第一章线性规划问题及单纯形解法课件.ppt
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- 第一章 线性规划 问题 单纯 解法 课件
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1、第一章线性规划问题及单纯形解法优选第一章线性规划问题及单纯形解法3三、求解方法采用成熟的单纯形法目三、求解方法采用成熟的单纯形法目前,用单纯形法解线性规划的计算机程前,用单纯形法解线性规划的计算机程序已大量涌现,在计算机上求解此类问序已大量涌现,在计算机上求解此类问题已十分容易题已十分容易二、模型较为简单,容易建立,容易二、模型较为简单,容易建立,容易学习和掌握学习和掌握4 线性规划的一种最大量、最普遍的应用线性规划的一种最大量、最普遍的应用就是研究有限资源的合理利用问题,或说资就是研究有限资源的合理利用问题,或说资源的最优配置问题资源分配问题有多种多源的最优配置问题资源分配问题有多种多样的具
2、体形式例:样的具体形式例:线性规划解决的问题 1 1、生产的合理安排问题、生产的合理安排问题 2 2、投资决策问题、投资决策问题 3 3、运输问题、运输问题51.1 1.1 什么是线性规划什么是线性规划(Linear Programming)Linear Programming)的简单例子和模型的简单例子和模型 (1 1)数学模型数学模型 一个实际问题的数学模型,是依据一个实际问题的数学模型,是依据客观规律,对该问题中我们所关心的那客观规律,对该问题中我们所关心的那些量进行科学的分析后得出的反映这些些量进行科学的分析后得出的反映这些量之间本质联系的数学关系式。量之间本质联系的数学关系式。6 单
3、单 位位 单位单位 时耗时耗资源资源 一一 二二现有工现有工时时搅拌机搅拌机/小时小时3515成形机成形机/小时小时215烘箱烘箱/小时小时2211利润(百元利润(百元/吨)吨)54例1.21 饼干生产问题7 问题问题 :如何制订生产计划,:如何制订生产计划,才能使资源利用充分并使厂方获才能使资源利用充分并使厂方获最大利润。最大利润。8解:设由解:设由x x1 1,x x2 2 分别表示分别表示1 1,2 2型饼干每型饼干每天的生产量。天的生产量。max z=5x max z=5x1 1+4x+4x2 2 s.t.3xs.t.3x1 1+5x+5x2 2 15,15,2x 2x1 1+x+x2
4、 25,5,2x 2x1 1+2x+2x2 211,11,x x1 1,x,x2 20.0.maxmaxmaximize,s.t.maximize,s.t.subject tosubject to9单台运费B1(100)B2(80)B3(90,120)A1(200)152118A2(150)162516问题:如何调运才能即满足用户需要,问题:如何调运才能即满足用户需要,又使总运费最少?又使总运费最少?例1.22 运输问题1011x1,x20.设X属于S,若x=0,则一定为极点;基可行解:若基解中所有的XB 都0 时,称为基可行解.4 人工变量的引入及其解法2-2 假设上例中的目标函数变为1试列
5、出下面线性规划问题的初始单纯形表(1)分别取决策变量X1,X2 为坐标向量建立直角坐标系。第i 个约束的bi 为负值,则在bi所在之方程的两边乘以-1。4 人工变量的引入及其解法(2)对每个不等式(约束条件),先取其等式在坐标系中作直线,然后确定不等式所决定的半平面。2x1+x25,例的单纯形表及其迭代过程x2 +s3=250 x1,x2,x3,x3,x4,x5,x6 0.迭代的实质是线性变换,即要将主元 ai*j*变为1,主列上其它元素变为0,变换步骤如下:1、标准型的几种不同的表示方式1)和式技术系数右端项价值系数线性规划问题的规模约束行数变量个数为决策变量为约束条件为目标函数或:;:;:
6、;:;:,.z0,),(),(),(.)(max)min(2121221122222121112121112211ijjjnnmnmnmmnnnnnnabcmnmnxxxtsxxxbxaxaxabxaxaxabxaxaxatsxcxcxcxz线性规划数学模型的一般表示方式120,.)(max21221122222121112121112211nmnmnmmnnnnnnxxxbxaxaxabxaxaxabxaxaxatsxcxcxcxz线性规划数学模型的标准型13njxmibxatsxcxzjinjjijnjjj,2,1 ,0,2,1 ,.)(max111 1、标准型的几种不同的表示方式、标准型
7、的几种不同的表示方式1)和式140000 ),(;),(.)(max210212121010bPXC0XbPCXmmjjjjTnnnjjjbbbaaaxxxcccxtsxz2)向量式)向量式15 ),(),(),(.)(max212121212222111211TmTnnmnmmnnbbbxxxcccaaaaaaaaatsxzbXCA0XbAXCX3)矩阵)矩阵16 1 1)A A中没有多余方程;中没有多余方程;2 2)b b 0 0 2 2、对标准型问题作出的假设、对标准型问题作出的假设17极点就是不能成为E 中任何线段的内点的那种点x1,x2,x3,x3,x4,x5,x6 0.x1,x2,
8、x3,x3,x4,x5,x6 0.(3)变换非主行、主列元素 aij(包括 bi)z=3x1+5x22x1+2x211,1.x2 +s3=2503x1+5x2 15,x1 x2 x3 s1 s2 s32 0 3/2 0 0 0s.1、标准型有 n+m个变量,m 个约束行线性规划的一种最大量、最普遍的应用就是研究有限资源的合理利用问题,或说资源的最优配置问题资源分配问题有多种多样的具体形式例:max z=5x1+4x2 1.关于LP问题求解的一些基本概念和特点基解:令非基变量 XN=0,求得基变量XB的值称为基解.x1,x2,s1,s2,s300 2 3/2 -2 0 01、标准型的几种不同的表
9、示方式1)和式 0,|xbAxRxsn 最优解最优解 使使z达到最优的达到最优的可行解可行解就是就是最优解最优解(有解(有解(给定的Lp 问题有最优解)、否则无解)否则无解)w可行解可行解 满足约束条件和非负条件的解满足约束条件和非负条件的解 X X 称为可行解,所有可行解组成的集合称之为称为可行解,所有可行解组成的集合称之为可行解集(可行域)可行解集(可行域)3、LP问题解的几个基本概念182.第第i 个约束的个约束的bi 为负值,则在为负值,则在bi所在之方程的两边乘以所在之方程的两边乘以-1。4、一般型变标准型的变换方法1.目标函数为目标函数为min型时,价值系数型时,价值系数一律反号。
10、即令一律反号。即令 z(x)=-z-z(x)=-CX193.3.第第i i 个约束为个约束为 型,在不等型,在不等式左边增加一个非负的变量式左边增加一个非负的变量x xn+in+i ,称为松弛变量(原有变量为构造称为松弛变量(原有变量为构造变量);同时令变量);同时令 c cn+in+i =0=04.4.第第i i 个约束为个约束为 型,在不等式型,在不等式左边减去一个非负的变量左边减去一个非负的变量x xn+in+i ,称称为剩余变量;同时令为剩余变量;同时令 c cn+in+i =0=0206.6.若若x xj j 无符号限制,令无符号限制,令 x xj j=x xj j -x xj j,
11、x xj j 0 0,x xj j 0 0,代入非标代入非标准型准型5.5.若若x xj j 0 0,令,令 x xj j=-=-x xj j ,代入非,代入非标准型,则有标准型,则有x xj j 0 021原非标准型:原非标准型:max z=5xmax z=5x1 1+4x+4x2 2 s.t.3xs.t.3x1 1+5x+5x2 2 15,15,2x 2x1 1+x+x2 25,5,2x 2x1 1+2x+2x2 211,11,x x1 1,x,x2 20.0.5、变换举例例1.22标准型:标准型:max z=5x1+4x2 s.t.3x1+5x2+x3=15,2x1+x2 +x4=5,2
12、x1+2x2 +x5=11,x1,x2,x3,x4,x50.230,20040065300432.423)(min:213321321321321xxxxxxxxxxxxtsxxxxf不限原非标准型例224标准型:标准型:max f(x)=-3x1+2x2-4x3+4x3+0 x4+0 x5+0 x6 s.t.2x1+3x2+4x3-4x3-x4=300,x1+5x2+6x3-6x3+x5=400,x1+x2+x3-x3+x6=200,x1,x2,x3,x3,x4,x5,x6 0.25X是极点的充分必要条件是:它是基可行解。极点就是不能成为E 中任何线段的内点的那种点1、生产的合理安排问题若有
13、 bi0,则单位阵也不能构成一个可行基若有 bi0,则单位阵也不能构成一个可行基3x1+5x2+x3=15,时耗基解:令非基变量 XN=0,求得基变量XB的值称为基解.的列向量的全部分量 0,则所给问题无A=(P1,P2 ,Pn,Pn+1,Pn+2,.三、关于最优解的获得方法问题请查看教材P29中单纯形表的组成形式。x2 +s3=250 x1=50 x2=250s.(2)对每个不等式(约束条件),先取其等式在坐标系中作直线,然后确定不等式所决定的半平面。max f(x)=-3x1+2x2-4x3+4x3+0 x4+0 x5+0 x6max z=5x1+4x2 1.线性规划的一种最大量、最普遍的
14、应用就是研究有限资源的合理利用问题,或说资源的最优配置问题资源分配问题有多种多样的具体形式例:x1+x2+s1 =300 x1,x2,x3,x4,x50.1.2 求解LP问题的基本定理 的图解法 对于只有两个决策变量的线性规划问题,可以在平面直角坐标系上作图表示线性规划问题的有关概念,并求解。如26例例1.3 Maxz=50 x1+100 x2 s.t.x1+x2 300 2 x1+x2 400 x2 250 x1、x2 027采用图采用图 解解 法法(1)分别取决策变量X1,X2 为坐标向量建立直角坐标系。在直角坐标系里,图上任意一点的坐标代表了决策变量的一组值,例1.3的每个约束条件都代表
15、一个半平面。x2x1X20X2=0 x2x1X10X1=028(2)对每个不等式(约束条件),先取其等式在坐标系中作直线,然后确定不等式所决定的半平面。100200300100200300 x1+x2300 x1+x2=3001001002002x1+x24002x1+x2=40030020030040029(3)把五个图合并成一个图,取各约束条件的公共部分,如P7图12所示。100100 x2250 x2=250200300200300 x1x2x2=0 x1=0 x2=250 x1+x2=3002x1+x2=400图1-230(4 4)目标函数)目标函数z=50 xz=50 x1 1+10
16、0 x+100 x2 2,当,当z z取某一固定值时得取某一固定值时得到一条直线,直线上的每一点都具有相同的目标函到一条直线,直线上的每一点都具有相同的目标函数值,称之为数值,称之为“等值线等值线”。平行移动等值线,当移。平行移动等值线,当移动到动到B B点时,点时,z z在可行域内实现了最大化。在可行域内实现了最大化。A A,B B,C C,D D,E E是可行域的顶点,对有限个约束条件则其可行是可行域的顶点,对有限个约束条件则其可行域的顶点也是有限的。域的顶点也是有限的。x1x2z=20000=50 x1+100 x2图1-3z=27500=50 x1+100 x2z=0=50 x1+10
17、0 x2z=10000=50 x1+100 x2CBADEx1+x2=30031得到最优解:x1=50,x2=250 最优目标值z=2750032若在上例模型中中引入松弛变量若在上例模型中中引入松弛变量s1 s2 s3s1 s2 s3模型化模型化为为 Max z=50 x1+100 x2+0s1+0s2+0s3 Max z=50 x1+100 x2+0s1+0s2+0s3 s.t.x1+x2+s1=300 s.t.x1+x2+s1=300 2x1+x2 +s2=400 2x1+x2 +s2=400 x2 +s3=250 x2 +s3=250 x1,x2,s1,s2,s30 x1,x2,s1,s
18、2,s30 可求解得其最优解为可求解得其最优解为 x1=50 x2=250 x1=50 x2=250 s1=0 s2=50 s3=0 s1=0 s2=50 s3=0说明生产说明生产5050单位单位产品和产品和250250单位单位产品将消耗完所产品将消耗完所有资源有资源1 1和和3 3,但资源,但资源2 2还剩余还剩余5050。33 max z=5x1+4x2 1.1 s.t.3x1+5x2 15,1.2 2x1+x25,1.3 2x1+2x211,1.4 x1,x20.1.5无需化标准形 例1.2-1 求解饼干生产问题34图中的OABC即为满足约束条件的可行解集S,需在S中找出最优解,若z 为
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