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1、多媒体教学课件多媒体教学课件李文科 制作第四章第四章 流体的有旋流动和无旋流动流体的有旋流动和无旋流动第一节第一节 流体微团运动的分析流体微团运动的分析第二节第二节 涡线、涡管、涡束和旋涡强度涡线、涡管、涡束和旋涡强度第三节第三节 平面流与流函数平面流与流函数第四节第四节 势流与速度势函数势流与速度势函数第五节第五节 几种基本的平面有势流动几种基本的平面有势流动第六节第六节 有势流动的叠加有势流动的叠加第一节第一节 流体微团运动的分析流体微团运动的分析内内 容容 提提 要要一、一、移动移动二、二、转动转动三、三、线变形运动线变形运动四、四、角变形运动角变形运动第一节第一节 流体微团运动的分析流

2、体微团运动的分析 刚体刚体的运动一般可以分解为的运动一般可以分解为移动移动和和转动转动两部分。两部分。但流体与刚体不同，流体受力便会发生运动状态的变化，即流体具有流动性，极易变形。因此，流体微团流体微团在运动过程中不但会发生移在运动过程中不但会发生移动和转动，而且还会发生变形运动。动和转动，而且还会发生变形运动。所以，在一般情况下流体流体微团的运动微团的运动可以分解为可以分解为移动移动、转动转动和和变形运动变形运动三部分。三部分。变形变形运动运动又分为又分为线变形运动线变形运动和和角变形运动角变形运动两种情况。两种情况。下面我们分别讨论这几种运动情况。一、移动一、移动 在流场中取一微元平行六面

3、体的流体微团，各边长分别为dx、dy、dz，形心a处沿三个坐标轴的速度分量分别为ux、uy、uz，如图4-1所示。如果微团内各点的速度在坐标轴上的分量第一节第一节 流体微团运动的分析流体微团运动的分析 图4-1 微团移动分析 也都是ux、uy和uz，那么整个流体微团就只有移动，也就是说流体微团只能从一个位置移动到另一个新的位置，而其流体微团只能从一个位置移动到另一个新的位置，而其形状形状和和大小大小及及方位方位并不改变。并不改变。第一节第一节 流体微团运动的分析流体微团运动的分析 二、转动二、转动 同上在流场中取一微元平行六面体的流体微团，转动前流体微团的各边分别与坐标轴平行，为讨论方便起见，

4、我们先讨论流体微团绕垂直于xoy平面的轴(z轴)转动的情况，如图4-2所示。设O点在x轴和y轴方向的速度分量分别为ux和uy。当A点在y轴方向的分速度不同于O点在y轴方向的分速度及B点在x轴方向的分速度不同于O点在x轴方向的分速度时，流体微团才会发生旋转。A点在y轴方向的分速度和B点在x轴方向的分速度可按泰勒级数展开，并略去高阶无穷小量而得到，它们分别为yyuuxxuuxxyydd和第一节第一节 流体微团运动的分析流体微团运动的分析 图4-2 微团旋转运动分析第一节第一节 流体微团运动的分析流体微团运动的分析 它们相对于O点的对应分速度(相对于O点的线速度)分别为 所以它们相对于O点的角速度(

5、逆时针方向旋转为正)应分别为 A点上 B点上 而对于微团中其它各点绕z轴转动的角速度（如C点等）则是由该点y向的分速度在x轴方向的变化量和x向的分速度在y轴方向的变化量共同产生的。因此,我们可以把整个微团绕z轴转动的yyuxxuxydd和yuyyyuxuxxxuxxyyd/dd/d第一节第一节 流体微团运动的分析流体微团运动的分析 分角速度用OA与OB在xoy平面内的平均角速度来表示，即 同理，可求得流体微团绕x轴和y轴转动的角速度分量x和y。于是流体微团旋转角速度的三个分量分别为 (4-1)(21yuxuxyz)(21)(21)(21yuxuxuzuzuyuxyzzxyyzx第一节第一节 流

6、体微团运动的分析流体微团运动的分析 而 (4-2)写成向量形式为 (4-3)式中 为哈米尔顿算子哈米尔顿算子，为速度为速度222zyxuukjizyxrot2121kyuxujxuzuizuyuuuuzyxkjiuxyzxyzzyx)()()(rotkzjyixurotu第一节第一节 流体微团运动的分析流体微团运动的分析 的旋度，在流体力学中也称为流场的的旋度，在流体力学中也称为流场的涡量涡量，一般用，一般用 表示，表示，即 。那么涡量在各坐标轴上的分量可表示为 (4-4)而 (4-5)当涡量当涡量 ，即，即x=y=z=0时，流体的流动是无时，流体的流动是无旋的，称为旋的，称为无旋流动无旋流动

7、，否则称为，否则称为有旋流动有旋流动。222222zyxxyzzzxyyyzxxyuxuxuzuzuyu0rotu 2第一节第一节 流体微团运动的分析流体微团运动的分析 应当指出，应当指出，判断流体微团是有旋流动还是无旋流动，完全判断流体微团是有旋流动还是无旋流动，完全取决于流体微团是否绕其自身轴旋转，而与流体微团本身的取决于流体微团是否绕其自身轴旋转，而与流体微团本身的运动轨迹无关。运动轨迹无关。如图4-3所示，流体微团的运动轨迹均为圆周线，在(a)中微团自身有转动，是有旋流动；在(b)中微团自身没有转动，是无旋流动。第一节第一节 流体微团运动的分析流体微团运动的分析 (a)有旋流动 (b)

8、无旋流动 图4-3 流体微团的运动轨迹第一节第一节 流体微团运动的分析流体微团运动的分析 对于圆柱坐标系来说 因此，用上述类似的分析方法可以得到圆柱坐标系下的流体微团的旋转角速度及涡量的计算公式，即 (4-6)(4-7)zzrriuiuiuu222)(21)(21)(21zrrzzrzrrurururuzuzuru第一节第一节 流体微团运动的分析流体微团运动的分析 (4-8)(4-9)写成向量 (4-6a)(4-8a)rurururuzuzururzzzrzrr222zzrrzzrrzriiiiii222第一节第一节 流体微团运动的分析流体微团运动的分析 三、线变形运动三、线变形运动 线变形运

9、动线变形运动是指流体微团的形状随时间在变化，而微团的是指流体微团的形状随时间在变化，而微团的形心位置和方位并不改变的一种变形运动。形心位置和方位并不改变的一种变形运动。所以线变形运动所以线变形运动又称作又称作体变形运动体变形运动。对于不可压缩流体来说，流体微团的线变形运动并不改变其体积的大小。流体微团的流体微团的线变形速度线变形速度是用直线距离上单位时间单位长度是用直线距离上单位时间单位长度的伸长量的伸长量(或缩短量或缩短量)来表示的。来表示的。线变形速度在各个坐标轴上的分量分别用x、y、z表示。如图4-4所示，在流场中任取一流体微团，形心点为O，OA平行于x轴，长度为dx，OB平行于y轴，长

10、度为dy，OC平行于z轴(垂直于纸面)，长度为dz。形心O点处流体质点的速度u在各坐标轴上的分量为ux、uy、uz。第一节第一节 流体微团运动的分析流体微团运动的分析 图4-4 微团线变形运动分析第一节第一节 流体微团运动的分析流体微团运动的分析 A点的x向分速度和B点的y向分速度及C点的z向分速度可按泰勒级数展开并略去高阶无穷小量得到，它们分别为 则A点相对O点在x轴方向的相对速度为 ；B点相对O点 在y轴方向的相对速度为 ；C点相对O点在z轴方向的相 对速度为 。就是由于这些相对速度的存在，将造成流 体微团在各坐标轴方向伸长(或缩短)。在d时间内OA在x轴zzuuyyuuxxuuzzyyx

11、xddd、xxuxdyyuydzzuzd第一节第一节 流体微团运动的分析流体微团运动的分析 方向的伸长量为 ；在d时间内OB到y轴方向的缩 短量为 ；在d时间内OC在z轴方向的伸长量(或缩 短量)为 。则在x轴方向上流体微团在单位时间内单单位时间内单 位长度的伸长量位长度的伸长量为 在y轴方向上流体微团在单位时间内单位长度的缩短量单位时间内单位长度的缩短量为ddxxuxddyyuyddzzuzyuyyyuyyyddddxuxxxuxxxdddd第一节第一节 流体微团运动的分析流体微团运动的分析 同理，在z轴方向上流体微团在单位时间内单位长度的伸长量单位时间内单位长度的伸长量(或缩短量或缩短量)

12、为 由此得到流体微团的线变形运动速度分量为流体微团的线变形运动速度分量为 (4-10)zuzzzuzzzddddzuyuxuzzyyxx第一节第一节 流体微团运动的分析流体微团运动的分析 如果我们用我们用来表示流体微团在单位时间内的来表示流体微团在单位时间内的体积变形率体积变形率,或称或称体积膨胀率体积膨胀率。则有 (4-11)式中 为速度 的散度。显然，对于不可压缩流体，对于不可压缩流体，=0，即体积变形率为零。即体积变形率为零。uzuyuxuzyxzyxdivudivu第一节第一节 流体微团运动的分析流体微团运动的分析 四、角变形运动四、角变形运动 如果流体微团内各点受力不均，有切向力存在

13、时，将会使流体微团产生角变形运动。角变形运动的快慢程度用角变形速度来度量。角变形速度角变形速度的大小常用流体微团中某一直角的角的大小常用流体微团中某一直角的角度在单位时间内的改变量的一半来表示，度在单位时间内的改变量的一半来表示，它在各坐标轴方向的分量分别用x,y,z表示。在流场中任取一流体微团如图4-5所示。设O点在x轴和y轴方向的分速度分别为ux和uy，相 对于O点而言，A点在y方向的分速度为 ，B点在x方向 的分速度为 。因此相对于O点的对应的角速度分别为xxuydyyuxd第一节第一节 流体微团运动的分析流体微团运动的分析 图4-5 微团角变形运动分析第一节第一节 流体微团运动的分析流

14、体微团运动的分析 A点上 B点上 在d时间内对应的角度变化量分别为 则AOB在d时间内的总变化量为 于是，流体微团在xoy平面内的角变形速度为yuyyyuxuxxxuxxyyd/dd/dddddyuxuxy，)d(ddddyuxuyuxuxyxy第一节第一节 流体微团运动的分析流体微团运动的分析 同理，可得到流体微团在yoz平面和xoz平面内的角变形速度。因此，流体微团在三个不同平面内的角变形速度分量分别为 (4-12)(21d)d(21yuxuyuxuxyxyz)(21)(21)(21yuxuxuzuzuyuxyzzxyyzx第一节第一节 流体微团运动的分析流体微团运动的分析 而 (4-13

15、)上面我们对流体微团的移动、转动和变形运动分别进行了讨论和分析，但在实际情况下，流体微团的运动一般都同时存在着移动、转动和变形运动。因此，在分析流体的实际运动状态时，应当进行综合分析和研究。222zyx第二节第二节 涡线、涡管、涡束和旋涡强度涡线、涡管、涡束和旋涡强度内内 容容 提提 要要 涡量场的概念涡量场的概念 涡线的概念和涡线微分方程涡线的概念和涡线微分方程 涡管、涡束、涡旋截面的概念涡管、涡束、涡旋截面的概念 旋涡强度和速度环量的概念旋涡强度和速度环量的概念 斯托克斯定理斯托克斯定理 有旋流动的运动学性质有旋流动的运动学性质第二节第二节 涡线、涡管、涡束和旋涡强度涡线、涡管、涡束和旋涡

16、强度 在有旋流动的流场中，在有旋流动的流场中，全部全部或或局部地区局部地区的流体微团绕自身的流体微团绕自身轴旋转，于是就形成了一个用涡量或角速度表示的轴旋转，于是就形成了一个用涡量或角速度表示的涡量场涡量场，或称为旋涡场。或称为旋涡场。如同在速度场中曾经引入流线、流管、流束和流量一样，在涡量场中，我们引入涡线、涡管、涡束和旋涡强度的概念。涡线涡线是这样一条曲线，在给定瞬时，曲线上每一点的切线是这样一条曲线，在给定瞬时，曲线上每一点的切线都与该点上流体微团的角速度方向相重合。都与该点上流体微团的角速度方向相重合。因角速度向量的方向和流体微团的旋转轴是一致的，所以涡线涡线也就是沿曲线各个也就是沿曲

17、线各个流体微团的瞬时转动轴线，流体微团的瞬时转动轴线，如图4-6所示。一般而言，涡线并一般而言，涡线并不与流线相重合，而是与流线相交。在稳定流场中，涡线不不与流线相重合，而是与流线相交。在稳定流场中，涡线不随时间而改变。随时间而改变。第二节第二节 涡线、涡管、涡束和旋涡强度涡线、涡管、涡束和旋涡强度 图4-6 涡线 图4-7 涡管第二节第二节 涡线、涡管、涡束和旋涡强度涡线、涡管、涡束和旋涡强度 从概念上讲，涡线和流线两者是很相似的。从概念上讲，涡线和流线两者是很相似的。其区别只是涡线是以角速度向量代替了流线的线速度向量。从涡线的定义我们知道，涡线上各点的切线都是各该点上流体微团的瞬时旋转轴，

18、而其向量代表流体微团的旋转角速度。于是，我们可用推导流线微分方程类似的方法得到涡线微分方程涡线微分方程，即 (4-14)在给定的瞬时，在涡量场中任取一不是涡线的封闭曲线，在给定的瞬时，在涡量场中任取一不是涡线的封闭曲线，通过该封闭曲线上每一点作涡线，这些涡线构成一个管状表通过该封闭曲线上每一点作涡线，这些涡线构成一个管状表面面,称为称为涡管涡管，如图4-7所示。涡管中充满着作旋转运动的流涡管中充满着作旋转运动的流体，亦即涡管中的所有涡线所构成的涡线族，称为体，亦即涡管中的所有涡线所构成的涡线族，称为涡束涡束。zyxzyxddd第二节第二节 涡线、涡管、涡束和旋涡强度涡线、涡管、涡束和旋涡强度

19、在稳定流场中，涡管和涡束的形状不随时间而改变。在稳定流场中，涡管和涡束的形状不随时间而改变。垂直于涡管中所有涡线的截面称为垂直于涡管中所有涡线的截面称为涡旋截面涡旋截面。涡管中涡量与涡旋截面的乘积称为涡管中涡量与涡旋截面的乘积称为旋涡强度旋涡强度，也称为，也称为涡管涡管强度强度或或涡通量涡通量。常用常用I来表示。来表示。对于涡旋截面为dA的微元涡管(或涡束)，其旋涡强度为 (4-15)那么，整个涡管的旋涡强度可表示为 (4-16)旋涡强度和流体微团的角速度不能直接测得。但根据实际实际观察发现，在有旋流动的流场中，流体环绕某一核心旋转时观察发现，在有旋流动的流场中，流体环绕某一核心旋转时,AAu

20、IddrotdzzyyxAxAAAAAAAuIdddddrot第二节第二节 涡线、涡管、涡束和旋涡强度涡线、涡管、涡束和旋涡强度 旋涡强度越大，旋转速度越快，旋转的范围就越扩大。旋涡强度越大，旋转速度越快，旋转的范围就越扩大。因此可因此可以推断，在有旋流动中，流场的旋涡强度与流体环绕某一核以推断，在有旋流动中，流场的旋涡强度与流体环绕某一核心旋转的线速度分布有密切的关系。心旋转的线速度分布有密切的关系。为了解决这个问题，我们需要引入速度环量速度环量的概念，利用速度环量可以计算流场中的旋涡强度。在流场中任取一封闭曲线S，如图4-8所示，则流速流速u沿此沿此曲线的积分称为曲线曲线的积分称为曲线S上

21、的速度环量，用上的速度环量，用表示。表示。即 (4-17)速度环量是个标量，速度环量是个标量，它的正负决定于速度的方向和线积分所绕行的方向。一般规定积分时以逆时针方向绕行为正。一般规定积分时以逆时针方向绕行为正。当速度 在积分线路 上的投影与 同向时，为正。zuyuxusuzysxsddddusdsd第二节第二节 涡线、涡管、涡束和旋涡强度涡线、涡管、涡束和旋涡强度 图4-8 速度环量第二节第二节 涡线、涡管、涡束和旋涡强度涡线、涡管、涡束和旋涡强度 设封闭曲线S所包围的区域A为单连通域单连通域，根据数学分析中的斯托克斯公式斯托克斯公式，沿封闭曲线S的线积分可以化为以S为边界的曲面A的面积分。

22、即 (4-18)亦即 (4-18a)式式(4-18)表明，在流场的单连通域中沿任意封闭曲线的速度环表明，在流场的单连通域中沿任意封闭曲线的速度环量等于通过以该曲线为边界的任意曲面的所有涡束的旋涡强量等于通过以该曲线为边界的任意曲面的所有涡束的旋涡强度。这个结论在流体力学中称为度。这个结论在流体力学中称为斯托克斯定理斯托克斯定理。AAzzyyAxxxyzxAyzzysxsAuAAAAyxyuxuxzxuzuzyzuyuzuyuxusudrotdddddd)(dd)(dd)(ddddI第二节第二节 涡线、涡管、涡束和旋涡强度涡线、涡管、涡束和旋涡强度 由斯托克斯定理可知，速度环量的存在不但可以决定

23、流场，速度环量的存在不但可以决定流场中旋涡的存在，而且还可以衡量封闭曲线所包围的区域内全中旋涡的存在，而且还可以衡量封闭曲线所包围的区域内全部旋涡的总旋涡强度。部旋涡的总旋涡强度。在无旋流动的流场中，涡量在无旋流动的流场中，涡量=0，所以沿，所以沿任何任何封闭曲线的封闭曲线的速度环量都等于零。速度环量都等于零。反之也可以断定，如果在一个流动区域内如果在一个流动区域内沿沿任何任何封闭曲线的速度环量都等于零，那么，该区域内就没封闭曲线的速度环量都等于零，那么，该区域内就没有旋涡存在，即该区域内的流动一定是无旋流动。有旋涡存在，即该区域内的流动一定是无旋流动。因此在求解单连通域的总旋涡强度时，不论流

24、场中的旋涡是连续分布还是分散存在，都不必考虑其中无旋流动区域的大小，可直接沿包围这一区域的封闭曲线求其速度环量来确定。在有旋流动的流场中，涡量在有旋流动的流场中，涡量0，所以，一般情况下沿，所以，一般情况下沿第二节第二节 涡线、涡管、涡束和旋涡强度涡线、涡管、涡束和旋涡强度 封闭曲线的速度环量不等于零，即流场中的总旋涡强度不为零。封闭曲线的速度环量不等于零，即流场中的总旋涡强度不为零。但是，有时也会遇到沿某一特定的封闭曲线的速度环量等于但是，有时也会遇到沿某一特定的封闭曲线的速度环量等于零，而该封闭曲线所包围的区域内又有旋涡存在的情况。零，而该封闭曲线所包围的区域内又有旋涡存在的情况。这是由于

25、该区域内同时存在几个大小相等、方向相反的旋涡，其旋涡强度相互抵消，使得该区域的总旋涡强度为零，沿封闭曲线的速度环量也为零。所以在判断流场是有旋还是无旋时，不能只根据沿某一特定封闭曲线的速度环量是否为零，或根据某一特定区域的总旋涡强度是否为零来判断，而是根据在流场中沿任何封闭曲线的速度环量是否为零，或根据流场中任何区域内的旋涡强度是否都为零来进行判断。第二节第二节 涡线、涡管、涡束和旋涡强度涡线、涡管、涡束和旋涡强度 有旋流动有一个重要的有旋流动有一个重要的运动学性质：运动学性质：在同一瞬时，通过同在同一瞬时，通过同一涡管各涡旋截面的旋涡强度都相等。一涡管各涡旋截面的旋涡强度都相等。该性质为亥姆

26、霍兹第亥姆霍兹第一定理一定理，可以通过斯托克斯定理加以证明。根据上述性质可以得到以下推论推论：(1)(1)对于同一涡管来说，涡旋截面越小的地方，流体的涡对于同一涡管来说，涡旋截面越小的地方，流体的涡量或旋转角速度越大。量或旋转角速度越大。(2)(2)涡管不可能在流体内部以尖端形式产生或终止，而只涡管不可能在流体内部以尖端形式产生或终止，而只能在流体中自行封闭成涡环，或者附在流体的边界上。能在流体中自行封闭成涡环，或者附在流体的边界上。这是因为在涡旋截面趋近于零的地方，流体的旋转角速度趋近于无穷大。实际上这是不可能的。例如抽烟人吐出的烟圈烟圈就是自行封闭的涡环；自然界中的龙卷风龙卷风就开始于地面

27、，终止于云层。第三节第三节 平面流与流函数平面流与流函数内内 容容 提提 要要 平面流动的概念平面流动的概念 流函数的概念流函数的概念 流函数存在的条件流函数存在的条件 流函数与速度分量之间的关系流函数与速度分量之间的关系 流函数的性质流函数的性质第三节第三节 平面流与流函数平面流与流函数 如果流场中流体的流动参量只是两个坐标的函数，即流体如果流场中流体的流动参量只是两个坐标的函数，即流体的流动参量只随平面内不同点的坐标而变化，这种流动就称的流动参量只随平面内不同点的坐标而变化，这种流动就称作作平面流动平面流动。平面流动实际上就是二维流动。流线可以形象地描绘出流场内的流动形态。在数学分析上在数

28、学分析上,我们可以将描述流场特征的所有流线所构成的流线族用一定我们可以将描述流场特征的所有流线所构成的流线族用一定的函数形式来表示，这种函数就称为的函数形式来表示，这种函数就称为流函数流函数。设有一不可压缩流体的二维平面流动，其连续性方程为 (a)流线微分方程为0yuxuyxyxuyuxdd第三节第三节 平面流与流函数平面流与流函数 或写成 (b)根据数学分析可知，如果式(b)的左边恰好是某一个函数=(x，y)的全微分，即 (4-19)那么式(b)就是一个全微分方程。函数(x，y)就称为流函数。由式(4-19)可得 (4-20)将式(4-20)代入平面流的连续性方程式(a)，得xuyuyx，y

29、uxuyyxxxyddddd0ddxuyuyx022yxxyyuxuyx第三节第三节 平面流与流函数平面流与流函数 显然，不可压缩流体二维平面流动的连续性方程是不可压缩流体二维平面流动的连续性方程是流函数流函数存存在的充分和必要条件在的充分和必要条件。即流函数即流函数永远满足连续性方程。永远满足连续性方程。另外还可以看出，在流线上d=0或=常数，并且在每条流线上都在每条流线上都有它自己的流函数值。有它自己的流函数值。应当指出应当指出，在引入流函数这个概念时，既没有涉及流体是粘性的还是非粘性的，也没有涉及流体是有旋的还是无旋的。所以，不论是理想流体还是粘性流体，不论是有旋流动还是不论是理想流体还

30、是粘性流体，不论是有旋流动还是无旋流动，无旋流动，只要是不可压缩流体的平面流动，就存在着流函只要是不可压缩流体的平面流动，就存在着流函数。数。第三节第三节 平面流与流函数平面流与流函数 流函数存在下列几个重要性质流函数存在下列几个重要性质：1.1.流函数流函数(x，y)=C的方程为流线方程。的方程为流线方程。2.2.通过两条流线间各截面上的流体的体积流量都相等，并通过两条流线间各截面上的流体的体积流量都相等，并恒等于两条流线上的流函数值之差。恒等于两条流线上的流函数值之差。设在给定的某一瞬时，有两条流线1和2，它们的流函数值分别为1和2，如图4-10所示。现在我们来证明通过二维不可压缩流体流动

31、的两条流线间的各截面上的体积流量都相等，并且恒等于两条流线上的流函数值之差。例如通过AB截面的体积流量(取单位宽度)为21212112dddyyyuQyyyyxAB第三节第三节 平面流与流函数平面流与流函数 图4-10 流量与流函数值的关系第三节第三节 平面流与流函数平面流与流函数 AB方向上x等于常数。同理，通过BC截面的体积流量为 BC方向上y等于常数。因此得到 Q12=QAB=QBC=2-1 (4-21)由于同一条流线上各点的流函数值都是相同的，所以上式表明沿流线全长两条流线间的体积流量保持不变，并恒等于两条流线上的流函数值之差。3.3.不可压缩流体平面无旋流动的流函数满足拉普拉斯方程。

32、不可压缩流体平面无旋流动的流函数满足拉普拉斯方程。即12122121dd)(dxxxuQxxxxyBC第三节第三节 平面流与流函数平面流与流函数 (4-22)因为对于二维的无旋流动，z=0，即 而 代入上式，有 凡是满足拉普拉斯方程的函数，在数学分析上称为调和函凡是满足拉普拉斯方程的函数，在数学分析上称为调和函数，所以数，所以流函数是一个调和函数。流函数是一个调和函数。02222yx002222yxxuyuyuxuyxxy，第三节第三节 平面流与流函数平面流与流函数 4.4.在不可压缩流体平面无旋流动的流场中，流线与等势线在不可压缩流体平面无旋流动的流场中，流线与等势线处处正交。处处正交。关于

33、等势线的概念及这一性质的证明，将在下一节中介绍。对于圆柱坐标系来说，流函数与速度分量之间的关系为 (4-23)(4-24)ddd1rururururr，第四节第四节 势流与速度势函数势流与速度势函数内内 容容 提提 要要 势流的概念势流的概念 速度位势和速度势函数的概念速度位势和速度势函数的概念 速度势函数存在的条件速度势函数存在的条件 速度势函数与速度分量之间的关系速度势函数与速度分量之间的关系 速度势函数的性质速度势函数的性质第四节第四节 势流与速度势函数势流与速度势函数 在有旋流动的流场中，流体质点除具有一定的运动速度(线速度)外，还存在着一定的旋转速度(角速度)，即在有旋流在有旋流动的

34、流场中，既有速度场动的流场中，既有速度场u(x，y，z)，又有涡量场，又有涡量场(x，y，z)。一般来说，有旋流动要比无旋流动复杂得多。所以对于一些旋对于一些旋涡强度很弱的有旋流动，可以近似作为无旋流动来处理，这涡强度很弱的有旋流动，可以近似作为无旋流动来处理，这样将会给问题的解析和研究带来可能和方便。样将会给问题的解析和研究带来可能和方便。流体的无旋流动，即角速度流体的无旋流动，即角速度=0=0的流动也称为的流动也称为有势流动有势流动，简称为简称为势流势流。在势流流场中，各流体质点仅具有速度向量，而没有角速度向量。一般情况下，在某一瞬时，流线上各流体质点的速度具有不同的大小和方向，它们各自具

35、有不同的速度位势速度位势。第四节第四节 势流与速度势函数势流与速度势函数 所谓所谓速度位势速度位势就速度向量在某一方向上的投影与该方向上就速度向量在某一方向上的投影与该方向上一段距离的乘积，一段距离的乘积，即 。如果我们将流场中各流线上具如果我们将流场中各流线上具有相同速度位势的点连接起来，所组成的线有相同速度位势的点连接起来，所组成的线(或面或面)就称为等势就称为等势线线(或等势面或等势面)。速度向量垂直于等势线速度向量垂直于等势线(或等势面或等势面)。在同一条等势线上各流体质点具有相同的速度位势，而在不同的等势线上流体质点将具有不同的速度位势。因此，与流线一样，用等势线也可以描述流场的特征

36、。对于不同的等势线对于不同的等势线(或等势面或等势面)也也可以用一定的函数形式来表示，这种函数就称为可以用一定的函数形式来表示，这种函数就称为速度势函数速度势函数，或简称为或简称为速度势速度势或或势函数势函数。在势流流场中，其涡量(或旋转角速度)为零，即由式(4-4)有sud第四节第四节 势流与速度势函数势流与速度势函数 (a)由数学分析可知，上式(a)是表达式 成为某一函数 的全微分的充分必要条件。因此，在无旋流动的条件下必然存在函数在无旋流动的条件下必然存在函数 ，它和速度分量ux、uy、uz的关系为 (4-25)yuxuxuzuzuyuxyzxyzzuyuxuzyxddddzuyuxuz

37、yxddd)(zyx，)(zyx，第四节第四节 势流与速度势函数势流与速度势函数 在给定瞬时，函数 的全微分又可写成 比较以上两式，可以得出 (4-26)函数 就称为速度势函数。对于稳定流动 ；对于非稳定流动 ，但一般时间是作为参变量出现的。将式(4-26)代入式(a)，可以发现势函数 的二阶偏导数与求导次序无关。zuyuxuzyx，zzyyxxdddd)(，zyx)(zyx，第四节第四节 势流与速度势函数势流与速度势函数 由以上讨论可知，只要流动是无旋的，就一定存在速度势只要流动是无旋的，就一定存在速度势函数。函数。反之，只要流场中存在速度势函数 ，则流动就必定是无旋的。速度势函数速度势函数

38、存在以下几个重要性质存在以下几个重要性质：1.1.速度势函数速度势函数 =C=C的方程为等势线方程。而速的方程为等势线方程。而速度势函数度势函数 =C=C的方程为等势面方程。的方程为等势面方程。2.2.速度势函数的梯度就是流场中流体的速度。或者说，流速度势函数的梯度就是流场中流体的速度。或者说，流体的速度即为速度势函数的梯度。体的速度即为速度势函数的梯度。按向量分析，有 (4-27)gradkzjyixkujuiuuzyx)(zyx，)(yx，第四节第四节 势流与速度势函数势流与速度势函数 另外，根据速度位势的定义可知，速度势函数在任意方向上的速度势函数在任意方向上的偏导数等于速度在该方向上的

39、投影。偏导数等于速度在该方向上的投影。根据方向导数的定义，函数在任一方向l上的方向导数为 3.3.不可压缩流体的有势流动，其速度势函数满足拉普拉不可压缩流体的有势流动，其速度势函数满足拉普拉斯方程。斯方程。将式(4-26)代入不可压缩流体的连续性方程，可得 (4-28)lzyxuzluyluxluzlzylyxlxl),cos(),cos(),cos(),cos(),cos(),cos(0222222zyx第四节第四节 势流与速度势函数势流与速度势函数 式(4-28)是拉普拉斯方程。速度势函数 满足拉普拉斯方程，因而它也是一个调和函数。对于不可压缩流体的平面无旋流动，其流函数和速度势函数同时存

40、在。比较式(4-20)和式(4-26)可知，流函数和速度势函数 存在如下的关系 (4-29)或写成 (4-29a)满足上述关系的两个调和函数称为满足上述关系的两个调和函数称为共轭调和函数共轭调和函数。已知其中的一个函数就能够求出另一个函数。0yyxxxyyx，第四节第四节 势流与速度势函数势流与速度势函数 4.4.在不可压缩流体平面无旋流动的流场中，等势线与流线在不可压缩流体平面无旋流动的流场中，等势线与流线处处正交。处处正交。这也是前述流函数的重要性质之一。我们可以通过求流场中任一点上流线的斜率和等势线的斜率，来证明不可压缩流体平面无旋流动的流场中，等势线与流线处处正交。对流场中的任意一点，

41、由流线微分方程可得流线在该点的斜率为 (b)由等势线微分方程uxdx+uydy=0可得等势线在该点的斜率为 (c)xyuuxyddyxuuxydd第四节第四节 势流与速度势函数势流与速度势函数 由式(b)和(c)可知，流线的斜率和等势线的斜率互为负倒数的流线的斜率和等势线的斜率互为负倒数的关系，或者它们两者的乘积等于负一。关系，或者它们两者的乘积等于负一。这就说明，在不可压缩流体平面无旋流动的流场中，等势线与流线是处处正交的。此外，由数学分析可知，式(4-29)也是等势线族和流线族互相垂直的条件，即正交性条件。即由式(4-29)也可以证明速度势函数及流函数的上述性质。因此，在平面上可以将等势线

42、在平面上可以将等势线族和流线族构成正交网络，称为族和流线族构成正交网络，称为流网流网，如图4-12所示。有了流有了流网就可以近似地得出流场中各点的速度分布，从而也可以得网就可以近似地得出流场中各点的速度分布，从而也可以得出压力分布。出压力分布。即即在流场中，流线愈密集的地方，其流速愈大，在流场中，流线愈密集的地方，其流速愈大，而压力愈小。而压力愈小。它是求解稳定平面势流的近似图解法。第四节第四节 势流与速度势函数势流与速度势函数 图4-12 流网第四节第四节 势流与速度势函数势流与速度势函数 5.5.在势流流动的流场中，沿任意曲线上的速度环量等于该在势流流动的流场中，沿任意曲线上的速度环量等于

43、该曲线两端点上的速度势函数值之差，而与曲线的形状无关。曲线两端点上的速度势函数值之差，而与曲线的形状无关。沿任意曲线ab的速度环量为 (4-30)式(4-30)说明，在在势流流场中，沿任意曲线势流流场中，沿任意曲线ab的速度环量只取的速度环量只取决于起点决于起点a和终止和终止b的位置，而与曲线的位置，而与曲线ab的形状无关。的形状无关。如果a点和b点重合，则曲线ab为一条封闭曲线，因此ab=0。baabbazybaxabzzyyxxzuyuxuddddddd第四节第四节 势流与速度势函数势流与速度势函数 在圆柱坐标系下，速度势函数与速度分量之间的关系为 (4-31)(4-32)此外，我们可以证

44、明，对于稳定的有势流动来说，流场中所有流线的伯努利常数都相同。证明从略。zururuzururuzrzrdddd1，第五节第五节 几种基本的平面有势流动几种基本的平面有势流动内内 容容 提提 要要一、一、均匀直线流均匀直线流二、二、源流和汇流源流和汇流三、三、涡流和点涡涡流和点涡第五节第五节 几种基本的平面有势流动几种基本的平面有势流动 一、均匀直线流一、均匀直线流 当流体作匀速直线运动时，流场中各点的速度都是大小相当流体作匀速直线运动时，流场中各点的速度都是大小相等，方向相同的，这种流动就称为等，方向相同的，这种流动就称为均匀直线流均匀直线流，又称为，又称为等速等速平行流平行流。如图4-13

45、所示，流体的流动方向与x轴的夹角为，流场中各点的速度均为u0，且u0为一定值。则x和y方向的分速度为 ux=u0cos，uy=u0sin (4-35)其流函数及速度势函数可由下式求出 d=uxdy-uydx=u0cosdy-u0sindx d=uxdx+uydy=u0cosdx+u0sindy第五节第五节 几种基本的平面有势流动几种基本的平面有势流动 图4-13 均匀直线流动 积分上式可得流函数及速度势函数 =u0cosy-u0sinx+C1 =u0cosx+u0siny+C2 以上两式中的积分常数C1和C2可以任意选取，而不影响流体的流动图形。若令C1=C2=0，得 =u0cosy-u0si

46、nx=u0(ycos-xsin)=u0cosx+u0siny=u0(xcos+ysin)(4-36)由式(4-36)可以看出，等势线族(=常数)和流线族(=常数)在流场内处处正交，而且它们都为平行直线，如图4-13所示。各流线与x轴的夹角为=tg-1(uy0/ux0)。第五节第五节 几种基本的平面有势流动几种基本的平面有势流动第五节第五节 几种基本的平面有势流动几种基本的平面有势流动 若流动平行于x轴，则函数 及 成为 (4-36a)当流动平行于y轴时，(4-36b)由于流场中各点的速度都相等，根据伯努利方程可以得到 (4-37)xuyu00yuxu00Czp第五节第五节 几种基本的平面有势流

47、动几种基本的平面有势流动 如果均匀直线流动是在同一水平面内，或者重力的影响可以忽略不计时，则有 p=C (4-37a)即在水平均匀直线流动的流场中，压力是处处相等的。第五节第五节 几种基本的平面有势流动几种基本的平面有势流动 二、源流和汇流二、源流和汇流 如图4-14a所示，设无限平面内有一点设无限平面内有一点O，流体不断地从，流体不断地从O点流出后，沿径向均匀地向四周各个方向继续扩散流动，这点流出后，沿径向均匀地向四周各个方向继续扩散流动，这种流动称为种流动称为源流源流，或简称，或简称点源点源，O点称为点称为源点源点。与此相反，若若流体不断地沿径向均匀地从四周各个方向流入流体不断地沿径向均匀

48、地从四周各个方向流入O点，则这种流点，则这种流动称为动称为汇流汇流，或简称，或简称点汇点汇，O点称为点称为汇点汇点，如图4-14b所示。显然，这两种流动的流线都是从O点发出的射线，即流体从源点流出和向汇点流入都只有径向速度ur，而切向速度u为零。现以O点为原点取柱坐标(如图4-14)。对于不可压缩流体的稳定流动来说，流体每秒钟通过任一半径为r的单位长度圆柱面上的体积流量Q都应该相等，即Q=2rur=常数。常数。流量流量Q第五节第五节 几种基本的平面有势流动几种基本的平面有势流动 图4-14 源流和汇流第五节第五节 几种基本的平面有势流动几种基本的平面有势流动 又称为又称为源流强度源流强度(或或

49、汇流强度汇流强度)，单位是米单位是米3/(秒秒米米)。由此可得源流(或汇流)流场的速度分布为 (4-38)对于源流，Q0，因而ur0，因此有 积分以上两式，并令积分常数C=0，得02urQur，rrQrururuQrrQrurururrrrd2ddddd2d2dddd第五节第五节 几种基本的平面有势流动几种基本的平面有势流动 (4-39)由式(4-39)可以看出，流线族是以源点为起点的辐射线，而等势线族是以源点为圆心的同心圆，这说明等势线族与流线族是正交的。汇流与源流是互逆过程，流函数和速度势函数的表达式与源流相同，只是符号相反，即 (4-40)221ln2ln2-tg22yxQrQxyQQ2

50、21ln2ln2-tg22yxQrQxyQQ第五节第五节 几种基本的平面有势流动几种基本的平面有势流动 由于ur=Q/2r，当r0时，ur，所以源点和汇点都是奇点。因此其流函数和速度势函数只有在源点或汇点之外才存在，即除源点或汇点外，整个平面流场上都是有势流动。下面来分析一下源流和汇流流场的压力分布情况。如果xoy平面是无限水平面，则根据伯努利方程，有 式中p为在r处的流体压力，该处的速度为ur=Q/2r=0。将ur=Q/2r代入上式，得 (4-41)pupr22122218rQpp第五节第五节 几种基本的平面有势流动几种基本的平面有势流动 上式说明，压力p随着半径r的减小而降低，当r=r0=