《自动控制原理》课件.ppt

1、时域分析法时域分析法优点：优点：可以直接分析系统的性能可以直接分析系统的性能缺点：缺点：不能在参数变化时，预测系统性能；不能在参数变化时，预测系统性能；不能在较大范围内，给出参数优化设不能在较大范围内，给出参数优化设计的预测结果计的预测结果引引 言言2系统的闭环极点系统的稳定性系统的动态性能系统闭环特征方程的根高阶方程情形下求解很困难系统参数（如开环放大倍数）的变化会引起其变化，针对每个不同参数值都求解一遍根很麻烦。3系统参数的值闭环极点在复平面内的位置一一对应关系如开环放大倍数参数连续变化闭环极点在复平面内画出相应的轨迹伊凡思（W.R.Evans）于1948年提出根轨迹法根轨迹法，为系统设计

2、和调试提供了方便。44-1 4-1 根轨迹的基本概念根轨迹的基本概念4-2 4-2 绘制根轨迹的一般步骤和基本法则绘制根轨迹的一般步骤和基本法则4-3 4-3 参量（参数）根轨迹参量（参数）根轨迹4-4 4-4 系统性能分析系统性能分析第四章第四章 根轨迹分析法根轨迹分析法5根轨迹根轨迹闭环极点在s平面内画出的轨迹。一一个根形成一条轨迹。个根形成一条轨迹。4-1 根轨迹的基本概念根轨迹的基本概念4-1-1闭环极点随开环根轨迹增益变化的轨迹闭环极点随开环根轨迹增益变化的轨迹开环系统中某个参数由0变化到 时，目标系统参数连续、运动、动态6例例4-1 已知系统如图，已知系统如图，试分析试分析 Kc

3、对系统特征根分布的影响。对系统特征根分布的影响。)2()(ssKsGc开环极点：开环极点：2021 pp开环根轨迹增益：开环根轨迹增益：cKK *闭环特征方程：闭环特征方程：02*2 Kss闭环特征根闭环特征根 244221*,Ks 解：开环传递函数解：开环传递函数 Kc1s(s+2)_R(s)C(s)*K 117研究研究K*从从0变化时，闭环特征根的变化变化时，闭环特征根的变化K*与闭环特征根的关系与闭环特征根的关系*2,111Ks K*=0，s1,=0，s2=-2ImRes-20K*=0.5，s1,2=-10.707=-0.293,-1.707K*=1，s1,=s2=-1K*=2，s1,2

4、=-1j-1K*=5，s1,2=-1j2K*=10，s1,2=-1j3K*，s1,2=-1jK*：0，闭环极点随之变化的轨线闭环极点随之变化的轨线根轨迹根轨迹 开环极点开环极点8(1)稳定性稳定性 K*：00，系统闭环根在系统闭环根在 s 上变化上变化左半平面：稳定左半平面：稳定右半平面：不稳定右半平面：不稳定(2)动态过程（时间响应信息）：动态过程（时间响应信息）：(3)性能指标性能指标 5.300 sssttt01100 coscos%0dd 0K*1欠阻尼欠阻尼 K*振荡振荡(4)稳态性能稳态性能4-1-2 根轨迹与系统性能根轨迹与系统性能开环增益开环增益积分环节个数积分环节个数ImRe

5、s-20-102*2 Kss*11K*/1K9设：设：G(s)_R(s)C(s)H(s)()()(111sNsMKsG 开环传递函数开环传递函数：其中：其中：2,1)()(;)()(2121 ipspssNzszssMiiiiii)()()()()()(221121sNsMsNsMKKsHsG)()()(222sNsMKsH 0)()(21 sMsM开环零点：开环零点：0)()(21 sNsN开环极点：开环极点：闭环传递函数：闭环传递函数：21*2121*211)()()()()(KKKsNsNsMsMKsNsMKs 闭环零点：闭环零点：0)()(21 sNsM闭环极点：闭环极点：0)()()

6、()(2121*sNsNsMsMK反馈回路传递函数的极点反馈回路传递函数的极点前向通路传递函数的零点前向通路传递函数的零点结论：结论：1）闭环零点）闭环零点=前向通路传函的零点前向通路传函的零点+反馈传函的极点（与反馈传函的极点（与K*无关）；无关）；2）闭环极点）闭环极点不仅与开环零、极点有关，还与不仅与开环零、极点有关，还与K*有关。有关。4-1-3 4-1-3 开环零、极点与闭环零、极点开环零、极点与闭环零、极点100)()(1 sHsG1 绘制依据绘制依据即：即：1)()(sHsG根轨迹方程（向量方程）根轨迹方程（向量方程）用幅值、幅角的形式表示：用幅值、幅角的形式表示：)12(1)(

7、)()()(ksHsGsHsG根轨迹方程根轨迹方程闭环的特征方程：闭环的特征方程：1)()(sHsG )12()()(ksHsG幅值条件幅值条件幅角条件幅角条件设：设：）iniimipszsKsHsG ()()()(11*111*iniimipszsK解析法（例解析法（例4-1）图解法图解法G(s)_R(s)C(s)H(s)幅值条件幅值条件幅角条件幅角条件2 绘制方法绘制方法imiinizspsK 11*或或：4-1-4 根轨迹绘制依据及方法根轨迹绘制依据及方法 )12(kpszsii114-2-1 一般步骤一般步骤 1)1)列写列写 0)()(1 sHsG2)2)写成写成 0()(111*）

8、iniimipszsK3)3)在在s上标出开环零、极点上标出开环零、极点 zi，pi4)4)按以下基本规则绘制按以下基本规则绘制4-2-2 基本法则基本法则法则法则1(根轨迹的起点和终点根轨迹的起点和终点)G(s)_R(s)C(s)H(s)K*=0时的闭环极点时的闭环极点 K*=时的闭环极点时的闭环极点4-2 4-2 绘制根轨迹的一般步骤和基本法则绘制根轨迹的一般步骤和基本法则起始于开环极点，终止于开环零点或无穷远点。起始于开环极点，终止于开环零点或无穷远点。120()(11*）iniimipszsK当当K*=0时，闭环特征根满足：时，闭环特征根满足：01 ）inips(即即K*=0时：闭环极

9、点时：闭环极点 si i开环极点开环极点pi当当K*时，闭环特征方程时，闭环特征方程 ：0(1)(1*1 ）iniimipsKzs0)(1 imizs 即即K*时，闭环极点时，闭环极点 si开环零点开环零点zi K*nm 当当 时，时，imiinizspsK 11*mnsimiinisszspsKlimlim11*有有n-m 条的终点在无穷远点条的终点在无穷远点证明：证明：闭环特征方程：闭环特征方程：13说明：说明：1 1）有限开环零、极点：）有限开环零、极点：zi，pi 无限开环零、极点：无限开环零、极点：根轨迹起于开环极点，终于开环零点根轨迹起于开环极点，终于开环零点2 2）在绘制其他参数

10、根轨迹时，可能会出现）在绘制其他参数根轨迹时，可能会出现 mn 的情况，的情况，此时，必有此时，必有 m-n 条根轨迹起始于无穷远点。条根轨迹起始于无穷远点。因为：因为：iniimis*pszslimK 111 nmsslim 140()(11*）iniimipszsK 证明：证明：1)分支数：分支数：分支数分支数=maxn,m，连续的，且对称于实轴。连续的，且对称于实轴。闭环根的个数闭环根的个数=特征方程阶次特征方程阶次2)连续性连续性 闭环特征方程中的某些系数是闭环特征方程中的某些系数是K*的函数的函数 K*从从0连续变化时，那些系数也随之连续变化连续变化时，那些系数也随之连续变化 特征根

11、的变化也是连续的。特征根的变化也是连续的。3)对称性对称性 特征根特征根根轨迹的分支数根轨迹的分支数=闭环根的个数闭环根的个数实根实根位于实轴位于实轴复根复根对称于实轴对称于实轴根轨迹是特征根的集合根轨迹是特征根的集合对称于实轴。对称于实轴。=maxn,m法则法则2(根轨迹的分支数、连续性及对称性根轨迹的分支数、连续性及对称性)15 实轴上的任何线段，其右面的开环实数零、极点个数之实轴上的任何线段，其右面的开环实数零、极点个数之和为奇数，则该线段是根轨迹的一部分。和为奇数，则该线段是根轨迹的一部分。ReImsReIms法则法则3 (实轴上的根轨迹实轴上的根轨迹)16证明：利用幅角条件证明：利用

12、幅角条件 )12(11 kpszsniimii设开环零、极点分布如图设开环零、极点分布如图 s0选择实验点选择实验点s01 1）观察开环复数零极点到）观察开环复数零极点到s0 点的幅角点的幅角ImResp1z1z2p5p4p2p3z3z z4 42 23 232 3 3 4 243 开环复数零、极点不影响实轴上的根轨迹开环复数零、极点不影响实轴上的根轨迹2 2）观察开环实轴上的零极点到）观察开环实轴上的零极点到s0点的幅角点的幅角 只要只要s0前有奇数个开环零极点，则满足：前有奇数个开环零极点，则满足：1 2 21 14 45 5 s0之前开环实数零极点个数之和为奇数，之前开环实数零极点个数之

13、和为奇数，s0为根轨迹上的点。为根轨迹上的点。)12(kij17ReIms例例4-2 已知系统开环传递函数，试绘制实轴上的根轨迹。已知系统开环传递函数，试绘制实轴上的根轨迹。)ps(sK)s(HsG*1 p1 )()(21*pspssKsHsG ReImsp1p2？18mnzpmiiniia 11 当当 n m 时，有时，有n-m 条根轨迹分支沿渐近线趋于无穷远。条根轨迹分支沿渐近线趋于无穷远。渐近线与实轴的交点渐近线与实轴的交点a，与实轴的交角与实轴的交角 a：)1,2,1,0()12(mnkmnka 证明：证明：1 1）设根轨迹上一动点）设根轨迹上一动点s逐渐向无穷远处移动，逐渐向无穷远处

14、移动，从开环零极点到动点从开环零极点到动点s所构成的角度不断变化。所构成的角度不断变化。当当s时，其各个角度接近相等。时，其各个角度接近相等。当当s到达无穷远，则各角度相等。即有：到达无穷远，则各角度相等。即有：)12(knmaamnka )12(2 2）由根轨迹的对称性）由根轨迹的对称性渐近线也对称于实轴渐近线也对称于实轴交点必然在实轴上。交点必然在实轴上。交点相当于各零极点的重心，按重心计算方法：交点相当于各零极点的重心，按重心计算方法：)(11 miiniiaazpmn mnzpiia 法则法则4(根轨迹的渐近线根轨迹的渐近线)19ReIms例例4-3 绘制渐近线绘制渐近线21pa p1

15、090)12(mnka a（2）)()(21*pspssKsHsG ReImsp1p23021ppa a00180,603)12(ka )()(1*pssKsHsG （1）20 )()()(321*pspspssKsHsG 4321pppa （3）ReImsp1p2p300135,454)12(Kaa4）)()()()(3212*pspspsszsKsHsG ReImsp1p2p3z4321zpppa a00135,4515)12(Ka21 )()()(3212*pspspssKsHsG 5）ReImsp1p2p35321pppa a000180,108,365)12(Ka思考：思考：渐近线与

16、复平面有什么关系？渐近线与复平面有什么关系？渐近线把复平面渐近线把复平面等分等分为为 n-m 份份。22解：解：m=0n=3:p1=0,p2=-1,p3=-2把开环零点和开环极点标在把开环零点和开环极点标在s s平面上，平面上，零点用零点用“o o”;极点用极点用“”。ReIm绘制实轴上的根轨迹：绘制实轴上的根轨迹：0-1-2-312-1-2求渐近线：求渐近线：显然，显然，n-m=300180,60 a 3210 1 a问题：根轨迹如何离开实轴趋向于渐近线？问题：根轨迹如何离开实轴趋向于渐近线？mnzpiia 例例4-4 已知某系统开环传递函数已知某系统开环传递函数:概略绘制概略绘制 K*从从

17、0变化时的根轨迹。变化时的根轨迹。)s)(s(sKGH*21 23即重根点即重根点两条或两条以上的根轨迹分支在两条或两条以上的根轨迹分支在 s 上相遇又立即分开的点上相遇又立即分开的点设分离点的坐标为设分离点的坐标为(d,0)，则：则：niimiipdzd1111l相遇的根轨迹分支数相遇的根轨迹分支数 lk 12 分离角分离角d=进入重根点的根轨迹在重根进入重根点的根轨迹在重根点处的切线与实轴正向夹角点处的切线与实轴正向夹角离开重根点的根轨迹在重根点处的切离开重根点的根轨迹在重根点处的切线与实轴正向夹角线与实轴正向夹角会合角会合角 d=lk 2 lk 12 会合角会合角 d=分离角分离角d=l

18、k 2或：或：法则法则5：分离点分离点(会合点会合点)及分离角、会合角及分离角、会合角24证明：由根轨迹方程，有证明：由根轨迹方程，有 0111*iniimipszsK闭环特征方程闭环特征方程 0)()(1*1 imiinizsKpssD分离点即有重根的点，分离点即有重根的点，0)(0)(sDsD即即 )()(*iiiizsdsdKpsdsdzsKps上两式相除上两式相除 iiiizszsdsdpspsdsd dszsddspsdii lnln iiiizszspsps lnlnlnln dszsddspsdii lnln niimiipdzd1111又又重根存在的条件重根存在的条件25例例4

19、-4 已知某系统开环传递函数为已知某系统开环传递函数为:)2)(1(*)()(sssKsHsG概略绘制概略绘制 K*从从0变化时的根轨迹。变化时的根轨迹。解：解：标开环零极点标开环零极点;绘制实轴上的根轨迹绘制实轴上的根轨迹;求渐近线求渐近线00180,60a1a 求重根点求重根点p1=0,p2=-1,p3=-2021111 ddd niimiipdzd111102632 dd （舍）（舍）58.142.0624366dReIm0-1-2-312-1-2-0.4226求分离点也可直接用求分离点也可直接用 来求来求 0*dsdsdK)23()2)(1(23*ssssssK 02632*dsdss

20、sdsdK02632 dd即：即：根轨迹与虚轴的交点？根轨迹与虚轴的交点？ReIm0-1-2-312-1-2-.-0.42.?.?27方法方法1 1 可按劳斯判据求得可按劳斯判据求得（0,j）方法方法2 2 可将可将s=j代入特征方程，代入特征方程，令令Im=0，Re=0，求得求得 K*及及c。接上例，接上例，方法方法1 1用劳斯判据用劳斯判据0)2)(1(*Ksss*0*2336321KsKsKss K*=6=6时，第一列为零时，第一列为零0632 s2js 023*23 Ksss法则法则6（根轨迹与虚轴的交点）（根轨迹与虚轴的交点）28方法方法2 2 令令s=j0)2)(1(*Kjjj 0

21、23*23 Kjj 02033*2 K2,0 6*K22ReIm0-1-2-312-1-2-.-0.42.29例例 4-5已知系统开环传递函数已知系统开环传递函数)2()4(*)()(sssKsHsG绘制根轨迹。绘制根轨迹。解：解：把开环零点和开环极点标在把开环零点和开环极点标在s s平面上，零点用平面上，零点用“o o”;极点用极点用“”。渐近线为负实轴渐近线为负实轴绘出实轴上的根轨迹：绘出实轴上的根轨迹：求重根点：求重根点：由由得得41211 ddd0882 dd8.6224;2.122421 dd在在d1处，会合角为处，会合角为00、1800，分离角为，分离角为900在在d2处，会合角为

22、处，会合角为900，分离角为，分离角为00、1800由于由于n m=1 o -2-4-6d1d2可以证明：其复数部分是以可以证明：其复数部分是以（-4,0）为圆心，以为圆心，以 为半径的一个圆为半径的一个圆。22解得解得 niimiipdzd111130ReIm-1-2-11 试绘制闭环系统的概略根轨迹。试绘制闭环系统的概略根轨迹。)5.15.0)(5.15.0)(5.2()2)(2)(5.1(*jsjsssjsjssKsHsG 例例4-6 已知某闭环系统的开环传函为已知某闭环系统的开环传函为1 1）实轴上的根轨迹）实轴上的根轨迹解：在解：在 s 上标出开环零、极点上标出开环零、极点3 3）出

23、射角、入射角出射角、入射角2 2）渐近线）渐近线 n-m=4-3=1 180031起始角起始角ip根轨迹离开开环复数极点的切线方向与实轴的正向夹角。根轨迹离开开环复数极点的切线方向与实轴的正向夹角。根轨迹进入开环复数零点的切线方向与实轴的正向夹角。根轨迹进入开环复数零点的切线方向与实轴的正向夹角。终止角终止角iz,.2,1,0)()()12()(11 kppzpknaiiiamjjapi ,.2,1,0)()()12(1)(1 kpzzzkniiamajjjazi (出射角出射角)(入射角入射角)证明：设开环有证明：设开环有m个有限零点和个有限零点和n个有限极点个有限极点幅角条件：幅角条件：)

24、12()12(11 kkniimii设设p1 1附近存在一点十分靠近附近存在一点十分靠近p1 1的点的点s1 1是根轨是根轨迹上的点，则点迹上的点，则点s1 1必满足幅角条件。必满足幅角条件。因为因为s1 1点无限靠近点无限靠近p1，所以除了所以除了p1 1点外，有：点外，有：p1ReIm法则法则7(根轨迹的起始角与终止角根轨迹的起始角与终止角)32 11ppjspj )12()12(114131211 kkppppppppz 42111112jpppzpjk 显然，显然，是对称的，是对称的，12pp 和和上式可推广至第上式可推广至第i个开环复数极点。个开环复数极点。同理可证明终止角的公式。同

25、理可证明终止角的公式。1z1pzjsj33)()(18032132101 p)9025.1905.15.0(5.15.25.15.015.1180000 arctgarctgarctgarctgarctg05.782 p 000000005.149)1211995.63153(901171801 z 05.1492 z)909.36904.18(594.184.5618000000000 05.78 )5.15.0)(5.15.0)(5.2()2)(2)(5.1(*jsjsssjsjssKsHsG1）实轴上的根轨迹实轴上的根轨迹解：在解：在 s s 上标出开环零、极点上标出开环零、极点3）出射

26、角、入射角出射角、入射角2）渐近线渐近线 n-m=4-3=1 18001.5-1.5-0.5-1.51-1-2-2.5ReIm接上例接上例344)4)与虚轴交点：无交点与虚轴交点：无交点5)5)会合点：无会合点会合点：无会合点1.5-1.5-0.5-1.51-1-2-2.5ReIm35 )ss)(s(sKsHsG*2232 例例4-7 设系统开环传递函数，试绘制概略根轨迹。设系统开环传递函数，试绘制概略根轨迹。解：在解：在 s 上标出开环零、极点上标出开环零、极点1 1）实轴上的根轨迹）实轴上的根轨迹:(0-3)2 2）渐近线）渐近线 n-m=4-0=4，45o，135o 渐进线与实轴交点渐进

27、线与实轴交点:j-1+j-1-j-325145.a a3 3）分离点：由闭环特征方程得：分离点：由闭环特征方程得：)ss)(s(sK*2232 061615423 )sss(dsdK*解得：解得：348607307028862.j.s.s（舍（舍）-2.3364 4）出射角出射角:)(p32101801 j-1+j-1-j-3a-2.3123)tg(oo902113518010 o.671 5 5）与虚轴交点与虚轴交点:闭环特征方程闭环特征方程0685234 *Kssss*KsKsKssKs0123434252045346581 03425204 *K168.K*01685342 .s11.j

28、s 问题：分离点处的问题：分离点处的K*?利用幅值条件：利用幅值条件：imiini*zspsK 11 37解：解：42;42;4;0:4;04321jpjpppnm绘出实轴上的根轨迹并标出方向绘出实轴上的根轨迹并标出方向00135,45 a 4424320jja 2 求渐近线：求渐近线：求重根点：求重根点：可解出可解出 62,23,21jdd d1是重根点，用相角条件验证是重根点，用相角条件验证d 2，3d2d3d100001809090180 izs mi1 nj1jps izs 12pd 22pd 32pd 42pd +=d2 是重根点；由对称性知是重根点；由对称性知 d3也是重根点。也是

29、重根点。同理，由同理，由 至至 直线上任意一点都是根轨迹上的点。直线上任意一点都是根轨迹上的点。1p2p3p4p例例4-8 已知系统开环传递函数：已知系统开环传递函数：)ss)(s(s*K20442 试绘制根轨迹。试绘制根轨迹。j4p3p38d2d3d11p2p3p4pp3=018013pp 43pp 23pp 0180 090 0180 090 由对称性，知由对称性，知p4=+90+900 0求根轨迹与虚轴交点可得：求根轨迹与虚轴交点可得：当当K*=260时，时，10 1010求起始角求起始角(出射角出射角)：对：对P P3 3考虑到由考虑到由P P3 3至至P P4 4 直线上任一点都是根

30、轨迹上的点。直线上任一点都是根轨迹上的点。绘出这段根轨迹，并标上方向：绘出这段根轨迹，并标上方向：绘出完整的根轨迹。绘出完整的根轨迹。确定重根点处的确定重根点处的K*：ini*psK 1 16441111 inid*psK 8165515517732.K,d*391)实数开环零、极点不必计算终止角、起始角；实数开环零、极点不必计算终止角、起始角；2)上述起始角、终止角计算公式是在上述起始角、终止角计算公式是在pa或或za为单开环极点为单开环极点 或零点的情况下推出的，若或零点的情况下推出的，若pa或或za是重开环极点或零点，是重开环极点或零点，则公式的左边应作相应的变化。则公式的左边应作相应的

31、变化。3)复数开环极点为重极点，此时，起始角的计算应从相角条复数开环极点为重极点，此时，起始角的计算应从相角条件出发：件出发：,.2,1,0)()()12(2)(11 kppzpknijjjimjjipi 关于起始角和终止角的关于起始角和终止角的两点说明两点说明：40设反馈系统特征方程：设反馈系统特征方程：对于稳定的反馈系统，上式中的第二式可写成对于稳定的反馈系统，上式中的第二式可写成规则规则8：根之和与积根之和与积11100nnnsasa sa的根为：的根为：s1，s2，sn，则由，则由111012()()()0nnnnsasa sassssss根据代数方程根与系数的关系，可写出根据代数方程

32、根与系数的关系，可写出1101()nininiisasa 01niisa思考：开环极点与思考：开环极点与闭环极点的关系？闭环极点的关系？41011111）（）（asasaszsKpsnnnnjmiij当当n-mn-m2 2时，特征方程第二项系数与时，特征方程第二项系数与K K 无关，开环无关，开环n n个极点之和总是等于闭环特征方程个极点之和总是等于闭环特征方程n n个根之和个根之和niiniips11说明：说明：当开环增益当开环增益K K 增大时，若闭环某些根在增大时，若闭环某些根在S S平面平面向左移动，则另一部分根向右移动。该法则对判断根向左移动，则另一部分根向右移动。该法则对判断根轨迹

33、的走向是很有用的轨迹的走向是很有用的。423 3）在）在 s 上标出开环零极点；上标出开环零极点；4 4）绘制实轴上的根轨迹，并标出方向；）绘制实轴上的根轨迹，并标出方向；5 5）n m 时，计算渐近线（与实轴的正向夹角及交点坐标）；时，计算渐近线（与实轴的正向夹角及交点坐标）；6 6）计算会合点或分离点（即重根点）；（注意验证）计算会合点或分离点（即重根点）；（注意验证）7 7）有复数开环零极点时，计算入射角或出射角；）有复数开环零极点时，计算入射角或出射角；8 8）当根轨迹与虚轴有交点时，求出交点坐标和相应的增益值。）当根轨迹与虚轴有交点时，求出交点坐标和相应的增益值。9 9）绘出概略根轨

34、迹图。）绘出概略根轨迹图。当当 nm 2时，若有一些根轨迹分支向时，若有一些根轨迹分支向左，则必有另一些根轨迹分支向右。左，则必有另一些根轨迹分支向右。10)计算关键点的计算关键点的K*值。值。1)1)列写列写 0)()(1 sHsG2)2)写成写成 0()(111*）iniimipszsK绘制根轨迹的步骤：绘制根轨迹的步骤：43例例4-9 已知某负反馈系统的开环传递函数为已知某负反馈系统的开环传递函数为：)()1(*)()(2psssKsHsG K*从从0变化时的根轨迹。变化时的根轨迹。分别绘制当分别绘制当5,9,10 ppp时时,解：解：1:11 zm ReIm10p-1-10 ReIm9

35、p-1-9 ReIm5p-1-5求渐近线：求渐近线：绘出实轴上的根轨迹：绘出实轴上的根轨迹：090 a a 时时；当当105.4 p时时当当94 p时；时；当当52 pppppn 321;0;0:344 ReIm10p-1-10 ReIm9p-1-9求分离点：由闭环特征方程得求分离点：由闭环特征方程得0)2)3(2(2 pdpdd)1()(2*spssK重根点满足重根点满足0*dsdsdK整理得整理得解得解得 时；时；当当时；时；当当时；时；当当51293,3104,5.2pjppd（舍去（舍去)思考：图思考：图2 2中，根轨迹离开实轴的角度？中，根轨迹离开实轴的角度？ReIm5p-1-545

36、2How?G(s)H(s)R(s)C(s)+以正反馈为例以正反馈为例 依据：依据：01 )s(H)s(G1What?正反馈系统及部分非最小相位系统的根轨迹。正反馈系统及部分非最小相位系统的根轨迹。零度根轨迹的来源：零度根轨迹的来源：1）非最小相位系统中包含了）非最小相位系统中包含了s最高次幂的系数为负的因子最高次幂的系数为负的因子2）控制系统中有正反馈内回路。）控制系统中有正反馈内回路。111 ）iniimi*ps()zs(K imiini*iniimi*zspsKpszsK 11111 即模值条件与常规根轨迹相同即模值条件与常规根轨迹相同绘制规则不变绘制规则不变幅角条件改变幅角条件改变绘制规

37、则相应改变绘制规则相应改变 kpszsii2 零度根轨迹零度根轨迹46 规则规则3 实轴上的根轨迹实轴上的根轨迹规则规则1 起止点起止点规则规则2 分支数、连续性及对称性分支数、连续性及对称性规则规则4 渐近线：渐近线：mnzpmiiniia 11 规则规则5 分离点、分离角分离点、分离角规则规则6 与虚轴交点与虚轴交点不变不变 不变不变)mn,k(mnka12102 不变不变某区域前有某区域前有偶数个开环偶数个开环零、极点，则是根轨迹的一部。零、极点，则是根轨迹的一部。3.零度根轨迹绘制规则零度根轨迹绘制规则 不变不变47规则规则7 起始角起始角 终止角终止角 规则规则8 根之和根之和 mi

38、iniisp11不变不变实轴上的根轨迹实轴上的根轨迹渐近线实轴的夹角渐近线实轴的夹角出射角和入射角出射角和入射角,.,k)pp()zp()k(n)ai(iiamjjapi210211 ,.,k)pz()zz()k(njjam)aj(jiazi210211 48参量根轨迹参量根轨迹非非K*为可变量参数时的根轨迹。为可变量参数时的根轨迹。绘制方法：绘制方法：解：系统闭环特征方程为：解：系统闭环特征方程为：例例4-11已知某系统的结构图，概略绘制已知某系统的结构图，概略绘制 Td 从从0变化时的根轨迹。变化时的根轨迹。等效变换，绘制方法与常规根轨迹同等效变换，绘制方法与常规根轨迹同0)15()1(5

39、1 sssTd5(1+Tds)1s(5s+1)_RC05552 sTssd055512 sssTd等效开环传递函数：等效开环传递函数：12.02 sssTGHdTd4-3 参量（参数）根轨迹参量（参数）根轨迹49显然有显然有 995.01.0,20,12,11jpnzm绘制参数根轨迹的关键：绘制参数根轨迹的关键：0)()(1 sQsAP其中：其中：A为参变量或参变量的倍数；为参变量或参变量的倍数；)()(sQsP和和s 的多项式，且的多项式，且s 的最高次幂系数是的最高次幂系数是1；等效的开环传递函数等效的开环传递函数 即以参数即以参数A为变量的根轨迹方程为变量的根轨迹方程ReIm1d12.0

40、2 sssTGHdTd)995.01.0)(995.01.0(jsjssTd 列写等效开环传递函数列写等效开环传递函数502、实际控制系统，其开环传递函数满足、实际控制系统，其开环传递函数满足 mn，但绘制参量根轨迹，在等效开环传递函数中可能出现但绘制参量根轨迹，在等效开环传递函数中可能出现 mn 的情况，的情况，处理方法处理方法有两种：有两种：1）按原规则绘图，注意此时）按原规则绘图，注意此时s是开环极点以外的起点，方向仍是开环极点以外的起点，方向仍然是由渐近线决定。然是由渐近线决定。2）定义新开环传递函数）定义新开环传递函数)()(1)(sAPsQsGx 等效开环传递函数等效开环传递函数对

41、对)(sGx按规则绘制根轨迹即可。按规则绘制根轨迹即可。对于对于)(sGx来说，来说，满足满足 mn，需要需要注意注意的是：的是：按按)(sGx绘制的根轨迹的绘制的根轨迹的方向应该倒过来方向应该倒过来标才对。标才对。1、通常称、通常称 K*从从0变化的根轨迹为常规根轨迹或变化的根轨迹为常规根轨迹或1800根轨迹。根轨迹。除此以外的根轨迹统称为除此以外的根轨迹统称为广义根轨迹广义根轨迹（参量根轨迹、（参量根轨迹、00根轨迹等）。根轨迹等）。几点说明：几点说明：51)1(TssKR(s)C(s)解：系统特征方程为解：系统特征方程为0)1(1 TssK02 KsTs012 KsTs绘制概略根轨迹绘制

42、概略根轨迹或或2)(TsKssGx 令令同样可绘出其根轨迹图。同样可绘出其根轨迹图。-K例例4-12 系统如图，其中系统如图，其中K 0的常数，概略绘制的常数，概略绘制 T：0 的根轨迹。的根轨迹。5220（s+1）(s+4)_RC1sa_ 求以求以a为参数的等效开环传递函数，并绘制概略根轨迹。为参数的等效开环传递函数，并绘制概略根轨迹。解：闭环特征方程解：闭环特征方程020)4)(1(2011 asss020)4)(1(201 sssas02020)4)(1(assss例例4-13 系统如图系统如图53等效开环传递函数为：等效开环传递函数为：20)4)(1(20 sssasGHa)2)(2)

43、(5(20jsjssas 渐近线：渐近线：5.225 a 出射角：出射角：000018.155905290180 arctg 4.0 08.734.0arccos )2)(2)(5(*jsjsssa 090 a j2-5-50-j2j54z1=-3 3 无零点（无零点（z z1 1=-=-）32 a 5.0232 a 00180,60 a 090 a z1=-2 0222 a 090 a z1=0零点的位置零点的位置z10。试分析时间常数试分析时间常数aT对系统性能的影响。对系统性能的影响。解：闭环特征方程为：解：闭环特征方程为：整理，得等效开环传递函数：整理，得等效开环传递函数：KssssT

44、sGa )1()1()(21Kp 25.05.02,1 ,2,3nm1;0321 zzz1 1）K 0.25时，开环极点为一对共轭复根；时，开环极点为一对共轭复根；取不同的取不同的K K值，得到以值，得到以T Ta a为参数的根轨迹簇。为参数的根轨迹簇。0)1)(1(KsTssa2 2）K 0.25，开环极点为两个实根；，开环极点为两个实根；图为图为K=0.098时，以时，以Ta为参数的根轨迹图。为参数的根轨迹图。-1-0.5 K=2 K=1 K=0.5-0.89-0.112根轨迹簇根轨迹簇j例例4-16 621)稳定性：稳定性：2）运动形式：）运动形式：闭环极点均为实数极点，则时间响应一定是

45、单调的；闭环极点均为实数极点，则时间响应一定是单调的；若闭环极点均为复数极点，则时间响应一般是振荡的。若闭环极点均为复数极点，则时间响应一般是振荡的。稳定性完全取决于系统的闭环极点，而与闭环零点无关。稳定性完全取决于系统的闭环极点，而与闭环零点无关。3）超调量：）超调量：超调量主要取决于闭环复数主导极点的衰减率：超调量主要取决于闭环复数主导极点的衰减率：211 d并与其它闭环零、极点接近坐标原点的程度有关。并与其它闭环零、极点接近坐标原点的程度有关。4）调节时间：）调节时间：调节时间主要取决于最靠近虚轴的闭环极点到虚轴的距离。调节时间主要取决于最靠近虚轴的闭环极点到虚轴的距离。5）实数零、极点

46、影响：）实数零、极点影响：闭环零点减小系统阻尼，峰值时间闭环零点减小系统阻尼，峰值时间，超调量，超调量；闭；闭环极点增大系统阻尼，峰值时间环极点增大系统阻尼，峰值时间，超调量，超调量。7）主导极点。）主导极点。6）偶极子：）偶极子：十分靠近的一对闭环零、极点称为十分靠近的一对闭环零、极点称为“偶极子偶极子”。远离原点的偶极子的影响可略，靠近原点的偶极子的影响必须考虑。远离原点的偶极子的影响可略，靠近原点的偶极子的影响必须考虑。4-4-4 4-3-3 闭环零、极点位置对系统性能的影响闭环零、极点位置对系统性能的影响63根轨迹补充内容根轨迹补充内容用余数定理求分离点或会合点的具体步骤如下：用余数定

47、理求分离点或会合点的具体步骤如下：（1）从闭环特征方程中求出）从闭环特征方程中求出dKg/ds;（2）设）设P(s)为为dKg/ds的分子多项式；的分子多项式；（3）分析根轨迹，估计在其分离点（或会合点）可能出现的实轴）分析根轨迹，估计在其分离点（或会合点）可能出现的实轴坐标附近找一个试探点坐标附近找一个试探点s1；（4）用（）用（s s1）去除）去除P(s)，得出商多项式，得出商多项式Q(s)及余数，该余数定及余数，该余数定义为义为R1；（5）再用（）再用（s s1）去除商多项式）去除商多项式Q(s)，得第二个余数，定义为，得第二个余数，定义为R2；（6）按）按s2 s1-R1/R2 之关系

48、计算出之关系计算出s2，s2 之值明显比原来估之值明显比原来估计的计的s1值准确得多地靠近真正的分离点；值准确得多地靠近真正的分离点；（7）将计算得出得）将计算得出得S2作为新的试探点，重复步骤（作为新的试探点，重复步骤（4）（）（6），），又可以找到比又可以找到比s2更为精确的更为精确的s3 s2 R1/R2。从绘制根轨迹的角度出发，只要做一次试探求出从绘制根轨迹的角度出发，只要做一次试探求出s2就已经充分满就已经充分满足要求了。足要求了。补充内容补充内容1 1：牛顿余数定理的用法：牛顿余数定理的用法 牛顿余数定理可用于求解高阶系统的分离点与会合点牛顿余数定理可用于求解高阶系统的分离点与会合

49、点64根轨迹补充内容根轨迹补充内容补充内容补充内容1 1：牛顿余数定理的用法：牛顿余数定理的用法 v例 已知系统的开环传递函数如下，试求根轨迹分离点。解：解：系统的闭环特征方程为解出Kg得因而取其分子多项式，记为P(s)，即65根轨迹补充内容根轨迹补充内容补充内容补充内容1 1：牛顿余数定理的用法：牛顿余数定理的用法 实轴根轨迹区间为(-,-10和，故间必有会合点。如果用重根法或极值法求取，最终得到方程 该方程高达四阶，难于求解。若采用牛顿法，初选s1=-3，s-s1=s+3。用(s+3)去除P(s)、Q(s),计算如下：故有66根轨迹补充内容根轨迹补充内容补充内容补充内容2 2：仅具有两个开

50、环极点和一个开环零点的系统根轨迹：仅具有两个开环极点和一个开环零点的系统根轨迹在研究控制系统时，常常会碰到一种情况，就是系统仅具有两个开环在研究控制系统时，常常会碰到一种情况，就是系统仅具有两个开环极点和一个开环零点。这时的根轨迹有可能是直线，亦有可能是圆弧。极点和一个开环零点。这时的根轨迹有可能是直线，亦有可能是圆弧。可以证明，若根轨迹一旦离开实轴，必然是沿着圆弧移动，现证明如可以证明，若根轨迹一旦离开实轴，必然是沿着圆弧移动，现证明如下：下：设系统开环传递函数为设系统开环传递函数为零、极点的分布如右图所示。零、极点的分布如右图所示。取一试探点取一试探点s，若，若s点在根轨迹上，则应满足相角