大学精品课件:第十一章 能量方法.PPT
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1、 第十一章第十一章 能量方法能量方法 111 变形能的普遍表达式变形能的普遍表达式 112 莫尔定理莫尔定理(单位力法单位力法) 113 截面上的应力及强度条件截面上的应力及强度条件 111 变形能的普遍表达式变形能的普遍表达式 一、能量原理:一、能量原理: 二、杆件变形能的计算:二、杆件变形能的计算: 1.1.轴向拉压杆的变形能计算:轴向拉压杆的变形能计算: L x EA xN Ud 2 )( 2 n i ii ii AE LN U 1 2 2 或 2 1 :u比能 弹性体内部所贮存的变形能,在数值上等于外力所作 的功,即 WU 利用这种功能关系分析计算可变形固体的位移、变形 和内力的方法称
2、为能量方法。 2.2.扭转杆的变形能计算:扭转杆的变形能计算: L P n x GI xM Ud 2 )( 2 n i Pii ini IG LM U 1 2 2 或 2 1 :u比能 3.3.弯曲杆的变形能计算:弯曲杆的变形能计算: L x EI xM Ud 2 )( 2 n i ii ii IE LM U 1 2 2 或 2 1 :u比能 三、变形能的普遍表达式:三、变形能的普遍表达式: 变形能与加载次序无关;相互独立的力(矢)引起的变形能 可以相互叠加。 细长杆,剪力引起的变形能可忽略不计。 L x EA xQ d 2 )( 2 S 剪切挠度因子 S x EI xM x GI xM x
3、EA xN U LL P n L d 2 )( d 2 )( d 2 )( 222 x EI xM x GI xM x EA xN U LL P n L d 2 )( d 2 )( d 2 )( 222 Q MN MT A A P N B j j T 例例1 1 图示半圆形等截面曲杆位于水平面内,在A点受铅垂力P的作 用,求A点的垂直位移。 解:用能量法(外力功等于应变能) 求内力 jjsin)(:PRMT弯矩 )cos1 ()(:jj PRM N 扭矩 A P R 外力功等于应变能 变形能: LL P L x EI xM x GI xM x EA xN Ud 2 )( d 2 )( d 2
4、)( 2 2 n 2 j j j j 0 222 0 222 d 2 )(sin d 2 )cos1( R EI RP R GI RP P EI RP GI RP P 44 3 3232 Uf P W A 2 EI PR GI PR f P A 22 3 33 例例2 用能量法求C点的挠度。梁为等截面直梁。 C PfW 2 1 解:外力功等于应变能 L x EI xM Ud 2 )( 2 )0( ; 2 )(axx P xM 在应用对称性,得: EI aP xx P EI U a 12 d) 2 ( 2 1 2 32 0 2 EI Pa fUW C 6 3 思考:分布荷载时,可否用此法求C点位
5、移? q C a a A P B f 112 莫尔定理莫尔定理(单位力法单位力法) AC fUUU1 0 L x EI xM Ud 2 )( 2 L x EI xM Ud 2 )( 2 0 0 L C x EI xMxM Ud 2 )()( 2 0 L A x EI xMxM fd )()( 0 求任意点A的位移f A 。 一、定理的证明:一、定理的证明: a A 图 fA q(x) 图c A 0 P =1 q(x) f A 图b A =1 P0 莫尔定理莫尔定理( (单位力法单位力法) ) 二、普遍形式的莫尔定理二、普遍形式的莫尔定理 x EI xMxM f L A d )()( 0 L P
6、 nn L A x GI xMxM x EA xNxN d )()( d )()( 00 x EI xMxM L d )()( 0 三、使用莫尔定理的注意事项:三、使用莫尔定理的注意事项: M0(x)与M(x)的坐标系必须一致,每段杆的坐标系可 自由建立。 莫尔积分必须遍及整个结构。 M0去掉主动力,在所求 广义位移广义位移 点,沿所求 广义位移广义位移 的方向加广义单位力广义单位力 时,结构产生的内力。 M(x):结构在原载荷下的内力。 所加广义单位力与所求广义位移之积,必须为功的量纲。 例例3 3 用能量法求C点的挠度和转角。梁为等截面直梁。 2 )( 2 qx aqxxM )2( ; )
7、2( 2 )0( ; 2 )( 0 axaxa x ax x xM 解:画单位载荷图 求内力 B A a a C q B A a a C 0 P =1 x d )()( d )()( 2 0 0 0 a a a C x EI xMxM x EI xMxM f a x EI xMxM 0 0 d )()( 2 对称性对称性 EI qa x xqx qax EI a 24 5 d 2 ) 2 ( 2 4 0 2 变形 B A a a C 0 P =1 B A a a C q x 求转角,重建坐标系(如图) aa x a xqx qax EI x a xqx qax EI 0 2 2 2 2 2 0
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