[研究生入学考试]线性代数§课件.ppt
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- 研究生入学考试 研究生 入学考试 线性代数 课件
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1、5.1 向量的内积、长度及正交性向量的内积、长度及正交性 在解析几何中有两向量的在解析几何中有两向量的数量积数量积的概念的概念,即设即设x,y为两向量为两向量,则它们的数量积为则它们的数量积为:x y=|x|y|cos .设向量设向量x,y 的坐标表示式为的坐标表示式为 x=(x1,x2,x3),y=(y1,y2,y3),则则x y=x1 y1+x2 y2+x3 y3.,|232221xxxx .|arccosyxyx 由此引出了向量的由此引出了向量的长度长度(即即模模)和两向量和两向量夹角夹角的概念的概念:定义定义1:设有设有n维向量维向量,2121 nnyyyyxxxxx,y=x1 y1+
2、x2 y2+xn yn,称称x,y为向量为向量 x 与与 y 的的内积内积.说明说明1.n(n 4)维向量的内积是维向量的内积是3维向量维向量数量积数量积的的推广推广.但但n维向量没有维向量没有3维向量直观的几何意义维向量直观的几何意义.说明说明2.内积是向量的一种运算内积是向量的一种运算,如果都是列向量如果都是列向量,内积可用矩阵记号表示为内积可用矩阵记号表示为:x,y=xT y.我们把两向量的我们把两向量的数量积数量积的概念向的概念向 n 维向量推广维向量推广:记记内积的运算性质内积的运算性质设设x,y,z为为n维向量维向量,为实数为实数,则则(1)x,y=y,x;(2)x,y=x,y;(
3、3)x+y,z=x,z+y,z;(4)x,x 0,当且仅当当且仅当x=0时有时有x,x=0.称称|x|为为n维向量维向量 x 的的长度长度(或或范数范数).,|22221nxxxxxx 定义定义:令令向量的长度具有下述性质向量的长度具有下述性质:(1)非负性非负性:|x|0,当且仅当当且仅当x=0时有时有|x|=0;(2)齐次性齐次性:|x|=|x|;(3)三角不等式三角不等式:|x+y|x|+|y|.|,cosyxyx ,2262318 .4|,arccosyxyx 单位向量及单位向量及n 维向量间的夹角维向量间的夹角(1)当当|x|=1时时,称称x为为单位向量单位向量.(2)当当|x|0,
4、|y|0 时时,称为称为n维向量维向量 x 与与 y 的的夹角夹角,规定规定0 .例例1:求向量求向量x=(1,2,2,3)与与y=(3,1,5,1)的夹角的夹角.解解:x,y=1 3+2 1+2 5+3 1=18,183221|2222 x,361513|2222 y所以所以故故,向量向量x与与 y 的夹角为的夹角为:1.正交的概念正交的概念2.正交向量组的概念正交向量组的概念若一非零向量组中的向量两两正交若一非零向量组中的向量两两正交,则称该向量则称该向量组为组为正交向量组正交向量组.当当x,y=0时时,称向量称向量 x 与与 y 正交正交.由定义知由定义知,若若x=0,则则 x与任何向量
5、都正交与任何向量都正交.3.正交向量组的性质正交向量组的性质 定理定理1:若向量组若向量组 1,2,r 是是n维维正交向量组正交向量组,则则 1,2,r 线性无关线性无关.证明证明:设有数设有数 1,2,r,使得使得:1 1+2 2+r r=0向量的正交是几何空间中向量垂直概念的推广向量的正交是几何空间中向量垂直概念的推广.由于由于 1,2,r 是是两两正交的非零向量组两两正交的非零向量组,当当 i j 时时,i,j=iT j=0,当当 i=j 时时,i,i=iT i 0,则有则有用用 iT(i=1,2,r)左乘上式得左乘上式得,1 iT 1+i iT i+r iT r=iT0=0,i iT
6、i=0.即即从而得从而得,1=2=r=0,所以所以 1,2,r 线性无关线性无关.4.向量空间的正交基向量空间的正交基 定义定义:若正交向量组若正交向量组 1,2,r是向量空间是向量空间V的的一组基一组基,则称则称 1,2,r 是向量空间是向量空间V的一组的一组正交基正交基.例例2:已知三维向量空间中两个向量已知三维向量空间中两个向量正交正交.试求试求 3使使 1,2,3构成三维空间的一组正交基构成三维空间的一组正交基.1=(1,1,1)T,2=(1,2,1)T即即.02,0,3213232131 xxxxxx 解之得解之得解解:设设 3=(x1,x2,x3)T 0,且分别与且分别与 1,2正
7、交正交.则有则有 1,3=2,3=0,x1=x3,x2=0.1013213 xxx 若令若令 x3=1,则有则有,101,121,111321 构成三维空间的一组正交基构成三维空间的一组正交基.则则5.规范正交基规范正交基.212100,212100,002121,0021214321 eeee例如例如 定义定义:设设n维向量组维向量组e1,e2,er是向量空间是向量空间V Rn的一组正交基的一组正交基,且都是单位向量且都是单位向量,则称则称e1,e2,er是向是向量空间量空间V的一组的一组规范规范(单位单位)正交基正交基.).4,3,2,1,(10,jijijieeijji 由于由于所以所以
8、,e1,e2,e3,e4为为R4的一组规范正交基的一组规范正交基.1000,0100,0010,00014321 同理可知同理可知也为也为R4的一组规范正交基的一组规范正交基(即即单位坐标向量组单位坐标向量组).设设e1,e2,er是向量空间是向量空间V的一组的一组规范规范正交基正交基,则则V中的任一向量中的任一向量a可由可由e1,e2,er线性表示线性表示,设表示式为设表示式为:a=1e1+2e2+rer,用用eiT左乘上式左乘上式,有有 eiTa=i eiTei=i,即即 i=eiTa=a,ei,这就是向量在规范正交基中的这就是向量在规范正交基中的坐标坐标(即即线性表示系数线性表示系数)的
9、计算公式的计算公式.利用该公式可方便地计算向量在规范正利用该公式可方便地计算向量在规范正交基中的交基中的坐标坐标,因此我们常取向量空间的因此我们常取向量空间的规范正交基规范正交基.6.求规范正交基的方法求规范正交基的方法 已知已知 1,2,r 是向量空间是向量空间V 的一组基的一组基,求求V 的的一组规范正交基一组规范正交基,就是要找一组两两正交的单位向量就是要找一组两两正交的单位向量e1,e2,er,使使e1,e2,er 与与 1,2,r 等价等价,这样这样一个问题称为一个问题称为把基把基 1,2,r 规范正交化规范正交化.(1)正交化正交化设设a1,a2,ar 是向量空间是向量空间V 的一
10、组基的一组基.,1112122bbbabab ,222321113133bbbabbbbabab 取取 b1=a1,111122221111,rrrrrrrrrbbbabbbbabbbbabab 则则b1,b2,br两两正交两两正交,且且b1,b2,br与与a1,a2,ar等价等价.(2)单位化单位化,取取,|,|,|222111rrrbbebbebbe 则则e1,e2,en是向量空间是向量空间V的一组的一组规范正交基规范正交基.上述由线性无关向量组上述由线性无关向量组a1,a2,ar 构造出正交向构造出正交向量组量组b1,b2,br 的过程称为的过程称为施密特施密特(Schimidt)正交化
11、正交化过程过程.例例3:用施密特正交化方法用施密特正交化方法,将向量组将向量组a1=(1,1,1,1),a2=(1,-1,0,4),a3=(3,5,1,-1)正交规范化正交规范化.解解:先先正交化正交化.1112122,bbbabab )1,1,1,1(1111411)4,0,1,1(),3,1,2,0(取取b1=a1=(1,1,1,1),222321113133,bbbabbbbabab )3,1,2,0(1414)1,1,1,1(48)1,1,5,3(),0,2,1,1(再再单位化单位化.得规范正交向量组如下得规范正交向量组如下:),143,141,142,0()3,1,2,0(141|2
12、22 bbe).0,62,61,61()0,2,1,1(61|333 bbe),21,21,21,21()1,1,1,1(21|111 bbe例例4:设设,014,131,121321 aaa试用施密特正交化过程把这组向量规范正交化试用施密特正交化过程把这组向量规范正交化.bbbaab1211222|,12164131;11135 bbbabbbaab2223111333|,|,解解:先先正交化正交化.取取b1=a1 1113512131014.1012 ,121|111bbe,12161|222bbe,11131|333bbe.10121 再再单位化单位化.得规范正交向量组如下得规范正交向量
13、组如下:故故,e1,e2,e3 即为所求即为所求.例例5:已知已知,1111 a求一组非零向量求一组非零向量a2,a3,使使a1,a2,a3两两正交两两正交.解解:非零向量非零向量a2,a3应满足方程应满足方程 a1Tx=0,即即x1+x2+x3=0.110,10121 它的基础解系为它的基础解系为:把基础解系正交化把基础解系正交化,即为所求即为所求.亦即取亦即取,12 a.,1112123 a其中其中 1,2=1,1,1=2,于是得于是得,1012 a.12121101211103 aa1a3a2b1c2b2c3c31c32b3例例 4 的几的几 何何 解解 释释,|,|,121121111
14、22bbbabbbbac b2=a2 c2,c2为为a2在在b1上的上的投影向量投影向量,即即b1=a1,b3=a3 c3,c3为为a3在在b1,b2所确定的平面上的投影向量所确定的平面上的投影向量,由于由于b1 b2,故故c3等于等于a3分别在分别在b1,b2上的投影向量上的投影向量c31及及c32之和之和,即即32313ccc ,|,|,2222312113bbbabbba 定理定理:A为正交矩阵的充要条件是为正交矩阵的充要条件是A的列向量都是的列向量都是单位向量且两两正交单位向量且两两正交.若若n阶方阵阶方阵A满足满足ATA=E,即即A-1=AT,则称则称A为为正交正交矩阵矩阵.证明证明
15、:由于由于Eaaaaaaaaaaaaaaaaaannnnnnnnnnnn 212222111211212221212111ATA=E EnTnTT ,2121 .,2,1,01njijijiijjTi EnTnTnTnnTTTnTTT 212221212111性质性质1 1:正交变换保持向量的长度不变正交变换保持向量的长度不变.|xxxPxPxyyyTTTT 定义定义:若若P为正交阵为正交阵,则线性变换则线性变换 y=Px 称为正交称为正交变换变换.证明证明:设设线性变换线性变换 y=Px为正交变换为正交变换.则有则有 性质性质2:设设A为正交矩阵为正交矩阵,则则A-1=AT也为正交矩阵也为正
16、交矩阵,且且|A|=1或或1.性质性质3:设设A,B都是正交矩阵都是正交矩阵,则则AB也为正交矩阵也为正交矩阵.EAAEAAEAATTTT )(,1例例6:判别下列矩阵是否为正交阵判别下列矩阵是否为正交阵.,1213121121312111 .9794949491989498912 解解(1):考察矩阵的第一列和第二列考察矩阵的第一列和第二列.,021311)21()21(1 所以所以(1)不是正交矩阵不是正交矩阵.由于由于解解(2):注意到注意到,该矩阵为对称矩阵该矩阵为对称矩阵,则有则有 100010001T 74441848191 74441848191所以所以(2)是正交矩阵是正交矩阵
17、.例例7:验证矩阵验证矩阵 2121000021212121212121212121P 解解:P 的每个列的每个列(行行)向量都是单位向量向量都是单位向量,且两两正且两两正交交,所以所以P是正交矩阵是正交矩阵.是正交矩阵是正交矩阵.1.将一组基规范正交化的方法将一组基规范正交化的方法:先用施密特正交化方法将基正交化先用施密特正交化方法将基正交化,然后再将其然后再将其单位化单位化.2.A为正交矩阵的充要条件是下列条件之一成立为正交矩阵的充要条件是下列条件之一成立:(1)A-1=AT;(2)ATA=E;(3)A的的列列向量是两两正交的单位向量向量是两两正交的单位向量;(4)A的的行行向量是两两正交
18、的单位向量向量是两两正交的单位向量.5.2 方阵的特征值与特征向量方阵的特征值与特征向量 定义定义:设设A是是n阶方阵阶方阵,如果数如果数 和和n维维非零列向量非零列向量x使关系式使关系式Ax=x成立成立,那末这样的数那末这样的数 称为方阵称为方阵A的的特征值特征值,非零向量非零向量x称为称为A的对应于特征值的对应于特征值 的的特征向量特征向量.说明说明1:特征向量特征向量x 0,特征值问题是对方阵而言的特征值问题是对方阵而言的;说明说明2:n阶方阵阶方阵A的特征值的特征值,就是使齐次线性方程组就是使齐次线性方程组(A E)x=0 有非零解的值有非零解的值,即满足方程即满足方程|A E|=0
19、的的 都都是矩阵是矩阵A的特征值的特征值.0212222111211 nnnnnnaaaaaaaaa说明说明3:方程方程|A E|=0 称以称以 为未知数的一元为未知数的一元n次方程次方程|A E|=0为方阵为方阵A的的特征方程特征方程.记记f()=|A E|,它是它是 的的n次多项式次多项式,称其为方阵称其为方阵A的的特征多项式特征多项式.n次代数方程有次代数方程有n个根个根(复根和实根复根和实根,重根按重数重根按重数计算计算).说明说明4:设设n阶方阵阶方阵A=(aij)的特征值为的特征值为 1,2,n,则有则有:(1)1+2+n=a11+a22+ann;(2)1 2 n=|A|.3113
20、例例1:求求 3113的特征值和特征向量的特征值和特征向量.解解:A A的特征多项式为的特征多项式为:=(3)2 1所以所以,该该方阵方阵A的特征值为的特征值为:1=2,2=4.,0023112321 xx当当 1=2 时时,对应的特征向量应满足对应的特征向量应满足:002121xxxx,11 即即解得解得 x1=x2,故特征值故特征值 1=2对应的特征向量为对应的特征向量为:x=c,0043114321 xx当当 1=4 时时,对应的特征向量应满足对应的特征向量应满足:=8 6 +2=(4 )(2 )(c 0).002121xxxx,11 即即解得解得x1=-x2,故特征值故特征值 2=4对
21、应的特征向量为对应的特征向量为:x=c 由于特征方程由于特征方程|A E|=0,故齐次方程故齐次方程组组(A E)x=0 有非零解有非零解.因此因此,求出特征值求出特征值 i 对应的基础解系即可对应的基础解系即可求出求出所有所有特征向量特征向量.201034011例例2:求矩阵求矩阵A=的特征值和特征向量的特征值和特征向量.解解:矩阵矩阵A的特征多项式为的特征多项式为:201034011|A E|=(2)(1)2,所以所以A的特征值为的特征值为:1=2,2=3=1.(c 0).当当 1=2时时,解方程组解方程组(A2E)x=0.由由,0000100010010140132 EA.1001 p得
22、基础解系得基础解系当当 2=3=1时时,解方程组解方程组(AE)x=0.由由,000210101101024012 EA故对应特征值故对应特征值 1=2的所有特征向量为的所有特征向量为 kp1(k 0).1212 p得基础解系得基础解系故对应特征值故对应特征值 2=3=1的所有特征向量为的所有特征向量为kp2(k 0).314020112 314020112例例3:求矩阵求矩阵A=的特征值和特征向量的特征值和特征向量.解解:矩阵矩阵A的特征多项式为的特征多项式为:|A E|=(1+)(2)2,所以所以A的特征值为的特征值为:1=1,2=3=2.当当 1=1时时,解方程组解方程组(A+E)x=0
23、.由由,000010101414030111 EA.1011 p得基础解系得基础解系故对应特征值故对应特征值 1=1的所有特征向量为的所有特征向量为kp1(k 0).,0000001141140001142 EA当当 2=3=2时时,解方程组解方程组(A2E)x=0.由由得基础解系得基础解系故对应特征值故对应特征值 2=3=2的所有特征向量为的所有特征向量为k2 p2+k3 p3 (k2,k3不同时为零不同时为零).例例4:证明证明:若若 是矩阵是矩阵A的特征值的特征值,则则(1)m是矩阵是矩阵Am的特征值的特征值(m为正整数为正整数);(2)当当A可逆时可逆时,则则-1是逆阵是逆阵A-1的特
24、征值的特征值.证明证明(1):由于由于 是矩阵是矩阵A的特征值的特征值,设设x是是A的对应的对应特征值特征值 的特征向量的特征向量,则则 Ax=x.,10412 p,01413 p所以所以,A2x=A(Ax)=A(x)=(Ax)=2x.即即,2是矩阵是矩阵A2的特征值的特征值.依此递推得依此递推得,m是矩阵是矩阵Am的特征值的特征值(m为正整数为正整数).由此我们还证明了由此我们还证明了:若若x是是A的属于特征值的属于特征值 的特的特征向量征向量,则则x也是矩阵也是矩阵Am的属于特征值的属于特征值 m的特征向量的特征向量.证明证明(2):当当A可逆时可逆时,则则 0,则由则由 Ax=x 可得可
25、得,x=A-1(Ax)=A-1(x)=(A-1x).所以所以,A-1x=-1x 由此我们还证明了由此我们还证明了:若若x是是A的属于特征值的属于特征值 的特的特征向量征向量,则则x也是矩阵也是矩阵A-1的属于特征值的属于特征值-1的特征向量的特征向量.还可以类推还可以类推:若若 是矩阵是矩阵A的特征值的特征值,则则()是是矩阵矩阵多项式多项式(A)的特征值的特征值,其中其中()=a0+a1+am m,(A)=a0E+a1A+amAm.证明证明:设有常数设有常数x1,x2,xm,使使则在上式左乘则在上式左乘A得得,即即类推之类推之,有有.0222111 mmkmkkpxpxpx 定理定理2:设设
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