构动力反应规律的结构动力学是研究动荷作用下结构动力反应规律的 学科。学科。 1.3.1 结构动力学的研究内容结构动力学的研究内容 当前结构动力学的研究内容可用下图表示当前结构动力学的研究内容可用下图表示 控制系统控制系统 （装置、能量）（装置、能量） 输入输入 （动力荷载）（动力荷载） 结构结构 （系统）（系统） 输出输出 （动力反应）（动力反应） 第三类问题：荷载识别。二、三为反问题第三类问题：荷载识别。二、三为反问题 1.3结构动力学的研究内容和任务结构动力学的研究内容和任务 结构动力学是研究动荷作用下结构动力反应规律的结构动力学是研究动荷作用下结构动力反应规律的 学科。学

7、科。 1.3.1 结构动力学的研究内容结构动力学的研究内容 当前结构动力学的研究内容可用下图表示当前结构动力学的研究内容可用下图表示 输入输入 （动力荷载）（动力荷载） 结构结构 （系统）（系统） 输出输出 （动力反应）（动力反应） 控制系统控制系统 （装置、能量）（装置、能量） 第四类问题：控制问题第四类问题：控制问题 1.3结构动力学的研究内容和任务结构动力学的研究内容和任务 1.3.2 结构动力学的任务结构动力学的任务 结构动力学的任务是结构动力学的任务是: 讨论结构在动力荷载作用下反应的分析的方法。讨论结构在动力荷载作用下反应的分析的方法。 寻找结构固有动力特性、动力荷载和结构反应三者

8、间寻找结构固有动力特性、动力荷载和结构反应三者间 的相互关系，即结构在动力荷载作用下的反应规律，的相互关系，即结构在动力荷载作用下的反应规律， 为结构的动力可靠性（安全、舒适）设计提供依据。为结构的动力可靠性（安全、舒适）设计提供依据。 1.3.3 与其它课程间的关系与其它课程间的关系 首先，结构动力学首先，结构动力学要求较熟练掌握已学过的力学要求较熟练掌握已学过的力学 知识知识。其次，。其次，要求较好地掌握已学的数学知识要求较好地掌握已学的数学知识（数学（数学 中未学的，在学习过程中将会介绍）。中未学的，在学习过程中将会介绍）。 结构动力学为工程结构的抗震、抗风设计等提供结构动力学为工程结构

9、的抗震、抗风设计等提供 依据。依据。结构动力学基本原理、方法适用于一切工程结构动力学基本原理、方法适用于一切工程。 1.4 结构动力分析中的自由度结构动力分析中的自由度 1.4.1 自由度的定义自由度的定义 确定体系中质量位置的独立坐标数，称作体系的确定体系中质量位置的独立坐标数，称作体系的 自由度数自由度数。 应注意：自由度数和质量点个数有关，但没有确应注意：自由度数和质量点个数有关，但没有确 定关系。定关系。 1.4.2 实际结构自由度的简化方法实际结构自由度的简化方法 实际结构都是无限自由度体系，这不仅导致分析实际结构都是无限自由度体系，这不仅导致分析 困难，而且从工程角度也没必要。常用

10、简化方法有：困难，而且从工程角度也没必要。常用简化方法有： 1) 集中质量法集中质量法 将实际结构的质量看成（按一定规则）集中在某将实际结构的质量看成（按一定规则）集中在某 些几何点上，除这些点之外物体是无质量的。这样就些几何点上，除这些点之外物体是无质量的。这样就 将无限自由度系统变成一有限自由度系统。将无限自由度系统变成一有限自由度系统。 1.4 结构动力分析中的自由度结构动力分析中的自由度 2) 广义坐标法广义坐标法 以简支梁无限自由度体系为例，以简支梁无限自由度体系为例，设梁上任意一点设梁上任意一点 的位移可分离变量成的位移可分离变量成 y(x,t)=Y(x)T(t) ，而，而Y(x)

11、和里兹和里兹 法一样可用满足位移边界条件的“基函数”（例如正法一样可用满足位移边界条件的“基函数”（例如正 弦级数）线性组合来逼近，组合系数就是广义坐标，弦级数）线性组合来逼近，组合系数就是广义坐标， 从而将无限自由度系统变成有限个广义坐标的系统。从而将无限自由度系统变成有限个广义坐标的系统。 因此，简化系统的自由度就是广义坐标数。因此，简化系统的自由度就是广义坐标数。 如果不考虑轴向变形，则图示平如果不考虑轴向变形，则图示平 面集中质量系统的自由度分别为：面集中质量系统的自由度分别为： 如果不考虑轴向变形，则图示空如果不考虑轴向变形，则图示空 间集中质量系统的自由度分别为：间集中质量系统的自

12、由度分别为： 请考虑计轴向变形结果如何？请考虑计轴向变形结果如何？ 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 4 4 6 6 4 4 1.4 结构动力分析中的自由度结构动力分析中的自由度 3) 有限单元法有限单元法 和静力问题一样，可通过将实际结构离散化为有限和静力问题一样，可通过将实际结构离散化为有限 个单元的集合，将无限自由度问题化为有限自由度来个单元的集合，将无限自由度问题化为有限自由度来 解决。由于将专门介绍，这里不再赘述。解决。由于将专门介绍，这里不再赘述。 虽将简单介绍有限单元法，但本部分主要讨论集虽将简单介绍有限单元法，但本部分主要讨论集 中质量法。对集中质量而言，自由度并不难理解

13、，但中质量法。对集中质量而言，自由度并不难理解，但 如果错误判断了自由度个数，象超静定问题基本未知如果错误判断了自由度个数，象超静定问题基本未知 量个数一样，由于它的错误，后面再算是无意义的。量个数一样，由于它的错误，后面再算是无意义的。 因此，必须熟练地掌握自由度的确定。因此，必须熟练地掌握自由度的确定。 1.5 结构的动力特性结构的动力特性 结构受动荷载作用，它的反应不仅和动荷载有关，结构受动荷载作用，它的反应不仅和动荷载有关， 而且还和结构本身固有的特性（而且还和结构本身固有的特性（包括结构阻尼、频率包括结构阻尼、频率 谱和振型等谱和振型等）有关。）有关。 设有单自由度的刚架和桁架，如果

14、它们具有相同设有单自由度的刚架和桁架，如果它们具有相同 的阻尼、频率，在相同动荷载下将具有相同的反应。的阻尼、频率，在相同动荷载下将具有相同的反应。 可见结构的固有特性能确定动荷下的反应程度，因此可见结构的固有特性能确定动荷下的反应程度，因此 将他们将他们称作结构的动力特性称作结构的动力特性。 1.5.1 自振频率和频率谱自振频率和频率谱 外界干扰消除後，系统在平衡位置附近所产生的外界干扰消除後，系统在平衡位置附近所产生的 振动，称作振动，称作自由振动自由振动（无外荷作用的振动）。自由振（无外荷作用的振动）。自由振 动的频率称动的频率称自振频率自振频率，简称，简称自频自频。 1.5 结构的动力

15、特性结构的动力特性 实际结构有小于等于（一般等于）自由度数的自实际结构有小于等于（一般等于）自由度数的自 振频率，将其按从小到达依次排列，此排列称作振频率，将其按从小到达依次排列，此排列称作频率频率 谱谱。 频率谱中最小的频率称作频率谱中最小的频率称作基本频率基本频率，简称，简称基频基频。 其后依次称为第二、三等等频率。他们可以通过计算其后依次称为第二、三等等频率。他们可以通过计算 和试验得到。和试验得到。 不同结构频率谱的分布是不同的。象单跨梁、不不同结构频率谱的分布是不同的。象单跨梁、不 计扭转振动的房屋等，相邻两频率间隔较大，这样的计扭转振动的房屋等，相邻两频率间隔较大，这样的 频谱称频

16、谱称稀疏型稀疏型的。的。 对于空间结构、考虑扭转振动的房屋等，频谱中对于空间结构、考虑扭转振动的房屋等，频谱中 存在密集区，这样的频谱称存在密集区，这样的频谱称密集型密集型的。的。 结构的动力反应和它的频谱有密切关系。结构的动力反应和它的频谱有密切关系。 1.5 结构的动力特性结构的动力特性 1.5.2 结构的振型结构的振型 当在一定条件下结构按频谱中某一频率振动时，在当在一定条件下结构按频谱中某一频率振动时，在 任意时刻各质量的位移都保持同一比例，也即变形形任意时刻各质量的位移都保持同一比例，也即变形形 状是固定的。这一变形形式称作此频率对应的状是固定的。这一变形形式称作此频率对应的振型振型

17、。 与基频对应的振型称第一振型或基本振型，其他依次与基频对应的振型称第一振型或基本振型，其他依次 称第二、第三振型等等。称第二、第三振型等等。 振型也可通过计算或实验得到，在多自由度体系分振型也可通过计算或实验得到，在多自由度体系分 析时，它是重要的工具。析时，它是重要的工具。 1.5.3 结构的阻尼结构的阻尼 实际结构的自由振动都是衰减的，经一定时间后将实际结构的自由振动都是衰减的，经一定时间后将 仍处于平衡。这说明振动过程有能量耗散，这种能量仍处于平衡。这说明振动过程有能量耗散，这种能量 耗散作用称作耗散作用称作阻尼阻尼。 1.5 结构的动力特性结构的动力特性 产生能量耗散的原因很多，如材

18、料的内摩擦、周围产生能量耗散的原因很多，如材料的内摩擦、周围 介质对能量的吸收等等。至今为止，对阻尼机理仍然介质对能量的吸收等等。至今为止，对阻尼机理仍然 是没有解决的问题。是没有解决的问题。 为了在动力分析中考虑阻尼的影响，使分析更符合为了在动力分析中考虑阻尼的影响，使分析更符合 实际，人们提出了种种关于阻尼的假定。这些假定统实际，人们提出了种种关于阻尼的假定。这些假定统 称作称作阻尼理论阻尼理论。 限于学时，这里只介绍一种常用的“限于学时，这里只介绍一种常用的“等效粘滞等效粘滞”阻”阻 尼理论。所谓等效粘滞阻尼是假设：尼理论。所谓等效粘滞阻尼是假设： 导致能量耗散是由于存在导致能量耗散是由

19、于存在阻尼力阻尼力，它和运动的速度，它和运动的速度 成正比，方向和速度方向相反。这比例系数称成正比，方向和速度方向相反。这比例系数称阻尼系阻尼系 数数，其数值由试验确定。，其数值由试验确定。 根据这一理论，单自由度的阻尼力为根据这一理论，单自由度的阻尼力为 。 y c 阻尼系数阻尼系数 速度速度 1.6 建立建立结构运动方程的一般方法结构运动方程的一般方法 要了解和掌握结构动力反应的规律，必须首先建立要了解和掌握结构动力反应的规律，必须首先建立 描述结构运动的（微分）方程。建立运动方法很多，描述结构运动的（微分）方程。建立运动方法很多， 择常用的简单介绍如下：择常用的简单介绍如下： 1) 应用

20、达朗泊尔原理，通过应用达朗泊尔原理，通过列瞬时“动平衡”方程列瞬时“动平衡”方程来来 建立。由于下一章将专门介绍，这里不赘述。建立。由于下一章将专门介绍，这里不赘述。 2) 虚功法虚功法 根据达朗泊尔原理和所假设的阻尼理论，在质量上根据达朗泊尔原理和所假设的阻尼理论，在质量上 考虑惯性力、阻尼力的作用，则在任意瞬时质量应该考虑惯性力、阻尼力的作用，则在任意瞬时质量应该 处于“动平衡”状态，因此根据虚位移原理，外力处于“动平衡”状态，因此根据虚位移原理，外力 （动荷载、惯性力、阻尼力）的总虚功应恒等于总虚（动荷载、惯性力、阻尼力）的总虚功应恒等于总虚 变形功。也即通过列虚功方程象变形功。也即通过

21、列虚功方程象1)一样来获得运动方一样来获得运动方 程。由于是程。由于是用虚功方程来建立平衡条件用虚功方程来建立平衡条件，称虚功法。，称虚功法。 1.6 建立建立结构运动方程的一般方法结构运动方程的一般方法 3) 利用哈密顿原理来建立运动方程利用哈密顿原理来建立运动方程变分法变分法 分析力学中学过哈密顿原理。通过建立系统动能、分析力学中学过哈密顿原理。通过建立系统动能、 势能和耗能（分别记作势能和耗能（分别记作 T、EP、V），获得如下哈密），获得如下哈密 顿泛函顿泛函 )dt( 2 1 t t VETH P 根据哈密顿原理，可由根据哈密顿原理，可由令哈密顿泛函的一阶变分等于令哈密顿泛函的一阶变

22、分等于 零来建立“动平衡方程”零来建立“动平衡方程”运动方程运动方程。 当没有耗能时，所得到的是无阻尼的方程。否则，当没有耗能时，所得到的是无阻尼的方程。否则， 是有阻尼情况。是有阻尼情况。 用哈密顿原理时和上两方法不同，不再考虑惯性力、用哈密顿原理时和上两方法不同，不再考虑惯性力、 阻尼例和弹性恢复力等，它们通过能量变分来得到。阻尼例和弹性恢复力等，它们通过能量变分来得到。 二、体系的运动方程建立二、体系的运动方程建立 2.1 建立运动方程的基本步骤建立运动方程的基本步骤 2.2 运动方程建立举例运动方程建立举例 2.3 体系运动方程的一般形式体系运动方程的一般形式 2.4 应注意的几个问题

23、应注意的几个问题 2.5 刚度法、柔度法列方程的步骤刚度法、柔度法列方程的步骤 2.6 运动方程建立总结运动方程建立总结 2.1 建立建立运动方程的基本步骤运动方程的基本步骤 作为本科学习，这里只讨论用达朗泊尔原理通过列作为本科学习，这里只讨论用达朗泊尔原理通过列 平衡方程得到运动方程的“直接平衡法”。以下讨论平衡方程得到运动方程的“直接平衡法”。以下讨论 中一律认为系统的阻尼是等效粘滞阻尼。中一律认为系统的阻尼是等效粘滞阻尼。 直接平衡法列方程的一般步骤为：直接平衡法列方程的一般步骤为： 1) 确定体系的自由度确定体系的自由度质量独立位移数；质量独立位移数； 2) 建立坐标系，确定未知位移（

24、坐标正向为正）；建立坐标系，确定未知位移（坐标正向为正）； 3) 根据阻尼理论确定质量所受的阻尼力；根据阻尼理论确定质量所受的阻尼力； 4) 根据达朗泊尔原理在质量上假想作用有惯性力根据达朗泊尔原理在质量上假想作用有惯性力 （注意：惯性力是实际的，但它不作用在质量上）；（注意：惯性力是实际的，但它不作用在质量上）； 5) 取质量为隔离体并作受力图；取质量为隔离体并作受力图； 6) 根据达朗泊尔原理列每一质量的瞬时动力平衡方根据达朗泊尔原理列每一质量的瞬时动力平衡方 程，此方程就是运动（微分）方程。程，此方程就是运动（微分）方程。 列平衡方程称刚度法列平衡方程称刚度法 2.1 建立建立运动方程的

25、基本步骤运动方程的基本步骤 作为本科学习，这里只讨论用达朗泊尔原理通过列作为本科学习，这里只讨论用达朗泊尔原理通过列 平衡方程得到运动方程的“直接平衡法”。以下讨论平衡方程得到运动方程的“直接平衡法”。以下讨论 中一律认为系统的阻尼是等效粘滞阻尼。中一律认为系统的阻尼是等效粘滞阻尼。 直接平衡法列方程的一般步骤为：直接平衡法列方程的一般步骤为： 1) 确定体系的自由度确定体系的自由度质量独立位移数；质量独立位移数； 2) 建立坐标系，确定未知位移（坐标正向为正）；建立坐标系，确定未知位移（坐标正向为正）； 3) 根据阻尼理论确定质量所受的阻尼力；根据阻尼理论确定质量所受的阻尼力； 4) 根据达

26、朗泊尔原理在质量上假想作用有惯性力根据达朗泊尔原理在质量上假想作用有惯性力 （注意：惯性力是实际的，但它不作用在质量上）；（注意：惯性力是实际的，但它不作用在质量上）； 列位移方程称柔度法列位移方程称柔度法 5) 将动力外荷、惯性力、阻尼力作为“外力”，按将动力外荷、惯性力、阻尼力作为“外力”，按 位移计算公式求各质量沿自由度方向的位移，其结果位移计算公式求各质量沿自由度方向的位移，其结果 应该等于未知位移（满足协调），由此建立方程。应该等于未知位移（满足协调），由此建立方程。 2.2 运动方程运动方程建立建立举例举例 2.2.1 单自由度体系运动方程单自由度体系运动方程 例例-1) 试建立图

27、示结构的运动方程。试建立图示结构的运动方程。 h m EI P(t) 解：由于横梁刚度无穷大，结构只能产解：由于横梁刚度无穷大，结构只能产 生水平位移。设生水平位移。设x坐标向右（右手系）。坐标向右（右手系）。 又设横梁（质量又设横梁（质量m）位移为）位移为u，以它，以它 为隔离体，受力如图所示。为隔离体，受力如图所示。 P(t) u c u m 1s F 2s F h uu u k u h EI FF ss 2 12 3 21 列列x方向全部力的平衡方程，即可得结方向全部力的平衡方程，即可得结 构的运动方程为构的运动方程为 )(tPkuucum 图中图中Fs1和和Fs2可由图是有位移法（实可

28、由图是有位移法（实 际直接可由形常数）得到际直接可由形常数）得到 2.2 运动方程运动方程建立建立举例举例 2.2.1 单自由度体系运动方程单自由度体系运动方程 解：图示结构只能产生竖向位移，显然这是单自由度解：图示结构只能产生竖向位移，显然这是单自由度 对称振动。设质量竖向位移为对称振动。设质量竖向位移为v，向下为正。，向下为正。 vmf I 将惯性力将惯性力fI、阻尼力、阻尼力fd如图所示加于梁如图所示加于梁 上，根据达朗泊尔原理和阻尼假定上，根据达朗泊尔原理和阻尼假定 l/2 l/2 m 例例-2) 试建立图示抗弯刚度为试建立图示抗弯刚度为 EI 简支梁简支梁 的运动方程。（不计轴向变形

29、）的运动方程。（不计轴向变形） l/2 l/2 fI fd P(t) P(t) vcfd 由位移计算可知，单位荷载下简支梁跨中竖向位移由位移计算可知，单位荷载下简支梁跨中竖向位移 为为 EI l 48 3 因此在所示“外力”下，质量的位移因此在所示“外力”下，质量的位移 为为 )( Id fftPv )(vcvmtPv 2.2 运动方程运动方程建立建立举例举例 2.2.1 单自由度体系运动方程单自由度体系运动方程 例例-3) 试建立图示结构的运动方程。试建立图示结构的运动方程。 h m EI P(t) 解：由于横梁刚度无穷大，结构只能解：由于横梁刚度无穷大，结构只能 产生水平位移。设质量产生水

30、平位移。设质量m位移为位移为u，向向 右为正。根据达朗泊尔原理和假设的右为正。根据达朗泊尔原理和假设的 阻尼力理论，加惯性力和阻尼力后受阻尼力理论，加惯性力和阻尼力后受 力如图。力如图。 P(t) u c u m h EI h 24 3 由超静定位移计算可得（如图示意）由超静定位移计算可得（如图示意） h 1 1M u 因此，外力下位移为因此，外力下位移为 )(ucumtPu 显然，整理显然，整理 後结果和例後结果和例 -1）相同，）相同， k= -1 2.2 运动方程运动方程建立建立举例举例 2.2.1 单自由度体系运动方程单自由度体系运动方程 解：图示结构只能产生竖向位移，显然这是单自由度

31、解：图示结构只能产生竖向位移，显然这是单自由度 对称振动。设质量竖向位移为对称振动。设质量竖向位移为v，向下为正。，向下为正。 vmf I l/2 l/2 m 例例-4) 试建立图示抗弯刚度为试建立图示抗弯刚度为 EI 简支梁简支梁 的运动方程。（不计轴向变形）的运动方程。（不计轴向变形） P(t) vcfd 因此由所示“外力”平衡可得因此由所示“外力”平衡可得 )(2tPRvcvm 1 R P(t) R R fI+ fd 利用对称性由（形常数）可得质量点利用对称性由（形常数）可得质量点 处所加支杆单位位移时的处所加支杆单位位移时的R（=？）。以？）。以 m为隔离体，加上惯性力为隔离体，加上惯

32、性力fI、阻尼力、阻尼力fd如如 图所示，根据达朗泊尔原理和阻尼假定图所示，根据达朗泊尔原理和阻尼假定 )(tPkuvcvm 显然显然,整理後结果和例整理後结果和例-2) 相同，相同，k= -1 2.2 运动方程运动方程建立建立举例举例 2.2.1 单自由度体系运动方程单自由度体系运动方程 解：将惯性力解：将惯性力fI、阻尼力、阻尼力fd如图所示加于梁上，根据达如图所示加于梁上，根据达 朗泊尔原理和阻尼假定朗泊尔原理和阻尼假定 vmf I 仅在仅在P(t)作用下作用下m的位移由位移计算得的位移由位移计算得 l/2 l/2 m 例例-5) 若例若例-2)简支梁动荷载作用在简支梁动荷载作用在3l/

33、4处处, 试建立其运动方程试建立其运动方程 l/2 l/2 fI fd P(t) P(t) vcfd 由位移计算可知，单位荷载下简支梁跨中竖向位移由位移计算可知，单位荷载下简支梁跨中竖向位移 为为 3 48lEI P vcvmv )( 3 )(11768ltPEI P 作业：作业： P -1的的 物理意义物理意义 是什麽？是什麽？ 因此在所示“外力”下，质量的位移为因此在所示“外力”下，质量的位移为 2.2 运动方程运动方程建立建立举例举例 2.2.1 单自由度体系运动方程单自由度体系运动方程 解：设质量水平位移为解：设质量水平位移为u，向右为正。，向右为正。 umf I 例例-6) 试建立图

34、示质量、弹簧、阻尼器试建立图示质量、弹簧、阻尼器 抽象化模型的运动方程。抽象化模型的运动方程。 ucfd 因此由所示“外力”平衡可得因此由所示“外力”平衡可得 m k 以以m为隔离体，加上惯性力为隔离体，加上惯性力fI、阻尼力、阻尼力 fd如图所示，此外还有弹簧的弹性恢复如图所示，此外还有弹簧的弹性恢复 力力fe 。根据达朗泊尔原理和阻尼假定。根据达朗泊尔原理和阻尼假定 c m P(t) P(t) fI fe fd kufe )(tPkuvcvm 由这些例子显然可见，不管什麽单自由度结构，运由这些例子显然可见，不管什麽单自由度结构，运 动方程的最终形式都是一样的。动方程的最终形式都是一样的。

35、2.2 运动方程运动方程建立建立举例举例 单自由度体系运动方程建立小结单自由度体系运动方程建立小结 )(tPkuvcvm eq 任何单自由度结构，运动方程都可写为任何单自由度结构，运动方程都可写为 式中：式中：m质量；质量；c阻尼系数；阻尼系数；k刚度系数；刚度系数；Peq为等效动为等效动 荷载。荷载。 当动荷载直接作用在质量上时，当动荷载直接作用在质量上时，Peq为动荷载的合为动荷载的合 力在运动方向的投影；力在运动方向的投影； 当动荷载不作用在质量上时，当动荷载不作用在质量上时，Peq为动荷载作用下为动荷载作用下 限制沿自由度运动的支座反力。限制沿自由度运动的支座反力。 用刚度法还是用柔度

36、法建立方程，看具体问题是求用刚度法还是用柔度法建立方程，看具体问题是求 刚度系数方便、还是求柔度系数方便来定。刚度系数方便、还是求柔度系数方便来定。 没有等效动荷为自由振动，没第二项为无阻尼振动没有等效动荷为自由振动，没第二项为无阻尼振动 2.2 运动方程运动方程建立建立举例举例 2.2.2 两自由度体系运动方程两自由度体系运动方程 解：结构为两自由度体系。设水平、竖解：结构为两自由度体系。设水平、竖 向位移为向位移为u、v，分别向右、向下为正。，分别向右、向下为正。 umf Ix 例例-7) 试建立图示结构的运动方程。各试建立图示结构的运动方程。各 杆长度为杆长度为l，抗弯刚度为，抗弯刚度为

37、EI。 vcucf xyxxdx 式中式中cij 为为j方向单位速度引起的方向单位速度引起的i方向的方向的 阻尼力。阻尼力。 m 根据达朗泊尔原理和阻尼假定根据达朗泊尔原理和阻尼假定 Px(t) 2M 1 1 1M fIx +fdx fIy +fdy+Py(t) vmf Iy vcucf yyyxdy Px(t) Py(t) 为用柔度法建方程，沿位移正向加为用柔度法建方程，沿位移正向加 单位力的单位弯矩图如图所示。单位力的单位弯矩图如图所示。 m Px(t) 2M 1 1 1M fIx +fdx fIy +fdy+Py(t) Px(t) Py(t) 2.2 运动方程运动方程建立建立举例举例 2

38、.2.2 两自由度体系运动方程两自由度体系运动方程 由图示单位弯矩图由图示单位弯矩图 可求得可求得 3 11 3lEI 3 12 2lEI 3 22 43lEI 因此，在所示“外力”下因此，在所示“外力”下u、v分别为分别为 )( )( 12 11 dyIyy dxIxx fftP fftPu )( )( 22 21 dyIyy dxIxx fftP fftPv 2.2 运动方程运动方程建立建立举例举例 2.2.2 两自由度体系运动方程两自由度体系运动方程 以矩阵方程表示，整理後可得以矩阵方程表示，整理後可得 v u cc cc v u m m tP tP v u y x 2221 1211

39、2221 1211 0 0 )( )( )(dCdMPfd 记作记作d 称位移阵称位移阵 记作记作P称荷载阵称荷载阵 记作记作f 称柔度阵称柔度阵 记作记作M 称质量阵称质量阵 记加速度、速度矩阵分别为记加速度、速度矩阵分别为 d 和和 d 则上式可写为则上式可写为 记作记作C称阻尼阵称阻尼阵 2.2 运动方程运动方程建立建立举例举例 2.2.2 两自由度体系运动方程两自由度体系运动方程 解：为用刚度法建方程，沿位移正向加解：为用刚度法建方程，沿位移正向加 限制位移的支座如图所示。限制位移的支座如图所示。 2 1 7 18 l EI M 例例-8) 试用刚度法建立结构的运动方程。试用刚度法建立

40、结构的运动方程。 图中图中 由位移法或弯矩分配法可做出支座单由位移法或弯矩分配法可做出支座单 位位移的弯矩图如图示。位位移的弯矩图如图示。 m Px(t) Py(t) 1 1 1M 2M M1 M2 M3 M4 2 2 7 30 l EI M 2 3 7 12 l EI M 2 4 7 6 l EI M 2.2 运动方程运动方程建立建立举例举例 2.2.2 两自由度体系运动方程两自由度体系运动方程 m Px(t) Py(t) 2 1 7 18 l EI M 图中图中 1 1 k11 k21 k12 k22 1M 2M M1 M2 M3 M4 2 2 7 30 l EI M 2 3 7 12 l

41、 EI M 2 4 7 6 l EI M 由此可求得图示反力由此可求得图示反力(刚度刚度)系数系数kij 3 11 7 48 l EI k 3 21 7 18 l EI k 3 12 7 18 l EI k 3 22 7 12 l EI k 取质量为隔离体，加惯性力取质量为隔离体，加惯性力fIx、 fIy， 阻尼力阻尼力fdx 、 fdy和弹性恢复力和弹性恢复力fex、 fey。 2.2 运动方程运动方程建立建立举例举例 2.2.2 两自由度体系运动方程两自由度体系运动方程 fIx fdx fex Px fIy fey fdy Py 由达朗泊尔原理、阻尼理论和上述由达朗泊尔原理、阻尼理论和上述

42、 结果可得结果可得 ;umf Ix ;vcucfdx 1211 ;vmf Iy ;vcucf dy 2221 vkukfex 1211 vkukfey 2221 y x P P v u kk kk v u cc cc v u m m 2221 1211 2221 1211 0 0 列平衡方程并以矩阵方程表示，则得运动方程如下列平衡方程并以矩阵方程表示，则得运动方程如下 记作记作k称刚度阵称刚度阵 由两例系数结果可证由两例系数结果可证k=f-1 2.2 运动方程运动方程建立建立举例举例 2.2.2 两自由度体系运动方程两自由度体系运动方程 解：为用刚度法建方程，沿位移正向使解：为用刚度法建方程，

43、沿位移正向使 限制位移的支座产生图示单位位移。限制位移的支座产生图示单位位移。 例例-9) 试用刚度法建立图示剪切型结构的试用刚度法建立图示剪切型结构的 运动方程。运动方程。k1和和k2为层侧移刚度。为层侧移刚度。 由层刚度定义可得由层刚度定义可得 2111 kkk 1 h1 h2 k1 k2 h1 h2 k1 k2 1 k11 k21 k22 k12 221 kk 212 kk 222 kk h2 h1 k1 k2 m1 m2 P2(t) P1(t) P1(t) fe1 fd1 fI1 P2(t) fe2 fI2 fd2 加惯性力、阻尼力後以楼层为隔离体加惯性力、阻尼力後以楼层为隔离体 P1

44、(t) fe1 fd1 fI1 P2(t) fe2 fI2 fd2 2.2 运动方程运动方程建立建立举例举例 ;umf I11 2121111 ucucfd 22 umf I ;ucucfd 2221212 ;ukukfe 2121111 2221212 ukukfe 2.2.2 两自由度体系运动方程两自由度体系运动方程 图中各项和前面例子相仿，分别为图中各项和前面例子相仿，分别为 2 1 2 1 2221 1211 2 1 2221 1211 2 1 0 0 P P u u kk kk u u cc cc u u m m 列平衡方程并以矩阵方程表示，则得运动方程如下列平衡方程并以矩阵方程表示，则得运动方程如下 记作记作k称刚度阵称刚度阵 2.2 运动方程运动方程建立建立举例举例 2.2.2 两自由度体系运动方程两自由度体系运动方程 解：本例除荷载作用位置外，其他和例解：本例除荷载作用位置外，其他和例-7 完全相同。因此，惯性力、阻尼力、柔度完全相同。因此，惯性力、阻尼力、柔度 系数等直接可以利用系数等直接可以利用 umf Ix 例例-10) 试建立图示结构的运动方程。各试建立图示结构的运动方程。各 杆长度为杆长度为l、刚度为、刚度为EI。荷载在杆中间。荷载在