第5章-数值积分-计算方法-《代码优化》课件.ppt

1、第第5 5章章 数值积分数值积分 计算方法第第5章章 数值积分数值积分 1 牛顿牛顿 柯特斯柯特斯(NewtonCotes)公式公式 2 复合求积公式复合求积公式3 龙贝格龙贝格(Romberg)积分方法积分方法第第5 5章章 数值积分数值积分 计算方法1.1 牛顿牛顿 柯特斯柯特斯(NewtonCotes)公式公式 在一元函数的积分学中,我们已经熟知,若函数f(x)在区间a,b 上连续且其原?函数为F(x),则可用牛顿莱布尼兹公式()()()baf xF bF a(51)第第5 5章章 数值积分数值积分 计算方法 来求定积分。公式(51)虽然在理论上或在解决实际问题中都起了很大的作用,?但它

2、并不能完全解决定积分的计算问题。因为定积分的计算常常会碰到以下三种?情况:(1)被积函数f(x)的原函数F(x)不易找到。许多很简单的函?数,例如 等,其原函数都不能用初等函数表示成有限形式。2sin1,lnxxexx第第5 5章章 数值积分数值积分 计算方法 (2)被积函数f(x)没有具体的解析表达式。其函数关系由表格或图形表?示,无法求出原函数。(3)尽管f(x)的原函数能表示成有限形式但其表达式相当复杂。例如定?积分 的被积函数 的原函数就比较复杂,从数值计算角度来?看,计算量太大。41badxx411x第第5 5章章 数值积分数值积分 计算方法 如图5.1,若用?左矩形近似地代替曲边梯

3、形,则得到左矩形公式()()()()()()babaf x dxba f af x dxba f b同样可得到右矩形公式(52)(53)第第5 5章章 数值积分数值积分 计算方法 图 5.1 第第5 5章章 数值积分数值积分 计算方法 如图5.2,若用梯形的面积近似地代替曲边梯形的面积,则得到计算定积分?的梯形公式()()()2babaf x dxf af b(54)如图5.3,若用抛物线代替曲线f(x),则可得到抛物线公式(?或辛普生公式)()()4()()2babaabf x dxf aff bb(55)第第5 5章章 数值积分数值积分 计算方法图 5.2图5.3 第第5 5章章 数值积分

4、数值积分 计算方法 1.1 牛顿 柯特斯(NewtonCotes)公式 建立数值积分公式最基本的思想是选取一个既简单又有足够精度的函数(x),?用(x)代替被积函数f(x),于是有 现用第四章介绍的插值多项式Pn(x)来代替被积函数f(x),即有()()bbaaf x dxx dx()()bbnaaf x dxP x dx取基点为等距,即 a=x0 x1xn=b 第第5 5章章 数值积分数值积分 计算方法 利用拉格朗日插值多项式10,0,1,2,10,1,2,kkibahxx knnxxihin()()()nnf xpxRx(56)其中 00(1)1()()()()()(,)(1)!nnkni

5、ikikk innnxxP xyxxfRxxa bn(57)第第5 5章章 数值积分数值积分 计算方法 这里yi=f(xi),对式(56)两边积分得 00(1)10()()()1()()(1)!()bbbnnaaannbkiaikikk ibnnaniinif x dxpx dxRx dxxxdx yxxfx dxna yRf 第第5 5章章 数值积分数值积分 计算方法 为牛顿 柯特斯求积公式,Rn(f)为牛顿 柯特斯求积公式的余项。令 x=x0+sh,0sn0(1)101()()()(1)!()nbkiakikk ibnnnanbiiaixxadxxxRffx dxnf x dxa y(58

6、)(59)(510)我们称 第第5 5章章 数值积分数值积分 计算方法()00()0000()1(1)()!()!nnniikk innnikk in innkk ibaskadsba cnikskCdsniksk dsi nin(511)第第5 5章章 数值积分数值积分 计算方法 称C(n)i为柯特斯求积系数。很显然,当n=1时,可算得1(1)001(1)101(1)212CsdsCsds 此时式(510)为()()()2babaf x dxf af b(512)第第5 5章章 数值积分数值积分 计算方法 这是梯形公式。当n=2时,可得2(2)002(2)102(2)2011(1)(2)46

7、14(2)2611(1)46CssdsCs sdsCs sds 于是()()4()()62babaabf x dxf aff b(513)第第5 5章章 数值积分数值积分 计算方法 这是抛物线公式。当n=3时,3(3)003(3)103(3)203(3)3011(1)(2)(3)18813(2)(3)6813(1)(3)6811(1)(2)188CsssdsCs ssdsCs ssdsCs ssds 第第5 5章章 数值积分数值积分 计算方法 代入(510)式得到求积公式 0123()()3()3()()8babaf x dxf xf xf xf x(514)类似地可分别求出n=4,5,时的柯

8、特斯系数,从而建立相应的求积公式。具体结果见表51。从表中可以看出,当n7时,柯特斯系数为正;从n8开始,柯特斯系数有正有负。因此,当n8时,误差有可能传播扩大,牛顿 柯特斯求积公式不宜采用。第第5 5章章 数值积分数值积分 计算方法 柯特斯系数C(n)i仅与n和i有关,与被积函数f(x)无关,且满足()01nniiC(515)事实上,式(510)对f(x)=1是准确成立的。第第5 5章章 数值积分数值积分 计算方法 例1 试分别用梯形公式和抛物线公式计算积分 解 利用梯形公式10.5xdx10.510.5(0.51)20.4267767xdx利用抛物线公式10.510.5(0.54 0.75

9、1)60.43.93403xdx第第5 5章章 数值积分数值积分 计算方法 原积分的准确值 31120.50.520.430964413xdxx第第5 5章章 数值积分数值积分 计算方法 表 51 第第5 5章章 数值积分数值积分 计算方法 1.2 误差估计 现对牛顿 柯特斯求积公式所产生的误差作一个分析。由式(59),牛顿 柯特斯求积公式的余项为 易知,牛顿 柯特斯求积公式(510)对任何不高于n次的多项式是准确成立的。这是因为 f(n+1)()0 故 Rn(f)0(1)11()()()(1)!bnnnaRffx dxn 第第5 5章章 数值积分数值积分 计算方法 一般说来,若某个求积公式对

10、于次数不高于m的多项式都准确成立(即Rn(f)0),而对于某一次数为m+1的多项式并不准确成立(即Rn(f)0),则称这一求积公式的代数精确度为m。牛顿 柯特斯求积公式的代数精确度至少为n。通常在基点个数相等的情况下,代数精确度愈高,求积公式就愈精确。定理1(梯形公式的误差)设f(x)在区间a,b上具有连续的二阶导数,则梯形求积公式的误差为 第第5 5章章 数值积分数值积分 计算方法 由于 1(x)=(x-a)(x-b)311()()(),(,)121()()()()2babaRffa bRffxaxb dx 证 由式(59)知,梯形公式的余项为(516)第第5 5章章 数值积分数值积分 计算

11、方法 在区间(a,b)内不变号,f()是x的函数且在a,b上连续,故根据积分第二中值定理参见有关数学分析教材中“一元函数积分学第二中值定理”。知,存在某一(a,b)使131()()()()21()()12baRffxaxb dxbaf 第第5 5章章 数值积分数值积分 计算方法 定理2 (抛物线公式的误差)设f(x)在a,b上有连续的四阶导数,则抛物线公式的误差为5(4)22()()(),(,)28801()()()()()3!2babaRffa babRffxaxxb dx (517)证由式(59)知 第第5 5章章 数值积分数值积分 计算方法2 复合求积公式复合求积公式 2.1 复合梯形公

12、式 对于定积分(51),将积分区间a,b分成n个相等的子区间xi,x i+1,这里步长1,0,1,1iibahxx inn在每一个子区间 xi,x i+1 上使用梯形公式,则 第第5 5章章 数值积分数值积分 计算方法 相加后得 1311()()()()212(,)iixiiixiiihhf x dxf xf xfx x(518)110311100()()()()()212iinbxaxinniiiiif x dxf x dxhhf xf xf(519)若f(x)在a,b上连续,由连续函数的介值定理,存在某一(a,b)使得10()()niiffn第第5 5章章 数值积分数值积分 计算方法 因而

13、 33103()()1212()()12niihmhffbaf 于是得到复合梯形公式 1013()12()()()2()2()()()12nbniainhf x dxf xf xf xbaRffn(521)其余项为 第第5 5章章 数值积分数值积分 计算方法 例2 若用复合梯形公式计算积分 问积分区间要等分多少才能保证有五位有效数字 解 由余项(521)式10 xe dx3()12()12()()()12()()()1()()12nxnbaRffnf xf xfxebafxeeRfn 则当0 x1时,有 因为 又 故 第第5 5章章 数值积分数值积分 计算方法 由于原积分的准确值具有一位整数,

14、因此要使近似积分值有五位有效数字,只需取n满足 4224110122610lg2lg4lg4lglglg1.82662ennebneebn两边取对数得 整理后得到 第第5 5章章 数值积分数值积分 计算方法 2.2 复合抛物线公式 类似复合梯形公式的做法,把区间a,b分成n个相等的子区间x2i,x2i+2(i=0,1,n-1),设每个子区间上的中点为x2i+1(i=0,1,n-1),且 在每一个子区间 x2i,x2i+2 上利用抛物线公式得 1,0,1,212iibahxx inn222221225(4)222()()4()()3(),(,)90iixiiixiiiihf x dxf xf x

15、f xhfxx(522)第第5 5章章 数值积分数值积分 计算方法 相加后得 22210122122051(4)0()()()4()()3()90iinbxaxiniiiiniif x dxf x dxhf xf xf xhf(523)第第5 5章章 数值积分数值积分 计算方法 图 5.4 第第5 5章章 数值积分数值积分 计算方法 图 5.4 第第5 5章章 数值积分数值积分 计算方法 若f(4)(x)在a,b上连续,则 551(4)(4)05(4)4()()9090()(),(,)2880niiihnhffbafa bn 从而得到复合抛物线公式 1202212200()()()4()2()

16、3nnbniiaiihf x dxf xf xf xf x(524)第第5 5章章 数值积分数值积分 计算方法 其余项为 5()(4)24()()()2880nbaRffn(525)复合抛物线公式的计算框图见5.4。例3 根据给出的函数sin()xf xx 的数据表52,分别用复合梯形公式和复合抛物线公式计算 10sinxIdxx第第5 5章章 数值积分数值积分 计算方法表表 52 第第5 5章章 数值积分数值积分 计算方法 解 用复合梯形公式,这里10.1258h 10sin0.125(0)2(0.125)(0.25)2(0.375)(0.5)(0.625)(0.75)0.94569086x

17、dxfffxffff第第5 5章章 数值积分数值积分 计算方法 用复合抛物线公式可得 10sin0.125(0)4(0.125)(0.375)3(0.625)(0.875)2(0.25)(0.5)(0.75)(1)0.946083305xdxfffxffffff 而I的准确值为0.946 083 1,可见用复合抛物线公式比用复合梯形公式精确。第第5 5章章 数值积分数值积分 计算方法 2.3 变步长公式 前面介绍的复合梯形公式和复合抛物线公式的步长都是预先确定的。它的主要缺点是事先很难估计出n的大小(或步长h的大小),使结果达到预先给定的精度。在实际计算中,我们常常借助于计算机来完成积分步长h

18、的自动选择,即采用变步长求积公式。具体地讲,就是将步长逐次折半,反复利用复合求积公式,直到满足精度要求为止。第第5 5章章 数值积分数值积分 计算方法 下面介绍变步长复合抛物线公式(变步长复合梯形公式留给读者作为练习)。逐次将区间a,b分成21,22,2m等分,并按复合抛物线公式逐次计算积分得到S1,S2,Sm,而121221220()4()()3mmmkkkkhSf xf xf x(526)其中 2mmbah再把每个子区间分成两半,用 21122mmmbahh第第5 5章章 数值积分数值积分 计算方法 图 5.5 第第5 5章章 数值积分数值积分 计算方法 图 5.5 第第5 5章章 数值积

19、分数值积分 计算方法 作步长,按复合抛物线公式计算出积分的近似值S2m。对于相邻两次的积分近似值Sm、S2m,考察 222mmmmmSSdSSS当S2m1 当S2m1(527)设预先给定的精度为,若 d 则以S2m作为所要求的积分近似值,否则继续将区间分半,利用复合抛物线公式求积分,直到满足预给的精度为止。第第5 5章章 数值积分数值积分 计算方法3 龙贝格龙贝格(Romberg)积分方法积分方法 我们已经知道,当被积函数f(x)在区间a,b上连续时,要使得复合梯形公式或复合抛物线公式比较精确地代替定积分 可将分点(即基点)加密,也就是将区间a,b细分,然后利用复合梯形公式或复合抛物线公式求积

20、。()baf x dx第第5 5章章 数值积分数值积分 计算方法 若用Tm表示把a,b作m等分并按复合梯形公式求积的结果,将每一小段再对分,令新的小段的长h=h/2,则T2m与Tm之间有如下关系:2112(21)mmmkTThf akh(528)其中 第第5 5章章 数值积分数值积分 计算方法 另外,若用Sm表示把a,b分成m(偶数)个小段按复合抛物线公式计算的结果,那么只要把Sm中的m改为2m,h改为h就有20122221201222212024222(4224)3(244442)3(222)3MmmmmmmmmhSffffffhffffffhfffff 从Tm的定义可得到关系式 22441

21、mmmTTS(529)第第5 5章章 数值积分数值积分 计算方法 我们再举一个计算上半单位圆面积的例子(它的准确面积为/2)。现用内接正多边形的逼近方法来计算。如图5.6,图(a)、图(b)是用同样的内接正多边形计算上半单位圆的面积。图(a)是用梯形方法计算其面积,图(b)是用三角形方法计算其面积。第第5 5章章 数值积分数值积分 计算方法 图 5.6 第第5 5章章 数值积分数值积分 计算方法 设正多边形边数为n=2k,则由图(b)利用三角形公式算得面积为()201235111133524(1)350112sincossin2sin242112()()23!25!222()()23!25!2

22、22()()23!25!2kkkkkkkkkkkkkkkknnTnnnT同理 第第5 5章章 数值积分数值积分 计算方法 如果组合一下,就会得到更精确的结果,即(1)()()00154441225!(2)kkkkTTT同理(2)(1)(1)00151 4441225!(2)kkkkTTT第第5 5章章 数值积分数值积分 计算方法 再以类似方法组合得 2(1)()()11164411()2(2)kkkkTTTO 这样继续下去,其值越来越接近上半单位圆面积/2。这种方法可以用到计算定积分()baf x dx第第5 5章章 数值积分数值积分 计算方法 为了推广公式(529)和上述计算上半单位圆面积的

23、组合方法,我们引进龙贝格求积算法。龙贝格求积算法本来是利用所谓外推法构造出的一种计算积分的方法。为了避免从外推引入而带来理论上的麻烦,我们将直接从构造一个T数表开始。首先将a,b依次作20,21,22,等分,记,0,1,2,2iibahi第第5 5章章 数值积分数值积分 计算方法 按复合梯形公式(520)算得的值相应地记为T(k)0(k=0,1,2,);把按式(529)算得的S2m依次记为T(k)1(k=0,1,2,崐),而这每一个S2m又理解为由T2m与Tm的线性组合得到的改进值,即(1)()()0014,0,1,2,41kkkTTTk 我们可按照类似的方法继续进行改进,也即由S2m与Sm的

24、线性组合得到改进值,依次记为T(k)2(k=0,1,2,),即 2(1)()()10224,0,1,2,41kkkTTTk第第5 5章章 数值积分数值积分 计算方法 这样就可构造出一个数表(5-30)第第5 5章章 数值积分数值积分 计算方法 其中除第0列(即最左一列)的T(k)0是按复合梯形公式计算外,其余各列都按下述规则(对m)(1)()()111,2,4,0,1,41mkkkmmmmmTTTk(531)递推地计算出来。箭头表示计算流程。其计算步骤为:(1)将区间a,b等分为20,用梯形公式计算T(0)0,即(0)0()()2baTf af b第第5 5章章 数值积分数值积分 计算方法 (

25、2)将区间a,b等分为21,用梯形公式算出T(1)0,即(1)0()2()()42baabTf aff b 再由T(0)0,T(1)0根据公式(531)算出T(0)1,即(0)(0)(0)101441TTT若 T(0)1-T(0)0,(为预给的精度)则停止计算;否则继续往下计算;第第5 5章章 数值积分数值积分 计算方法 (3)依次分别算出T(2)0,T(1)1,T(0)2,这一行地往下推算,每一行算完,就得验证T(0)m(m=1,2,)是否满足预给的精度,即若(0)(0)1mmTT则停止计算;否则继续进行下一行。为了便于在计算机上实现,可运用下列公式编制程序:第第5 5章章 数值积分数值积分

26、 计算方法1(0)02()(1)001(1)()()11()()21(21)2221,2,4,0,1,41kkkkkiikkkiiiibaTf af bbabaTTf aiiTTTk第第5 5章章 数值积分数值积分 计算方法 图 5.7 第第5 5章章 数值积分数值积分 计算方法 图 5.7 第第5 5章章 数值积分数值积分 计算方法 例 4 计算积分12041Idxx精确到10-4。解(0)0(1)(0)00(1)(0)(0)00111(1)(0)(1)(42)322111(2)()3.122243.13333341TffTTfTTT第第5 5章章 数值积分数值积分 计算方法(2)(1)00

27、(2)(1)(1)0012(1)(0)(0)11221113(3)()()3.131176244443.1415694143.14211841TTffTTTTTT第第5 5章章 数值积分数值积分 计算方法(3)(2)00(3)(2)(2)0012(2)(1)(1)11223(1)(0)(0)2233111357(4)()()()()2888883.138988443.14159341443.14159441443.14158641TTffffTTTTTTTTT第第5 5章章 数值积分数值积分 计算方法(4)(3)00(4)(3)(3)0012(3)(2)(2)11223(2)(1)(1)223311135(5)()()()21616161679111315()()()()()16161616163.14094243.1415934143.1415934143.14159341TTffffffffTTTTTTTTT第第5 5章章 数值积分数值积分 计算方法4(1)(0)(0)3344(0)34(0)1201102043.141593410.0000070.0000543.1415931443.14159261TTTTTdxxIdxarctgxx于是 由于 实际上