单调性与最大(小)值课件.ppt

1、 课题导入课题导入 函数是描述事物运动变化规律的数学模型，了函数是描述事物运动变化规律的数学模型，了解函数的变化规律势在必得。观察下面函数的图象，解函数的变化规律势在必得。观察下面函数的图象，能说出它们的变化规律吗？能说出它们的变化规律吗？xy02-22-2xy022-2-2保持量（百分数）保持量（百分数）天数天数1 2 3 4 5 6020406080100 某市一天的温度变化图某市一天的温度变化图:yf(x)，x0，24说出气温在哪些时间段内是逐渐升高或下降的说出气温在哪些时间段内是逐渐升高或下降的?问题问题1画出画出f(x)=x的图像，并观察其图像。的图像，并观察其图像。2、在区间、在区

2、间 _上，随着上，随着x的增大，的增大，f(x)的值的值随着随着 _.o5-5-55f(x)=x1、从左至右图象上升还是下降、从左至右图象上升还是下降 _?上升上升(-,)增大增大1、在区间、在区间 _ 上，上，f(x)的值随着的值随着x的增大而的增大而 _.问题问题2画出画出 的图像，并观察图像的图像，并观察图像.2f(x)=xo5-5-552、在区间在区间 _ 上，上，f(x)的值随着的值随着x的增大而的增大而 _.(-,0(0,+减小减小2f(x)=x增大增大)对于二次函数对于二次函数 ，我们可以这样描述，我们可以这样描述“在区间在区间 上，随上，随x的增大，相应的的增大，相应的f(x)

3、也随也随着增大着增大”.2f(x)=x(0,+)在区间在区间 上，任取两个上，任取两个 ，得到，得到(0,+)12x,x221122f(x)=x,f(x)=x，当，当12x x时，有时，有12f(x)f(x)这时，我们就说函数这时，我们就说函数 在区间在区间 上是这上是这增增函数函数.2f(x)=x(0,+)xy21013 （1）对于函数）对于函数y=f(x)，若在区间，若在区间 当当x1时时,y1;当当 x2时时,y3,能说在区间能说在区间 I 上函数值上函数值 y 随自变量随自变量 x的增大而增大吗的增大而增大吗?对于函数对于函数y=f(x)，若在区间，若在区间 当当x1,2,3,4,时时

4、,相应地相应地 y1,3,4,5，能说在区间，能说在区间 函函数值数值y 随自变量随自变量x 的增大而增大吗？的增大而增大吗？xy103421234x xy yx10 x2x3xny1y2y3ynx应该取区间应该取区间 内所有实数内所有实数 y=f(x)若若x取无数取无数个呢个呢?能否仿照前面的描述，说明函数能否仿照前面的描述，说明函数 在在区间区间(-,0(-,0上是减函数吗？上是减函数吗？2f(x)=x 在区间在区间(-,0 上，任取两个上，任取两个 ，得到，得到12x,x221122f(x)=x,f(x)=x，当，当12x f(x)这时，我们就说函数这时，我们就说函数 在区间在区间 上是

5、上是减函数减函数.2f(x)=x(0,+)函数单调性的概念：函数单调性的概念：一般地，设函数一般地，设函数y=f(x)的定义域为的定义域为I，如果对，如果对于定义域于定义域I内的某个区间内的某个区间D内的任意两个自变量内的任意两个自变量x1，x2，当，当x1x2时，时，都有都有f(x1)f(x2)，那么就说，那么就说f(x)在在区间区间D上是上是增函数增函数,如图如图1.1 1增函数增函数yx0 x1x2f(x1)f(x2)y=f(x)图图1 一般地，设函数一般地，设函数y=f(x)的定义域为的定义域为I，如果对于，如果对于定义域定义域I内的某个区间内的某个区间D内的任意两个自变量内的任意两个

6、自变量x1，x2，当当x1f(x2)，那么就说，那么就说f(x)在区间在区间D上是上是减函数减函数,如图如图2.yx0 x1x2f(x1)f(x2)y=f(x)图图22 2减函数减函数 1、函数的单调性是在定义域内的某个区间上的、函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的性质，是函数的局部性质局部性质.2、必须是对于区间、必须是对于区间D内的内的任意任意两个自变量两个自变量x1，x2；当；当x1x2时，时，总有总有f(x1)f(x2)分别是分别是增函数和减函数增函数和减函数.在某区间上，在某区间上，减函数减函数图象下降。图象下降。增函数增函数图象上升图象上升xyoxyo 如果函数如果

7、函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）在这一区间具有（严格的）单调性单调性，区间，区间D叫做叫做y=f(x)的的单调区间单调区间.函数的单调性定义函数的单调性定义例例1 下图是定义在区间下图是定义在区间-4,5上的函数上的函数y=f(x)，根，根据图像说出函数的单调区间，以及在每一单调区据图像说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？间上，它是增函数还是减函数？1 2 345-1-2-3-4-2-323o解：函数解：函数y=f(x)的单调区间有的单调区间有-4，-2)，-

8、2，-1)，-1，1)，1，3)，3，5,其中其中y=f(x)在区间在区间-4，-2)，-1，1)，3，5上是增函数，在区间上是增函数，在区间-2，-1)，1，3)上是减函数上是减函数.例例2 物理学中的玻意耳定律物理学中的玻意耳定律 告告诉我们，对于一定量的气体，当其体积诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减小时，减小时，压强压强p将增大将增大,试用函数单调性证明之试用函数单调性证明之.kp=(k)V为为正正常常数数分析：按题意就是证明函数分析：按题意就是证明函数 在区间在区间 上是减函数上是减函数.kp=v(0,+)证明：根据单调性的定义，设证明：根据单调性的定义，设V1，V2是定义域是定

9、义域(0，+)上的任意两个实数，且上的任意两个实数，且V1V2，则，则21121212V-Vkkp(V)-p(V)=-=kVVV V由由V1，V2(0，+)且且V10,V2-V1 0又又k0,于是于是12p(V)-p(V)021 p(V)p(V)即即所以，函数所以，函数 是减函数是减函数.也就也就是说，当体积是说，当体积V减少时，压强减少时，压强p将增大将增大.kp=,V(0,+)V取值取值定号定号作差变形作差变形结论结论用定义证明函数单调性的步骤是：用定义证明函数单调性的步骤是：（1）取值）取值（2）作差变形）作差变形（3）定号）定号（4）判断）判断根据单调性的定义得结论根据单调性的定义得结

10、论 即取即取 是该区间内的任意两个值且是该区间内的任意两个值且12x,x12x x 即求即求 ，通过因式分解、配方、有，通过因式分解、配方、有理化等方法理化等方法12f(x)-f(x)即根据给定的区间和即根据给定的区间和 的符号的确定的符号的确定 的符号的符号21x-x12f(x)-f(x)例例 求证：函数求证：函数 在区间在区间 上是单上是单调增函数调增函数1f(x)=-1x0+，则，则证明：在区间（证明：在区间（0，+）上任取两个值）上任取两个值 且且 12x,x12x x12121212x-x11f(x)-f(x)=-+=xxx x又因为又因为 ，所以说，所以说12x-x 012f(x)

11、-f(x)0,又由又由x10所以所以f(x1)-f(x2)0,即即f(x1)f(x2).0,+证明：证明：（1）在在区间区间(0，+)上，设上，设x1,x2是是(0，+)上上任意两个实数，且任意两个实数，且x1x2，则，则（2）在区间（）在区间（-，0）上，同理可得到函数）上，同理可得到函数f(x)=1/x 在在（-，0）上是减）上是减函数。函数。综上所述，函数综上所述，函数f(x)=1/x 在在定义域上是减函数定义域上是减函数.下列两个函数的图象：下列两个函数的图象：图图1ox0 xMyyxox0图图2M观观 察察 观察这两个函数图象，图中有个最高点，那观察这两个函数图象，图中有个最高点，那

12、么这个最高点的纵坐标叫什么呢？么这个最高点的纵坐标叫什么呢？设函数设函数y=f(x)图象上最高点的纵坐标为图象上最高点的纵坐标为M，则对函数定义域内任意自变量则对函数定义域内任意自变量x，f(x)与与M的大小的大小关系如何？关系如何？f(x)M 2f x=-x+1 xR数数例例如如函函(0)=1O122、存在、存在0，使得，使得(0)=1.1、对任意的、对任意的 都有都有(x)1.xR1是此函数的最大值是此函数的最大值M是函数是函数y=f(x)的最大值（的最大值（maximum value）：）：0 xI 一般地，设函数一般地，设函数y=f(x)的定义域为的定义域为I，如果存在，如果存在实数实

13、数M满足：满足：（1）对于任意的）对于任意的x I，都有，都有f(x)M;（2）存在）存在 ，使得，使得 .0f(x)=M 一般地，设函数一般地，设函数y=f(x)的定义域为的定义域为I，如果实，如果实数数M满足：满足：（1）对于任意的的）对于任意的的xI，都有，都有f(x)M;（2）存在）存在 ，使得，使得 ，那么我们称那么我们称M是函数是函数y=f(x)的最小值（的最小值（minimun value）.0 xI0f(x)=M 能否仿照函数的最大值的定义，给出函数能否仿照函数的最大值的定义，给出函数y=f(x)的最小值的定义呢？的最小值的定义呢？函数的最大值是函数值域中的一个元素吗？函数的最

14、大值是函数值域中的一个元素吗？是是 如果在函数如果在函数f(x)定义域内存在定义域内存在x1和和 x2，使对，使对定义域内任意定义域内任意x都有都有 成立，由成立，由此你能得到什么结论？如果函数此你能得到什么结论？如果函数f(x)的最大值是的最大值是b，最小值是最小值是a，那么函数，那么函数f(x)的值域是的值域是a，b吗？吗？12f(x)f(x)f(x)函数函数f(x)在定义域中既有最大值又有最小值在定义域中既有最大值又有最小值.是是探究探究:函数单调性与函数的最值的关系函数单调性与函数的最值的关系（1）若函数）若函数y=f(x)在区间在区间m，n(mn)上单调递增，上单调递增，则函数则函数

15、y=f(x)的最值是什么？的最值是什么？mnf(m)Oxyf(n)当当x=m时，时，f(x)有最有最小值小值f(m)，当，当x=n时时,f(x)有最大值有最大值f(n).(2)若函数若函数y=f(x)在区间在区间m，n上单调递减，则函数上单调递减，则函数y=f(x)的最值是什么？的最值是什么？mnf(m)Oxyf(n)当当x=m时，时，f(x)有最有最大值大值f(m)，当，当x=n时，时，f(x)有最小值有最小值f(n).(3)若函数若函数 则函则函数数y=f(x)在区间在区间m,n上的最值是什么？上的最值是什么？2f(x)=a(x-l)+h(a 0,m l n)mnf(m)Oxyf(n)lf

16、(l)最大值最大值f(l)=h，最小值是，最小值是f(m),f(n)中较小者中较小者.24 .hth t=-4.9t+14.7t+18,?1?例例菊菊花花 烟烟花花是是最最壮壮观观的的烟烟花花之之一一 制制造造时时一一般般是是期期望望在在它它达达到到最最高高点点时时爆爆裂裂 如如果果烟烟花花距距地地面面的的高高度度米米与与时时间间 秒秒之之间间的的关关系系为为:那那么么烟烟花花冲冲出出后后什什么么时时候候是是它它爆爆裂裂的的最最佳佳时时刻刻 这这时时距距地地面面的的高高度度是是多多少少精精确确到到 米米解：做出函数解：做出函数 的图像。显然，的图像。显然，函数图像的顶点就是烟花上升的最高点，顶

17、点的横函数图像的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距地面的高度地面的高度.2h(t)=-4.9t+14.7t+18oth43215101520由二次函数的知识，对于函数由二次函数的知识，对于函数2h(t)=-4.9t+14.7t+18，我们有，我们有当当 时，函时，函数有最大值数有最大值14.7t=-=1.52(-4.9)24(-4.9)18-14.7h=294(-4.9)所以，烟花冲出所以，烟花冲出1.5s是它爆裂的最佳时刻，此是它爆裂的最佳时刻，此时距离地面的高度约为时距离地面的高度约为29m.例例5 已

18、知函数已知函数 ，求函数的最大，求函数的最大值与最小值与最小.1f(x)=(x3,5)x-2 分析：由函数的图象可知道，此函数在分析：由函数的图象可知道，此函数在3，5上上递减。所以在区间递减。所以在区间3，5的两个端点上分别取得最大的两个端点上分别取得最大值与最小值值与最小值.解：设解：设 是区间是区间3，5上的任意两个实数，上的任意两个实数，且且 ，则，则12x,x12x 0,(x-2)(x-2)0,于是于是12f(x)-f(x)0即即12f(x)f(x)所以，此函数在区间所以，此函数在区间3,5上是减函数。故在两个上是减函数。故在两个端点上分别取得最大值与最小值即在端点上分别取得最大值与

19、最小值即在x=3时取得时取得最大值是最大值是1，在，在x=5时取得最小值为时取得最小值为0.5.课堂小结课堂小结 2、函数单调性的定义；、函数单调性的定义；3、证明函数单调性的步骤；、证明函数单调性的步骤；1、单调函数的图象特征；、单调函数的图象特征；4、函数的最值：、函数的最值：最大值最大值最小值最小值12.y=x2,5x函函数数的的最最大大值值为为最最小小值值为为 3.f(x)-,2,2,+f x已已知知函函数数在在 上上单单调调递递增增 在在 上上单单调调递递减减则则有有值值为为最大最大f(2)0.50.224.y=x+4x+2-3,5函函数数在在区区间间上上的的最最小小值值为为-25.

20、设设b1为常数，如果当为常数，如果当x1,b时，函数时，函数 的值域也是的值域也是1,b,求求b的值的值.213f(x)=x-x+22xy011解：因为解：因为22131f(x)=x-x+=(x-1)+1222所以所以f(x)在在x=1时取得最小值为时取得最小值为1，又因为，又因为x1,b，由由f(x)的图像可知道在区间的图像可知道在区间1,b上是递增的，所以上是递增的，所以213f(b)=b-b+=b22得得b=3或或b=-1，因为，因为b1，所以说所以说b=3.爱是什么？一个精灵坐在碧绿的枝叶间沉思。风儿若有若无。一只鸟儿飞过来，停在枝上，望着远处将要成熟的稻田。精灵取出一束黄澄澄的稻谷问

21、道：“你爱这稻谷吗？”“爱。”“为什么？”“它驱赶我的饥饿。”鸟儿啄完稻谷，轻轻梳理着光润的羽毛。“现在你爱这稻谷吗？”精灵又取出一束黄澄澄的稻谷。鸟儿抬头望着远处的一湾泉水回答：“现在我爱那一湾泉水，我有点渴了。”精灵摘下一片树叶，里面盛了一汪泉水。鸟儿喝完泉水，准备振翅飞去。“请再回答我一个问题，”精灵伸出指尖，鸟儿停在上面。“你要去做什么更重要的事吗？我这里又稻谷也有泉水。”“我要去那片开着风信子的山谷，去看那朵风信子。”“为什么？它能驱赶你的饥饿？”“不能。”“它能滋润你的干渴？”“不能。”爱是什么？一个精灵坐在碧绿的枝叶间沉思。风儿若有若无。一只鸟儿飞过来，停在枝上，望着远处将要成熟

22、的稻田。精灵取出一束黄澄澄的稻谷问道：“你爱这稻谷吗？”“爱。”“为什么？”“它驱赶我的饥饿。”鸟儿啄完稻谷，轻轻梳理着光润的羽毛。“现在你爱这稻谷吗？”精灵又取出一束黄澄澄的稻谷。鸟儿抬头望着远处的一湾泉水回答：“现在我爱那一湾泉水，我有点渴了。”精灵摘下一片树叶，里面盛了一汪泉水。鸟儿喝完泉水，准备振翅飞去。“请再回答我一个问题，”精灵伸出指尖，鸟儿停在上面。“你要去做什么更重要的事吗？我这里又稻谷也有泉水。”“我要去那片开着风信子的山谷，去看那朵风信子。”“为什么？它能驱赶你的饥饿？”“不能。”“它能滋润你的干渴？”“不能。”其实，世上最温暖的语言，其实，世上最温暖的语言，“不是我爱你，

23、而是在一起。不是我爱你，而是在一起。”所以懂得才是最美的相遇！只有彼此以诚相待，彼此尊重，所以懂得才是最美的相遇！只有彼此以诚相待，彼此尊重，相互包容，相互懂得，才能走的更远。相互包容，相互懂得，才能走的更远。相遇是缘，相守是爱。缘是多么的妙不可言，而懂得又是多么的难能可贵。否则就会错过一时，错过一世！相遇是缘，相守是爱。缘是多么的妙不可言，而懂得又是多么的难能可贵。否则就会错过一时，错过一世！择一人深爱，陪一人到老。一路相扶相持，一路心手相牵，一路笑对风雨。在平凡的世界，不求爱的轰轰烈烈；不求誓择一人深爱，陪一人到老。一路相扶相持，一路心手相牵，一路笑对风雨。在平凡的世界，不求爱的轰轰烈烈；

24、不求誓言多么美丽；唯愿简单的相处，真心地付出，平淡地相守，才不负最美的人生；不负善良的自己。言多么美丽；唯愿简单的相处，真心地付出，平淡地相守，才不负最美的人生；不负善良的自己。人海茫茫，不求人人都能刻骨铭心，但求对人对己问心无愧，无怨无悔足矣。大千世界，与万千人中遇见，只是相识的人海茫茫，不求人人都能刻骨铭心，但求对人对己问心无愧，无怨无悔足矣。大千世界，与万千人中遇见，只是相识的开始，只有彼此真心付出，以心交心，以情换情，相知相惜，才能相伴美好的一生，一路同行。开始，只有彼此真心付出，以心交心，以情换情，相知相惜，才能相伴美好的一生，一路同行。然而，生活不仅是诗和远方，更要面对现实。如果曾

25、经的拥有，不能天长地久，那么就要学会华丽地转身，学会忘记。然而，生活不仅是诗和远方，更要面对现实。如果曾经的拥有，不能天长地久，那么就要学会华丽地转身，学会忘记。忘记该忘记的人，忘记该忘记的事儿，忘记苦乐年华的悲喜交集。忘记该忘记的人，忘记该忘记的事儿，忘记苦乐年华的悲喜交集。人有悲欢离合，月有阴晴圆缺。对于离开的人，不必折磨自己脆弱的生命，虚度了美好的朝夕；不必让心灵痛苦不堪，人有悲欢离合，月有阴晴圆缺。对于离开的人，不必折磨自己脆弱的生命，虚度了美好的朝夕；不必让心灵痛苦不堪，弄丢了快乐的自己。擦汗眼泪，告诉自己，日子还得继续，谁都不是谁的唯一，相信最美的风景一直在路上。弄丢了快乐的自己。

26、擦汗眼泪，告诉自己，日子还得继续，谁都不是谁的唯一，相信最美的风景一直在路上。人生，就是一场修行。你路过我，我忘记你；你有情，他无意。谁都希望在正确的时间遇见对的人，然而事与愿违时，人生，就是一场修行。你路过我，我忘记你；你有情，他无意。谁都希望在正确的时间遇见对的人，然而事与愿违时，你越渴望的东西，也许越是无情无义地弃你而去。所以美好的愿望，就会像肥皂泡一样破灭，只能在错误的时间遇到错的人。你越渴望的东西，也许越是无情无义地弃你而去。所以美好的愿望，就会像肥皂泡一样破灭，只能在错误的时间遇到错的人。岁月匆匆像一阵风，有多少故事留下感动。愿曾经的相遇，无论是锦上添花，还是追悔莫及；无论是青涩年

27、华的懵懂赏岁月匆匆像一阵风，有多少故事留下感动。愿曾经的相遇，无论是锦上添花，还是追悔莫及；无论是青涩年华的懵懂赏识，还是成长岁月无法躲避的经历识，还是成长岁月无法躲避的经历愿曾经的过往，依然如花芬芳四溢，永远无悔岁月赐予的美好相遇。愿曾经的过往，依然如花芬芳四溢，永远无悔岁月赐予的美好相遇。其实，人生之路的每一段相遇，都是一笔财富，尤其亲情、友情和爱情。在漫长的旅途上，他们都会丰富你的生命，使其实，人生之路的每一段相遇，都是一笔财富，尤其亲情、友情和爱情。在漫长的旅途上，他们都会丰富你的生命，使你的生命更充实，更真实；丰盈你的内心，使你的内心更慈悲，更善良。所以生活的美好，缘于一颗善良的心，愿我们都能你的生命更充实，更真实；丰盈你的内心，使你的内心更慈悲，更善良。所以生活的美好，缘于一颗善良的心，愿我们都能善待自己和他人。善待自己和他人。一路走来，愿相亲相爱的人，相濡以沫，同甘共苦，百年好合。愿有情有意的人，不离不弃，相惜相守，共度人生的每一路走来，愿相亲相爱的人，相濡以沫，同甘共苦，百年好合。愿有情有意的人，不离不弃，相惜相守，共度人生的每一个朝夕一个朝夕直到老得哪也去不了，依然是彼此手心里的宝，感恩一路有你！直到老得哪也去不了，依然是彼此手心里的宝，感恩一路有你！