第七章-经典力学的哈密顿理论课件.ppt
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1、第七章第七章 经典力学的哈密顿理论经典力学的哈密顿理论内容:内容:哈密顿正则方程哈密顿正则方程 哈密顿原理哈密顿原理 正则变换正则变换 哈密顿哈密顿雅可比方程雅可比方程重点:重点:哈密顿正则方程哈密顿正则方程 正则变换正则变换难点:难点:正则变换正则变换在经典力学中,力学体系的运动可用各种方法来描述。用牛顿运动定律描在经典力学中,力学体系的运动可用各种方法来描述。用牛顿运动定律描述,常常要解算大量的微分方程组,对约束体系更增强了问题的复杂性。述,常常要解算大量的微分方程组,对约束体系更增强了问题的复杂性。1788年拉格朗日用年拉格朗日用s个广义坐标来描述力学体系的运动,导出了用广义坐个广义坐标
2、来描述力学体系的运动,导出了用广义坐标表出的拉格朗日方程,其好处是只要知道体系的动能和所受的广义力,标表出的拉格朗日方程,其好处是只要知道体系的动能和所受的广义力,就可写出体系的动力学方程。就可写出体系的动力学方程。1834年以后哈密顿提出用年以后哈密顿提出用s个广义坐标和个广义坐标和s个广义动量(称为正则共轭坐标)描述体系的运动,导出了三种不同形式个广义动量(称为正则共轭坐标)描述体系的运动,导出了三种不同形式的方程:哈密顿正则方程、哈密顿原理和哈密顿的方程:哈密顿正则方程、哈密顿原理和哈密顿雅可比方程,称为经雅可比方程,称为经典力学的哈密顿理论。哈密顿理论和拉格朗日理论、牛顿理论是等价的。
3、典力学的哈密顿理论。哈密顿理论和拉格朗日理论、牛顿理论是等价的。哈密顿理论的优点在于便于将力学推广到物理学其他领域。哈密顿理论的优点在于便于将力学推广到物理学其他领域。7.1 哈密顿函数和正则方程哈密顿函数和正则方程(1)哈密顿函数)哈密顿函数 qq,),(tqqLL 拉格朗日函数是拉格朗日函数是和和t t的函数:的函数:,它的全微分为,它的全微分为 dttLdqqLqdqLdLss 11 将广义动量和拉格朗日方程:将广义动量和拉格朗日方程:qLp 0 qLqLdtd代入上式,得代入上式,得dttLdqpdqqLqpdsss 111)((7.1)式中式中),(1tqpHLqphs (7.2),
4、是体系的广义能量。由是体系的广义能量。由),(tqqpqLp 可以解出可以解出),(tqpqq 故故H是是p、q、t的函数,表征体系的状态,称为哈密顿函数。的函数,表征体系的状态,称为哈密顿函数。若若L不显含不显含t,并且约束是稳定的,体系的能量守,并且约束是稳定的,体系的能量守恒,则恒,则 H=E=T+V(2)哈密顿正则方程)哈密顿正则方程哈密顿函数哈密顿函数H=H(p,q,t)的全微分为)的全微分为 dttHdqqHdppHdHss 11 (7.3)比较(比较(7.2)和()和(7.3)式,得)式,得 sqHppHq,2,1 (7.4)tLtH (7.5)(7.4)式称为保守系哈密顿正则方
5、程,它是)式称为保守系哈密顿正则方程,它是2s个一阶微分方程,形式对个一阶微分方程,形式对称,结构紧凑。称,结构紧凑。对于非保守系,正则方程形式为对于非保守系,正则方程形式为 sQqHppHq,2,1 哈密顿正则方程常用来建立体系的运动方程。哈密顿正则方程常用来建立体系的运动方程。例例1 写出粒子在中心势场写出粒子在中心势场rV 中的哈密顿函数和正则方程。中的哈密顿函数和正则方程。解:粒子在中心势场中运动的特点、自由解:粒子在中心势场中运动的特点、自由度、广义坐标如何?度、广义坐标如何?粒子的粒子的拉格朗日函数拉格朗日函数为为rrrmL )(21222 (1)广义动量广义动量 22,mrpmr
6、LpmprrmrLprr (2)哈密顿函数哈密顿函数 rrppmrrrmWhyVTHr )(21)()(21?)(222222于是得正则方程于是得正则方程 (径径向向运运动动方方程程)22232)(rrrmrmrprHpmppHrrrr (3)(角角动动量量守守恒恒)常常数数 220mrpHpmrppH(4)例例2 写出粒子在等角速度转动参考系中的写出粒子在等角速度转动参考系中的H函数和正则方程。函数和正则方程。解:取图解:取图7.3所示的转动参考系。粒所示的转动参考系。粒子的子的L函数为(参见函数为(参见5.12式)式)VrmrmmL 22)(21)(21 (1)所以所以)(rmmLp rm
7、p (2 2)(3)则哈密顿函数则哈密顿函数VrmmVrmrmmrmmLpH 2222)(2121)(21)(21)((4)(3)式代入()式代入(4)式,得)式,得 VrpmpH )(22(5)正则方程为正则方程为 rVprHprmpPH )((6)将将rmmp 代入上式中的第二式,可得粒子的动力学方程代入上式中的第二式,可得粒子的动力学方程Frmmrmm mrmFam2)(7.2 哈密顿原理哈密顿原理(1)最速落径问题和变分法)最速落径问题和变分法 数学上的变分法是为了解决最速落径这一力学问题而发展起来的。数学上的变分法是为了解决最速落径这一力学问题而发展起来的。如图如图7.4所示,铅直平
8、面内在所有连接两个定点所示,铅直平面内在所有连接两个定点A和和B的曲线中,找出的曲线中,找出一条曲线来,使得初速度为零的质点,在重力作用下,自一条曲线来,使得初速度为零的质点,在重力作用下,自A点沿它无摩擦点沿它无摩擦地滑下时,以最短时间到达地滑下时,以最短时间到达B点。点。设曲线设曲线AB方程为方程为y=y(x),质点沿曲,质点沿曲线运动速度为线运动速度为dxdtydtdydxdtdsgy2221)()(2 质点自质点自A沿曲线沿曲线y(x)自由滑至自由滑至B点所需的时间点所需的时间 dxgyydtJBABAxxxx 212(7.6)显然显然J的值与函数的值与函数y(x)有关,最速落径问题就
9、是求有关,最速落径问题就是求J的极值问题,即的极值问题,即y(x)取什么函数时,函数取什么函数时,函数Jy(x)取极小值。取极小值。Jy(x)称为函数称为函数y(x)的泛函数。的泛函数。Jy(x)取极值的条件为取极值的条件为J=0(7.6)算符算符称为变分记号。称为变分记号。变分运算法则和微分运算法则相似:变分运算法则和微分运算法则相似:2121)0()()()()()()()()(222112211221212121ttttydtydtxydxddxdyyddyykxyyyyyyyyyyyyyyyyyy (7.8)(2)变分问题的欧拉方程)变分问题的欧拉方程求泛函求泛函Jy(x)的变分的变分
10、J=0的条件:的条件:为普遍起见,将(为普遍起见,将(7.6)式改写)式改写 21),()(xxdxxyyfxyJ (7.9)对上式求变分,令对上式求变分,令J=0:0)()()()(),(),(21212121212121 ydxyfyfdxdydxyfyfdxdyyfdxyyfdxdyyfdxdyyfdxyyfyyfdxxyyfdxxyyfJxxxxxxxxxxxxxx 因此,因此,0 yfyfdxd(7.10)(7.10)是泛函)是泛函Jy(x)取极值时函数取极值时函数y(x)必须满足条件,称为欧拉方程,必须满足条件,称为欧拉方程,思考:欧拉方程形式上与拉格朗日方程有无区别?思考:欧拉方
11、程形式上与拉格朗日方程有无区别?(3)哈密顿原理)哈密顿原理 一个具有一个具有s自由度的体系,它的运动由自由度的体系,它的运动由s个广义坐标个广义坐标)(tq 来描述。来描述。在体系的在体系的s维位形空间中,这维位形空间中,这s个广义坐标的值确定体系的一个位形点,个广义坐标的值确定体系的一个位形点,随着时间的变动,位形点在位形空间描绘出体系的运动轨道。设在时刻随着时间的变动,位形点在位形空间描绘出体系的运动轨道。设在时刻 1t2t和和 体系位于位形空间的体系位于位形空间的 1P2P点和点和点,点,相应的广义坐标为相应的广义坐标为 )(1tq)(2tq 和和)(1tq)(2tq(或缩写为(或缩写
12、为和和),),由由 1P2P点通向和点通向和点有多种可能的轨道(路径),但体系运动的真实点有多种可能的轨道(路径),但体系运动的真实轨道只能是其中的一条。如何从众多的可能轨道中挑选出体系运动的轨道只能是其中的一条。如何从众多的可能轨道中挑选出体系运动的真实轨道?即在真实轨道?即在 21 tt时间内,为何确定体系的时间内,为何确定体系的s个广义坐标个广义坐标?)(tq哈密顿原理提供了确定体系运动真实轨道的方法。哈密顿原理提供了确定体系运动真实轨道的方法。定义:定义:体系的拉格朗日函数在体系的拉格朗日函数在21 tt内的积分内的积分 21),(ttdttqqLs (7.11)为哈密顿作用量(或主函
13、数),是为哈密顿作用量(或主函数),是)(tq的泛函数。的泛函数。哈密顿原理哈密顿原理 1843年哈密顿提出:对于一个保守系年哈密顿提出:对于一个保守系的完整力学体系,其由动力学规律所决定的完整力学体系,其由动力学规律所决定的真实运动轨道可由泛函数的真实运动轨道可由泛函数 21),(ttdttqqLs取极值的条件取极值的条件0),(21 ttdttqqLs (7.12)给出给出哈密顿原理。哈密顿原理。对于非保守系,哈密顿原理的数学表达式为对于非保守系,哈密顿原理的数学表达式为0),(21 dtqQtqqTstt (7.13)式中式中 Q为广义力。为广义力。由哈密顿原理可以导出拉格朗日方程、正则
14、方程以及各种动力学方程,由哈密顿原理可以导出拉格朗日方程、正则方程以及各种动力学方程,因此,哈密顿原理是力学的第一性原理或最高原理。在力学中凡能起因此,哈密顿原理是力学的第一性原理或最高原理。在力学中凡能起“几何公里几何公里”作用,可由它导出全部力学定律的原理或假说,称为力学作用,可由它导出全部力学定律的原理或假说,称为力学第一性原理或最高原理,如牛顿运动定律、虚功原理、达朗贝尔原理等第一性原理或最高原理,如牛顿运动定律、虚功原理、达朗贝尔原理等都是力学第一性原理,所以力学第一性原理的表述形式是多种多样的,都是力学第一性原理,所以力学第一性原理的表述形式是多种多样的,各有优缺点,但都是等价的。
15、各有优缺点,但都是等价的。7.3 正则变换正则变换(1)选好广义坐标的重要性选好广义坐标的重要性 选取不同的广义坐标,所得的微分方程的形式不同,求解方程的难易程选取不同的广义坐标,所得的微分方程的形式不同,求解方程的难易程度不同。如果选取的广义坐标使度不同。如果选取的广义坐标使H函数中能多出现一些循环坐标,就能在函数中能多出现一些循环坐标,就能在正则方程中多得出一些积分,对微分方程的求解就更有利,否则微分方程正则方程中多得出一些积分,对微分方程的求解就更有利,否则微分方程的求解就变得十分困难,因此,为何选取广义坐标是理论力学中最富技术的求解就变得十分困难,因此,为何选取广义坐标是理论力学中最富
16、技术性的环节。性的环节。(2)正则坐标变换的目的和条件)正则坐标变换的目的和条件 正则坐标变换(正则变换)的理论,就是寻找最佳坐标,使正则坐标变换(正则变换)的理论,就是寻找最佳坐标,使H函数中函数中出现更多的循环坐标,求解微分方程组变得更容易的方法。出现更多的循环坐标,求解微分方程组变得更容易的方法。设原来的正则变量为设原来的正则变量为p、q,通过变量变换新的正则变量为,通过变量变换新的正则变量为P、Q,它,它们的变换关系为们的变换关系为 sdtpppqqqPPtpppqqqQQssss,2,1);,();,(21212121 (7.14)如果变换后,新的哈密顿函数如果变换后,新的哈密顿函数
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