中学物理竞赛(12)稳恒电路课件.pptx

1、CAICAI使用说明使用说明1、斜体文字 表示有备注供查看2、加下划线的变色文字 表示有超链接3、表示返回至链接来处4、表示到上一张幻灯片5、表示到下一张幻灯片6、表示到首页中学物理奥赛解题研究解题知识与方法研究1、利用对称性简化电路第十二专题 稳恒电路3、用叠加原理计算无限电阻网络的等效电阻二、含源纯电容网络计算三、二端无源电容网络的等效电容计算四、直流电源、电阻、电容的混合网络计算五、电容器充放电过程中的静电能损失.一、无源纯电阻二端网络的等效电阻计算2、极限法计算无限电阻网络的等效电阻一、无源纯电阻二端网络的等效电阻计算解题知识与方法研究AB无源电阻网络如图，无源二端电阻网络等效（总）电

2、阻定义为：A BABURI物理奥赛中常用到的方法有：（1）利用简单电路的串并联公式计算1kiiRR111kiiRR1RkR2R1R2RkR-A BUII（2）用基尔霍夫定律计算给网络两端加上电动势为 的理想电源，求出总电流I.RI则（4）对称性简化（5）极限法AB 如果网络由某种纯电阻小网络元有规律的连成如下图的二端网络（6）用叠加原理计算无限网络的等效电阻（3）“”等效代换法YAB无源电阻网络II?ABR则常用极限法求等效电阻.1、利用对称性简化电路 如图1，6根阻值为R的电阻丝连成一正四面体A-B-C-D框架，求RAB=？II解设有电流I从A流进B流出.D、C两点电势相等，DC中无电流通过

3、.在电路中D、C两点具有电阻分布的对称性.所以.2ABRRABDCRRRRRR1（图）AIBIDCRRRRR2（图）后对网络的总电流总电压无影响（如图2）.拆去DC有无电流流过电阻丝DC？为什么？拆去电阻丝DC后对网络的总电流总电压有无影响？为什么？例1其实只要ACADDBCBRRRR就行了！另解 将D、C两点用理想导线连接（如图3）.或者将两点拉在一起（如图4），对网络的总电流总电压亦无影响.所以.2ABRRIIABDCRRRRRR1（图）AIBIDCRRRRR3（图）AIBI,C DRRRRR4（图）将电阻丝DC用理想导线替换（或者将D、C两点拉在一起）对网络的总电流总电压有无影响？有如图

4、1所示的由阻值相同的电阻组成的网络，求RAB=？解 设想有电流I从A流进从B流出.II 将图中的O点拆分为O1、O2两点(如图2)，所以3.2ABRRDGEHO1FRRRRRRRRIO2ACB2（图）I3（图）D,GC,HE,FO2RIIAB2R2R2R2R2RDGEHOFRRRRRRRRRRRACB1（图）R例2均无影响.对原电路的总电流总电压对原电路的总电流总电压有无影响？电阻网络如图1所示，各小段电阻丝阻值均为R,求RAB=？AB1（图）RAB2R3（图）AB4R4R2R2R2R2R2R2R4（图）AB2R2（图）解设想电流I从A流进从B流出.由图1图2图3的保持总电流、总电压不变的对称

5、变换有11155().27ABRRRR另解 作由图1图2图4的保持总电流、总电压不变的对称变换.1112()()22425.7ABRRRRRR则例3 由对称性简化电路的方法总结分析相对网络的二端：电阻的几何、大小的分布情况.确定对哪些点可进行、需进行保证电势始终不变（因而总电流总电压保 持不变）的操作：（1）开路；（2）短路；（3）拆分对所得的简单电阻网络计算等效电阻 六个相同的电阻（阻值均为R）连成一个电阻环，六个节点依次为1、2、3、4、5和6，如图1所示.现有五个完全相同的这样的电阻环，分别称为D1、D2、D5.现在将D2的1、3、5三点分别与D1的2、4、6三点用导线连接，如图2所示.

6、然后将D3的1、3、5分别于D2的2、4、6三点用导线连接，以此类推，最后将D5的1、3、5三点分别连接到D4的2、4、6三点上.（1）证明全部接好后，在D1上的1、3两点间的等效电阻为 （2）求全部接好后，在D5的1、3两点间的等效电阻.724627R；124563（图1）（图3）2D1234561234561234561234561234563D4D5D1D解如图3，将立体网络化为平面网络.（1）例4 123412345656（图2）1D2D3D43124562D1234561234561234561234561234563D4D5D1D（图3）54DD对、的拆分操作（图5）4.3R5R（

7、图6）13111=(4)(2)RR 通过由图3图6的对称操作，得（图4）3216541234561234564R（图8）13（图7）1354.3RR（图6）1311111145(2)2(2)7=.6RRRRRR 通过由图6图8的对称操作，得（图8）1347=.6RR（图9）13（图10）133R11111134(2)2(2)RRRRR52.45R 通过由图8图10的对称操作，得（图10）133R352.45RR（图11）133R（图12）132R1111111 32724(2)2(2)=.627RRRRRR，1111112397(2)2(2)=.84RRRRRR 通过由图10图12的对称操作，

8、便得最终得到2D1234561234561234561234561234563D4D5D1D（图3）（2）求D5的1、3两点的电阻等效于求D1的2、4两点的电阻（如图3，图4）.仿（1）作从内向外的对称性拆分操作，最终得到2,4388.627RR 题后总结与思考立体网络化成平面网络 起往往便于观察分析！还可以从外向里简化电路！自己不妨试试？321654123456123456（图4）2、极限法 包含有无限多个网孔的电阻网络称为无限电阻网络.?ABR求右图的无限电阻网络的解答的基本方法：先假定此网络由有限的（k+1）个网络元构成.xykxy(1)k AB （1）假定后面的k个网络元的等效电阻为R

9、k（即图中 ）.再连接上最前端的一个网络元后其电阻变为Rk+1（即图中 ）.x yR xyR（2）确定Rk和Rk+1的数量关系：1=()kkRf R于是有方程()ABABRf R（4）解方程得RAB.,k 令（3）如果网络由某种小网络元有规律的连成如下一维二端网络,则常用极限法求等效电阻.1.kkABRRR则 如图1，无限长金属丝细框中每一段金属丝的电阻均为R，求A、B两点间的等效电阻.AB解 由于背后金属丝上的各节点电势相等，所以背后的金属丝上无电流通过.可拆除.得如图3的平面网络.(1)图如图2，让电流I从A流进从B流出.AB1B1B1A1A1CC1C(2)图AB1B1B1A1ARRRR2

10、3R23R23R(3)图 由于图3所示的网络关于AB左右对称，故可将左边部分折叠至右边部分.如图4BA23R2R2R3R3R(4)图2R2R能否对此无限网络先作些对称性简化？例1 先计算图4中去掉左边第一个网络元后的规范的无限电阻网络的等效电阻Rxy=?xyxyRBA23R2R2R3R3R(4)图3R2R2R(5)图2R2R3R3R3R1kRkR2R2R(6)图kR1kR2R3R2R由图5、图6得11313122kkkRRRRRRRR1.kkxykRRR当时，有代入上式得131xyxyRRRR整理为22330 xyxyRRRR解方程得321.6xyRRR又由图4便得到11122()().223

11、21ABxyRRRRRR 题后思考也可先计算图4中去掉最左边一个电阻后的规范的无限电阻网络的等效电阻.试一试！3、用叠加原理计算无限网络的等效电阻3-1、何谓叠加原理？电路中有多个直流电源,则通过电路中任意支路的电流等于各个电源的电动势单独存在时（所有电阻包括电源内阻均保留不变）在该支路产生的电流的代数和.3-2、如何应用叠加原理计算无限电阻网络的等效电阻？如图1所示的平面无限电阻网络，设每一段电阻丝的电阻均为r.求RAB=?AB1图解 （a）如图2，设想在A、B加上恒定电压便有电流I从A流进从B流出.如图2.IIAB2图ABI图示的各电流的大小关系你能做出哪些判断？,.ABABABUURI若

12、能得到则,()?ABABABUIrIf I而如何求得例1 （b）如图3，设想让电流I从A流进后各向均衡地流向无限远.此时，有1.4ABII （c）如图4，设想让电流I从无限远各向均衡地流进后从B流出.此时，有1.4ABII AB3图IABII观察各图电流的分布,不难看出：342图+图=图所以在图2中，ABABABIIIABABUIrABABURIB4图AABI1.2I12Ir1.2rIIAB2图ABI 题后思考在图3、图4中的电源如何连接？在图5中，RAC=?RAD=?RAE=?在图3、图4中的电源和图2的电源的电 动势的大小关系？IIAB2图ABIAB3图IABIBI4图AABIAB5图CD

13、E上一题电阻网络（图2）的空间分布对称性已被讨厌的“R”破坏了！咋办呢？例2 如图1所示的平面无限电阻网络，A、B间的较粗的电阻丝的阻值为R，其余各段电阻丝的电阻均为r.求RAB=?AB1图R解AB2图rAB3图 图2所示的网络可认为是在由图3所示的网络的A、B两点间并联r所构成.设图3所示网络的A、B二端点的电阻为RAB.则据例1所得结果，有1.2ABABrRrrR由此解出.ABRr所以在图1中ABABABRRRRRABR 题后总结叠加也需结合其它手段！.RrRr找出RAB事情就好办了！二、含源纯电容网络计算（网络中未接电源时各电容器均不带电）研究的基本问题：求出直流电源接入一纯电容网络达到

14、稳定后，每个电容器的电量（包括极性）.1、与含源纯电阻网络的比较abc1Iefg1R2R3R4R5R6R2I3I4I11,r22,r33,r44,r5I电源接入电阻网络达到稳定方向相同URI1()UCCQ0iiQ 0iiI 0ijijU回路总电势降落0ijijU回路总电势降落电源内阻不起作用,内阻无电势降落电源内阻起作用,内阻有电势降落电源接入电容网络达到稳定11,r22,rabc1Qefg33,r44,r1C2C3C4C5C6C2Q3Q4Q5Q+2、结论：可将原来适用于含源电阻网络一切物理定律、方法用于处理含源电容网络.仅需：1(1.2.3CCRCQIQ（）用)替代（常被称为电容器的）（）用

15、 替代（常被称为电容器的）（）并注意到电容网络中电源内阻不起作用类电阻参量，视为理想类电流参量电源.含源电容网络如图，求电容器C1、C2的电量.解 标出各支路类电流参量的方向，1C2CAB对回路，有电压方程110.QC 对回路，有电压方程22110.Q CQC对节点A，有类电流方程21.QQQQ1Q2Q+1.CC引入内电阻参量1211()QCC代入得解 得11QC1C；22QC（符号表示与标定的极性反向）2.C 例112().CC 如图，三个电容器C1、C2、C3和电源 相连，其中12、12312F,2CCC12=6V,9V.求每个电容器所带的电量.121C3C2CAB解 引入类电阻参量1.C

16、C标定各支路类电流方向.对所选回路和节点A，由基尔霍夫定律有111220,QCQ C332220,Q CQ C1320.QQQ代入已知数据，由方程组解得5152531.8 10 C;6 10 C;2.4 10 C.QQQ （C2、C3的实际极性与图中所示相反）题后总结与思考试一试，不用基尔霍夫定律解答本题.并与此处的解法作比较.+1Q2Q3Q+例2 三、二端无源电容网络的等效电容计算AB无源电容网络如图，无源二端电容网络等效（总）电容定义为：.ABA BQCU1、利用简单电路的串、并联公式计算（其实就是电容的并、串联公式）-A BU+Q+Q无源二端电容网络的类等效（总）电阻参量则定义为1.AB

17、A BCC仅研究各电容器在接入前均不带电的情况.由于 在电容网络中的类电阻性，所以前面计算二端无源电阻网络等效电阻的一切方法均可用于计算电容网络.C1kiiCC1C2C3C111()kiiCC 1C2C3C2、用基尔霍夫定律计算给网络两端加上电动势为 理想电源，求出总类电流参量Q.CQ则解对回路a-b-d-a:已知：例1 求桥式电容电路的等效电容.123451F,1F/2,1F/3,1F/4,1F/5.CCCCC求：?acC选定三个未知类电流，标定各支路类电流的方向.如图，在电桥的a、c端加上理想电源(=1V),221142()0;C QC QC QQef2C4C3C5C1Cabcd对回路b-

18、c-d-b:32152111()(+)0;C QQC QQQC Q对回路c-e-f-a-d-c:42521()(+)0.C QQC QQQ 引入类电阻参量1.CC2Q1Q2QQ21QQ21+QQQQQ所以电桥的类等效电阻为acCQ原电容网络的等效电容为1620.312(F).199acacCC3、对称性简化 例1 如图1，6个电容量为C的电容器连成一正四面体A-B-E-D框架，求CAB=？解代入已知数据，解方程组得62(C).199Q引入类电阻参量1.CC不难得到2ABCC所以原电容网络的等效电容12.ABABCCC12QQQ2QQ2C4C3C5C1Cabcdef2Q1Q21QQQQABDEC

19、CCCCC1199(F).62199621=.2C4、极限法 例1 如图，无限长电容网络中每一个电容器的电容量均为C，求A、B两点间的等效电容.解221ABCC引入类电阻参量1.CC不难得到所以原电容网络A、B间的等效电容为121.2ABABCCC2=.21 CAB5、用叠加原理计算无限网络的等效电容 例1 如图所示的平面无限电容网络，设每一电容器的电容量均为C.求CAB=?解 引入类电阻参量1.CC不难得到12ABCC所以12.ABABCCC1.2CAB6、“”等效代换法Y三角形电容网络元星形电容网络元ABCABCBCCCACabcoaCbCcC引入类电阻参量1.CC便有代换公式：+ABab

20、bccacCC CC CC CCY:Y:+CAabbccabCC CC CC CC+BCabbccaaCC CC CC CCABCAaABBCCAC CCCCCABBCbABBCCAC CCCCCCABCcABBCCAC CCCCC再将类电阻参量换回电容量，则有代换公式：三角形电容网络元星形电容网络元ABCABCBCCCACabcoaCbCcCY:Y:abABabcC CCCCCbcBCabcC CCCCCcaCAabcC CCCCC+aABBCBCCAABCABCCC CCCC CC+bABBCBCCAABCACACC CCCC CC+cABBCBCCAABCAABCC CCCC CC四、直

21、流电源、电阻、电容的混合网络计算（在接入网络前各电容器均不带电）要解决的基本问题是：已知网络中各电源的电动势及内阻、各电阻元件的电阻值和各电容元件的电容量,求各电阻上的电流和各电容上的电量.例如，如图所示的混合网络，不计电源内阻.求各电阻上的电流和各电容上的电量.1232R1R3R4R5R1C2C4C3C5C处理的基本方法：直流电源、电阻、电容的混合网络有电流通过的直流电路部分剩余的无电流的电路部分电容阻直流（求得各支路电流及相关交接点的电压）（根据相关交接点的电压求电容电量）此乃处理直流电源、电阻、电容混合网络的常规步骤.例1 如图1所示的混合网络，不计电源内阻.求各电阻上的电流和各电容上的

22、电量.解（1）先分出两个直流回路（如图1）.两个回路中的电流可求得.（2）此两回路和其他部分的交接点为(x1,y1)、(x2,y2)、(x3,y3).（3）通过虚设电源去掉直流回路得到如图2、图3所示的无电流电路.图中，1 11 122223 33 3,x yx yx yx yx yx yUUU，1232R1R3R4R5R2C4C3C5C1x1y2x2y3x3y图11C （4）引入电容器的类电阻参量及类电流参量，由基尔霍夫定律求出各电容器所带电量.1C4C2C3C2R1 1x y22x y3 3x y5C2图2图31x1y2x2y3x3y可求得.其电压1 1223 3x yx yx yUUU、

23、如图1，十二根电阻均为R的电阻丝连成正六面体框架，然后又在某些棱上连上直流电源1、2和电容器.各电容器的电容均为C.电源的内阻忽略.1=2I0R,2=I0R.求：（1）棱AB上的电流；（2）棱AB上的电容器的电量.解CCCCC12ABAB1图将网络分成一个直流电路（如图2）和一个等效电源与电容网络（如图3）.1x1y2x2yAB12RRRRRRR2图1I2IABIABCCCCC1 1x y22x y3图A BQ 对图2，由基尔霍夫定律可算出12.ABIII、由数电压法可算出1 122x yx yUU、从而得到图3中的 和 1 1x y22x y对图3，引入类电阻参量1CC由基尔霍夫定律可算出.

24、A BQ 003;53.5ABA BIIQI RC 计算结果例21x1y2x2y求得各电容器的电量便能得到其储能 例1 如图，三个电容均为C的相同的电容器1、2、3，1带电Q，2、3原来不带电.现用导线将a和b，e和d 相连，稳定后三个电容器所储的电能分别等于多少？abed123QQ连接前连接后abed1q2q3q+123+q+q+q解连接后的情况如图所示.由绝缘导体电荷守恒得12,qqQ230,qq13().qqQ 注意此三式仅两式独立！又有电压关系312.qqqCCC由 中任意两式及式解出12321,.33qQqqQ五、电容器充放电过程中的静电能损失.连接后abed1q2q3q+123+q

25、+q+q12321,.33qQqqQ所以各电容器储能为21112qWC22212qWC222331111().22318qQWQCCC比较连接前后的总能量：221232111+()918183QQWWWCC 思考问题 减少的静电能哪去了？说明：在本题中，静电能并不守恒，减少的静电能以电磁波形式辐射而去.21.2QC212()23QC22;9QC211()23QC21;18QC1C2C3C+1R2R2图abdf根据C2两侧电路的对称性，两侧的电流、流过的电量、通电时间、释放的热量、C1、C3上的电压均同时相同.三只电容为C的相同的电容器，串联起来后接在电动势为的电源上，充完电后与两只阻值为R的电

26、阻接成如图所示的电路.求每只电阻上释放的热量是多少？1C2C3C2R1R1C2C3C解 各电容器的电压均为 电量均为 .3，13C各电容器刚接上电阻时的电路情况如图1,电容器放电时将有静电能转化为焦耳热和电磁辐射能.电路为图2.其等效例2.dWUdq由电场力做功计算式来计算电荷通过电阻时的生热2R1R1C2C3C+1图fabd1C2C3C+1R2R2图ab当已通过R1的电量为q时：C3上的电量为1,3Cq313.CCqUC电压为C2上的电量为12,3Cq2123.CCqUC电压为故此时R1上的电压为2311233abCCCqCqUUUCCUab随q的变化曲线如图3.R1上释放的焦耳热为R2上也

27、释放相等的焦耳热.qabUo29C233图23.3qC290CabWU dq29023()3CqdqC22.27Cdf2(0)9abUqC时，另解刚充电后三个电容器储存的总静电能为21()1332CC 21()1932CC 21.54C211()654C28.54C为什么不考虑电磁辐射能？而得到的结果又与前面的相同？放电结束后三个电容器储存的总静电能为222312111222qqqWCCC200132qWC 若不考虑电磁波辐射两个电阻上中的总放热则为0QWW21.6C1C2C3C+1R2Rab13019qqqqC1C2C3C 102030013qqqqC每一个电阻释放的热量为21212.227

28、QQQC029abUqC时，20129qqqC一般而言，在电容、电阻组成的电路中，当电阻不是很小时，便可忽略电磁波辐射能，将非稳恒电路看成似稳电路各瞬时各支路的电流处处相同.可用适用稳恒电路的定律（基尔霍夫定律、欧姆定律等）和方法来处理.题后总结21.qqQWUdq时便已忽略了电磁波辐射能当前面认为李卫平.电容器电量重新分配过程中静电能的转化及其计算.四川师范学院学报（自然科学版），2003年第2期（第24卷第2期）,225227.参考文献：另解1 1223 3x yx yx yUUU、在求得 后.145.CCC、的电量直接即可求得2于是 因C2、C3是串联（相对 ）在回路中的,故所带电量相等、极性相同.23QQ图11232R1R3R4R5R2C4C3C5C1x1y2x2y3x3y1C由此解得Q2、Q3.2Q3Q221 1222330 x yx yQ CUQ CU对该回路又有回路电压方程：2244;x yQUC1 111;x yQUC3 355.x yQUC