线性代数课件第一章-行列式.ppt
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- 线性代数 课件 第一章 行列式
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1、第一章 行列式211 1122121 12222a xa xba xa xb引例:设有二元一次线性方程组 112221 1212221211 221 112112221 12112221 120,a aa abab aa ba bxxa aa aa aa a公当时,式不好记!1111222211221221 12211221.1Daa aaaa aaaaaa定义1 令 =其中记号叫做一个二阶行列式。1.1 二阶与三阶行列式二阶与三阶行列式311211 1122121 1222212221211 221 112112221 12112221 121211222112111211122122221
2、22,a xa xba xa xbbab aa ba bxxa aa aa aa aaaaaxxaaaaabaababb这用行列式时,方程组的解为表示:411 1122121 1222212221211 221 112112221 12112221 121112121112212222211122,a xa xba xa xbbab aa ba bxxa aa aa aa aaaabbbaDDDaaaab这时,方程组的解为令 1122DxDDxD则1212123320 xxxx例:解方程组的解132231203x解:利用行列式表示210223323x 1(2)0322,2(2)3 31313
3、203 131313 61112212211222112aaaa aaaa一般地,二阶行列式是其值为,数一个其中元素 aij 的第一个下标 i 为行指标,第二个下标 j 为列指标。即 aij 位于行列式的第 i 行第 j 列。711a12a22a主对角线主对角线副对角线副对角线2211aa.2112aa 二阶行列式的计算二阶行列式的计算 对角线法则对角线法则例如131 7(2)31327 21a8三阶行列式三阶行列式定义1.2 令312213332112322311322113312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa333231232221131211aaaaaaaaa称之
4、为为一个三阶行列式。可用下面的对角线法则记忆332211aaa.322311aaa 322113aaa 312312aaa 312213aaa 332112aaa 333231232221131211aaaaaaaaa92-43-122-4-21D 计算三阶行列式计算三阶行列式按对角线法则,有按对角线法则,有 D4)2()4()3(12)2(21 )3(2)4()2()2(2411 24843264 14 3215 52921xyzyzxyz例1.1 解线性方程组321052211D解:3 5(1)(2)(2)2 1 0 1 1 5 2 (2)0(1)3(2)1 110 11592152551
5、11D 2310159299211D 33205198211591D 1155511DxD所以,2299911DxD331981811DxD1211 11221121 1222221 122n nn nnnnn nna xa xa xba xa xaxba xaxaxb对于n元线性方程组:其所有系数构成的n阶行列式如何计算?111212122212?nnnnnnaaaaaaDaaa13如4阶排列:1234 1243 1324 1342 1423 1432 2134 2143 2314 2341 2413 2431 3124 3142 3214 3241 3412 3421 4123 4132
6、4213 4231 4312 4321(共4!=24个4阶排列)n阶排列共有n!个。1.2 n阶排列及其逆序数,对换阶排列及其逆序数,对换1 2 1,2,3,n 2.1nniiinn由自然数组成的任意一个 元有序 数组称为一个 阶排列。其中123称为自定义然排列。14如:314652中,31是逆序,65是逆序,32是逆序,42是逆序 62是逆序,52是逆序数。逆序数(314652)=6记k=排列j1j2jn中数字k前面比k大的数的个数。则(314652)=1+2+3+4+5+6 =1 +4 +0 +0 +1+0 =61 21 2 2).(2nniiiiii在一个排列中,如果一个较大的数排在一个
7、较小的数之前,则称这两个数构成一个逆序。在一个排列中,逆序的 总数称为这个排列的逆序数,记为。逆序数为奇 数的排列称为奇排列。逆序数为偶数的排列称为定义偶排列。15(314625)=5,314625是奇排列。(314652)=6,314652是偶排列。逆序数的性质,0)12(n2)1()321)1(nnnn1 2(1)0()2nn niii16定义定义2.3 把一个排列中两个数i,j的位置互换而保持其余数字的位置不动,则称对这个排列施行了一个对换,记作(i,j).两个相邻位置数字的对换称为相邻对换,否则称为一般对换。如:8阶排列:78351426 经过相邻对换(8,3)后,排列变成 73851
8、426 再经过对换(5,2)后,排列变成 7382145617定理定理2.12.1一个排列中的任意两个元素对换,排一个排列中的任意两个元素对换,排列改变奇偶性列改变奇偶性证明证明设排列为设排列为mlbbabaa11对换对换 与与abmlbbbaaa11除除 外,其它元素的逆序数不改变外,其它元素的逆序数不改变.b,aabba18当当 时,时,ba ab的逆序数不变的逆序数不变;经对换后经对换后 的逆序数增加的逆序数增加1,经对换后经对换后 的逆序数不变的逆序数不变,的逆序数减少的逆序数减少1.ab因此对换相邻两个元素,排列改变奇偶性因此对换相邻两个元素,排列改变奇偶性.当当 时,时,ba 次相
9、邻对换次相邻对换mnmlccbbabaa111次相邻对换次相邻对换1 mnmlccabbbaa111111,lmnbaaab bcc次相邻对换次相邻对换12 m111,lmnaa bb acbc所以一个排列中的任意两个元素对换,排列改变所以一个排列中的任意两个元素对换,排列改变奇偶性奇偶性.abnmlccbbbaaa111abab设排列为设排列为nmlcbcbabaa111现来对换现来对换 与与a.b20推论推论2.1 排列经过奇数次对换其奇偶性发生改变。排列经过奇数次对换其奇偶性发生改变。经过偶数次对换其奇偶性不变。经过偶数次对换其奇偶性不变。21推论推论2.2 当当n2时,在所有时,在所有
10、n!个个n阶排列中,奇排列阶排列中,奇排列 的数目和偶排列的数目相等,各有的数目和偶排列的数目相等,各有 个。个。!2n证明证明:假设所有:假设所有n阶排列中,奇排列的总数目为阶排列中,奇排列的总数目为s,偶排列的总数目是偶排列的总数目是t。则。则 s+t=n!将所有将所有s个奇排列各作(个奇排列各作(i,j)对换,则这)对换,则这s个个奇排列变成奇排列变成s个偶排列,则个偶排列,则 s t 将所有将所有t个偶排列各作(个偶排列各作(i,j)对换,则这)对换,则这t个个偶排列变成偶排列变成t个奇排列,则个奇排列,则 t s 则则 s=t=n!/2221 2 31 2 3 122.23nnnii
11、 iiii ii自然数列可以与任意n阶排列经过 一系列对换后相互转换,且所作对换的次数与 排列具有相同的奇偶性。(证明略,可对n用定理归纳法证明)231.3 n n阶行列式的定义阶行列式的定义三阶行列式三阶行列式333231232221131211aaaaaaaaaD 322113312312332211aaaaaaaaa 332112322311312213aaaaaaaaa 说明说明(1)三阶行列式共有三阶行列式共有 6 项,即项,即 项项!3(2)每项都是位于不同行不同列的三个元素的每项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积乘积(3 3)每项的正负号都取决于位于不同行不同列)每项的正负号都
12、取决于位于不同行不同列 的三个元素的下标排列的三个元素的下标排列1 2 31231 2 3111213()212223123313233(1)j j jjjjj j jaaaaaaa aaaaa333231232221131211aaaaaaaaaD 322113312312332211aaaaaaaaa 332112322311312213aaaaaaaaa 取正号的取正号的3项的列下标排列:项的列下标排列:123 231 312 都是偶排列都是偶排列取负号的取负号的3项的列下标排列:项的列下标排列:321 132 213 都是奇排列都是奇排列25定义3.1 设aij(i,j=1,2,n)是
13、n2个数(也称为元 素),定义n阶行列式1 2121 21112121222()1212(1)nnnnnj jjjjnjj jjnnnnaaaaaaa aaaaa其中,表示对所有的n阶排列求和。1 2nj jj26例如 按定义计算11122122aaaa解解1 2121 21112()122122(1)j jjjj jaaa aaa12211221()()1212(1)(1)a aa a 011122122111221221(1)(1)a aa aa aa a 3.2 000000000012100nnnD例题计算 阶行列式1 2121 2()12 =(1)nnnj jjjjnjj jjDa
14、aa解(234 1)12231,1(1)nnnna aaa 11(1)1 2(1)(1)!nnnnn 例例3.33.3 计算计算上上三角行列式三角行列式11121222 0 0 0 nnnnaaaaaa解:解:1 2121 211121222()120(1)00nnnnnj jjjjnjj jjnnaaaaaa aaa1 211211 21()121,(1)nnnj jjjjnnjnjjnnja aaa(123)11221122(1)nnnnna aaa aa 同理同理 计算计算下下三角行列式三角行列式解:解:1 2121 2112122()1212000(1)nnnj jjjjnjj jjn
15、nnnaaaa aaaaa222()12111(1)nnnjjjnjjja aa(123)11221122(1)nnnnna aaa aa 11212212000nnnnaaaaaa 计算计算主对角线主对角线行列式行列式解:解:11221122000000nnnnaaa aaa1122000000nnaaa 计算计算副对角线副对角线行列式行列式解:解:12,11000000nnnaaa12,1(1)21)12,11,2110000(1)00nnn nnnnnnaaa aaaa(1)212,11,21(1)n nnnnna aaa 1 2121 21231112121222()1212123(1
16、)nnnnnnj jjjjnjj jjnnnnnj j jjnaaaaaaa aaaaa将行下标固定按自然排列,将列下标做各种 阶排列1 2121 21112121222()12121 2 3123(1)nnnni iiiiiinnnnnnniinnaaaaiaaa aaaiaaii:将列下标固定按自然排列,行下 标 将做各种 阶排列也可以331.4 n阶行列式的性质及计算阶行列式的性质及计算性质性质4.1 行列互换(即行列式转置),行列式的值不变行列互换(即行列式转置),行列式的值不变行列式行列式 称为行列式称为行列式 的转置行列式的转置行列式.TDDnnaaa2211nnaaa211221
17、21nnaaa D2121nnaaannaaa2112 TDnnaaa2211TDD34112111112112222212221212 (,1,2,)ijjinnnnTnnnnnnnnbai jnaaabbbaaabbbDaaabbb证设右边的1 2121 2()12(1)nnnj jjjjj nj jjb bb1 2121 2()12(1)nnnj jjjjnjj jja aaD 左边的性质性质4.2 行列式的某行(列)元素全为行列式的某行(列)元素全为0,则行列式,则行列式 为为0。即。即11121120000nnnnnaaaaaa12 i00iiinaaa不妨设第 行全为,证1 212
18、1 2()12=(1)00nnnj jjjjnjj jja aa 1 2121 2()12=(1)nnnij jjjjnjj jjija aaa行列式36性质性质4.3 交换行列式的两行(列),行列式变号。即交换行列式的两行(列),行列式变号。即1112111121121222121112 ()nnnqqpppnppnpnnnnnnnqnqqqnaaaaaaaapqpqaaaaaaaaaaaaaaaa第 行第 行1 2121 2121pqnpqnnj jjjjjjpjqjnjj jja aaaa()左()证:1112111121121212121212 nnqqqnpppnpppnqqqnnn
19、nnnnnnaaabbbaaabbbaaabbbaaabbb令第p行第q行交换后的行列式D1=1 2121 21121pqnpqnnj jjjjjjpjqjnjj jjDb bbbb()()1 2121 212 1pqnpqnnj jjjjqpjjjjnjj jja aaaa()()1 2121 212 1pqnqpnnj jjjjpqjjjjnjj jja aaaa()()1 2121 212 p 1nqpqnpnj jjjjjjnjj jjjjqa aaaaD ()()38推论推论4.1 行列式的两行(列)元素相同,行列式等于行列式的两行(列)元素相同,行列式等于0。即即111211212
20、120 nsssnsssnnnnnaaaaaaaaaaaa第s 行第t 行证:令行列式=D,互换D中第s,t行后行列式为H,H=-D H中这两行相同,H=D,D=-D,D=0性质性质4.4 行列式具有线性性。即行列式具有线性性。即(1)(行列式的加法规则,对列也适用)(行列式的加法规则,对列也适用)11121111211112111221212121212nnniiiiininiiiniiinnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaabcbcbcbbbcccaaaaaaaaa(2)(行列式的数乘,对列也适用)(行列式的数乘,对列也适用)111211112112121212nniiiniiinn
21、nnnnnnnaaaaaakakakak aaaaaaaaa(1)(行列式的加法规则)(行列式的加法规则)1 2121 212,1()iniinnj jjjjji ji jnjj jja abca()左()证:11121111211112111221212121212nnniiiiininiiiniiinnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaabcbcbcbbbcccaaaaaaaaa1 2121 21 2121 212,12,1 1ininnininnj jjjjji jnjj jjj jjjjji jnjj jja abaa aca ()()()()右(2)(行列式的数乘,对列也适用)(
22、行列式的数乘,对列也适用)1 2121 212,1()ininnj jjjjji jnjj jja akaa()左()证:111211112112121212nniiiniiinnnnnnnnnaaaaaakakakak aaaaaaaaa1 2121 212,1ininnj jjjjji jnjj jjka aaa()()右42推论推论4.2 行列式的两行(列)成比例,行列式等于行列式的两行(列)成比例,行列式等于0。即。即11211212120 nsssnsssnnnnnaaaaaakakakaaaa第s行第t行43证证11121121212 nsssnsssnnnnnaaaaaakaka
23、kaaaa第s行第t行11121121212 =0nsssnsssnnnnnaaaaaakaaaaaa44推论推论4.3 行列式的某一行(列)元素的行列式的某一行(列)元素的k倍加到另一行倍加到另一行 (列)对应元素上,行列式值不变。即(列)对应元素上,行列式值不变。即111211112112121211221212 nniiiniiinjjjnjijijninnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaakaakaakaaaaaaa第i行第j行证证1112112112212niiinjijijninnnnnaaaaaaakaakaakaaaa1 11 211 11 211212121212
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