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类型第七章习题课69194资料课件.ppt

  • 上传人(卖家):晟晟文业
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    关 键  词:
    第七 习题 69194 资料 课件
    资源描述:

    1、 习题课习题课 一、内容及要求一、内容及要求 1 理解多元函数、多元函数的极限、连续、理解多元函数、多元函数的极限、连续、偏导数及全微分的定义偏导数及全微分的定义.2 会求一些二元函数的极限、能判别函数的会求一些二元函数的极限、能判别函数的连续性连续性.4 理解多元函数连续、可导、可微的关系理解多元函数连续、可导、可微的关系 3 能利用一元函数的求导法则计算多元函数能利用一元函数的求导法则计算多元函数的一阶二阶偏导,会求多元函数的全微分的一阶二阶偏导,会求多元函数的全微分.5 熟练掌握多元复合函数的一阶、二阶偏导数熟练掌握多元复合函数的一阶、二阶偏导数的计算(重点)的计算(重点)注:多元复合函

    2、数的偏导数注:多元复合函数的偏导数,),(),(),(yxvyxuvufz ),(),(yxyxfz 变量关系图变量关系图 uvzxy则有则有 xvxuffxvvzxuuzxz yvyuffyvvzyuuzyz 链式法则链式法则“连线相乘,分线相加连线相乘,分线相加”(1)(2)几种变形几种变形)(),(),(),(tztytxzyxfu dtdzzudtdyyudtdxxudtdu uxyzt(i)多个中间变量,一个自变量多个中间变量,一个自变量uzxy(ii)一个中间变量,多个自变量:一个中间变量,多个自变量:,)(xufxududzxz ),(),(yxuufz yufyududzyz

    3、)(iii)中间变量与自变量混合存在中间变量与自变量混合存在:xuffxzux yuffyzuy xyuzxy(3)全微分形式的不变性)全微分形式的不变性:z=f(u,v),u,v 不管是自变量还是中间变不管是自变量还是中间变量,有量,有dvvzduuzdz ),(),(yxuuuyxfz (4)复合函数的高阶偏导数的计算)复合函数的高阶偏导数的计算(难点难点),(),(),(yxvyxuvufz 求求Zxx,Zxy,Zyy 时应该注意到时应该注意到fu,fv仍是复合函数仍是复合函数.6 熟练掌握隐函数的偏导数的计算熟练掌握隐函数的偏导数的计算(2)方程组的情形)方程组的情形(i)(i)公式法

    4、;公式法;(ii)复合函数的求导法则;复合函数的求导法则;(iii)一阶全微分形式的不变性一阶全微分形式的不变性 求导方法求导方法:确定自变量及因变量,各方程对某确定自变量及因变量,各方程对某一个自变量求偏导,解方程组求得各因变量对这个一个自变量求偏导,解方程组求得各因变量对这个自变量的偏导数自变量的偏导数(或导数或导数).一般:变量个数方程个数一般:变量个数方程个数=自变量个数自变量个数 (1)单个方程的情形)单个方程的情形 理论基础是复合函数的求导法则,具体计算有理论基础是复合函数的求导法则,具体计算有三种方法三种方法:切向量切向量:法平面法平面:过:过M点且与切线垂直的平面点且与切线垂直

    5、的平面.000000()()()()()(0)xxyttytzz 000(),(),()tttT )()()(tztytx 切切线线方方程程:1 空间曲线由参数方程给出时空间曲线由参数方程给出时 0000(,)ttM xy z 时时,处处000000()()().xxyyttztz7会求空间曲线的切线及法平面会求空间曲线的切线及法平面 1.空间曲线方程为空间曲线方程为,)()(xzxy ,),(000处处在在zyxM法平面方程为法平面方程为切线方程为切线方程为特殊地:特殊地:()()xxyxzx 000001(,)xxyyzxzx00000()()(1()()0.xxyyzxzx 001,()

    6、,()Txx 切切向向量量为为:)1(0),(0),(:zyxGzyxF 2 当曲线当曲线 由交面式方程给出时由交面式方程给出时()()xxyxzx (1)(1)式等于两端对式等于两端对x求导数求导数 解出解出dxdzdxdy,法平面方程为法平面方程为000001(,)xxyyzxzx00000()()(1()()0.xxyyzxzx 001,(),()Txx 切切向向量量为为:切线方程为切线方程为 点点M0(x0,y0,z0)是是 上一点上一点 .0),(,0),(zyxGzyxF:设设 交面式空间曲线的切向量的另一求法:交面式空间曲线的切向量的另一求法:),(),(),(0001MFMFM

    7、Fzyx n n),(),(),(0002MGMGMGzyx n n切线为两切平面的交线,切线为两切平面的交线,切向量切向量Tn1 n2.000000()()()()()()xyzxyzijkFMFMF MGMGMG M T T法向量法向量1 设曲面方程为设曲面方程为0),(zyxF 法法线线方方程程为为000000000(,),(,),(,)xyznFxy zFxy zF xy z 000000()()()xyzxxyyzzFMFMF M切平面方程为切平面方程为000000000000(,)(,()()()0,)(,)xyzxxyFxy zFxy zF xy zyzz 8会求曲面的切平面与法

    8、线会求曲面的切平面与法线 2 空间曲面方程形为空间曲面方程形为),(yxfz 曲面在曲面在M处的切平面方程为处的切平面方程为曲面在曲面在M处的法线方程为处的法线方程为,),(),(zyxfzyxF 令令法向量法向量0000000(,)(,)1.xyfxyfxxyyzzxy 0000000()()+(,)(,)()0-1xyfx yfx yxxyyzz 0,1xMyff n(2)由一般式方程给出时由一般式方程给出时 .0),(,0),(zyxGzyxF:设设 则则 0,MyxyxxzxzzyzyGGFFGGFFGGFF T T(),()xy x z x或或把把每每个个方方程程对对 求求导导得得

    9、,1,(),().yx zx 则则 T T(ii)计算方法计算方法 coscosyfxflf 对于三元函数对于三元函数 coscoscoszyxffflf 1 1)函数可微时,用函数可微时,用公式:公式:9.方向导数与梯度方向导数与梯度 ),(),(lim0yxfyyxxflf (1)方向导数)方向导数(i)定义)定义 ),()cos,cos(lim0yxfyxf 2)用定义。)用定义。(函数不可微函数不可微)(ii)性质(与方向导数的关系)性质(与方向导数的关系)函数函数f(x,y)的梯度是这样一个向量,它的方向与的梯度是这样一个向量,它的方向与函数取得最大方向导数的方向一致,而它的模为方函

    10、数取得最大方向导数的方向一致,而它的模为方向导数的最大值。向导数的最大值。10多元函数的极值多元函数的极值(1)多元函数极值的定义)多元函数极值的定义(2)多元函数极值的必要条件与充分条件)多元函数极值的必要条件与充分条件(2)梯度)梯度(i)定义定义 f(x,y)在在D内一阶偏导连续,内一阶偏导连续,j ji igradgradyfxfyxf ),((3)多元函数最值的求法)多元函数最值的求法(i)一般的最值问题的求解方法)一般的最值问题的求解方法 如如f(x,y)在有界闭区域上连续,则最值一定存在在有界闭区域上连续,则最值一定存在。将。将D内的可能极值点(驻点或偏导不存在的点)处内的可能极

    11、值点(驻点或偏导不存在的点)处的函数值与函数在的函数值与函数在D的边界上的最值(通常化为一元的边界上的最值(通常化为一元函数最值问题或条件极值问题)相比较而确定。函数最值问题或条件极值问题)相比较而确定。(ii)实际问题中:如依问题的实际意义知)实际问题中:如依问题的实际意义知f(x,y)的的最大(小)值一定在最大(小)值一定在D内取得,而函数在内取得,而函数在D内偏导数内偏导数存在且驻点唯一,则可断言驻点处的函数值就是要存在且驻点唯一,则可断言驻点处的函数值就是要求的最大(小)值。求的最大(小)值。11条件极值及拉格朗日乘数法。条件极值及拉格朗日乘数法。(1)函数)函数z=f(x,y)在条件

    12、在条件 下下的的极极值值。0),(yx 辅助函数辅助函数),(),(),(yxyxfyxL (3)函数)函数u=f(x,y,z,t)在条件在条件,0),(tzyx 0),(tzyx 下的极值下的极值 辅助函数辅助函数 ),(),(),(tzyxtzyxtzyxfL 下下的的极极值值。0),(zyx(2)函数)函数u=f(x,y,z)在条件在条件辅助函数辅助函数(,)(,)(,)L x y zf x y zx y z 二、典型例题分析二、典型例题分析 1、填充、填充 xyyxyx1cos)(lim)1(00 yykxyx)1(lim)2(0ke xyzxyz,arctan)3(22222)(yx

    13、xy dzxzy,)4(xdyxdxyxyyln1 013201),3sin()7(yxxuxzyzzzyu求求确定,确定,由由3cos3cos(3)zuzxxy 解解:2310(,)z yxzzz x y确确定定x方方程程两两边边对对 求求偏偏导导:32230zzxxyzzz 3223zyzzxz 323cos(3)23zyzyzz xfxffxx )0,0()0,0(lim)0,0(0 01sinlim220 xxxx 0)0,0(yf同同理理解解22221()sin(,)(0,0)2(,)0(,)(0,0)(0,0)123xyx yxyf x yx y 例例在在处处()偏偏导导是是否否存

    14、存在在?()可可微微?()偏偏导导连连续续?处可微处可微在在)0,0(),(yxf0(0,0)(0,0)limxyzfxfy 222201()sinlimxyxy 2201sinlim=0 22221()sin(,)(0,0)2(,)0(,)(0,0)(0,0)2xyx yxyf x yx y 例例在在处处()可可微微?(0,0)=(0,0)0 xyff 2222221cos21sin2),(yxyxxyxxyxfx 2222221cos21sin2),(yxyxyyxyyxfy 处偏导不连续处偏导不连续在在)0,0(),(yxfx22221()sin(,)(0,0)2(,)0(,)(0,0)

    15、(0,0)3xyx yxyf x yx y 例例在在处处()偏偏导导连连续续?0022lim(,)lim(111co)22s n2sixy xy xxxfx yxxxx不不存存在在例例3 3解解.,)(),(2223yxzyzyzfxyxyfxz 求求,具具有有二二阶阶连连续续偏偏导导数数设设)1(213xfxfxyz ,2214fxfx )1()1(222121211422xfxfxxfxfxyz ,222123115fxfxfx xyzyxz 22)(2214fxfxx )(222212xyfyfx .2422114213f yf yxfxfx 具具有有二二阶阶连连续续偏偏导导数数因因为为

    16、 f23(,),().yzzx f xyfxx y 设设具具有有二二阶阶连连续续偏偏导导数数,求求2214fxfxyz 3411112224()2yx fxf yfxfx )(312fefyyxzy )(333231312yuffefeyuffyy )(333231312yyyyxeffefexeff 3323231312fxefefefxefyyyy 例例4 设设z=f(x,y,u),u=xey,f 具有二阶连续偏具有二阶连续偏导数,求导数,求 yxz 2xuffxz 31解解zxyuxy,31fefy yfefeyfyy 331例例5 可微,求可微,求设设FxzyyzxF,0),(,xz

    17、.,dzyz 解:解:方程两端求对方程两端求对x的偏导数,有的偏导数,有0)1()11(221 xzxxzFxzyF解得解得 2112211FxFyFxzFxz 1222111)(FyFxFyzFyz dyFyFxFyzF1222111)(dxFxFyFxzFdz2112211 方程两端求对方程两端求对y的偏导数,有的偏导数,有或利用全微分形式的不变性求偏导或利用全微分形式的不变性求偏导 0)()(21 xzydFyzxdF0)()(2221 xzdxxdzdyFyzdyydzdxF整理可得整理可得dyyzFFdxxzFFdzFxFy)()()11(21222121 由此可求得由此可求得 例例

    18、5 可微,求可微,求设设FxzyyzxF,0),(,xz .,dzyz )(221xzFFx 221)(FyzFy 也可利用公式,令:也可利用公式,令:)()(xzyzyxFzyx ,xFyFz1121 于是于是2122111FxFyFxzFxzzx 2112211FxFyFyzFyzzy 例例5 可可微微,求求设设FxzyyzxF,0),(,xz .,dzyz ).1(),1(),(,(),)1,1(,)1,1(,1)1,1(),(求求(又又记记可可微微,设设函函数数xxfxfxbfaffyxfyx例例6)1,1(,1()1ff(1)1,1(fdxxxdfxxfxfxxfxfxyx),(),

    19、(,(),(,()(),(),(),(,(),(,(xxfxxfxxfxfxxfxfyxyx )1,1()1,1()1,1(,1()1,1(,1()1(yxyxffffff )1,1()1,1()1,1()1,1(yxyxffff 2babababa 解解例例7 在曲面在曲面z=xy上求一点,使这点处的法线垂直于上求一点,使这点处的法线垂直于平面平面x+3y+z+9=0,并写出这法线的方程。,并写出这法线的方程。解:曲面解:曲面z=xy上点上点(x0,y0,z0)处的一个法向量为处的一个法向量为1,1),(),(000000 xyyxfyxfyxn n已知平面的法向量为已知平面的法向量为n1=

    20、1,3,1,依题意应有,依题意应有nn1,即,即13100 xy故所求点为故所求点为(3,1,3),所求法线方程为,所求法线方程为.133113 zyx)2,2()0,0)(182222bababyaxz点点在在求求函函数数例例 22221xyab 处处 沿沿 椭椭 圆圆的的 内内 法法 线线方方 向向 的的 方方 向向 导导 数数。解:解:12222 byax曲曲线线,2,22,222 babyaxMn n在在M点的内法线方向为点的内法线方向为曲线方程为曲线方程为0),(yxF0000(,),(,)xyFxyFxy 法法向向量量:曲面方程曲面方程0),(zyxF000000000(,),(,

    21、),(,)xyznFxy zFxy zF xy z 曲线方程为曲线方程为0),(yxF00(,)xy在在点点处处切切线线的的斜斜率率:000(,)xy z在在点点处处的的法法向向量量:00000(,)(,)xx xyFxydydxFxy 0000(,)(,)yxF x yF x y法法线线斜斜率率:0000(,)1,(,)xyF x yF x y 法法向向量量为为0000(,),(,)xyFxyFxy 即即:解:解:12222 byax曲曲线线,2,22,222 babyaxMn n又因为又因为l babyaxzMM2,22,222gardgard所以所以2222|bazlzMM llllng

    22、radgrad在在M点的内法线方向为点的内法线方向为)2,2()0,0)(182222bababyaxz点点在在求求函函数数例例 22221xyab 处处 沿沿 椭椭 圆圆的的 内内 法法 线线方方 向向 的的 方方 向向 导导 数数。解解设设),(000zyxP为为椭椭球球面面上上一一点点,令令1),(222222 czbyaxzyxF,则则202|axFPx ,202|byFPy ,202|czFPz 过过),(000zyxP的切平面方程为的切平面方程为 )(020 xxax )(020yyby0)(020 zzcz,)(020 xxax )(020yyby0)(020 zzcz,化简为化

    23、简为 1202020 czzbyyaxx,所所围围四四面面体体的的体体积积 000222661zyxcbaxyzV ,在条件在条件1220220220 czbyax下求下求 V 的最小值的最小值,所所围围四四面面体体的的体体积积 000222661zyxcbaxyzV ,222000000000222(,)lnlnln(1)xyzG x y zxyzabc 当当切切点点坐坐标标为为(3a,3b,3c)时时,四面体的体积最小四面体的体积最小abcV23min.01021021021220220220200200200czbyaxczzbyyaxx 可得可得即即30ax 30by ,30cz 之间

    24、的最短距离之间的最短距离与平面与平面求旋转抛物面求旋转抛物面2222 zyxyxz例例1010解解.2261,022,),(22 zyxddzyxPyxzzyxP的距离为的距离为到平面到平面则则上任一点上任一点为抛物面为抛物面设设分析分析:最小最小即即且使且使满足满足,使得,使得本题变为求一点本题变为求一点)22(61(22610,),(2222 zyxdzyxdzyxzyxzyxP),()22(61),(222yxzzyxzyxF 令令221(22)20,(1)31(22)20,(2)31(22)(2)0,(3)3,(4)xyzFxyzxFxyzyFxyzzxy .81,41,41 zyx解

    25、此方程组得解此方程组得得得.647241414161min d),81,41,41(即得唯一驻点即得唯一驻点1 1 1(,)4 4 8根根据据题题意意距距离离的的最最小小值值一一定定存存在在,且且有有唯唯一一驻驻点点,故故必必在在处处取取得得最最小小值值解法二:解法二:作切平面平行于平面,设切点为作切平面平行于平面,设切点为(x0,y0,z0)2,1,1/1,2,200 yxn则则.81,41,41 zyx.647241414161min dxzfyxfz2222),(具有二阶导数,求具有二阶导数,求其中其中设设xfxz2 xfxfxz22222 fxf 242例例5解解23,23),(tsy

    26、tsxyxfu 而而的所有二阶偏导连续,的所有二阶偏导连续,设设21,23,23,21 tytxsysxsyyusxxusu yuxu 2321tusuyuxutusuyuxu222222222222)及及(证明(证明(例例6证明证明yyyxxxuuu432341 yxuutu2123 同理:同理:yyxyxxuuutu41234322 代入得证。代入得证。232122syusxusyusxusuyyyxxyxx 232123232121yyyxxyxxuuuu 例例7 可可微微,证证明明,设设fxyfxz)11(11 .222zyzyxzx 证明:证明:2221)(11xufxxzz 两端求

    27、对两端求对x的偏导数,得的偏导数,得 两端同乘以两端同乘以x2z2:)1()(222ufzxzxz 两端求对两端求对y的偏导数:的偏导数:)1()(122yufyzz 两端同乘以两端同乘以y2z2:)2()(22ufzyzy (1)式式+(2)式式 222zyzyxzx 即即得得例例1 求曲线求曲线 y2=2mx,z2=mx在点在点M0(x0,y0,z0)处处的切线及法平面方程。的切线及法平面方程。解:将解:将y、z视作视作x的函数,方程两端对的函数,方程两端对x求导,有求导,有 1222dxdzzmdxdyy .21,zdxdzymdxdy在点在点(x0,y0,z0)处的切向量可取处的切向量

    28、可取 0021,1,10zymdxdzdxdyMT T在点在点(x0,y0,z0)处的切向量可取处的切向量可取 0021,1,10zymdxdzdxdyMT T切线方程为切线方程为,21100000zzzymyyxx 法平面方程为法平面方程为 0 0000002()2()()0y z xxmz yyy zz 例例1 求曲线求曲线 y2=2mx,z2=mx在点在点M0(x0,y0,z0)处处的切线及法平面方程。的切线及法平面方程。例例9 设设x轴正向到方向轴正向到方向l 的转角为的转角为 ,求函数求函数 f(x,y)=x2-xy+y2在点(在点(1,1)沿方向)沿方向l 的方向的方向导数,并分别

    29、确定转角导数,并分别确定转角 ,使这导数有(,使这导数有(1)最大)最大值;(值;(2)最小值;()最小值;(3)等于)等于0。解:解:gradf(1,1)=1,1,当当l 的方向与的方向与gradf(1,1)一致时,)一致时,时,时,即即4 方向导数可取得最小值;方向导数可取得最小值;时,时,即即 4当当l 的方向与的方向与-gradf(1,1)一致时,)一致时,导数可取得最大值;导数可取得最大值;方向导数值为零。方向导数值为零。时,时,或或当当47234,4324 sincos lf),4sin(2 或:根据方向导数的计算方法:或:根据方向导数的计算方法:时,时,即,即当当424 方向导数可取得最大值;方向导数可取得最大值;时,时,即,即当当45234 方向导数可取得最小值;方向导数可取得最小值;

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