平面问题极坐标解答课件.ppt

1、弹性力学 第四章1Chapter 4 Solution of plane problems in polar coordinates 第四章第四章 平面问题极坐标解答平面问题极坐标解答弹性力学 第四章2 解平面问题时，对圆形、楔形、扇形、圆环形解平面问题时，对圆形、楔形、扇形、圆环形的物体，用极坐标比用直角坐标方便。如天平刀口的物体，用极坐标比用直角坐标方便。如天平刀口为常数，用为常数，用极坐标易于极坐标易于表示，而用表示，而用直角坐标不直角坐标不大方便大方便解决极坐标下的平面问题，仍要从解决极坐标下的平面问题，仍要从静力学静力学、几何学几何学和和物理学物理学三个方面来考虑。三个方面来考虑。弹

2、性力学 第四章3Polar coordinates 极坐标极坐标 The position of a point P in polar coordinates is defined by the radial coordinate and the angular coordinate.一点一点P的极坐标用径向坐标的极坐标用径向坐标和角坐标和角坐标表示表示 P(,)displacements:位移位移：u u strains:应变应变:r stresses:应力应力：body force:体力体力:f 、f,0F弹性力学 第四章4 x y弹性力学 第四章54.1 Differential equ

3、ations of equilibrium in polar coordinates极坐标中的平衡微分方程极坐标中的平衡微分方程 P52 Fig.4-1;P52(中)图4-1ddPABCffxyOdd)(ddddd2.平衡微分方程平衡微分方程考虑微元体平衡（取厚度为考虑微元体平衡（取厚度为1）：）：,0Fd2cosdd2cos)(dddddd)(2sindd2sinddd0ddfddPABCffxyOdd)(ddddddddd)(ddd)(2dd2ddd0ddfdddddddddd22dd2ddd2dd0ddf将上式化开：将上式化开：（高阶小量，舍去）（高阶小量，舍去）ddPABCffxyOd

4、d)(ddddd22sin,12cosddddddddddd0ddf10f两边同除以两边同除以 ：dd,0Fddddddd)(2ddd2dd0ddf两边同除以两边同除以 ，并略去高阶小量，并略去高阶小量：dd021fddPABCffxyOdd)(ddddd同理可以推得：同理可以推得：,0M 剪应力互等定理剪应力互等定理于是，极坐标下的平衡方程为于是，极坐标下的平衡方程为：（41）方程（方程（41）中包含三个未知量，）中包含三个未知量，而只有二而只有二个方程，是一次超静定问题，需考虑变形协调条件才能求解。个方程，是一次超静定问题，需考虑变形协调条件才能求解。10f021fddPABCffxyOd

5、d)(ddddd弹性力学 第四章10Review:differential equations of equilibrium in rectangular coordinate直角坐标直角坐标 平衡方程平衡方程 x/x+yx/y+fx=0-x方向的平衡方程，体力方向的平衡方程，体力和应力都是和应力都是x方向，故应力的第二个下标为方向，故应力的第二个下标为x方方向。对应力的第一个下标求导。向。对应力的第一个下标求导。y/y+xy/x+fy=0 -y方向的平衡方程，体方向的平衡方程，体力和应力都是力和应力都是y方向，故应力的第二个下标为方向，故应力的第二个下标为y方向。对应力的第一个下标求导。方向

6、。对应力的第一个下标求导。In the first(second)differential equation of equilibrium,the body force and stresses are in the x(y)direction,the second coordinate subscript in stresses is x(y),the differential of stresses is respect to the first subscripts.弹性力学 第四章11两种坐标系中的平两种坐标系中的平衡微分方程的比较衡微分方程的比较 x/x+yx/y+fx=0 y/y+

7、xy/x+fy=0 (2-2)/+/()+(-)/+fr=0 (4.1.1)/()+/+2 /+f=0 (4.1.2)(-)/-正正面面积大于负面面积大于负面面积面面积,与通与通过形心的过形心的轴有一角度轴有一角度 2 /-作用的正作用的正面面积大于负面面积大于负面面积面面积，与通过形心的与通过形心的 轴有一角度轴有一角度弹性力学 第四章124.2 geometrical and physical equations in polar coordinates极坐标中的几何物理方程极坐标中的几何物理方程 P57(E)Fig.4.2.1;P60(中)图4-2弹性力学 第四章13Only the r

8、adial displacement takes place只有径向位移只有径向位移 PP=u AA=u+u/d BB=u+u/d =(P A -PA)/PA=(AA-PP)/PA=(u+u/d)-u/d=u/=(P B-PB)/PB=(+u)d-d/(d)=u/弹性力学 第四章14Only the radial displacement takes place只有径向位移只有径向位移 the angle of rotation of PA will be =0 the angle of rotation of PB will be =(BB-PP)/PB=(u+u/d)-u/d=u/()r=

9、+=u/()弹性力学 第四章15Only the circumferential displacement takes place只有环向位移只有环向位移 PP=u AA=u+u/d BB=u+u/d =0 =(P B-PB)/PB=(BB-PP)/PB =(u+u/d)-u/(d)=u/()弹性力学 第四章16Only the circumferential displacement takes place只有环向位移只有环向位移 the angle of rotation of PA will be =(AA-PP)/PA =(u+u d)-u/d=u/the angle of rotat

10、ion of PB will be =-POP =-PP/OP=-u/r=+=u/-u/弹性力学 第四章17 geometrical equations in rectangular coordinates 直角坐标中的几何方程直角坐标中的几何方程 x=u/x y=v/y rxy=u/y+v/x geometrical equations in polar coordinates 极坐标中的几何方程极坐标中的几何方程 =u/+u/()r=u/()+u/-u/u弹性力学 第四章18 x=u/x y=v/y中的中的规律规律 由由 x=u/x y=v/y，得出规律：某一坐标方，得出规律：某一坐标方向

11、的位移对该坐标求导为该坐标方向的正应变向的位移对该坐标求导为该坐标方向的正应变中的项。中的项。1.x=u/x-x方向的位移方向的位移u对对x坐标求导坐标求导 u/x 为为x方向线段的正应变方向线段的正应变 x。2.y=v/y-y方向的位移方向的位移 v 对对y坐标求导坐标求导 v/y 为为y方向线段的正应变方向线段的正应变 y。将此规律应用到极坐标。则有将此规律应用到极坐标。则有方向的位移方向的位移u u对对求导为求导为方向的正应变中的项方向的正应变中的项=u/。方向的位移方向的位移u对对求导（再除以求导（再除以以保持因次一以保持因次一致），为致），为方向的正应变中的项方向的正应变中的项 =u

12、/()。弹性力学 第四章19xy=u/y+v/x中的中的一般规律一般规律 由由xy=u/y+v/x，总结出一般规律，即设有，总结出一般规律，即设有两个正交坐标方向，一个坐标方向的位移（如两个正交坐标方向，一个坐标方向的位移（如u u）对另一个坐标方向（）对另一个坐标方向（y y）求导为该坐标方向）求导为该坐标方向（y y）线段的转角。）线段的转角。1.u/y-x方向的位移方向的位移 u 对对y坐标求导为坐标求导为y方向线方向线段的转角。段的转角。2.v/x-y方向的位移方向的位移 v 对对x坐标求导为坐标求导为x方向线方向线段的转角。段的转角。应用这一规律于极坐标，就能方便地解释应用这一规律于

13、极坐标，就能方便地解释 u/()+u/为为r中的项。中的项。弹性力学 第四章20=u/+u/()=2(r+a)-2r)/2r=a/r 弹性力学 第四章21 r=u/()+u/-u/弹性力学 第四章22 physical equations in polar coordinates 极坐标中的物理方程极坐标中的物理方程 The physical equations in the two coordinate systems must have the same form,but with and in place of x and y respectively.x=x-y/E (2-12)y=y

14、-x/E rxy=xy/G x-y-=-/E (4-3)=-/E r=/G弹性力学平面问题极坐标求解的基本方程：弹性力学平面问题极坐标求解的基本方程：平衡微分方程：平衡微分方程：（41）几何方程：几何方程：（42）物理方程：物理方程：（43）(平面应力情形平面应力情形)10f021fuuu1uuu1)(1E)(1EEG)1(21边界条件：边界条件：位移边界条件：位移边界条件：,uus uus应力边界条件：应力边界条件：fmlssfmlssuu,为边界上已知位移，为边界上已知位移，ff,为边界上已知的面力分量。为边界上已知的面力分量。（位移单值条件）（位移单值条件）0a0a0b0b00bad00

15、badMdba0l000000ql000001800180a0sincos0adaa0cossin0adaa00Madaa0 xF0yF0OM取半径为取半径为 a 的半圆分析，由其平衡得：的半圆分析，由其平衡得：半平面体半平面体4.3 stress function and compatibility equation in polar coordinates 极坐标中的应力函数及相容方程极坐标中的应力函数及相容方程1.极坐标下的应力分量与相容方程极坐标下的应力分量与相容方程方法方法1：（步骤）：（步骤）（1）利用极坐标下的几何方程，求得应变表示的相容方程：）利用极坐标下的几何方程，求得应变表

16、示的相容方程：)(1112222（2）利用极坐标下的物理方程，得应力表示的相容方程：）利用极坐标下的物理方程，得应力表示的相容方程：0)(112222（常体力情形）（常体力情形）（3）利用）利用平衡方程平衡方程求出用应力函数表示的应力分量：求出用应力函数表示的应力分量：22211221（4）将上述应力分量代入应力表示的相容方程，得应力函数表示的相容）将上述应力分量代入应力表示的相容方程，得应力函数表示的相容方程：方程：01122222（常体力情形）（常体力情形）方法方法2：（用极坐标与直角坐标之间的变换关系求得到）：（用极坐标与直角坐标之间的变换关系求得到）xyOPxy（1）极坐标与直角坐标间

17、的关系：）极坐标与直角坐标间的关系：222yx xyarctancosxsinycosxxsinyysin2yxcos2xy（2）应力分量与相容方程的坐标变换：）应力分量与相容方程的坐标变换：xxxsincossincosyyycossincossin应力分量的坐标变换应力分量的坐标变换),(xyxsincossincos2222222sincossin2cos22222sincossin2ycossincossin2222222coscossin2sin22222coscossin2(a)(b)xxyyyxcossinsincos2cossinsincoscossin22222222222c

18、ossinsincos(c)xyOPxy由直角坐标下应力函数与应力的关系（由直角坐标下应力函数与应力的关系（224）：）：0220yx0220 xy020yxxyxy222111yx,0时当0220yx22222sincossin2cos022222sincossin2220220 xy22222coscossin2sin022222coscossin222211020yxxy22222sincoscossin0222222cossinsincoscossin1极坐标下应力分量计算公式：极坐标下应力分量计算公式：222221111122（45）可以证明：式（可以证明：式（45）满足平）满足平衡

19、方程（衡方程（41）。）。相容方程的坐标变换相容方程的坐标变换说明：说明：式（式（45）仅给出）仅给出体力为零体力为零时的应力分量表达式。时的应力分量表达式。体力分量为零时，这些分量确能满足平衡微分方程。体力分量为零时，这些分量确能满足平衡微分方程。相容方程的坐标变换相容方程的坐标变换x2222222sincossin2cos22222sincossin2y2222222coscossin2sin22222coscossin2(a)(b)将式将式(a)与与(b)相加，得相加，得2222yx2222211yx22222222211 2得到极坐标下的得到极坐标下的 Laplace 微分算子：微分算

20、子：22222211极坐标下的相容方程为：极坐标下的相容方程为：01111222222222222011222222224（46）方程（方程（46）为）为常体力常体力情形的相容方程。情形的相容方程。说明：说明：011222222224（46）当不计体力时，在极坐标中按应力求解平面问题，归结为求解一当不计体力时，在极坐标中按应力求解平面问题，归结为求解一个应力函数个应力函数 ，它必须满足：，它必须满足：（1）满足相容方程（）满足相容方程（4-6）；）；（2）在边界上的应力边界条件）在边界上的应力边界条件(假设全部为应力边界条件假设全部为应力边界条件)；（3）如为多连体，还应满足位移单值条件。）如

21、为多连体，还应满足位移单值条件。),(弹性力学 第四章384.4 coordinate transformation of stress components应力分量的应力分量的坐标变换式坐标变换式 Egs.(4-7)-(4-8)本节研究极坐标应力分量与直角坐标应力分量间的变换关系。本节研究极坐标应力分量与直角坐标应力分量间的变换关系。一、用一、用 、表示表示 、和、和xyxy 取厚度为的三角形单元体取厚度为的三角形单元体A(注意：两个面的法线分别与注意：两个面的法线分别与x、y轴平行，一个面的法线与轴平行，一个面的法线与的的方向平行的的方向平行)，它的，它的ab为为x面，面，ac为为y面，面

22、，bc为为 面。各面应力如图所示。面。各面应力如图所示。Bc的长度为的长度为dx，ab及及ac的长度分别为的长度分别为dscos及及dssin。由单元体的平衡条件，得由单元体的平衡条件，得:0Fsinsincoscosdsdsdsyx0cossinsincosdsdsyxxy化简得化简得:cossin2sincos22yxyx再研究再研究方向平衡以及单元体方向平衡以及单元体B的平衡，可得应力分量由直角坐的平衡，可得应力分量由直角坐标向极坐标得变换式为：标向极坐标得变换式为：cossin2sincos22yxyxcossin2cossin22xyyx)sin(coscossin)(22yxxy(

23、4-7)(4-7)二、用、和表示、二、用、和表示、xyxy取单元体取单元体A和和B，对单元体，对单元体A，两面的法线分别与，两面的法线分别与 、方向平、方向平行，一个面的法线与行，一个面的法线与x轴平行。轴平行。cossin2sincos22x)sin(coscossin)(22xy（4-84-8）研究单元体研究单元体A、B的平衡，得应力分量的变换式为：的平衡，得应力分量的变换式为：cossin2cossin22y弹性力学 第四章434.5 Axisymmetrial stresses and corresponding displacements轴对称应力和相应的位移轴对称应力和相应的位移

24、Axisymmetrial stresses：轴对称应力：轴对称应力：1.the normal stress components are independent of 2.the shearing stress components vanish 3.hence the stress distribution is symmetrical with respect to any plane passing through the z axis.()()()04-5 4-5 轴对称应力与相应的位移轴对称应力与相应的位移 所谓所谓轴对称轴对称，是指物体的形状或某物理量是绕一轴对称的，是指物体的形

25、状或某物理量是绕一轴对称的，凡通过对称轴的任何面都是对称面。如圆环的外面沿环向受均凡通过对称轴的任何面都是对称面。如圆环的外面沿环向受均布载荷问题，即为轴对称问题。若应力是绕布载荷问题，即为轴对称问题。若应力是绕 z 轴对称的，则在轴对称的，则在任一环向线上的各点，应力分量的数值相同，方向对称于任一环向线上的各点，应力分量的数值相同，方向对称于z 轴。轴。可见绕可见绕z 轴对称的应力，在极坐标下平面内应力分量仅为轴对称的应力，在极坐标下平面内应力分量仅为 的函的函数，不随数，不随 而变，切应力而变，切应力 为零。为零。求解方法：求解方法：逆解法逆解法（1）应力分量）应力分量22dddd10（4

26、5）（2）相容方程）相容方程012224dddd（45）22222111此时，此时，(4-5)在这特殊情况下，可简化为：在这特殊情况下，可简化为：22dddd10（49）一、轴对称应力一、轴对称应力 用逆解法。由于轴对称问题，应力分量与用逆解法。由于轴对称问题，应力分量与 无关。无关。由应力函数求应力分量公式为：由应力函数求应力分量公式为：)(相容方程相容方程(4-6)011222222（46）简化为简化为0112222dddddddd这是一个这是一个4阶变阶变系数系数齐次微分方程齐次微分方程011232223344dddddddd将其展开，有将其展开，有方程两边同乘以方程两边同乘以 ：402

27、22333444dddddddd Euler 齐次微分方程齐次微分方程令：令：)ln(tet或有有,1dtddddtddtddtddddd222221,2312233333dtddtddtddddtddtddtddtddd61161223344444代入上述方程代入上述方程044223344dtddtddtd其特征方程其特征方程044234为方程的特征值为方程的特征值044223344dtddtddtd044234方程的特征根为：方程的特征根为：2,04321于是，方程的解为：于是，方程的解为：DCeBteAttt22将将 代代 回回：lntDCBA22lnln（410）轴对称问题相容方程的通

28、轴对称问题相容方程的通解，解，A、B、C、D 为待定常数。为待定常数。3.应力分量应力分量22dd dd10（410）将方程（将方程（4-11）代入应力分量表达式）代入应力分量表达式CBA2)ln21(2CBA2)ln23(20（411）轴对称平面问题的应力分量表达式轴对称平面问题的应力分量表达式二、轴对称应力对应的形变二、轴对称应力对应的形变平面应力情况下，将应力分量平面应力情况下，将应力分量(4-11)代入物理方程代入物理方程(4-3)（43）)(1E)(1EE)1(2现在来求与轴对称应力相对应的形变和位移现在来求与轴对称应力相对应的形变和位移对于平面应力问题，有物理方程对于平面应力问题，

29、有物理方程)(1ECBBAE)1(2ln)1(2)21()1(12u)(1ECBBAE)1(2ln)1(2)3()1(12uu101uuu（a）可见，形变也是轴对称的。积分式（可见，形变也是轴对称的。积分式（a）第一式，有）第一式，有BBAEu)31()1(ln)1(2)1(1)()1(2fC（b）)(f 是任意的待定函数是任意的待定函数将式（将式（b）代入式（）代入式（a）中第二式，得）中第二式，得uCBBAEu)1(2ln)1(2)3()1(2)(4fEB将上式积分，得将上式积分，得:)()(41fdfEBu（c）)(1f 是是 任意函数任意函数将式（将式（b）代入式（）代入式（c）中第三

30、式，得）中第三式，得01uuu或写成：或写成：dfddfddff)()()()(11要使该式成立，两要使该式成立，两边须为同一常数。边须为同一常数。Fddff)()(11Fdfddf)()(（d）（e）式中式中F 为常数。对其积分有：为常数。对其积分有：FHf)(1（f）其中其中 H 为常数。对式（为常数。对式（e）两边求导）两边求导0)()(22fdfd其解为：其解为：sincos)(KIf（g）cossin)()(KIFddfFdf（h）将式（将式（f）（h）代入式（）代入式（b）（c），得），得cossin4KIHEBu（4-12）sincos)1(2KICBBAEu)31()1(ln)

31、1(2)1(1平面轴对称问题小结：平面轴对称问题小结：DCBA22lnln（410）（1）应力函数应力函数（2）应力分量应力分量CBA2)ln21(2CBA2)ln23(20（411）（3）位移分量位移分量4sincosBuHIKE（4-12）sincos)1(2KICBBAEu)31()1(ln)1(2)1(1式中：式中：A、B、C、H、I、K 由应力和位移边界条件确定。由应力和位移边界条件确定。（3）位移分量位移分量cossin4KIHEBu（4-12）sincos)1(2KICBBAEu)31()1(ln)1(2)1(1式中：式中：A、B、C、H、I、K 由应力和位移边界条件确定。由应力

32、和位移边界条件确定。由式（由式（4-12）可以看出：）可以看出：应力轴对称并不表示位移也是轴对称的。应力轴对称并不表示位移也是轴对称的。但在轴对称应力情况下，若物体的几何形状、受力、位移约束都是但在轴对称应力情况下，若物体的几何形状、受力、位移约束都是轴对称的，则位移也应该是轴对称的。轴对称的，则位移也应该是轴对称的。这这 时，物体内各点都不会时，物体内各点都不会有环向位移，即不论有环向位移，即不论 和和 取何值，都应有：取何值，都应有：。0u对这种情形，有对这种情形，有0KIHB式（式（4-12）变为：）变为：0uCAEu)1(2)1(14-12（a）4-6 Hollow cylinder

33、subjected to 4-6 Hollow cylinder subjected to uniform pressuresuniform pressures结构关于圆心对称，受力也对称于圆心，结构关于圆心对称，受力也对称于圆心，故应力对称于过圆心的垂直圆面的轴。故应力对称于过圆心的垂直圆面的轴。取取(4-11):圆环或圆筒，内半径，外半径，圆环或圆筒，内半径，外半径，受内压力，外压力。受内压力，外压力。求其应力分布。求其应力分布。rR1q2qCBA2)ln21(2CBA2)ln23(20然后由边界条件、位移单值条件定出然后由边界条件、位移单值条件定出、边界条件：边界条件：0r0R1qr2q

34、R（a）将式（将式（4-11）代入，有：）代入，有：122)ln21(qCrBrA222)ln21(qCRBRA（b）说明：极坐标解平面问题时，不需要另有边界条件公式，只需从应说明：极坐标解平面问题时，不需要另有边界条件公式，只需从应力分析即可。直角坐标中，之所以需推导应力边界条件公式，是因力分析即可。直角坐标中，之所以需推导应力边界条件公式，是因为可能有斜边界出现。为可能有斜边界出现。两个方程不能求解三个常数两个方程不能求解三个常数、一、一、边界条件边界条件对于对于多连体多连体问题，位移须满足问题，位移须满足位移单值条件位移单值条件。cossin4KIHEBu位移多值项位移多值项),(122

35、222qqrRRrA222221)(2rRRqrqC由（由（b），得：），得：对于点（对于点（，）和（）和（，）、）、（，）均表示同一个点，然而由）均表示同一个点，然而由这些坐标算得这些坐标算得 ，却各不相同，这是不可能的。，却各不相同，这是不可能的。所以要使单值，须有：所以要使单值，须有：B=0 。121k21usincos)1(2KICBBAEu)31()1(ln)1(2)1(1将其代回应力分量式（将其代回应力分量式（4-12），有：），有：22222122221111qRrrqrRR22222122221111qRrrqrRR（4-13）拉梅解答拉梅解答（1）若：）若：0,01qr,2q

36、2q(二向等压情况二向等压情况)（2）若：）若：)0(012qq而1222211qrRR1222211qrRR)0(（压应力）（压应力）)0(（拉应力）（拉应力）即只有内压力作用即只有内压力作用（3）若：）若：)0(,021qq2222211qRrr2222211qRrr)0()0(（压应力）（压应力）（压应力）（压应力）（4）若：）若：)0(1qR具有圆形孔的无限大薄板；或具有圆形孔的无限大薄板；或 具有具有圆形孔道的无限大弹性体。圆形孔道的无限大弹性体。122qr122qr可见应力和可见应力和 成正比。在成正比。在 远大于远大于 之处（即距圆孔或圆形孔道之处（即距圆孔或圆形孔道较远之处），

37、应力是很小的，可以不计。这也证实了圣维南原理。较远之处），应力是很小的，可以不计。这也证实了圣维南原理。即只有外压力作用即只有外压力作用22rr1222211qrRR1222211qrRR边缘处的应力：边缘处的应力：,E,E问题：问题：圆筒埋在无限大弹性体内，受内压圆筒埋在无限大弹性体内，受内压 q 作用，作用，求圆筒的应力。求圆筒的应力。1.分析：分析：与以前相比较，相当于两个轴对称问题：与以前相比较，相当于两个轴对称问题：(a)受内外压力作用的圆筒；受内外压力作用的圆筒；(b)仅受内压作用的无限大弹性体。仅受内压作用的无限大弹性体。确定外压确定外压 p 的两个条件：的两个条件：径向变形连续

38、：径向变形连续：bbuu径向应力连续：径向应力连续：bb,E,E4-4-压力隧洞压力隧洞圆筒和无限大弹性体两者材料性质不同，不符合圆筒和无限大弹性体两者材料性质不同，不符合均匀性假定，因此不能用同一个函数表示其解答。均匀性假定，因此不能用同一个函数表示其解答。本题属于本题属于接触问题接触问题。,E,E,E2.求解求解CA22CA22应力：应力：（a）边界条件：边界条件：qapb(1)圆筒的应力与边界条件圆筒的应力与边界条件取圆筒解答中的系数为取圆筒解答中的系数为、，无限大弹性，无限大弹性体解答中的系数为体解答中的系数为 、。由多连体中。由多连体中的位移单值条件，有的位移单值条件，有 ABC00

39、B(2)无限大弹性体的应力与边界条件无限大弹性体的应力与边界条件应力：应力：CA22CA22（b）边界条件：边界条件：pb0将式（将式（a）、（）、（b）代入相应的边界）代入相应的边界条件，得到如下方程：条件，得到如下方程：,EqCaA22pCbA22pCbA2202C(c)(d)4个方程不能解个方程不能解5个未知量，个未知量，需由位移连续条件确定。需由位移连续条件确定。bbuusincosKICAEu)11(2)11(12CAEu)11(2)11(12sincosKI上式也可整理为：上式也可整理为：位移连续条件位移连续条件:sincos)21(21KIACEusincos)21(21KIAC

40、Eu利用：利用：bbuusincos)21(21KIbACbEsincos)21(21KIbAbCE(e)要使对任意的要使对任意的 成立，须有自由项相等。成立，须有自由项相等。bACbE)21(21bAbCE)21(21IIKK(f)对式（对式（f）整理有，有）整理有，有0sincos)21(21KIACEusincos)21(21KIACEu0)21(222bAbACn(g)式（式（g）中：）中：)1()1(EEn将式（将式（g）与式（）与式（c）（）（d）联立求解）联立求解qCaA22pCbA22pCbA2202C(c)(d)1()21(1)1()21(12222nabnnbnq)1()2

41、1(1)1()21(12222nabnnbnq)1()21(1)1(22222nabnbnq（4-16）当当 n r），），圆孔半径为圆孔半径为 r，在无限远处受有均匀拉，在无限远处受有均匀拉应力应力 q 作用。作用。求：孔边附近的应力。求：孔边附近的应力。在大圆处在大圆处点，应力和无孔时相同。点，应力和无孔时相同。也就是也就是，。代入坐标变换式。代入坐标变换式(4-7)，可得到该，可得到该处极坐标应力分量为处极坐标应力分量为 ，于是原问题就变为这样一于是原问题就变为这样一个新问题：内半径为个新问题：内半径为r而外半径为而外半径为得圆环或圆筒，在外边界上受到得圆环或圆筒，在外边界上受到均布拉力

42、均布拉力q。qqqqxqyxyqqqqrAq0 xy0qRrr222211qRrr222211cossin2sincos22yxyxcossin2cossin22xyyx)sin(coscossin)(22yxxy4-7为得出这个问题的解答，只需要在圆环受均布外压力时的为得出这个问题的解答，只需要在圆环受均布外压力时的解答解答(4-14)中命。于是得到：中命。于是得到：qq 20既然既然R r，可以取，从而得到解答：，可以取，从而得到解答：00Rrqr)1(22qr)1(22xyqqqqrA矩形件左右两边受有均布拉力矩形件左右两边受有均布拉力q而在上而在上下两边受有均布压力下两边受有均布压力q

43、。在大圆处在大圆处点，应力和无孔时相同。点，应力和无孔时相同。也就是也就是，。代入坐标变换式。代入坐标变换式(4-7)，可得到该，可得到该处极坐标应力分量为：处极坐标应力分量为：qxqy0 xy2cossincos)(22qqqR2sincossin2)(qqR（a）此为外边界上的边界条件。此为外边界上的边界条件。孔边的边界条件是孔边的边界条件是0)(r0)(r（）（）由边界条件由边界条件(a)和（和（b）可见，用半逆解法时，可以假设为的某一函）可见，用半逆解法时，可以假设为的某一函数乘以，而为的另一函数乘以。但数乘以，而为的另一函数乘以。但2cos2sin222111因此可以假设因此可以假设

44、2cos)(f（c）将式（将式（c）代入相容方程）代入相容方程(4-6)得：得：0)(9)(9)(2)(2cos32223344ddfdfddfddfd224)(DCBAf删去因子删去因子 以后，求解这个微分方程，得以后，求解这个微分方程，得:2cos其中其中、为待定常数。代入（为待定常数。代入（c），得应力函数），得应力函数2242cosDCBA由式由式(4-5)得应力分量得应力分量)642(2cos42DCB)6212(2cos42DBA)6226(2sin422DCBA（d）qRDRCB42642将式将式(d)代入边界条件式代入边界条件式(a)和和(b)，得，得:求解求解、，然后命得然后

45、命得qRDRCBAR4226226064242rDrCB0Rr0A2qB2qrC 24qrD06226422rDrCBAr)31)(1(2cos2222rrq)31(2cos44rq)31)(1(2sin2222rrq再将各已知值代入再将各已知值代入(d)，得应力分量的最后表达，得应力分量的最后表达式式(4-18)（2）问题的求解）问题的求解 问题分析问题分析:左右两边受拉应力作用左右两边受拉应力作用),(A 取一半径为取一半径为 =b(ba），在其上），在其上取一点取一点 A 的应力：的应力：OxybAqxAA由应力转换公式：由应力转换公式：cossin2sincos22xyyx2cos22

46、cos2qqq)sin(coscossin)(22xyxy2sin2cossinqq原问题转化为：原问题转化为：无限大圆板中间开有一圆孔的新问题。无限大圆板中间开有一圆孔的新问题。b0,0,xyyxq新问题的边界条件可表示为：新问题的边界条件可表示为：xyba内边界内边界0a0a外边界外边界2cos22qqb2sin2qb（a）问题问题12qb0b2cos2qb2sin2qbr（b）（c）2qba2cos2q2sin2qba问题问题2将外边界条件（将外边界条件（a）分解为两部分：）分解为两部分：问题问题1的解：的解：内边界内边界0a0a外边界外边界2qb0b(b)该问题为轴对称问题，其解为该问

47、题为轴对称问题，其解为2112222qbaa2112222qbaa0 当当 ba 时，有时，有2122qa2122qa0（d）2qba问题问题10ba 问题问题2的解：的解：（非轴对称问题）（非轴对称问题）内边界内边界0a0a外边界外边界2cos2qb2sin2qb(c)由边界条件（由边界条件（c），可假设：），可假设：为为 的某一函数乘的某一函数乘以以 ；为为 的某一函数乘以的某一函数乘以 。2cos2sin 又由极坐标下的应力分量表达式：又由极坐标下的应力分量表达式：222111 可假设应力函数为：可假设应力函数为：2cos)(f 将其代入相容方程：将其代入相容方程：0112222222c

48、os2q2sin2qba问题问题202cos)(9)(9)(2)(32223344ddfdfddfddfd0)(9)(9)(2)(32223344ddfdfddfddfd 与前面类似，与前面类似，令：令：)ln(tet或有有0)(16)(4)(4)(223344dttdfdttfddttfddttfd 该方程的特征方程：该方程的特征方程：01644234特征根为：特征根为：,41,22,0324方程的解为：方程的解为：tttDeCBeAetf224)(2241)(DCBAf2cos)(f 2cos1224DCBAba问题问题22sin2q2cos2q 相应的应力分量：相应的应力分量：22211

49、2cos)642(42DCB222cos)6212(42DBA12sin)6226(422DCBA 对上述应力分量应用边界条件（对上述应力分量应用边界条件（c）,有有内边界内边界0a0a外边界外边界2cos2qbsin2qar(c)（e）2cos1224DCBA264242qbDbCB26226422qbDbCBAb064242aDaCB06226422aDaCBAa求解求解A、B、C、D，然后，然后令令 a/b=0，得，得ba问题问题22sin2q2cos2q,0A,4qB,2qaC 44qaD代入应力分量式（代入应力分量式（e）,有有2cos31244aq2cos)31)(1(22222a

50、aq2sin)31)(1(22222aaq（f）将将问题问题1和和问题问题2的解相加的解相加,得全解：得全解：2cos312124422aqaq2cos)31)(1(2)1(2222222aaqaq2sin)31)(1(22222aaq（4-19）讨论：讨论：（1）沿孔边，沿孔边，=a，环向正应力：，环向正应力：)2cos21(q（4-19）3q2qq0q906045300（2）沿沿 y 轴，轴，=90，环向正应力：，环向正应力：)23211(4422aaq1.04q1.07q1.22q3q4a3a2aa),(Ab 基尔斯（基尔斯（G.Kirsch）解答）解答（3）沿沿 x 轴，轴，=0，环向