大学精品课件：第10章矩阵位移法.ppt

1、第十章 矩阵位移法 10-1 概述 10-2 单元刚度矩阵 10-3 单元刚度矩阵的坐标转换 10-4 结构的原始刚度矩阵 10-5 支承条件的引入 10-6 非结点荷载的处理 10-7 计算步骤和算例 10-8 几点补充说明 10-1 概述 结构矩阵分析方法：结构矩阵分析方法： 以传统结构力学为理论基础；以传统结构力学为理论基础； 以矩阵作为数学表述形式；以矩阵作为数学表述形式； 以计算机作为计算手段。以计算机作为计算手段。 结构矩阵分析的内容：结构矩阵分析的内容： （1）离散：将整个结构分解为有限个单元，分析单元内的内力与位）离散：将整个结构分解为有限个单元，分析单元内的内力与位 移的关系

2、移的关系单元分析单元分析； （2）集合：将单元按一定的条件集合成整体，满足原结构的几何条）集合：将单元按一定的条件集合成整体，满足原结构的几何条 件和平衡条件，求解原结构的位移和内力。件和平衡条件，求解原结构的位移和内力。 10-2 单元刚度矩阵 图图a为等截面直杆：在结构中的编号为为等截面直杆：在结构中的编号为e，联结两个结点，联结两个结点i、j。 一一 般般 单单 元元 局部坐标系：局部坐标系： 轴的正向轴的正向以以i为原点，从为原点，从i向向j的方向；的方向； 轴的正向轴的正向以以 轴的正向逆时针转轴的正向逆时针转90。 。 。 x y x 10-2 单元刚度矩阵 杆端力符号规定杆端力符

3、号规定 杆端轴力杆端轴力 ：以同：以同 轴正向指向为正；轴正向指向为正； 杆端剪力杆端剪力 ：以同：以同 轴正向指向为正。轴正向指向为正。 杆端弯矩杆端弯矩 ：以逆时针方向为正。：以逆时针方向为正。 y x e FN e FS e M 杆端位移的符号规定与杆端力相同杆端位移的符号规定与杆端力相同 给出六个杆端位移分量（给出六个杆端位移分量（杆上无荷载作用杆上无荷载作用）确定相应的六个杆端力分量确定相应的六个杆端力分量 由图由图a、d，根据叠加原理可写出，根据叠加原理可写出 e j e i e j e j e i e i u l EA u l EA F u l EA u l EA F N N 1

4、0-2 单元刚度矩阵 可写出可写出 e j e j e i e i e i e j e j e i e i e i l EI v l EI l EI v l EI M l EI v l EI l EI v l EI F 2646 612612 22 2323 S e j e j e i e i e j e j e j e i e i e j l EI v l EI l EI v l EI M l EI v l EI l EI v l EI F 4626 612612 22 2323 S 10-2 单元刚度矩阵 写写 成成 矩矩 阵阵 形形 式式 e j e j e j e i e i e i

5、e j e j e j e i e i e i v u v u l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EA l EA l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EA l EA M F F M F F 46 0 26 0 612 0 612 0 0000 26 0 46 0 612 0 612 0 0000 22 2323 22 2323 S N S N 称为称为单元刚度方程单元刚度方程，简写为，简写为 eee kF 10-2 单元刚度矩阵 e j e j e j e i e i e i e M F F M

6、F F F S N S N 杆杆 端端 力力 列列 向向 量量 e j e j e j e i e i e i e v u v u 杆杆 端端 位位 移移 列列 向向 量量 l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EA l EA l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EA l EA k e 46 0 26 0 612 0 612 0 0000 26 0 46 0 612 0 612 0 0000 22 2323 22 2323 单元刚度矩阵单元刚度矩阵（简称单刚）（简称单刚） e j e j e j e

7、i e i e i vuvu e j e j e j e i e i e i M F F M F F S N S N 10-2 单元刚度矩阵 单元刚度矩阵的性质单元刚度矩阵的性质 （1）对称性。单元刚度矩阵）对称性。单元刚度矩阵ke 是一个对称矩阵，即位于主是一个对称矩阵，即位于主 对角线两边对称位置的两个元素是相等的。对角线两边对称位置的两个元素是相等的。 （2）奇异性。单元刚度矩阵）奇异性。单元刚度矩阵ke 是奇异矩阵，将第是奇异矩阵，将第1行（或行（或 列）元素与第列）元素与第4行（或列）元素相加，则所得行（或列）元素相加，则所得 的一行（或列）元素全为的一行（或列）元素全为0。 表明矩

8、阵相应的行列式等于表明矩阵相应的行列式等于0，其逆阵不存在。，其逆阵不存在。 平面桁架单元平面桁架单元 10-2 单元刚度矩阵 单元刚度方程为单元刚度方程为 e j e i e j e i u u l EA l EA l EA l EA F F N N 单元刚度矩阵为单元刚度矩阵为 e j e i e e j e i F F l EA l EA l EA l EA k uu N N 写成写成44阶矩阵阶矩阵 0000 00 0000 00 l EA l EA l EA l EA k uu e e j e i e j e j e i e i F F F F S N S N 10-3 单元刚度矩阵

9、的坐标转换 整体坐标系（结构坐标系）：整个结构统一的坐标系。整体坐标系（结构坐标系）：整个结构统一的坐标系。 杆件杆件i、j在整体坐标系在整体坐标系Oxy中杆中杆 端力列向量、杆端位移列向量为端力列向量、杆端位移列向量为 e j e yj e xj e i e yi e xi e M F F M F F F e j e j e j e i e i e i e v u v u 由投影关系可得由投影关系可得 cossin sincos cossin sincos S N S N e yi e xj e j e yj e xj e j e yi e xi e i e yi e xi e i FFF

10、FFF FFF FFF e j e j e i e i MM MM 10-3 单元刚度矩阵的坐标转换 写成矩阵形式有写成矩阵形式有 e j e yj e xj e i e yi e xi e j e j e j e i e i e i M F F M F F M F F M F F 100000 0cossin000 0sincos000 000100 0000cossin 0000sincos S N S N 简写为简写为 ee TFF 坐标转换阵坐标转换阵T 10-3 单元刚度矩阵的坐标转换 100 0cossin 0sincos 100 0cossin 0sincos T 0 0 T是一

11、个正交矩阵，有是一个正交矩阵，有 T1 TT 杆端位移之间的转换关系为杆端位移之间的转换关系为 ee T 由由 ee TFF 等式两边同乘等式两边同乘T-1得得 可得可得 eee TkTF eee TkTF 1 eee TkTF T 可写为可写为 eee kF 式中式中 TkTk eeT Ke：整体坐标系中的单：整体坐标系中的单 元刚度矩阵。元刚度矩阵。 单元刚度矩阵坐标转换公式单元刚度矩阵坐标转换公式 10-3 单元刚度矩阵的坐标转换 将单元刚度方程按端结点将单元刚度方程按端结点i、j 进行分块，可写为进行分块，可写为 e j e i e jj e ji e ij e ii e j e i

12、kk kk F F 式式 中中 e i e yi e xi e i M F F F e j e yj e xj e j M F F F e i e i e i e i v u e j e j e j e j v u i端杆端力端杆端力 j端杆端力端杆端力 i端杆端位移端杆端位移 j端杆端位移端杆端位移 单元刚度矩阵单元刚度矩阵 ke的四个子块的四个子块 j i kk kk k ji e jj e ji e ij e ii e 可得可得 e j e jj e i e ji e j e j e ij e i e ii e i kkF kkF 每个子块都是每个子块都是33阶方阵阶方阵 10-3 单元

13、刚度矩阵的坐标转换 图示平面桁架杆件，两端只承受轴力，整体坐标系中图示平面桁架杆件，两端只承受轴力，整体坐标系中 e yj e xj e yi e xi e j e i e F F F F F F F e j e j e i e i e j e i e v u v u 由投影关系得坐标转换矩阵由投影关系得坐标转换矩阵T为为 cossin sincos cossin sincos T 0 0 10-4 结构的原始刚度矩阵 整体分析的目的：建立求解基本未知量的整体分析的目的：建立求解基本未知量的结构刚度方程结构刚度方程。 图图a所示刚架：单元结点编号如图所示刚架：单元结点编号如图a。整体坐标系和局

14、部坐标系如图。整体坐标系和局部坐标系如图b。 各单元刚度矩阵的四个子块为各单元刚度矩阵的四个子块为 4 3 3 2 2 1 4443 3433 3332 2322 2221 1211 ， kk kk k kk kk k kk kk k 1 2 2 3 3 4 10-4 结构的原始刚度矩阵 结构的结点位移列向量为结构的结点位移列向量为 4 3 2 1 式中式中 4 4 4 4 3 3 3 3 2 2 2 2 1 1 1 1 v u v u v u v u 与结点位移列向量对应的结点外力（荷载和反力）列向量为与结点位移列向量对应的结点外力（荷载和反力）列向量为 4 3 2 1 F F F F F

15、式中式中 4 4 4 4 3 3 3 3 2 2 2 2 1 1 1 1 M F F F M F F F M F F F M F F F y x y x y x y x 结点结点2、3处：结点外力处：结点外力F2、F3是给定的结点荷载；是给定的结点荷载； 支座支座1、4处：结点外力处：结点外力F1、F4是支座反力，如支座有给定结点荷是支座反力，如支座有给定结点荷 载，则载，则F1、F4为结点荷载与支座反力的代数和。为结点荷载与支座反力的代数和。 10-4 结构的原始刚度矩阵 如图如图c，以结点，以结点2为例，由平衡条件可得为例，由平衡条件可得 222 222 222 MMM FFF FFF y

16、yy xxx 写写 成成 矩矩 阵阵 形形 式式 2 2 2 2 2 2 2 2 2 M F F M F F M F F y x y x y x 可简写为可简写为 )a ( 222 FFF 平衡条件平衡条件 杆端力列向量用杆端力列向量用 杆端位移列向量表示杆端位移列向量表示 )b( 3232222 2221212 kkF kkF 10-4 结构的原始刚度矩阵 将式将式b、c代入式代入式a可得用结点位移表示可得用结点位移表示 的结点的结点2的平衡方程：的平衡方程： 变形连续条件变形连续条件 ) c ( 33 11 222 323222221212 )(kkkkF 同理，对于结点同理，对于结点1、

17、3、4都可以列出类都可以列出类 似的方程。汇集一起就有似的方程。汇集一起就有 4443344 434333332323 323222221212 2121111 )( )( kkF kkkkF kkkkF kkF 写成矩阵形式写成矩阵形式 写成矩阵形式写成矩阵形式 10-4 结构的原始刚度矩阵 4 4 4 4 3 3 3 3 2 2 2 2 1 1 1 1 4434 34333332 23222221 1211 4 4 4 4 3 3 3 3 2 2 2 2 1 1 1 1 00 0 0 00 v u v u v u v u kk kkkk kkkk kk M F F F M F F F M

18、F F F M F F F y x y x y x y x 简写为简写为 KF 原始刚度方程原始刚度方程 原始：原始： 未进行支承条未进行支承条 件处理。件处理。 结构原始刚度矩阵结构原始刚度矩阵（总刚）（总刚） 10-4 结构的原始刚度矩阵 4434 34333332 23222221 1211 44434241 34333231 24232221 14131211 00 0 0 00 kk kkkk kkkk kk KKKK KKKK KKKK KKKK K 原始刚度矩阵原始刚度矩阵K为为 K的每一个子块都是的每一个子块都是33阶方阵，故阶方阵，故K为为1212阶方阵。阶方阵。 每一元素的

19、物理意义：每一元素的物理意义： 所在列对应的结点位移分量所在列对应的结点位移分量=1（其余位移分量均为（其余位移分量均为0）时，）时， 所在行对应的结点外力分量所应有的数值。所在行对应的结点外力分量所应有的数值。 10-4 结构的原始刚度矩阵 结构原始刚度矩阵结构原始刚度矩阵K的性质的性质 （1）对称性。由反力互等定理可得。）对称性。由反力互等定理可得。 （2）奇异性。建立原始刚度方程时，没有考虑结构的支承约束条件。）奇异性。建立原始刚度方程时，没有考虑结构的支承约束条件。 结构原始刚度矩阵结构原始刚度矩阵K的组成规律：各单刚子块“的组成规律：各单刚子块“对号入对号入 座座”。”。 以单元以单

20、元的四个子块为例，的四个子块为例， 其入座位置如图所示。其入座位置如图所示。 k = 22 k 23 k 33 k 32 k 某单刚子块某单刚子块 应放到总刚中第应放到总刚中第i行行j列列 的位置上。利用坐标转换后的单刚子的位置上。利用坐标转换后的单刚子 块对号入座而直接形成总刚的方法。块对号入座而直接形成总刚的方法。 e ij k 直接刚度法直接刚度法 10-4 结构的原始刚度矩阵 主子块：主对角线上的子块主子块：主对角线上的子块Kii； 副子块：其余子块副子块：其余子块Kij。 相关单元：同交于一个结点的各杆件；相关单元：同交于一个结点的各杆件； 相关结点：两个结点之间有杆件直接相联。相关

21、结点：两个结点之间有杆件直接相联。 总刚的形成总刚的形成 （1）主子块）主子块Kii是由结点是由结点i的各相关单元的主子块叠加求得的各相关单元的主子块叠加求得 （2）副子块）副子块Kim，当，当i、m为相关结点时即为联结它们的单元的为相关结点时即为联结它们的单元的 相应副子块，相应副子块， ；当；当i、m为非相关结点时即为零子块。为非相关结点时即为零子块。 e iiii kK e imim kK 10-4 结构的原始刚度矩阵 例例10-1 试求图中所示刚架的原始总刚度矩阵。各杆材料及截试求图中所示刚架的原始总刚度矩阵。各杆材料及截 面均相同，面均相同，E=200GPa，I=3210-5m4，A

22、=110-2m2。 解：（解：（1）编号：单元、结点，整体坐标、各单）编号：单元、结点，整体坐标、各单 元局部坐标如图所示。元局部坐标如图所示。 （2）各单元刚度矩阵：在整体坐标系下。）各单元刚度矩阵：在整体坐标系下。 mkN1064 4 kN1024 6 m/kN1012 12 m/kN10500 3 3 2 3 3 3 l EI l EA l EI l EI 10-4 结构的原始刚度矩阵 单元单元 0sin1cos0， 3332 2322 kk kk k m4kN64kN20m2kN34kN20 4kN2m/2kN104kN2m/2kN10 00m/kN50000m/kN500 m2kN3

23、4kN20m4kN64kN20 4kN2m/2kN104kN2m/2kN10 00m/kN50000m/kN500 103 10-4 结构的原始刚度矩阵 单元和单元单元和单元 1sin0cos90， m4kN604kN2m2kN304kN2 0m/kN50000m/kN5000 4kN20m/2kN14kN20m/2kN1 m2kN304kN2m4kN604kN2 0m/kN50000m/kN5000 4kN20m/2kN14kN20m/2kN1 103 3334 4344 2221 1211 kk kk k kk kk k （3）总刚：各单刚子块对号入座）总刚：各单刚子块对号入座 10-4

24、结构的原始刚度矩阵 4 3 2 1 00 0 0 00 4443 34333332 23222221 1211 kk kkkk kkkk kk K 1 2 3 4 总刚总刚K为为1212阶的方阵。阶的方阵。 上节建立的刚架原始刚度方程为上节建立的刚架原始刚度方程为 10-5 支承条件的引入 4 3 2 1 4434 34333332 23222221 1211 4 3 2 1 00 0 0 00 kk kkkk kkkk kk F F F F 未知未知 已知已知 已知已知 未知未知 已知已知 未知未知 未知未知 已知已知 上式中：上式中： F2、F3是已知的结点荷载，对应的是已知的结点荷载，对

25、应的2、3是待求的未知结点位移；是待求的未知结点位移； F1、F4是未知的支座反力，对应的是未知的支座反力，对应的1、4是已知的结点位移。是已知的结点位移。 结点结点1、4为固定端，故支承约束条件为为固定端，故支承约束条件为 0 0 4 1 10-5 支承条件的引入 由矩阵的乘法运算可得由矩阵的乘法运算可得 3 2 43 12 4 1 0 0 k k F F 3 2 333332 232222 3 2 kkk kkk F F （a） 结构刚度方程结构刚度方程 KF 式中：式中：F只包括已知结点荷载，只包括已知结点荷载， 只包括未知结点位移。只包括未知结点位移。 K为为结构的刚度矩阵结构的刚度矩

26、阵， 或称或称缩减的总刚缩减的总刚。 整体坐标系中杆端力计算式为整体坐标系中杆端力计算式为 FK 1 eee kF 局部坐标系中杆端力计算式为局部坐标系中杆端力计算式为 eeee TkTFF 局部坐标系中杆端结点位移为局部坐标系中杆端结点位移为 ee T 局部坐标系中杆端力计算式为局部坐标系中杆端力计算式为 eeeee TkkF 10-6 非结点荷载的处理 图图a所示刚架作用非结点荷载，利用叠加法将其进行分解，如图所示刚架作用非结点荷载，利用叠加法将其进行分解，如图b、c。 图图b：加上附加链杆和附加刚臂阻止所有结点的线位移：加上附加链杆和附加刚臂阻止所有结点的线位移 和角位移。此时各单元有杆

27、端力（固端力），附和角位移。此时各单元有杆端力（固端力），附 加链杆和附加刚臂上有附加反力和反力矩。加链杆和附加刚臂上有附加反力和反力矩。 图图c：取消附加链杆和附加刚臂，将图：取消附加链杆和附加刚臂，将图b的附加反力的附加反力 和和 反力矩反力矩反号后反号后作为荷载加在结点上。作为荷载加在结点上。 等等 效效 结结 点点 荷荷 载载 等效等效：图：图a与图与图c结点位移结点位移是相等的。是相等的。 图图a的内力的内力=图图b的内力的内力+图图c的内力。的内力。 10-6 非结点荷载的处理 计算过程计算过程 （1）单元）单元e在局部坐标系中，非结点荷在局部坐标系中，非结点荷 载作用下的固端力（

28、查表）为载作用下的固端力（查表）为 e j e j e j e i e i e i e j e i e M F F M F F F F F F F S F N F F S F N F F F 整体坐标系中的固端力为整体坐标系中的固端力为 e j e yj e xj e i e yi e xi e j e i ee M F F M F F F F FTF F F F F F F F F FTF （2）等效结点荷载等效结点荷载=固端力代数和的相反数。固端力代数和的相反数。 任一结点任一结点i上等效结点荷载上等效结点荷载FEi将是将是 e i e yi e xi i yi xi i M F F M

29、F F F F F F E E E E 10-6 非结点荷载的处理 （3）综合结点荷载综合结点荷载Fi：FDi为直接作用在结点为直接作用在结点i上的荷载。上的荷载。 i点总的结点荷载为点总的结点荷载为 iii FFF ED 整个结构的综合结点荷载列阵为整个结构的综合结点荷载列阵为 ED FFF 各单元最后杆端力为各单元最后杆端力为 eeee kFF F 局部坐标系中杆端力为局部坐标系中杆端力为 eeee TkFF F 或或 eeee TkFF F 10-7 矩阵位移法的计算步骤及示例 矩阵位移法的计算步骤矩阵位移法的计算步骤 （1）编号：结点、单元，选定整体坐标系和局部坐标系。）编号：结点、单

30、元，选定整体坐标系和局部坐标系。 （2）单元分析：计算各杆的单元刚度矩阵。）单元分析：计算各杆的单元刚度矩阵。 （3）结构原始刚度矩阵：对号入座。）结构原始刚度矩阵：对号入座。 （4）荷载计算：固端力、等效结点荷载、综合结点荷载。）荷载计算：固端力、等效结点荷载、综合结点荷载。 （5）引入支承条件：修改结构原始刚度方程。）引入支承条件：修改结构原始刚度方程。 （6）解算结构刚度方程：求出结点位移。）解算结构刚度方程：求出结点位移。 （7）计算各单元杆端力。）计算各单元杆端力。 10-7 矩阵位移法的计算步骤及示例 例例10-2 试求图示刚架的内力。已知试求图示刚架的内力。已知E=200GPa，

31、I=3210-5m4， A=110-2m2。 解：（解：（1）单元结点编号，确定坐标系如图。）单元结点编号，确定坐标系如图。 （2）单元刚度矩阵，见例）单元刚度矩阵，见例10-1。 （3）对号入座）对号入座结构原始刚度矩阵，见例结构原始刚度矩阵，见例10-1。 （4）各单元固端力、等效结点荷载、综合结点荷载计算。）各单元固端力、等效结点荷载、综合结点荷载计算。 mkN50 kN50 0 mkN50 kN50 0 F 3 F 3S F 3N F 2 F 2S F 2N F 3 F 2 F M F F M F F F F F 10-7 矩阵位移法的计算步骤及示例 mkN40 kN60 0 mkN4

32、0 kN60 0 F 2 F 2S F 2N F 1 F 1S F 1N F 2 F 1 F M F F M F F F F F 0 F F 坐标转换，求出各单元整体坐标系中的固端力。坐标转换，求出各单元整体坐标系中的固端力。 mkN50 kN50 0 mkN50 kN50 0 F 3 F 2 FF F F FF mkN40 0 kN60 mkN40 0 kN60 F 2 F 1 FTF F F FTF 单元单元 0 单元单元 90 0 F F 10-7 矩阵位移法的计算步骤及示例 结点结点2、3上的等效结点荷载为上的等效结点荷载为 mkN10 kN50 kN60 )( F 2 F 22E F

33、FF mkN50 kN50 0 )( F 3 F 33E FFF 结点结点2、3上的综合结点荷载为上的综合结点荷载为 mkN10 kN50 kN110 2 F mkN50 kN50 0 3 F 结结 构构 的的 结结 点点 外外 力力 列列 向向 量量 为为 4 4 4 1 1 1 4 4 4 3 3 3 2 2 2 1 1 1 4 3 2 1 mkN50 kN50 0 mkN10 kN50 kN110 M F F M F F M F F M F F M F F M F F F F F F F y x y x y x y x y x y x 10-7 矩阵位移法的计算步骤及示例 （5）引入支承条件，修改原始刚度方程。）引入支承条件，修改原始刚度方程。 4 4 4 3 3 3 2 2 2 1 1 1 4 4 4 1 1 1 4 4 4 3 3 3 2 2 2 1 1 1 mkN50 kN50 0