大学精品课件：动力学5.1.ppt

1、五、实用计算方法五、实用计算方法 能量法求能量法求基本基本频率频率 迭代法求频率、振型迭代法求频率、振型 结论与讨论结论与讨论 由前两章的分析可以看到，频率、振型是动力系统由前两章的分析可以看到，频率、振型是动力系统 的重要动力特性，特别是对线性系统用振型分解法作的重要动力特性，特别是对线性系统用振型分解法作 多自由度分析时，必须事先求出频率、振型。多自由度分析时，必须事先求出频率、振型。 作为数学的特征值问题，可以有很多方法求全部特作为数学的特征值问题，可以有很多方法求全部特 征值和部分特征值。对于本科初学者，由于一般结构征值和部分特征值。对于本科初学者，由于一般结构 分析只需要很少的前几个

2、振型即可获得足够的精度，分析只需要很少的前几个振型即可获得足够的精度， 因此，本章仅介绍两种求频率振型的实用方法。因此，本章仅介绍两种求频率振型的实用方法。 由于工程结构和各种构筑物的的阻尼比很小，从单由于工程结构和各种构筑物的的阻尼比很小，从单 自由度自由度 d= (1- 2)1/2 可见可见 d 。因此频率振型分析都因此频率振型分析都 对无阻尼自由振动问题来进行。对无阻尼自由振动问题来进行。 5.1 能量法求基本频率能量法求基本频率 5.1.1 单自由度求频率单自由度求频率 单自由度无阻尼自由振动解答为单自由度无阻尼自由振动解答为Asin( t+ )， 当当 t+ =n 时位移等于零，因此

3、势能为零，速度为时位移等于零，因此势能为零，速度为 A，动能为动能为m( A)2/2。 当当 t+ =(n+1) /2时，速度为零、动能等于零，位时，速度为零、动能等于零，位 移为移为A，势能为，势能为kA2/2。 由无阻尼、能量守恒可得由无阻尼、能量守恒可得 Tmax=m( A)2/2=kA2/2=EP,max 设设 =1时最大动能为时最大动能为Tmax，由此即可得，由此即可得 =(EP,max/Tmax)1/2 (1) 5.1 能量法求基本频率能量法求基本频率 5.1.2 多自由度求基本频率多自由度求基本频率 由振型正交性进行振型分解可知，第由振型正交性进行振型分解可知，第i振型的频率振型

4、的频率 可由对应的广义刚度和广义质量按单自由度求的。但可由对应的广义刚度和广义质量按单自由度求的。但 真要如此来求，必须事先求得振型。这显然是不可能真要如此来求，必须事先求得振型。这显然是不可能 的。的。 但是，根据化无限自由度为有限自由度的广义坐标但是，根据化无限自由度为有限自由度的广义坐标 法思想，如果能够假设出满足位移约束条件的位移形法思想，如果能够假设出满足位移约束条件的位移形 式式Ai作为第作为第i振型近似解。则令振型近似解。则令 Mi*=AiTMAi (2) Ki*=AiTKAi (3) 可得第可得第i振型的频率振型的频率 i2=Ki*/Mi* (4) 此结果的近似程度完全取决于假

5、设的振型，因此一般此结果的近似程度完全取决于假设的振型，因此一般 只用它求基频的上界。只用它求基频的上界。如取自重沿运动方向作用的变如取自重沿运动方向作用的变 形曲线作假设振型，一般能得到很高精度的基频。形曲线作假设振型，一般能得到很高精度的基频。 5.1 能量法求基本频率能量法求基本频率 5.1.3 多自由度求基本频率的步骤多自由度求基本频率的步骤 1）确定系统的质量、刚度矩阵。）确定系统的质量、刚度矩阵。 2）沿运动方向作用自重，按静力问题求运动方向的）沿运动方向作用自重，按静力问题求运动方向的 位移。位移。 3）由上述位移结果按自由度顺序排成列阵，并进行）由上述位移结果按自由度顺序排成列

6、阵，并进行 规格化（最大元素为规格化（最大元素为1）得）得A1近似解。近似解。 4）用下列公式求广义质量、广义刚度）用下列公式求广义质量、广义刚度 M1*=A1TMA1 (2) K1*=A1TKA1 (3) 5）求第一振型的频率）求第一振型的频率 12=K1*/M1* (4) 如果系统是无限自由度的，应如何求它的基频近似如果系统是无限自由度的，应如何求它的基频近似 值？请大家考虑值？请大家考虑。 5.2 迭代法求频率、振型迭代法求频率、振型 下面介绍一种通过迭代求前几阶频率振型的方法。下面介绍一种通过迭代求前几阶频率振型的方法。 5.2.1 迭代法求基本频率、第一振型迭代法求基本频率、第一振型

7、 多自由度振型方程为多自由度振型方程为 (K- 2M)A=0 或或 1/ 2A=K-1MA (5) 记记动力矩阵动力矩阵 D=K-1M (6) = 1/ 2 (7) 则振型方程改为则振型方程改为 A=DA (8) 由式由式(8)出发进行迭代，即可获得系统的基频和第出发进行迭代，即可获得系统的基频和第 一振型。迭代公式为一振型。迭代公式为 An+1=DAn (9) 5.2.2 迭代法求基本频率、第一振型的步骤迭代法求基本频率、第一振型的步骤 1）确定系统的质量、刚度矩阵。）确定系统的质量、刚度矩阵。 5.2 迭代法求频率、振型迭代法求频率、振型 2）计算动力矩阵）计算动力矩阵 D=K-1M (6

8、) 3）任意假设一个初始迭代向量）任意假设一个初始迭代向量A0 。 4）按式）按式 An+1=DAn (10) 由“初始向量”求“迭代向量”。由“初始向量”求“迭代向量”。 5）将）将An+1个元素除以个元素除以An+1中最大元素值中最大元素值an+1,max进进 行规格化。行规格化。 6）以规格化后的向量作为新的“初始向量”再求）以规格化后的向量作为新的“初始向量”再求 “迭代向量”。重复这个过程直到相邻两次结果达到“迭代向量”。重复这个过程直到相邻两次结果达到 精度要求为止，规格化向量即为振型。精度要求为止，规格化向量即为振型。 7）用）用 12=Ai,n/Ai,n+1 (i=1,2, )

9、 (11) 求频率。求频率。 5.2 迭代法求频率、振型迭代法求频率、振型 5.2.3 任意初始向量均收敛于第一振型的证明任意初始向量均收敛于第一振型的证明 设设 A0= aiXi Xi 为振型向量为振型向量 (12) A1=DA0= aiDXi = ai iXi (a) n次迭代后次迭代后 A0= ai inXi (b) 上式除以上式除以 1n=(1/ 12) n,由于由于 1是最低频率是最低频率,因此因此 1是最是最 大值大值,所以当所以当n足够大时足够大时=( i/ 1) n趋于零趋于零.也即也即 A0 a1 1nX1 (13) 这就证明了不管初始向量如何假设，只要经过足够次这就证明了不

10、管初始向量如何假设，只要经过足够次 的迭代，总是收敛到第一振型。的迭代，总是收敛到第一振型。 从证明也可看到，在求解过程中出现计算错误也没从证明也可看到，在求解过程中出现计算错误也没 关系，无非增加一些迭代次数。关系，无非增加一些迭代次数。 5.2 迭代法求频率、振型迭代法求频率、振型 5.2.4 求高阶振型和频率求高阶振型和频率 从从 A0= ai inXi (b) 可以看到，如果可以看到，如果a1=0（初始向量不包含第一振型时）（初始向量不包含第一振型时） 像上小节证明，迭代将收敛于第二振型。如果像上小节证明，迭代将收敛于第二振型。如果a1=0、 a2=0，则将收敛于第三振型，其余可类推。

11、，则将收敛于第三振型，其余可类推。 教材上利用振型正交性具体推导了滤去低阶振型的教材上利用振型正交性具体推导了滤去低阶振型的 过滤矩阵求法，限于学时，这里不再细说，仅给出过过滤矩阵求法，限于学时，这里不再细说，仅给出过 滤矩阵和动力矩阵的一般公式滤矩阵和动力矩阵的一般公式 过滤矩阵过滤矩阵 Sj=Sj-1-AjAjTM (14) 动力矩阵动力矩阵 Dj+1=DSj (15) 利用改造后的动力矩阵，进行迭代即可得到高阶频利用改造后的动力矩阵，进行迭代即可得到高阶频 率和振型。率和振型。Vibra程序中包含这种解法。程序中包含这种解法。 5.3 结论与讨论结论与讨论 频率、振型是重要的动力特性，可

12、用能量法通过假频率、振型是重要的动力特性，可用能量法通过假 设第一振型求第一频率。以自重下位移作近似振型可设第一振型求第一频率。以自重下位移作近似振型可 得较好结果。得较好结果。 能量法求得的频率是实际频率的上限。能量法求得的频率是实际频率的上限。 在能建立整体满足位移边界条件试函数情况下，可在能建立整体满足位移边界条件试函数情况下，可 利用里兹法，由试函数线性组合作为动位移幅值，从利用里兹法，由试函数线性组合作为动位移幅值，从 而将系统化成有限个自由度的振动问题（这实际上就而将系统化成有限个自由度的振动问题（这实际上就 是广义坐标法），求解自由度等于组合系数个数是广义坐标法），求解自由度等于

13、组合系数个数n的的 多自由度特征对，即可得到系统的多自由度特征对，即可得到系统的n个频率和振型近个频率和振型近 似值，这称为里兹能量法。一般用它分析无限自由度似值，这称为里兹能量法。一般用它分析无限自由度 问题。问题。 迭代法是一种求少量几个特征对的有效方法。它有迭代法是一种求少量几个特征对的有效方法。它有 5.3 结论与讨论结论与讨论 可求指定精度频率、振型，求解过程能自动修正的优可求指定精度频率、振型，求解过程能自动修正的优 点。点。 但要求高阶振型、频率必须先求其前各阶振型，通但要求高阶振型、频率必须先求其前各阶振型，通 过滤去低阶振型的办法修正动力矩阵，一般只用它求过滤去低阶振型的办法

14、修正动力矩阵，一般只用它求 前前38阶振型和频率。求更高频率时很不经济。阶振型和频率。求更高频率时很不经济。 将里兹法思想和迭代法思想相结合，产生了一种称将里兹法思想和迭代法思想相结合，产生了一种称 作“子空间迭代法”，它是目前结构分析求特征值的作“子空间迭代法”，它是目前结构分析求特征值的 常用方法，有余力的同学可参考内容更多的动力学教常用方法，有余力的同学可参考内容更多的动力学教 材或专著。材或专著。 在迭代过程中可通过数学处理（思路是将刚度矩阵在迭代过程中可通过数学处理（思路是将刚度矩阵 减去某待求频率预估值平方乘质量矩阵作为修正刚度减去某待求频率预估值平方乘质量矩阵作为修正刚度 矩阵）

15、来加快迭代收敛速度，详细内容可看参考书。矩阵）来加快迭代收敛速度，详细内容可看参考书。 六、随机振动初步六、随机振动初步 有关的数学基础有关的数学基础 单自由度体系的随机反应分析单自由度体系的随机反应分析 几点结论几点结论 绪论中介绍动荷载时已指出，脉动风、地震地面运绪论中介绍动荷载时已指出，脉动风、地震地面运 动等等动荷载是非确定性荷载，在事件未发生前荷载动等等动荷载是非确定性荷载，在事件未发生前荷载 的大小、规律是不可预知的，因此对这样荷载激励下的大小、规律是不可预知的，因此对这样荷载激励下 的反应分析就无法用前面介绍的方法，而要用随机振的反应分析就无法用前面介绍的方法，而要用随机振 动理

16、论来分析。动理论来分析。 大家在工程数学“概率论”里已学习随机变量的概大家在工程数学“概率论”里已学习随机变量的概 率统计分析方法。本章在此基础上加以引伸，简单介率统计分析方法。本章在此基础上加以引伸，简单介 绍随机过程有关知识等，但它不是目的，它仅作为进绍随机过程有关知识等，但它不是目的，它仅作为进 一步介绍单自由度随机反应分析的必要准备。一步介绍单自由度随机反应分析的必要准备。 随机振动理论是结构动力学的一个分支，内容非常随机振动理论是结构动力学的一个分支，内容非常 丰富，本章只作最基本概念的介绍，为进一步学习打丰富，本章只作最基本概念的介绍，为进一步学习打 一基础。想进一步学习的可参阅各

17、种一基础。想进一步学习的可参阅各种随机振动随机振动教教 材和专著。材和专著。 6.1 有关的数学基础包括有关的数学基础包括 6.1.1 6.1.1 随机过程随机过程 6.1.2 6.1.2 随机过程的分布函数随机过程的分布函数 6.1.3 6.1.3 随机过程的数字特征随机过程的数字特征 6.1.4 6.1.4 随机过程按统计特征分类随机过程按统计特征分类 6.1.5 6.1.5 平稳随机过程的时域特性平稳随机过程的时域特性 6.1.6 6.1.6 各态历经性简单说明各态历经性简单说明 6.1.7 Fourier6.1.7 Fourier分析的回顾分析的回顾 6.1.8 6.1.8 平稳随机过

18、程的谱密度平稳随机过程的谱密度 6.1.1 随机过程随机过程 若连续随机变量不仅是随机事件若连续随机变量不仅是随机事件 的函数，同时还的函数，同时还 是时间是时间t的函数，则称此随机函数的函数，则称此随机函数X( ,t)为为随机过程随机过程。 简记为简记为X(t)。 6.1.2 随机过程随机过程的分布函数的分布函数 定义定义 F(x,t)=P(X(t)x) t T为随机过程为随机过程X(t)的的一维分一维分 布函数布函数。 二维、二维、n维分布函数补充讲义上有定义，这里从略维分布函数补充讲义上有定义，这里从略. i 随机过程随机过程X( ,t)的任一次观察的任一次观察 ，称作样本函数，称作样本

19、函数， 记作记作x(t) 。以后大写字母为过程，小写为样本以后大写字母为过程，小写为样本。 6.1.3 随机过程的数字特征随机过程的数字特征 当当 fX(t)=Xk(t)时，称作时，称作随机过程的随机过程的k阶矩阶矩,记为记为mk(t). 其中其中一阶矩为均值，二阶矩为均方值一阶矩为均值，二阶矩为均方值。 1）随机过程随机过程X(t)的数学期望的数学期望可用下式定义可用下式定义 2）相关函数）相关函数 2-1）互相关函数）互相关函数 两随机过程两随机过程X(t)和和Y(t)可用联合概率密度函数以下可用联合概率密度函数以下 式定义式定义互相关函数互相关函数 2-2）自相关函数）自相关函数 当当X

20、(t2)=Y(t2)时时,上式结果称上式结果称相关函数相关函数,记作记作RX(t1,t2). dxtxpxftXfE),()()(1) dxtytxxypttR XYXY ),;,(),( 2121 (2) 概率密度函数概率密度函数 6.1.3 随机过程的数字特征随机过程的数字特征 由上式定义的函数称为由上式定义的函数称为互协方差函数互协方差函数. 当当X(t2)=Y(t2)时称为时称为协方差函数协方差函数,记作记作CX(t1,t2). 当当t1=t2=t时的协方差称作时的协方差称作方差方差,记作记作 X2(t).而而 X(t)称称 为为均方差均方差. 在概率论中已经知道在概率论中已经知道,均

21、值、方差、均方差等是随均值、方差、均方差等是随 机变量的重要统计特征。它们也是随机过程的重要数机变量的重要统计特征。它们也是随机过程的重要数 字特征。字特征。 3）方差函数）方差函数 补充讲义里还介绍了补充讲义里还介绍了相关系数相关系数、协方差的性质协方差的性质等，等， 请大家自行看一下。请大家自行看一下。(P.23) ),()()()()( 212211 ttCtmtYtmtXE XYYX (3) 协方差的性质协方差的性质 对称性对称性 ),(),();,(),( 12211221 ttCttCttCttC YXXYXX （6-16） 同样有 ),(),();,(),( 12211221 t

22、tRttRttRttR YXXYXX （6-17） 非负定性非负定性 若 )(),( * thth 为共轭的任意复函数，则 n i n i ijiX ththttC 11 * 0)()(),( (6-18) ),(2),(),( 212211 ttCttCttC XYYX (6-19) 这一性质可由 0)()()()( 2 2211 tmtYtmtXE YX 来证明。 设)(tg是确定性函数，令 )()()(tgtXtY 则 ),(),( 2121 ttCttC YX （6-20） 特别当 )()(tmtg X 时，则)(tY的均值将等于 零，但它们具有相同的协方差函数。 6.1.4 随机过程

23、按统计特征分类随机过程按统计特征分类 如果随机过程如果随机过程X(t)的均值为常数，且相关函数只与的均值为常数，且相关函数只与 时间差时间差 =t2-t1有关，则称此过程为有关，则称此过程为弱平稳随机过程弱平稳随机过程。 若随机过程若随机过程X(t)的任意阶分布函数当时间参数平移的任意阶分布函数当时间参数平移 时都保持不变，则称此过程为时都保持不变，则称此过程为强平稳随机过程强平稳随机过程。 一般只讨论弱平稳随机过程。一般只讨论弱平稳随机过程。 补充讲义里还介绍了补充讲义里还介绍了五点特征五点特征，其主要的特征可用，其主要的特征可用 下图示意。下图示意。(P.34) 6.1.5 随机过程的时域

24、特征随机过程的时域特征 6.1.6 各态历经性简单说明各态历经性简单说明 如果样本总体中各种状态在一个样本中都有反映，如果样本总体中各种状态在一个样本中都有反映， 从而使随机过程从而使随机过程X(t)的数字特征可以通过分析它的一的数字特征可以通过分析它的一 个样本函数来得到，称此过程是个样本函数来得到，称此过程是各态历经的各态历经的或称或称遍历遍历 的的。 如果如果X(t)是各态历经的，它一定是平稳的。但平稳是各态历经的，它一定是平稳的。但平稳 的随机过程的随机过程X(t)并不一定是各态历经的，其样本的数并不一定是各态历经的，其样本的数 字特征可能是取决于样本的。字特征可能是取决于样本的。 6

25、.1.7 FourierFourier分析的回顾分析的回顾 任意周期为任意周期为T的函数的函数X(t)均可展成均可展成Fourier级数级数 )sincos()( 1 tbtatX ii i ii (4) 式中式中 i=2i /T 6.1.7 FourierFourier分析的回顾分析的回顾 当满足下式条件当满足下式条件 2 2 2 2 sin)( 2 cos)( 2 T T ii T T ii tdttX T b tdttX T a (5) 且且T趋于无穷时趋于无穷时 dttX| )(| (6) (7) 0 sin)( cos)(2)( dtBtAtX 式式(7)中中A( ) 、B( )为为

26、 6.1.7 FourierFourier分析的回顾分析的回顾 式式(8)称为称为Fourier变换分量变换分量,式式(7)称为称为Fourier积分积分. 当当 (8) 定义下式积分称为定义下式积分称为X(t)的的 Fourier变换变换 dttX| )(| (6) (9) tdttXB tdttXA sin)( 2 1 )( cos)( 2 1 )( tetXiBAX ti d)( 2 1 )()()( 经推导式经推导式(7)的复数形式的复数形式为为 6.1.7 FourierFourier分析的回顾分析的回顾 式式(10)称为称为Fourier逆变换逆变换.式式(9)和式和式(10)统称

27、为统称为Fourier 变换对变换对. (10) 设设X(t)是零均值平稳随机过程（非零均值可转换变是零均值平稳随机过程（非零均值可转换变 成零均值），其相关函数为成零均值），其相关函数为RX( )，则定义，则定义 (11) deXtX ti )()( d)( 2 1 )( i XX eRS 6.1.8 平稳随机过程的谱密度平稳随机过程的谱密度 为随机过程为随机过程X(t)的的谱密度谱密度(也称也称功率谱密度功率谱密度). 由由Fourier逆变换逆变换可得可得 6.1.8 平稳随机过程的谱密度平稳随机过程的谱密度 又由于又由于SX( )是实的非负偶函数，因此可证是实的非负偶函数，因此可证 (

28、12) 若记若记GX( )如下式，并称为如下式，并称为单边谱密度单边谱密度 (14) deSR i XX )()( 则则RX( )改称为改称为双边谱密度双边谱密度。 (13) 0 )(2)( deSR i XX 0 0 0 )(2 )( x X S G SX( )、GX( )的示意图如下所示的示意图如下所示 补充讲义上还介绍了补充讲义上还介绍了互谱密度互谱密度,请大家自己看书请大家自己看书. 在随机振动分析中在随机振动分析中,X(t)是位移反应的话是位移反应的话,还需要考虑还需要考虑 速度和加速度反应速度和加速度反应.他们是位移的导出函数他们是位移的导出函数,他们的谱他们的谱 密度和位移谱密度

29、间有如下关系密度和位移谱密度间有如下关系 6.1.8 平稳随机过程的谱密度平稳随机过程的谱密度 讲义上还介绍了谱矩和带宽因子讲义上还介绍了谱矩和带宽因子,根据带宽因子大根据带宽因子大 小可将随机过程分为窄带、宽带和白噪声过程。小可将随机过程分为窄带、宽带和白噪声过程。 其单边谱密度、相关函数和样本函数示意图如下所其单边谱密度、相关函数和样本函数示意图如下所 示示 (15) )()( 2 X X SS (16) )()( 4 X X SS 6.1.8 平稳随机过程的谱密度平稳随机过程的谱密度 窄带过程示意图窄带过程示意图 宽带过程示意图宽带过程示意图 白噪声过程示意图白噪声过程示意图 6.2 单

30、自由度体系的随机反应分析单自由度体系的随机反应分析 有了上述数学基础，就可以从统计角度来把握随机有了上述数学基础，就可以从统计角度来把握随机 动荷载作用下的结构反应情况。作为本科初学，这里动荷载作用下的结构反应情况。作为本科初学，这里 仅仅介绍单自由度随机反应，为大家进一步深入学习仅仅介绍单自由度随机反应，为大家进一步深入学习 打个基础。首先介绍确定性分析方法。打个基础。首先介绍确定性分析方法。 6.2.1 确定性反应的分析方法确定性反应的分析方法 1）时域分析法）时域分析法 这是一种在时间域内求反应规律的分析方法。其前这是一种在时间域内求反应规律的分析方法。其前 提是线性系统，出发点是提是线

31、性系统，出发点是Duhamel积分，零初始条件积分，零初始条件 下下 t dfthtx 0 )()()( t tte th d t d 0 )(sin 1 )( )( 脉响函数脉响函数 (17) 6.2 单自由度体系的随机反应分析单自由度体系的随机反应分析 2）频域分析法）频域分析法 这是一种在频率域内通过积分求反这是一种在频率域内通过积分求反 应规律的分析方法。应规律的分析方法。 当静止系统受复简谐荷载当静止系统受复简谐荷载 fei t作用时，其复反应为作用时，其复反应为 )()()()(tfHfeHtx ti i H 2 1 )( 22 频响函数频响函数 对任意荷载情况，利用对任意荷载情况

32、，利用Fourier变换变换 deFtf dtetfF ti ti )()( )( 2 1 (18) deFHtx ti )()()( (19) 体系的反应为体系的反应为 6.2 单自由度体系的随机反应分析单自由度体系的随机反应分析 3）脉响函数和频响函数间的关系）脉响函数和频响函数间的关系 由于静止系统受单位脉冲由于静止系统受单位脉冲 (t)作用时，其作用时，其Fourier变变 换为换为 由式由式(19)可得单位脉冲的脉响函数为可得单位脉冲的脉响函数为 (20) deHth ti )( 2 1 )( 2 1 )( 2 1 dtetF ti (21a) 对照对照Fourier变换对间的关系可

33、得对应频响函数为变换对间的关系可得对应频响函数为 dethH ti )()( (21b) 由式由式(21)可见脉响函数和频响函数间是差一常数的可见脉响函数和频响函数间是差一常数的 Fourier变换对变换对. 6.2 单自由度体系的随机反应分析单自由度体系的随机反应分析 6.2.2 平稳随机干扰下的反应分析平稳随机干扰下的反应分析 1）时域法）时域法 这是一种在时间域内由相关函数这是一种在时间域内由相关函数RX( )为为 基础基础,通过积分来分析的方法。通过积分来分析的方法。 在随机荷载在随机荷载FS(t)作用下作用下,单自由度的随机响应为单自由度的随机响应为 t S dFthtX 0 )()

34、()( (22) 1-1) 反应的均值反应的均值 tt ss dFEthdFthEtXE 00 )()()()()( )23()cossin(1 )( 2 tte m tm dd d t F x s 由于干扰时平稳的由于干扰时平稳的,因此因此 ,当当t 时时 常数常数 2 )(lim s F x t m tm 6.2 单自由度体系的随机反应分析单自由度体系的随机反应分析 1-2) 反应的相关函数反应的相关函数 由此可见由此可见,平稳干扰的反应是非平稳的平稳干扰的反应是非平稳的. 12 00 21122211 2121 )()()( )()(),( tt F x ddRthth tXtXEttR

35、 s (24) 1-3) 反应的协方差反应的协方差 1-4) 反应的方差函数反应的方差函数 (25) 221121 )(,tmtXtmtXEttC xxx 2121, tmtmttR xxx (26) tmttRtmtXEttC XXXX 2 2 ,)(, 6.2 单自由度体系的随机反应分析单自由度体系的随机反应分析 6.2.2 平稳随机干扰下的反应分析平稳随机干扰下的反应分析 2）频域法）频域法 这是一种在频率域内由谱密度这是一种在频率域内由谱密度SF( )为基为基 础础,通过积分来分析的方法。通过积分来分析的方法。 设随机荷载设随机荷载FS(t)是零均值的是零均值的,则其相关函数为则其相关

36、函数为 (27) deSttR tti FF SS )( 12 12 )()-( 记记 t ti dethtI 0 )(),( 则则 dtItISttR s Fx ),(),()(),( 1 * 221 (28) t i dethtI 0 * )(),( 6.2 单自由度体系的随机反应分析单自由度体系的随机反应分析 经数学推导可得经数学推导可得 )()()(),(lim 12 )( 2 21 , 12 21 ttRdeSHttR x tti Fx tt s (29) 这说明平稳干扰的反应虽然是非平稳的这说明平稳干扰的反应虽然是非平稳的,但足够长时间但足够长时间 后反应将趋于平稳后反应将趋于平稳

37、. 从非平稳到平稳的时间长短，取决于结构的阻尼和从非平稳到平稳的时间长短，取决于结构的阻尼和 频率，也即取决于体系的动力特性。频率，也即取决于体系的动力特性。 对平稳反应阶段对平稳反应阶段(趋于平稳后趋于平稳后),可推得可推得 d eSR i XX )()()( 2 s FX SHS )()()( 2 4 s F X SHS )()()( 2 2 s F X SHS 1) 平稳位移反应平稳位移反应X(t)和速度反应和速度反应 在同一时刻是不在同一时刻是不 相关的。相关的。 2) 由频响函数由频响函数式式(18)可得可得 22 2 24 2 )(4)(1 1 )( H (30) 其示意图如下其示

38、意图如下 6.2 单自由度体系的随机反应分析单自由度体系的随机反应分析 6.2.3 平稳随机反应的特征平稳随机反应的特征 3) 当荷载是宽带过程时，当荷载是宽带过程时， 有宽带形式，是缓慢有宽带形式，是缓慢 变化的光滑函数。示意图如下变化的光滑函数。示意图如下 )( s F R 由于结构阻尼很小，一般为由于结构阻尼很小，一般为(0.020.05)，从，从 的范围很小，根据的范围很小，根据 从从 曲线可见，这一范围内将被放大，导致反曲线可见，这一范围内将被放大，导致反 应的谱密度具有上右图窄带形式。这表示小阻尼的单应的谱密度具有上右图窄带形式。这表示小阻尼的单 自由度体系相当于一个窄带滤波形自由

39、度体系相当于一个窄带滤波形 )()()( 2 S FX SHS )1( )1( 2 | )(| H 6.2 单自由度体系的随机反应分析单自由度体系的随机反应分析 4) 当固有频率落在荷载谱密度有较大值的范围内时，当固有频率落在荷载谱密度有较大值的范围内时， 结构将产生很大的反应，类似于确定性分析的共振。结构将产生很大的反应，类似于确定性分析的共振。 而当落在谱密度较小的频率范围时，结构反应就要小而当落在谱密度较小的频率范围时，结构反应就要小 得多，和确定性分析一样，这就是进行结构设计的根得多，和确定性分析一样，这就是进行结构设计的根 据。据。 )( X S )( 0 S F SS 5) 因为因

40、为 只有只有 附近一很小频率范围内的荷载成份附近一很小频率范围内的荷载成份 起作用，因此在计算反应的二阶矩时，可以近似以谱起作用，因此在计算反应的二阶矩时，可以近似以谱 强度强度 为的白噪声过程代替实际宽带荷载，为的白噪声过程代替实际宽带荷载， 使分析得以极大简化。使分析得以极大简化。 这样处理后这样处理后,反应的相关函数为反应的相关函数为 d eHSR i FX S 2 | )(|)()( (31) 6.2 单自由度体系的随机反应分析单自由度体系的随机反应分析 6.2.4 白噪声荷载下的反应白噪声荷载下的反应 1) 平稳反应平稳反应 相关函数为相关函数为 平稳速度反应平稳速度反应 的相关函数为的相关函数为 白噪声荷载均值为零，白噪声荷载均值为零， , ,则可分如下三种情况来分析结构则可分如下三种情况来分析结构 的反应。的反应。 )()( 0 SS S F )(2)( 0 SR S F )sin(cos 2 )( 3 0 d d dX e S R (32) 方差为方差为 (33) 3 0 2 2 )0( S RX X )sin(cos 2 )( )( 0 2 2 d d d X X e S d Rd R (34) 6.2 单自由度体系的随机反