第五章根轨迹设计方法-控制工程基础课件.ppt
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- 第五 轨迹 设计 方法 控制工程 基础 课件
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1、控制工程基础机电工程学院机电工程学院pagepage第五章 根轨迹设计方法 1主要内容主要内容第一节第一节 根轨迹的基本概念根轨迹的基本概念第二节第二节 绘制根轨迹的基本条件绘制根轨迹的基本条件第三节第三节 绘制根轨迹的基本规则绘制根轨迹的基本规则第四节第四节 广义根轨迹广义根轨迹第五节第五节 利用根轨迹分析系统的性能利用根轨迹分析系统的性能控制工程基础机电工程学院机电工程学院pagepage第五章 根轨迹设计方法 2 系统系统稳定的充要条件是其闭环极点全部具有负的稳定的充要条件是其闭环极点全部具有负的实部。实部。闭环极点决定了闭环系统瞬态响应的基本特征。闭环极点决定了闭环系统瞬态响应的基本特
2、征。因此,在分析和处理闭环系统问题时,确定因此,在分析和处理闭环系统问题时,确定闭环极点闭环极点在在 s 平面平面上的位置是十分重要的。而且在上的位置是十分重要的。而且在设计闭环系设计闭环系统时,也往往通过调整开环极点和零点的位置,使闭统时,也往往通过调整开环极点和零点的位置,使闭环极点和零环极点和零点位于点位于 s 平面平面上所希望的区域。上所希望的区域。根轨迹根轨迹设计方法是基于系统开环极点和零点与闭设计方法是基于系统开环极点和零点与闭环极点和零点的内在联系建立的一种图解方法,是经环极点和零点的内在联系建立的一种图解方法,是经典控制理论中对系统进行分析和综合的基本方法之一。典控制理论中对系
3、统进行分析和综合的基本方法之一。控制工程基础机电工程学院机电工程学院pagepage第五章 根轨迹设计方法 3第一节第一节 根轨迹的基本概念根轨迹的基本概念 根轨迹根轨迹图是闭环系统特征方程的根图是闭环系统特征方程的根(即闭环极点即闭环极点)随随开环开环系统某一参数由零变化到无穷大系统某一参数由零变化到无穷大时在时在ss平面上的平面上的变化轨迹。变化轨迹。一一根轨迹根轨迹(图图)开环极点开环极点 没有零点。式中没有零点。式中 为开环增益。为开环增益。10,p 22 p K 为了说明根轨迹的基本概念为了说明根轨迹的基本概念,以,以图图5-1-15-1-1所示系统为例,所示系统为例,分析分析系统参
4、数系统参数K 由由零到正无穷大变化时,闭环特征方程的零到正无穷大变化时,闭环特征方程的根在根在ss平面平面上变化的情况。上变化的情况。解:系统解:系统开环传递函数为开环传递函数为(5-1-1)2()(0.51)(2)KKG ssss s 图图5-1-1 5-1-1 控制系统方框图控制系统方框图)15.0(SSK)(SC)(SR控制工程基础机电工程学院机电工程学院pagepage第五章 根轨迹设计方法 4系统系统的闭环传递函数的闭环传递函数(s)()1(s)(s)GsGH2222KssK系统的特征方程为系统的特征方程为2()220D SssK特征方程的根是特征方程的根是1211 ,11sKsK
5、120,2ss当当 时时,0K 图图5-1-1 5-1-1 控制系统方框图控制系统方框图)15.0(SSK)(SC)(SR系统开环增益系统开环增益 K K 和和系统闭环特征根系统闭环特征根的关系的关系:2,021ss707.1,293.021ss1,121ssjsjs1,121当当K K0 0时,时,当当K K0.250.25时时,当当K K0.50.5时,时,当当K K1 1时,时,控制工程基础机电工程学院机电工程学院pagepage第五章 根轨迹设计方法 5js11js12K当当 变化变化时时,0则则K由由 变化变化时,闭环特征方程的时,闭环特征方程的根在根在ss平面平面上上移动的移动的轨
6、迹轨迹如如图图5-1-25-1-2。j01231(0)K(0)K(1)K()K()K 图图5-1-2 5-1-2 图图5-1-15-1-1的的根轨迹根轨迹控制工程基础机电工程学院机电工程学院pagepage第五章 根轨迹设计方法 6K 当当系统参数系统参数 为为某一确定的值时,闭环系统特征某一确定的值时,闭环系统特征方程的方程的根在根在SS平面平面上变化的位置便可确定,由此可上变化的位置便可确定,由此可进一步分析系统的性能。进一步分析系统的性能。值值的变化对闭环系统特征的变化对闭环系统特征方程的影响可在根轨迹上直观地看到,因此系统参数方程的影响可在根轨迹上直观地看到,因此系统参数对系统性能的影
7、响也一目了然。所以用根轨迹图来分对系统性能的影响也一目了然。所以用根轨迹图来分析自动控制系统是十分方便的。析自动控制系统是十分方便的。K 19481948年伊万斯年伊万斯(W WR REVANSEVANS)解决了这个问题,提解决了这个问题,提出了出了根轨迹法。根轨迹法。该方法不需要求解闭环系统的特征该方法不需要求解闭环系统的特征方,只需依据开环传递函数便可会绘制系统的根轨方,只需依据开环传递函数便可会绘制系统的根轨迹图。迹图。控制工程基础机电工程学院机电工程学院pagepage第五章 根轨迹设计方法 7第二节第二节 绘制根轨迹的基本条件绘制根轨迹的基本条件一一闭环零、极点与开环零、极点的关系闭
8、环零、极点与开环零、极点的关系()()()()B sG s H sR s(5-2-1)闭环传递函数为闭环传递函数为 (5-2-2)图图5-2-1 5-2-1 控制系统方框图控制系统方框图开环传递函数为开环传递函数为一般情况下,前向通道的传递函数一般情况下,前向通道的传递函数G(s)可可表示成表示成()()()()1()()C sG ssR sG s H s()R s()G s()H s()C s B(sB(s)控制工程基础机电工程学院机电工程学院pagepage第五章 根轨迹设计方法 811(1)()(1)fiiGgviisG sKsTs(5-2-3)前向前向通通路增益路增益前向通路前向通路根
9、根轨迹增益轨迹增益*11()()fiiGgviiszKssp*11fiiGGgiiKKT(5-2-4)式中,式中,iiz1iiTp1反馈通路传递函数反馈通路传递函数H(s)H(s)可分别表示可分别表示11(1)()(1)ljjHhjjsH sKT s(5-2-5)1*1()()ljjHhjjszKsp反馈反馈通通路增益路增益反馈通路反馈通路根根轨迹增益轨迹增益(5-2-6)1*1ljjHHhjjKKT式中,式中,jjz1jjTp1控制工程基础机电工程学院机电工程学院pagepage第五章 根轨迹设计方法 9前向通路传递前向通路传递函数函数零点。零点。前向通路前向通路传递传递函数极点。函数极点。
10、反馈通路传递反馈通路传递函数函数零点。零点。反馈通路反馈通路传递传递函数极点。函数极点。11*11()()()()()()flijijghvijijszszGs HsKsspsp(5-2-7)开环系统的极点数开环系统的极点数mflnghv开环系统的零点数开环系统的零点数*GHKK K开环系统开环系统根根轨迹增益。轨迹增益。控制工程基础机电工程学院机电工程学院pagepage第五章 根轨迹设计方法 10 闭环零点由前向通路传递函数零点和反馈通路闭环零点由前向通路传递函数零点和反馈通路传递函传递函数极点数极点所组成;对于单位反馈系统,闭环零点就是开环零点。所组成;对于单位反馈系统,闭环零点就是开环
11、零点。结论:结论:闭环系统根轨迹增益,等于开环系统前向闭环系统根轨迹增益,等于开环系统前向通路根轨迹通路根轨迹增益;增益;闭环极点与开环零点、开环极点以及根轨迹增益均有闭环极点与开环零点、开环极点以及根轨迹增益均有关。关。*11*1111()()()()()()()fhGijijgfhlijijijijKszspssspspKszsz(5-2-8)系统的闭环传递函数如下系统的闭环传递函数如下控制工程基础机电工程学院机电工程学院pagepage第五章 根轨迹设计方法 11根轨迹法的基本任务在于:根轨迹法的基本任务在于:如何由已知的开环零、极点如何由已知的开环零、极点的分布及根轨迹增益,通过的分布
12、及根轨迹增益,通过图解的方法找出闭环极点。图解的方法找出闭环极点。控制工程基础机电工程学院机电工程学院pagepage第五章 根轨迹设计方法 12二、根轨迹方程二、根轨迹方程-相角条件、幅值条件相角条件、幅值条件闭环系统的特征方程为:闭环系统的特征方程为:0)()(1sHsG (5-2-9)绘制绘制根轨迹的实质就是寻求闭环特征方程在参数发生变根轨迹的实质就是寻求闭环特征方程在参数发生变化时的根化时的根。因此满足方程式因此满足方程式1)()(sHsG(5-2-10)或或*11()1()miinjjKszsp()nm(5-2-11)的的s值,都必定是根轨迹上的点,称式值,都必定是根轨迹上的点,称式
13、(5-2-115-2-11)为为根轨迹根轨迹方程方程(Root-Locus Equation)。控制工程基础机电工程学院机电工程学院pagepage第五章 根轨迹设计方法 13 由于由于 为复数,根轨迹方程为复数,根轨迹方程 ,根据根据等式两边的相角和幅值分别相等的条件,可将式(等式两边的相角和幅值分别相等的条件,可将式(5-2-115-2-11)分)分解为下面两个方程。解为下面两个方程。()()G s H s()()1G s H s 向量向量-1-1的幅值相角形式为的幅值相角形式为 相角条件相角条件(Angle Condition)(5-2-12)或或)12()()(11kpszsnjjmi
14、i(5-2-13)11(21)k 0,1,2k()()(21)G s H sk 控制工程基础机电工程学院机电工程学院pagepage第五章 根轨迹设计方法 14幅值条件幅值条件(Magnitude Condition)1)()(sHsG(5-2-14)即即*111miinjjKszsp (5-2-15)因此因此,满足幅值条件和相角条件的满足幅值条件和相角条件的s值,就是特征方程的值,就是特征方程的根,也就是闭环极点根,也就是闭环极点。控制工程基础机电工程学院机电工程学院pagepage第五章 根轨迹设计方法 15 满足满足相角条件相角条件的的s 值值代入幅值条件方程式中,代入幅值条件方程式中,
15、总可以求得一个对应的总可以求得一个对应的 。*K 也就是说,也就是说,s值值满足相角条件方程,则必定也同时满足相角条件方程,则必定也同时满足幅值条件方程。满足幅值条件方程。所以,相角条件方程是决定闭环所以,相角条件方程是决定闭环特征根的充要条件。也就是说要画出系统的根轨迹,特征根的充要条件。也就是说要画出系统的根轨迹,只要在只要在ss平面平面上找到满足相角条件的点就可以了。上找到满足相角条件的点就可以了。由根轨迹方程可以看出:由根轨迹方程可以看出:控制工程基础机电工程学院机电工程学院pagepage第五章 根轨迹设计方法 16030K图图5-2-2 5-2-2 系统系统的根轨迹图的根轨迹图 图
16、5-2-2 系统解:解:31p为为开环极点开环极点 幅值条件幅值条件 相角条件相角条件 即即(3)(21)sK 180(极点极点3 3到到 可构成的可构成的向量与向量与实轴成实轴成 。j例例5-15-1 单位负单位负反馈系统的反馈系统的开环传递函数为开环传递函数为 绘制绘制其根轨迹。其根轨迹。()3KG ss|3|ks(3)(21)sk控制工程基础机电工程学院机电工程学院pagepage第五章 根轨迹设计方法 17例例5-25-2 单位负反馈系统的单位负反馈系统的开环传递函数为开环传递函数为 绘制其根轨迹。绘制其根轨迹。(6)()4K sG ss解:解:41p为开环极点为开环极点 61z为开环
17、零点为开环零点 幅值条件幅值条件 相角条件相角条件 闭环极点到闭环极点到-6-6的夹角与到的夹角与到-4-4的夹角差为的夹角差为180-4-60 图图5-2-3 5-2-3 例例5-25-2的的根轨迹图根轨迹图0KKj|4|6|SKS(6)(4)(21)SSK控制工程基础机电工程学院机电工程学院pagepage第五章 根轨迹设计方法 18例例5-35-3 单位负反馈系统的单位负反馈系统的开环传递函数为开环传递函数为 ,如如何应用根轨迹方程在何应用根轨迹方程在ss平面上找到闭环极点。平面上找到闭环极点。()(21)KG sss解:解:系统有两个开环极点系统有两个开环极点 120,0.5pp幅值条
18、件幅值条件)12(ssK或或*(0.5)Ks s相角条件相角条件(0.5)(21)ssK 如如图图5-2-45-2-4所示,假设所示,假设s1 1,s2 2分别为系统根轨迹上的点分别为系统根轨迹上的点,根,根据据相角条件,有相角条件,有*0.5()(21)(0.5)(0.5)KKKG ss ss ss s控制工程基础机电工程学院机电工程学院pagepage第五章 根轨迹设计方法 1911112()()()1800180G sspsp22122()()()13545180G sspsp 故故横轴上横轴上(0,-0.5)(0,-0.5)区间为系统根轨迹,过点区间为系统根轨迹,过点(-0.25(-0
19、.25,j0)0)且与横轴垂直的直线为系统的根轨迹。如图且与横轴垂直的直线为系统的根轨迹。如图5-2-45-2-4所示。所示。j00.51s1p2p2s图图5-2-4 5-2-4 系统的根轨迹系统的根轨迹控制工程基础机电工程学院机电工程学院pagepage第五章 根轨迹设计方法 20从上述几个图从上述几个图可以看出:可以看出:(1)(1)根据幅值条件和相角条件,可以绘制出系统的根轨迹;根据幅值条件和相角条件,可以绘制出系统的根轨迹;(2)(2)当当k值取定后,根轨迹图给出了一组闭环极点的分布;值取定后,根轨迹图给出了一组闭环极点的分布;(3)(3)根据系统闭环极点的情况,可大致知道系统根据系统
20、闭环极点的情况,可大致知道系统的性能。的性能。控制工程基础机电工程学院机电工程学院pagepage第五章 根轨迹设计方法 21第三节第三节 绘制根轨迹的规则绘制根轨迹的规则 通常把以开环根轨迹增益通常把以开环根轨迹增益 为为可变参数绘制的根轨迹称为可变参数绘制的根轨迹称为普通根轨迹普通根轨迹或或一般根轨迹一般根轨迹。*K 下面下面讨论绘制普通根轨迹的基本规则,这些基本规则同样讨论绘制普通根轨迹的基本规则,这些基本规则同样适用于其他参数可变的情况适用于其他参数可变的情况。规则一规则一 根轨迹的分支数、连续性、对称性根轨迹的分支数、连续性、对称性规则二规则二 根轨迹的始点和终点根轨迹的始点和终点规
21、则三规则三 实轴上的根轨迹实轴上的根轨迹规则四规则四 根轨迹的渐近线根轨迹的渐近线规则五规则五 根轨迹的分离点根轨迹的分离点规则六规则六 根轨迹的起始角与终止角(出射角或入射角)根轨迹的起始角与终止角(出射角或入射角)规则七规则七 根轨迹与虚轴的交点及临界增益值根轨迹与虚轴的交点及临界增益值控制工程基础机电工程学院机电工程学院pagepage第五章 根轨迹设计方法 22规则一规则一 根轨迹根轨迹的分支数、连续性和对称性的分支数、连续性和对称性 分支分支数:数:即根轨迹的条数。既然根轨迹是描述闭环系统即根轨迹的条数。既然根轨迹是描述闭环系统特特征方程征方程的根(即闭环极点的根(即闭环极点)在)在
22、ss平面平面上的分布,那么,根轨上的分布,那么,根轨迹迹的分支的分支数就应等于系统特征方程的阶数。数就应等于系统特征方程的阶数。max(,)m nmax(,)m n其阶次为其阶次为故分支数为故分支数为 连续性连续性:系统开环根轨迹增益系统开环根轨迹增益 (实变量)实变量)与复变量与复变量ss有有一一对应的关系,当一一对应的关系,当 由零到无穷大连续变化时,描述系由零到无穷大连续变化时,描述系统特征方程根统特征方程根的复变量的复变量ss在在平面上的变化也是连续的,因此,平面上的变化也是连续的,因此,根轨迹是连续的根轨迹是连续的曲线。曲线。*K*K 对称性对称性:由于实际的物理系统的参数都是实数,
23、如果它由于实际的物理系统的参数都是实数,如果它的的特征方程特征方程有复数根的话,一定是对称于实轴的共轭复根,因有复数根的话,一定是对称于实轴的共轭复根,因此此,根轨迹,根轨迹总是对称于实轴的。总是对称于实轴的。系统的特征方程式系统的特征方程式*11()()0nmjijispKsz控制工程基础机电工程学院机电工程学院pagepage第五章 根轨迹设计方法 23 根轨迹根轨迹的分支数等于系统的闭环极点数。的分支数等于系统的闭环极点数。根轨迹是连续且对称于实轴的曲线。根轨迹是连续且对称于实轴的曲线。结论:结论:控制工程基础机电工程学院机电工程学院pagepage第五章 根轨迹设计方法 24规则二规则
24、二 根轨迹的起点和终点根轨迹的起点和终点*11()()0mnijijKszsp起点起点*0K(5-3-3),2,1(njpsj(5-3-4)即:即:根轨迹起始于开环极点根轨迹起始于开环极点。所以所以根轨迹方程根轨迹方程(5-3-2)时,闭环极时,闭环极点等于开环极点。点等于开环极点。0*K*11()1()miinjjszKsp 1()0njjsp终点终点*K(5-3-5)*111()()0mnijijszspK1()0miisz控制工程基础机电工程学院机电工程学院pagepage第五章 根轨迹设计方法 25),2,1(mizsi所以所以即:即:根轨迹终止于开环零点根轨迹终止于开环零点。1 1当
25、当m=n时时,即开环零点数与极点数相同时,根轨迹的起,即开环零点数与极点数相同时,根轨迹的起点与终点均有确定的值。点与终点均有确定的值。2 2当当mn时时,即开环零点数大于开环极点数时,除有,即开环零点数大于开环极点数时,除有n条条根轨迹起始根轨迹起始于开环极点于开环极点(称为有限极点称为有限极点)外,还有外,还有m-n条根轨迹条根轨迹起始起始于无穷远点于无穷远点(称为无限极点称为无限极点)。0lim1limlim11nmsmnsmiinjjssszspsK控制工程基础机电工程学院机电工程学院pagepage第五章 根轨迹设计方法 26 根轨迹根轨迹起始于开环极点起始于开环极点 ,终止于开环零
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