第四章随机变量及其分布课件.ppt

1、第四章第四章 随机变量及其分布随机变量及其分布 随机变量及分布函数随机变量及分布函数 离散型随机变量离散型随机变量 连续型随机变量连续型随机变量1谢谢观赏2019-5-22 4.1 4.1 随机变量及分布函数随机变量及分布函数 随机变量随机变量 概率论与数理统计是从数量的侧面来研概率论与数理统计是从数量的侧面来研究随机现象的统计规律性的一门学科究随机现象的统计规律性的一门学科,为了全为了全面地研究随机试验的结果面地研究随机试验的结果,揭示客观存在着的揭示客观存在着的统计规律性统计规律性,我们将随机试验的结果与实数对我们将随机试验的结果与实数对应起来应起来,将随机试验的结果数量化将随机试验的结果

2、数量化,引入随机引入随机变量的概念变量的概念.2谢谢观赏2019-5-22随机变量随机变量n基本思想基本思想将样本空间数量化将样本空间数量化,即用数值来表示试验的结果即用数值来表示试验的结果n 有些随机试验的结果可直接用数值来表示有些随机试验的结果可直接用数值来表示.例如例如:在掷骰子试验中在掷骰子试验中,结果可用结果可用1,2,3,4,5,6来表示来表示 例如例如:掷硬币试验掷硬币试验,其结果是用汉字其结果是用汉字“正面正面”和和“反面反面”来表来表示的示的可规定可规定:用用 1表示表示“正面朝上正面朝上”用用 0 表示表示“反面朝上反面朝上”Random Variablen 有些随机试验的

3、结果不是用数量来表示，有些随机试验的结果不是用数量来表示，但可数量化但可数量化3谢谢观赏2019-5-22 设箱中有设箱中有1010个球，其中有个球，其中有2 2个红球，个红球，8 8个白个白 球；从中任意抽取球；从中任意抽取2 2个个,观察抽球结果。观察抽球结果。特点特点：试验结果数量化了，试验结果与数建立了试验结果数量化了，试验结果与数建立了 对应关系对应关系X X表示取得的红球数表示取得的红球数可记为可记为 X=2X=2 记为记为记为记为 试验结果的数量化试验结果的数量化4谢谢观赏2019-5-22随机变量的定义随机变量的定义 1)它是一个变量；它是一个变量；2)它的取值随试验结果而改变

4、；它的取值随试验结果而改变；3)随机变量在某一范围内取值，表示一个随机随机变量在某一范围内取值，表示一个随机 事件。事件。n 随机变量随机变量n 随机变量的特征随机变量的特征:设随机试验的样本空间为设随机试验的样本空间为，如果对于每一，如果对于每一个样本点个样本点 ，均有唯一的实数，均有唯一的实数 与与之对应，称之对应，称 为样本空间为样本空间上的随机上的随机变量。变量。()X()XX5谢谢观赏2019-5-22注：随机变量注：随机变量X X()与高等数学中的实函数的区别：与高等数学中的实函数的区别：1.1.X X()的定义域是样本空间的定义域是样本空间 ，而，而 不一不一定定是实数集；是实数

5、集；2.X X()的取值是随机的，它的每一个可的取值是随机的，它的每一个可能取值能取值3.随机变量是随机事件的数量化随机变量是随机事件的数量化.即即对于任意对于任意实数实数 x x,X X()x x 是随机事件是随机事件.都有一定的概率；都有一定的概率；4.对于随机变量对于随机变量,我们常常关心它的取值我们常常关心它的取值.6谢谢观赏2019-5-22 4.1 4.1 随机变量及分布函数随机变量及分布函数随机变量随机变量 特点：特点：1.X 1.X 的全部可能取值是互斥且完备的的全部可能取值是互斥且完备的 2.X 2.X 的部分可能取值描述随机事件的部分可能取值描述随机事件 分类：分类：随机变

6、量随机变量奇异型（混合型）奇异型（混合型）连续型连续型非离散型非离散型离散型随机变量离散型随机变量 7谢谢观赏2019-5-22例例:考察掷两次硬币这一试验，样本空间为考察掷两次硬币这一试验，样本空间为S S=HHHH，HTHT，THTH，TTTT，令，令X X表示正面出现的次数，表示正面出现的次数，X X是一随机变量，是一随机变量，且有且有X X1 1HTHT，THTH，值域，值域 Rx=Rx=0 0，1 1，2 2例例:假设我们关心某地区居民的身高情况，可引入假设我们关心某地区居民的身高情况，可引入 随机变量随机变量X X：(单位单位cm)cm)X X随机抽出一个人其身高随机抽出一个人其身

7、高 则则X X就是随机变量，事件就是随机变量，事件“随机抽出一个人的身高不超随机抽出一个人的身高不超过过170cm”170cm”可表示为可表示为X170X170。4.1 4.1 随机变量及分布函数随机变量及分布函数随机变量随机变量8谢谢观赏2019-5-22 4.1 4.1 随机变量及分布函数随机变量及分布函数 随机变量随机变量 例例 从一批量为从一批量为N N、次品率为、次品率为p p的产品中，不放回抽的产品中，不放回抽取取 n n（nnNpNp）个，观察此样品中的次品数）个，观察此样品中的次品数.此时观察对象为样品的次品数，我们记之为此时观察对象为样品的次品数，我们记之为 Y Y，那么那么

8、 Y Y 的可能的取值为的可能的取值为 0 0，1 1，2 2,n.n.引入随机变量后，就可以用随机变量表示随机引入随机变量后，就可以用随机变量表示随机试验下的各种形式的随机事件试验下的各种形式的随机事件,比如本例中：比如本例中：A=A=没有次品没有次品 A=|Y(A=|Y()=0)=0A=Y=0A=Y=0B=B=至少有至少有2 2个次品个次品 B=|Y(B=|Y()22B=YB=Y22C=C=不多于不多于k k个次品个次品 C=|Y(C=|Y()kkC=YC=Yk k 9谢谢观赏2019-5-22例例:某射手向一目标射击，其弹着点的横坐标某射手向一目标射击，其弹着点的横坐标X X是一是一随机

9、变量，其纵坐标随机变量，其纵坐标Y Y也是随机变量。也是随机变量。例例:一批产品共一批产品共100100件，其中件，其中9595件合格，件合格，5 5件不合格。件不合格。从中有放回地一件一件地取产品，直到取出一件从中有放回地一件一件地取产品，直到取出一件合格品为止时所取出的产品件数合格品为止时所取出的产品件数X X是一随机变量。是一随机变量。例例:一个月某交通路口的事故数一个月某交通路口的事故数X,X,是随机变量。是随机变量。例例:用天平称量某物体的重量的误差用天平称量某物体的重量的误差X X，是随机变量。，是随机变量。4.1 4.1 随机变量及分布函数随机变量及分布函数随机变量随机变量10谢

10、谢观赏2019-5-22 4.1 4.1 随机变量及分布函数随机变量及分布函数 随机变量的分布函数随机变量的分布函数 如果我们对随机事件如果我们对随机事件 X X()x x 求概率求概率,就引出就引出了随机变量分布函数的概念了随机变量分布函数的概念.1.分布函数的定义分布函数的定义设设 X X 是一个随机变量，称定义域为是一个随机变量，称定义域为(-,+),(-,+),函数值在区间函数值在区间0,10,1上的实值函数上的实值函数F(x)=P(XF(x)=P(Xx x)(-x+)(-x+)为随机变量为随机变量 X X 的分布函数的分布函数.11谢谢观赏2019-5-22 4.1 4.1 随机变量

11、及分布函数随机变量及分布函数 随机变量的分布函数随机变量的分布函数 例例 设一口袋中依次标有设一口袋中依次标有-1,2,2,2,3,3-1,2,2,2,3,3数字的六个数字的六个球，从中任取球，从中任取1 1个球，记个球，记X X为取得的球上标有的数字，为取得的球上标有的数字，求求X X的分布函数的分布函数.当当 x x-1-1时，时，解：解：X X 的可能取值为的可能取值为-1-1，2 2，3 3，取这些值的概率分，取这些值的概率分别为别为 1/61/6，1/21/2，1/31/3XXx x 是不可能事件，是不可能事件，F(xF(x)=0;)=0;当当 -1-1x x2 2时，时，XXx x

12、 等同于等同于X=-1X=-1，F(xF(x)=1/6;)=1/6;当当 22x x3 3时，时，XXx x 等同于等同于X=-1X=-1或或X=2X=2，F(xF(x)=2/3;)=2/3;当当 x x3 3时，时，XXx x 是必然事件，是必然事件，F(xF(x)=1;)=1;12谢谢观赏2019-5-22-11232/31/31xF(x)F(x)的示意图 4.1 4.1 随机变量及分布函数随机变量及分布函数 随机变量的分布函数随机变量的分布函数13谢谢观赏2019-5-22 xxkxxkkkpxXPxXPxF)()(4.1 4.1 随机变量及分布函数随机变量及分布函数 随机变量的分布函数

13、随机变量的分布函数由此题可以看出由此题可以看出 一般地，若一般地，若X X为离散型随机变量，其概率分为离散型随机变量，其概率分布布P(X=xP(X=xk k)=P)=Pk k(k(k=1,2,3=1,2,3)则则X X的分布函数为的分布函数为14谢谢观赏2019-5-22 4.1 4.1 随机变量及分布函数随机变量及分布函数 随机变量的分布函数随机变量的分布函数注注1 1：（1 1）由分布函数的定义知，分布函数）由分布函数的定义知，分布函数F(F(x x)在在x x处的函数值是处的函数值是事件事件F(F(x x)=PX)=PXx x=P(=P(e e|X(|X(e e)x x 的概率。的概率。

14、若把若把X X看成数轴上的随机点的坐标，那么分布函数看成数轴上的随机点的坐标，那么分布函数F(F(x x)在在x x处的函数值，就是表示处的函数值，就是表示X X落在区间落在区间-,-,x x 上的概率。上的概率。（2 2）若已知）若已知x x 的分布函数的分布函数F(F(x x)，我们就知道了，我们就知道了X X落在任一区落在任一区间的概率，从这个意义上讲，分布函数完整地描述了随机间的概率，从这个意义上讲，分布函数完整地描述了随机变量的统计规律。变量的统计规律。（3 3）分布函数分布函数是在是在(-,+)(-,+)上值域为上值域为 00，11的普通函数，的普通函数，它具有良好的分析性质，许多

15、概率论的问题归结为函数的它具有良好的分析性质，许多概率论的问题归结为函数的运算从而利用数字分析出许多结果，这是引入分布函数的运算从而利用数字分析出许多结果，这是引入分布函数的好处之一，再加上好处之一，再加上分布函数分布函数对任意随机变量都有定义，因对任意随机变量都有定义，因此分布函数在理论上有极重要的地位。此分布函数在理论上有极重要的地位。15谢谢观赏2019-5-22 4.1 4.1 随机变量及分布函数随机变量及分布函数 随机变量的分布函数随机变量的分布函数注注2 2：（1 1）随机变量）随机变量X X是一个从样本空间到实数空间的函数，它的是一个从样本空间到实数空间的函数，它的定义域为样本空

16、间定义域为样本空间。它的值域。它的值域RxRx为全体实数集或它的一为全体实数集或它的一个子集。个子集。（2 2）从随机变量的定义来看，它与通常的函数概念没有什）从随机变量的定义来看，它与通常的函数概念没有什么不同，把握这个概念的关键之点在于试验前后之分：在么不同，把握这个概念的关键之点在于试验前后之分：在试验前，我们不能预知它取何值，这要凭机会，试验前，我们不能预知它取何值，这要凭机会，“随机随机”的意思就在这里，一旦试验完成后，它的取值就确定了。的意思就在这里，一旦试验完成后，它的取值就确定了。16谢谢观赏2019-5-22 4.1 4.1 随机变量及分布函数随机变量及分布函数 随机变量的分

17、布函数随机变量的分布函数2.分布函数的性质分布函数的性质;,1)(0)1(RxxF 是是单单调调不不减减的的；)()2(xF;0)(lim)()3(xFFx;1)(lim)(xFFx为为右右连连续续，即即)()4(xF.),()(lim0000RxxFxFxx 17谢谢观赏2019-5-22(1)由于对于任意的由于对于任意的)(,xFRx 10 )(xF为一概率为一概率,根据概率公理化定义根据概率公理化定义,有有由由于于R R),b b(a a,a ab b对对于于(2 2)()()()(aXPbXPaFbF 0)(bXaP.所所以以F F(x x)单单调调不不减减证证 4.1 4.1 随机变

18、量及分布函数随机变量及分布函数 随机变量的分布函数随机变量的分布函数18谢谢观赏2019-5-22 4.1 4.1 随机变量及分布函数随机变量及分布函数 二、随机变量的分布函数二、随机变量的分布函数 nnXnPXP)1()()3(,1)(0)(xFxF单调不减，单调不减，又又 nnFnF)()1(),(1,Znnxnx 有有对对于于任任意意实实数数1)(lim)(lim mFnFmn.1)(0),1()()(nFnFxFnF所以所以19谢谢观赏2019-5-22 4.1 4.1 随机变量及分布函数随机变量及分布函数 二、随机变量的分布函数二、随机变量的分布函数)(F(m)mlim F(x)xl

19、im 存在进而 )()(lim)(lim存存在在nFxFnx 1)(lim)(lim xFxFxx于是于是1)()(FF即即1)()()(1 FFF,1)(F0)(F20谢谢观赏2019-5-22 重要公式重要公式);()1(bFbXP );()()2(aFbFbXaP );(1)3(aFaXP );0()4(bFbXP.),0()()()5(RbbFbFbXP 4.1 4.1 随机变量及分布函数随机变量及分布函数 随机变量的分布函数随机变量的分布函数21谢谢观赏2019-5-22 重要公式重要公式 )6(bXaP 4.1 4.1 随机变量及分布函数随机变量及分布函数 二、随机变量的分布函数二

20、、随机变量的分布函数)0()(aFbF )7(bXaP)()0(aFbF )8(bXaP)0()0(aFbF22谢谢观赏2019-5-2221()1F xx是不是某一随机变量的分布函数？是不是某一随机变量的分布函数？不是不是 因为因为 lim()0 xF x函数函数 21 (0)()1 1 (0)xG xxx可作为分布函数可作为分布函数23谢谢观赏2019-5-22解：解：7.0)3()3(FXP)321(XP5.02.07.0)21()3(FF)2(1)2(XPXP)02()02()2(1FFF8.05.07.01)2()2(1XPXP24谢谢观赏2019-5-22例例 一个靶子是半径为一个

21、靶子是半径为2 2米的圆盘，设击中靶上任一同米的圆盘，设击中靶上任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比，并设击心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比，并设击中都能中靶，以中都能中靶，以X X表示弹着点与圆心的距离。试求随表示弹着点与圆心的距离。试求随机变量机变量X X的分布函数。的分布函数。解解:若若 x x0,0,则则XXx x 是不可能事件，于是是不可能事件，于是 F(F(x x)=PX)=PXx x=0=0 若若00 x x22，由题意，由题意，P0XP0Xx x=k=kx x2 2,k k是某一是某一常数，为了确定常数，为了确定k k的值，取的值，取x x=2=2，有，有 P0X

22、2=2P0X2=22 2k k，但已知，但已知P0X2=1P0X2=1，故得，故得k k=1/4=1/4，即即P0XP0Xx x=x x2 2/4/4，于是，于是 F(F(x x)=PX)=PXx x=P=Px x0+P0X0+P0Xx x=x=x2 2/4/425谢谢观赏2019-5-22 若若x x22，由题意，由题意XXx x 是必然事件，于是是必然事件，于是 F(F(x x)=1 )=1 综合上述，即得综合上述，即得X X的分布函数为的分布函数为 2100400)(2xxxxxF它的图形是一条连续的曲线，如图它的图形是一条连续的曲线，如图 26谢谢观赏2019-5-22 xxBAxFa

23、rctan)(设连续型随机变量设连续型随机变量 X X 的分布函数为的分布函数为:求求:(1)(1)常系数常系数 A A及及B B;(2)(2)随机变量随机变量 X X 落在落在(-1,1)(-1,1)内的概率内的概率.解解(1)(1)根据分布函数的性质可知根据分布函数的性质可知0)(,1)(FF依题意可得依题意可得练习练习1 127谢谢观赏2019-5-2212)(BAF02)(BAF1,21 BA联立上面两个方程可以解得联立上面两个方程可以解得 (2)(2)随机变量随机变量 X X 落在落在(-1,1)(-1,1)内的概率可以表示为内的概率可以表示为)4121()4121()1()01(1

24、1 FFXP21 28谢谢观赏2019-5-22练习练习2 2 .,0,1反面反面正面正面X2110 XPXP抛掷均匀硬币抛掷均匀硬币求随机变量求随机变量X X的分布函数的分布函数.解解时时当当0 X0)(xXPxF,0 29谢谢观赏2019-5-22,10时时当当 x)(xXPxF 0 XP;21,1时时当当 x)(xXPxF 0 XP1 XP2121 .1 .1,1,10,21,0,0)(xxxxF得得30谢谢观赏2019-5-221 1离散型随机变量的定义离散型随机变量的定义 设设X X为一随机变量，如为一随机变量，如X X的全部可能取到的值的全部可能取到的值是有限个或可列无限多个，则称

25、随机变量是有限个或可列无限多个，则称随机变量X X为为离离散型随机变量。散型随机变量。4.2 4.2 离散型随机变量离散型随机变量 一、离散型随机变量的分布律一、离散型随机变量的分布律定义定义 设设X X为离散型随机变量，为离散型随机变量，X X的所有可能取的值的所有可能取的值为为x xk k(k(k=1=1，2 2)，记，记 X X 取取 x xk k 的概率为的概率为 P P X=xX=xk k=p pk k (k k=1=1，2 2，)，则称下面一组等式则称下面一组等式 P P X=xX=xk k=p pk k (k k=1=1，2 2，)为为X X的的分布律分布律。probabilit

26、y distribution2 2离散型随机变量的分布律离散型随机变量的分布律31谢谢观赏2019-5-22（1 1）分布律可以用表格的形式表示：）分布律可以用表格的形式表示：x xn n一般从小到大排列。一般从小到大排列。XPx1 x2 xn p1 p2 pn （2 2）分布律可以用图形表示）分布律可以用图形表示 PXx1x2xk分布律的表示方法：分布律的表示方法：4.2 4.2 离散型随机变量离散型随机变量 一、离散型随机变量的分布律一、离散型随机变量的分布律1212()()()nnxxxpxpxpx32谢谢观赏2019-5-22分布律具有以下分布律具有以下性质性质:，21,01 kp.k

27、非负性非负性121 kkp.规规范范性性 4.2 4.2 离散型随机变量离散型随机变量 一、离散型随机变量的分布律一、离散型随机变量的分布律证明证明:设离散型随机变量设离散型随机变量X X的取值为的取值为x x1 1,x,xn n,则事件组则事件组X=xX=x1 1，X=xX=xn n，构成了构成了 的一个划分。的一个划分。1)(111 kkkkkkxXPxXPp33谢谢观赏2019-5-22例：设离散型随机变量例：设离散型随机变量X X的分布律为的分布律为P(X=i)=pP(X=i)=pi i (i=1,2 (i=1,2,n n)其中，其中，0p1,0p3).3).例：已知随机变量例：已知随

28、机变量X X的分布律为的分布律为 11212141 a 即可求得即可求得 a=1/6 a=1/6 解解:由分布律的性质可知由分布律的性质可知 35谢谢观赏2019-5-22 4.2 4.2 离散型随机变量离散型随机变量 一、离散型随机变量的分布律一、离散型随机变量的分布律（1 1）已知随机变量）已知随机变量X X的分布律，可求出的分布律，可求出X X的分布函数：的分布函数：设一离散型随机变量设一离散型随机变量X X的分布律为的分布律为 PX=xPX=xk k=p=pk k (k=1(k=1，2 2，)由概率的可列可加性可得由概率的可列可加性可得X X的分布函数为的分布函数为 xxkxxkkkp

29、xFxXPxXPxF)()(即这里的和式是所有满足这里的和式是所有满足x xk kxx的的k k求和的。分布函数求和的。分布函数F(x)F(x)在在x=xx=xk k(k(k=1,2,=1,2,)处有跳跃，其跃跳值为处有跳跃，其跃跳值为p pk k=Px=x=Px=xk k。分布律分布律与与分布函数分布函数的关系的关系36谢谢观赏2019-5-22 已知随机变量已知随机变量X X的分布律的分布律,亦可求任意随机事件的亦可求任意随机事件的 概率。概率。例如，求事件例如，求事件XBXB（B B为实轴上的一个区间）为实轴上的一个区间）的概率的概率P XBP XB时，只需将属于时，只需将属于B B的的

30、X X的可能取值找出的可能取值找出来，把来，把X X取这些值的概率相加，即可得概率取这些值的概率相加，即可得概率P XBP XB，即即 BxkkpBXP 因此，离散型随机变量的分布律完整地描述它的因此，离散型随机变量的分布律完整地描述它的概率分布情况。概率分布情况。4.2 4.2 离散型随机变量离散型随机变量 一、离散型随机变量的分布律一、离散型随机变量的分布律37谢谢观赏2019-5-22例袋中例袋中5 5个球，分别编号个球，分别编号1 15 5，从中同时取出，从中同时取出3 3个，以个，以X X 表示取出球的最小编号，求表示取出球的最小编号，求X X 的分布律与分布函数的分布律与分布函数解

31、：解：PX=1=PX=1=C C2 24 4/C/C3 35 5=3/5,=3/5,PX=2=CPX=2=C2 23 3/C/C3 35 5=3/10,=3/10,PX=3=1/CPX=3=1/C3 35 5=1/10=1/10X X 的分布律为的分布律为X P1 2 33/53/101/1038谢谢观赏2019-5-22下面求下面求 X X 的分布函数的分布函数当当 x x1 1时，时，XXx x 是不可能事件，是不可能事件，F(xF(x)=0;)=0;当当 11x x2 2时，时，XXx x 等同于等同于X=1X=1，F(xF(x)=3/5;)=3/5;当当 22x x3 3时，时，XXx

32、 x 等同于等同于X=1X=1或或X=2X=2，F(xF(x)=9/10;)=9/10;当当 x x3 3时，时，XXx x 是必然事件，是必然事件，F(xF(x)=1;)=1;3,132,10/921,5/31,0)(xxxxxF综合得综合得X P1 2 33/53/101/1039谢谢观赏2019-5-22 设一离散型随机变量设一离散型随机变量X X的分布函数为的分布函数为F(x)F(x)，并设，并设F(x)F(x)的所有间断为的所有间断为x x1 1,x,x2 2,，那么，那么，X X的分布律为的分布律为 ,3,2,1)0()(kxFxFxXPkkk 4.2 4.2 离散型随机变量离散型

33、随机变量 一、离散型随机变量的分布律一、离散型随机变量的分布律（2 2）已知随机变量）已知随机变量X X的分布函数，可求出的分布函数，可求出X X的分布律：的分布律：步骤步骤:取定值取定值,算概率算概率,验证验证”1”1”40谢谢观赏2019-5-22 3,132,10/921,5/31,0)(xxxxxF已知已知求求X X的分布律的分布律.P(X=1)=P(X1)=F(1)=3/5P(X=1)=P(X1)=F(1)=3/5P(X=2)=P(1P(X=2)=P(1X2)=F(2)-F(1)=9/10-3/5=3/10X2)=F(2)-F(1)=9/10-3/5=3/10P(X=3)=P(2P(

34、X=3)=P(2X3)=F(3)-F(2)=1-9/10=1/10X3)=F(3)-F(2)=1-9/10=1/10因此因此 X X 的分布律为的分布律为X P1 2 33/53/101/1041谢谢观赏2019-5-22 4.2 4.2 离散型随机变量离散型随机变量 二、常用离散型分布二、常用离散型分布 （0 01 1）分布）分布1.1.（0 01 1）分布：）分布：设随机变量设随机变量X X只可能取只可能取0 0与与1 1两个值，它的分布律为两个值，它的分布律为 PX=k=pPX=k=pk k(1-p)(1-p)1-k1-k,k=0,k=0，1.(0p1)1.(0p1)则称则称X X服从（

35、服从（0 01 1）分布）分布,记为记为X X（0 01 1）分布。）分布。（0 01 1）分布的分布律用表格表示为）分布的分布律用表格表示为：X 0 1P 1-p p易求得其分布函数为易求得其分布函数为：1110100)(xxpxxF42谢谢观赏2019-5-22 4.2 4.2 离散型随机变量离散型随机变量 二、常用离散型分布二、常用离散型分布 （0 01 1）分布）分布注：注：一般在随机试验中虽然结果可以很多，但一般在随机试验中虽然结果可以很多，但如果只关注具有某种性质的结果，则可将样如果只关注具有某种性质的结果，则可将样本空间重新划分为：本空间重新划分为：A A 与与 ，A A 出现时

36、，定出现时，定义义X=1X=1；出现时，定义出现时，定义X=0X=0，此时，此时X X服从服从 0-10-1分布分布.43谢谢观赏2019-5-220.30.7Pk10X 4.2 4.2 离散型随机变量离散型随机变量 二、常用离散型分布二、常用离散型分布 （0 01 1）分布）分布44谢谢观赏2019-5-22 4.2 4.2 离散型随机变量离散型随机变量 二、常用离散型分布二、常用离散型分布 （0 01 1）分布）分布0.6+0.30.1Pk10X45谢谢观赏2019-5-222.2.二项分布：二项分布：定义定义：若离散型随机变量：若离散型随机变量X X的分布律为的分布律为n,1,0kqpC

37、kXPknkkn其中其中0p1,q=1-p,0p1,q=1-p,则称则称X X服从服从参数为参数为n,pn,p的二项分布的二项分布，记为记为X X B(n,pB(n,p).).n,1,0kqpCkXPknkkn即即X X服从二项分布。服从二项分布。(1)(1)试验模型：在试验模型：在n n重贝努利试验中，若以重贝努利试验中，若以X X表示事件表示事件A A出现出现的次数，则的次数，则X X是一随机变量，是一随机变量，X X可能取的值为可能取的值为0,1,2,0,1,2,，n,n,由二项概率公式可得由二项概率公式可得X X的分布律为的分布律为 4.2 4.2 离散型随机变量离散型随机变量 二、常

38、用离散型分布二、常用离散型分布 二项分布二项分布46谢谢观赏2019-5-22（2）因为因为 ，其中，其中 恰为二项式恰为二项式 的一般项，故称为二项分布。的一般项，故称为二项分布。1qpqpCnn0kknkknknkknqpC nqp（3）当当n=1n=1时，二项分布为（时，二项分布为（0 01 1）分布，即）分布，即 X X B(B(,p),p)。（4）二项分布的二项分布的分布律为分布律为：Px 4.2 4.2 离散型随机变量离散型随机变量 二、常用离散型分布二、常用离散型分布 二项分布二项分布47谢谢观赏2019-5-22.2,1,031131)()(888 kCkXPkPkkk 二项分

39、布的取值情况二项分布的取值情况 4.2 4.2 离散型随机变量离散型随机变量 二、常用离散型分布二、常用离散型分布 二项分布二项分布X XB(8,1/3)(8,1/3)X X 的分布律为的分布律为X P0 1 2 3 4 5 6 7 80.039 0.156 0.273 0.273 0.179 0.068 0.017 0.024 0.00001234567890.00.10.20.30.4PX 48谢谢观赏2019-5-22 .2,1,02.012.0)()(202020 kCkXPkPkkk 二项分布的取值情况二项分布的取值情况 4.2 4.2 离散型随机变量离散型随机变量 二、常用离散型分

40、布二、常用离散型分布 二项分布二项分布X XB(20,0.2)(20,0.2)X X 的分布律为的分布律为X P0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1120 0.01 0.06 0.14 0.22 0.18 0.11 0.06 0.021X1时时,这包螺丝钉将被退回这包螺丝钉将被退回52谢谢观赏2019-5-22例：设某保险公司的某人寿保险种有例：设某保险公司的某人寿保险种有10001000人投保人投保,每个人每个人在一年内死亡的概率为在一年内死亡的概率为0.005,0.005,且每个人在一年内是否死且每个人在一年内是否死亡是相互独立的，试求在未来一年中这亡是相互独立的，试求在未来一

41、年中这10001000个投保人中个投保人中死亡人数不超过死亡人数不超过1010人的概率人的概率.解：解：X X 服从参数为服从参数为10001000，0.0050.005的二项分布的二项分布 B(1000,0.005),B(1000,0.005),4.2 4.2 离散型随机变量离散型随机变量 二、常用离散型分布二、常用离散型分布 二项分布二项分布kkkCkXP 10001000)995.0()005.0()(:即即kkkkCXPXP 10001001000)995.0()005.0()10(?)10(所所以以:求求直接计算很繁，下面介绍直接计算很繁，下面介绍possionpossion定理。定

42、理。53谢谢观赏2019-5-22 4.2 4.2 离散型随机变量离散型随机变量 二、常用离散型分布二、常用离散型分布 泊松定理泊松定理：设设00是一常数，是一常数，n n是任意正整数，设是任意正整数，设npnpn n=,=,则对于任一固定的非负整数则对于任一固定的非负整数k k，有，有。!kep1pClimkknnknknn证明：由证明：由p pn n=/n=/n有有 knkknkknnknknn1n1n1k1n21n111!kn1n!k)1kn()1n(np1pC 对于任意固定的对于任意固定的k k，当，当nn时时,11121111 nknn54谢谢观赏2019-5-2211,1 knne

43、n ,!ke)p1(pCkknnknkn故有故有 意义意义：定理的条件：定理的条件npnpn n=（常数）意味着当（常数）意味着当n n很大时，很大时，p pn n必定很小。因此，上述定理表明当必定很小。因此，上述定理表明当n n很大、很大、p p很小时有很小时有以下近似式以下近似式 !)1(keppCkknkkn 其中=np=np 4.2 4.2 离散型随机变量离散型随机变量 二、常用离散型分布二、常用离散型分布55谢谢观赏2019-5-223.3.泊松分布：泊松分布：泊松分布是泊松分布是18371837年法国数学家泊年法国数学家泊(PoisoonS.D.1781-1840)(Poisoon

44、S.D.1781-1840)首次提出的首次提出的(1)(1)设离散型随机变量设离散型随机变量X X的分布律为的分布律为,1,0k!kekXPk 其中其中00是常数。则称是常数。则称X X服从参数为服从参数为的的泊松分布泊松分布，记为记为X X P(P()。显然显然0!kekXPk1ee!kekXP0kk0k 4.2 4.2 离散型随机变量离散型随机变量 二、常用离散型分布二、常用离散型分布 泊松分布泊松分布56谢谢观赏2019-5-22(2)(2)泊松分布背景泊松分布背景：例如，在一个时间间隔内某电话交换台收到的电话例如，在一个时间间隔内某电话交换台收到的电话的呼唤次数、一本书一页中的印刷错误

45、数、某地区在一的呼唤次数、一本书一页中的印刷错误数、某地区在一天内邮递遗失的信件数、某一医院在一天内的急诊病人天内邮递遗失的信件数、某一医院在一天内的急诊病人数、某一地区一个时间间隔内发生交通事故的次数、在数、某一地区一个时间间隔内发生交通事故的次数、在一个时间间隔内某种放射性物质发出的、经过计数器的一个时间间隔内某种放射性物质发出的、经过计数器的粒子数等都服从泊松分布，泊松分布也是概率论中的粒子数等都服从泊松分布，泊松分布也是概率论中的一种重要分布。一种重要分布。4.2 4.2 离散型随机变量离散型随机变量 二、常用离散型分布二、常用离散型分布 泊松分布泊松分布57谢谢观赏2019-5-22

46、例例1 1 设每分钟通过某交叉路口的汽车流量设每分钟通过某交叉路口的汽车流量X X服从泊松分布服从泊松分布,且已知在一分钟内无车辆通过与恰好有一辆车通过的概且已知在一分钟内无车辆通过与恰好有一辆车通过的概率相同率相同,求在一分钟内至少有两辆车通过的概率求在一分钟内至少有两辆车通过的概率.解：设解：设 X X 服从参数为服从参数为的泊松分布的泊松分布,由题意知由题意知1 11 11 11 10 02 2e e1 1e e1 1!1 1e e0 0!1 1-1 1 1 1)P P(X X0 0)P P(X X1 12 2)P P(X X 4.2 4.2 离散型随机变量离散型随机变量 二、常用离散型

47、分布二、常用离散型分布 泊松分布泊松分布P(X=0)=P(X=1)P(X=0)=P(X=1)即即 ee!1!010解得解得=1=1因此因此,至少有两辆车通过的概率为至少有两辆车通过的概率为58谢谢观赏2019-5-22例例 有有300300台机器，工作相互独立。发生故障概率为台机器，工作相互独立。发生故障概率为0.01,0.01,通常，一台机器的故障可由一人来修理通常，一台机器的故障可由一人来修理(一人修一台一人修一台),),问至少需要多少工人，才能保证当设备发生故障但不能问至少需要多少工人，才能保证当设备发生故障但不能及时修理的概率小于及时修理的概率小于0.01.0.01.解：设需要配备修理

48、工人数为解：设需要配备修理工人数为N N个，设备同时发生故障的个，设备同时发生故障的台数为台数为X X台，由题知求最小的台，由题知求最小的N N为多少，即为多少，即 PXN0.01.PXN0.01.因为因为X XB(300,0.01)B(300,0.01)，由于，由于n n很大，很大，p p很小很小,故用泊松故用泊松分布近似分布近似kkkCkXP 300300)99.0()01.0(4.2 4.2 离散型随机变量离散型随机变量 二、常用离散型分布二、常用离散型分布 泊松分布泊松分布59谢谢观赏2019-5-22 30011NkkXPNXPNXP 3001300300)99.0()01.0(Nk

49、kkkC01.0!33 kek查表可得查表可得：N+1=k9=N=8N+1=k9=N=8（最小的）（最小的）4.2 4.2 离散型随机变量离散型随机变量 二、常用离散型分布二、常用离散型分布 泊松分布泊松分布60谢谢观赏2019-5-22例例 有有8080台机器，工作相互独立。发生故障概率为台机器，工作相互独立。发生故障概率为0.01,0.01,通常，一台机器的故障可由一人来修理通常，一台机器的故障可由一人来修理.（1 1）由四个人）由四个人负责维修，每人负责维修，每人2020台设备台设备,求设备发生故障，而不能及时求设备发生故障，而不能及时修理的概率；（修理的概率；（2 2）又若由三个人共同

50、负责维修）又若由三个人共同负责维修8080台，求台，求设备及时修理的概率。设备及时修理的概率。解：（解：（1 1）设）设X X为发生故障的机器数为发生故障的机器数,X,XB(20B(20，0.01)0.01)X X取值为取值为0,1,2,0,1,2,20.,20.因为一人只能修一台机器，故所求概率为：因为一人只能修一台机器，故所求概率为：0169.0)99.0()01.0(12102020202 kkkkkCkXPXP61谢谢观赏2019-5-22（2 2）设）设X X为发生故障的机器数，为发生故障的机器数，X XB(80B(80，0.01)0.01)X X取值：取值：0 0，1 1，2 2，