空间解析几何与向量代数课件.ppt
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- 关 键 词:
- 空间 解析几何 向量 代数 课件
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1、1 1、向量的运算、向量的运算,121212zyxaaazzyyxx a ;,zzyyxxzyxzyxbababababbbbaaaa .,zzyyxxbaaababa .,zyxzyxaaaaaaa ),cos(bababa zzyyxxbababa zyxzyxbbbaaakjiba ).2()2(,3,2,1,3,2,1bababa 求求例例:设设 3,2,13,2,123,2,13,2,12 22 )()(解解baba.42271239,6,33,2,1 3,2,16,4,23,2,16,4,2 42 )3()2()1()321(4222222 bbbaabaa 224)()(解法二:
2、解法二:baba 22 224ba .1aaa .2babbabbaaPrjb 222222),cos(cos .3zyxzyxzzyyxxbbbaaababababababa 夹夹角角公公式式.4.,24,19,13bababa 求求且且例例:已已知知向向量量的的模模)()(解:解:bababa 2.48424)1913(2222 222bbaa )()(bababa 2bbbaaa 2222)(2baba bbbaaa 2222bbaa 22484 baABC解解3,4,0 AC0,5,4 AB三角形三角形ABC的面积为的面积为|21ABACS 22216121521 ,225 ,16,1
3、2,15340054 kjiACAB2 2、球面,柱面,旋转曲面(旋转抛物面,圆锥面)、球面,柱面,旋转曲面(旋转抛物面,圆锥面)方程的特点。方程的特点。0)()()(000 zzCyyBxxA平面的点法式方程平面的点法式方程0 DCzByAx平面的一般方程平面的一般方程1 czbyax平面的截距式方程平面的截距式方程3 3、平面方程、平面方程平面束平面束 A1 x+B1 y+C1 z+D1+t(A2 x+B2 y+C2 z+D2)=0 4 4、直线方程、直线方程空间直线的一般方程空间直线的一般方程:0022221111DzCyBxADzCyBxApzznyymxx000 直线的对称直线的对称
4、(点向点向)式方程式方程5 5、几个距离公式、几个距离公式21221221221)()()(|zzyyxxMM .|222000CBADCzByAxd 点到平面距离公式点到平面距离公式.01ssPPd 点到直线的距离公式点到直线的距离公式6 6、线、面位置关系、线、面位置关系zzyyxxzyxzyxbabababbbbaaaa 平平行行两两非非零零向向量量,0 baba 两非零向量两非零向量A 两平面位置关系:两平面位置关系:21)1(0212121 CCBBAA21)2(/212121CCBBAA B 两直线的位置关系:两直线的位置关系:21)1(LL 0212121 ppnnmm21)2(
5、LL/212121ppnnmm C 直线与平面的位置关系直线与平面的位置关系 L)1(pCnBmA L)2(/0 CpBnAm1 1、二元函数、二元函数的定义域的定义域例例1 1 求求 的定义域的定义域222)3arcsin(),(yxyxyxf 解解 013222yxyx 22242yxyx所求定义域为所求定义域为.,42|),(222yxyxyxD 2 2、二元函数的极限和连续、二元函数的极限和连续.)sin(lim22200yxxyxyx 解解:22200)sin(limyxxyxyx,)sin(lim22200 xyxxyxyxyyx 22yxxy,21.0)sin(lim22200
6、yxxyxyx,02x例:求极限例:求极限2200limyxxy),(x,y)例例趋趋于于(0 0,0 0)时时,)沿沿直直线线路路径径当当(kxyx,y 解解:21kk 此此极极限限不不存存在在.2220000)1(lim)(limxkkxx,yfkxyxyx 其值随其值随k的不同而变化,的不同而变化,例例 讨论函数讨论函数 0,00,),(222222yxyxyxxyyxf在在(0,0)的连续性的连续性解解取取kxy 2200limyxxyyx 22220limxkxkxkxyx 21kk 其值随其值随k的不同而变化,的不同而变化,极限不存在极限不存在故函数在故函数在(0,0)处不连续处不
7、连续3 3、偏导数的计算、偏导数的计算.),()0,0(),(0)0,0(),(),(22的偏导数的偏导数求求设设yxfyxyxyxxyyxf 例例 1 1解解,)0,0(),(时时当当 yx22222)(2)(),(yxxyxyxyyxfx ,)()(22222yxxyy 22222)(2)(),(yxxyyyxxyxfy ,)()(22222yxyxx A 定义法:定义法:,)0,0(),(时时当当 yx按定义可知按定义可知:xfxffxx )0,0()0,(lim)0,0(0,00lim0 xxyfyffyy )0,0(),0(lim)0,0(0,00lim0 yy,)0,0(),(0)
8、0,0(),()()(),(22222 yxyxyxxyyyxfx.)0,0(),(0)0,0(),()()(),(22222 yxyxyxyxxyxfyB 公式法:公式法:链式法则、隐函数的求导法、全微分形式的不变性链式法则、隐函数的求导法、全微分形式的不变性),(),(21xyzzyxfxyzzyxf 注:偏导数的结构具有遗传性注:偏导数的结构具有遗传性1122解解 xw;21fyzf zxw2)(21fyzfz ;221zfyzf yzf zf1zvvfzuuf 11;1211fxyf zf2zvvfzuuf 22;2221fxyf 于是于是 zxw21211fxyf 2f y )(22
9、21fxyfyz .)(22221211fyfzxyfzxyf 解解,0)2(zxyezed,02)(dzedzxydezxy)()2(ydxxdyedzexyz dyexedxeyedzzxyzxy)2()2(xz ,2 zxyeyeyz .2 zxyexe解解令令则则,4),(222zzyxzyxF ,2xFx ,42 zFz,2zxFFxzzx 22xz 2)2()2(zxzxz 2)2(2)2(zzxxz .)2()2(322zxz 例例 4 4 设设),(xyzzyxfz ,求求xz ,yx ,zy .),(),(xyzzyxfzzyxF 令令yzffFx 211则则xzffFy 2
10、11xyffFz 2111 zxFFxz于是于是21211fxyffyzf xyFFyx21211fxzffxyf yzFFzy2121fyzffxzf 解解.,01;0222dxdzdxdyzyxzyx确确定定的的函函数数的的导导数数例例:求求由由方方程程组组 ,0 1;0222dxdzdxdydxdzzdxdyyxx求求导导数数,得得解解:方方程程组组两两边边对对 ,1 ;222dxdzdxdyxdxdzzdxdyyzyyxzyxydxdz 2222zyzxzyzxdxdy 2222.dxdyx,yxtyxeyty的的函函数数,求求的的确确定定t t是是由由方方程程,已已知知例例1222
11、:02221)(xdxdttdxdyydxdytdxdtyedxdyty;)(22tytyetytxyetdxdy 方程组两边对方程组两边对x x求导,得求导,得 ,xtyxeytyxty1222满满足足方方程程组组,解:解:4 4、全微分、全微分A 定义:定义:证证则则22)0,0(),(1sinlimyxxyyx 0),0,0(f 故故函函数数在在点点)0,0(连连续续,)0,0(xfxfxfx )0,0()0,(lim0,000lim0 xx同理同理.0)0,0(yf 0211sin0,0,2222 yxyxxyyxxy(1)(2)当当)0,0(),(yx时,时,),(yxfx,1cos
12、)(1sin22322222yxyxyxyxy 当当点点),(yxP沿沿直直线线xy 趋趋于于)0,0(时时,),(lim)0,0(),(yxfxxx,|21cos|22|21sinlim330 xxxxxx不存在不存在.(3)0,0(),(fyxff 22)()(1sinyxyx )()(22yxo 故故),(yxf在点在点)0,0(可微可微.0)0,0(df(4)B 作用:作用:).,(,122),(,2),(),(22221342xxfxxxxfxxxxxfvuf 求求有有连连续续的的偏偏导导数数,例例:函函数数)(),(),()164(),(22221232xdxxfdxxxfdxxx
13、xxdf 解解:xdxxxfdxxx2),()122(222 122),(222 xxxxf5 5、多元函数连续、可导、可微的关系多元函数连续、可导、可微的关系函数可微函数可微函数连续函数连续偏导数连续偏导数连续函数可导函数可导6 6、空间曲线的切线与法平面、空间曲线的切线与法平面0dd,dd,ddtttztytxT 例例1 1 求曲线求曲线:tuuduex0cos,tysin2 tcos,tez31 在在0 t处的切线和法平面方程处的切线和法平面方程.解解当当0 t时,时,,2,1,0 zyx,costext ,sincos2tty ,33tez ,1)0(x,2)0(y,3)0(z切线方程
14、切线方程,322110 zyx法平面方程法平面方程,0)2(3)1(2 zyx.0832 zyx即即例例 2 2 求曲线求曲线6222 zyx,0 zyx在在点点)1,2,1(处的切线及法平面方程处的切线及法平面方程.,zyxzdxdy ,zyyxdxdz ,0;6222zyxzyx ,01;0222dxdzdxdydxdzzdxdyyx,0)1,2,1(dxdy,1)1,2,1(dxdz由由此此得得切切向向量量,1,0,1 T所求所求切线方程切线方程为为,110211 zyx法法平面方程平面方程为为,0)1()2(0)1(zyx0 zx解解7 7、空间曲面的切平面和法线、空间曲面的切平面和法
15、线),(),(),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx 1),(),(1),(),(00000000yxfyxfyxfyxfnyxyx 或或21nnT 注:此处经常和其它知识点结合,成为综合题。注:此处经常和其它知识点结合,成为综合题。.103)0,0(,0,0(0),()(301)0,0(,0,0(0),()(113)0,0(,0,0(),()(;3,1)0,0(,3)0,0(00),()0,0(,的的切切向向量量为为在在点点曲曲线线;,的的切切向向量量为为在在点点曲曲线线;,的的法法向向量量为为在在点点曲曲面面)()则则()附附近近有有定定义义,且且,在在(例例:设设函函数
16、数fyyxfzDfyyxfzCfyxfzBdydxdzAffyxfyx ).(C答答案案:8 8、方向导数和梯度、方向导数和梯度方向导数与偏导数关系:沿任意方向的方向导数存在方向导数与偏导数关系:沿任意方向的方向导数存在不能保证偏导数存在不能保证偏导数存在,反之也然。反之也然。定定理理 如如果果函函数数),(yxfz 在在点点),(yxP是是可可微微分分的的,那那末末函函数数在在该该点点沿沿任任意意方方向向 l 的的方方向向导导数数都都存存在在,且且有有 其其中中 为为方方向向 l 的的方方向向角角 coscosyfxflf ,解解令令,632),(222 zyxzyxF,44 PPxxF,6
17、6 PPyyF,22 PPzzF故故 zyxFFFn ,2,6,4,142264222 n方向余弦为方向余弦为,142cos ,143cos .141cos PPyxzxxu22866 ;146 PPyxzyyu22868 ;148 PPzyxzu22286 .14 PPzuyuxunu)coscoscos(.711 故故2122)86(1yxzu )1,1,1(P),(zyxgradfkzfjyfixf 梯度(应用)梯度(应用)222d zuyuxuugra最大的方向导数值是:最大的方向导数值是:9 9、二元函数的极值、二元函数的极值定定理理 2 2(充充分分条条件件)设设函函数数),(yx
18、fz 在在点点),(00yx的的某某邻邻域域内内连连续续,有有一一阶阶及及二二阶阶连连续续偏偏导导数数,则则),(yxf在在点点),(00yx处处是是否否取取得得极极值值的的条条件件如如下下:(1 1)02 BAC时时具具有有极极值值,当当0 A时时有有极极大大值值,当当0 A时时有有极极小小值值;(2 2)02 BAC时时没没有有极极值值;(3 3)02 BAC时时可可能能有有极极值值,也也可可能能没没有有极极值值,还还需需另另作作讨讨论论,0),(,0),(0000 yxfyxfyx又又,),(,),(,),(000000CyxfByxfAyxfyyxyxx 令令驻点和极值点驻点和极值点的
19、关系的关系1010、拉格朗日乘数法、拉格朗日乘数法例例 1 11 1 在在第第一一卦卦限限内内作作椭椭球球面面 1222222 czbyax的的切切平平面面,使使切切平平面面与与三三个个坐坐标标面面所所围围成成的的四四面面体体体体积积最最小小,求求切切点点坐坐标标.解解设设),(000zyxP为为椭椭球球面面上上一一点点,令令1),(222222 czbyaxzyxF,则则202|axFPx ,202|byFPy ,202|czFPz 过过),(000zyxP的切平面方程为的切平面方程为 )(020 xxax )(020yyby0)(020 zzcz,化简为化简为 1202020 czzbyy
20、axx,该切平面在三个轴上的截距各为该切平面在三个轴上的截距各为 02xax ,02yby ,02zcz ,所围四面体的体积所围四面体的体积 000222661zyxcbaxyzV ,在在条条件件1220220220 czbyax下下求求 的的最最小小值值,0002226zyxcbaV .1000220220220的最大值的最大值下求下求等价于在条件等价于在条件zyxuczbyax 2202202200001),(czbyaxzyxzyxL 构造拉格朗日函数构造拉格朗日函数 (4),01 (3);02 (2);02 (1);02220220220200020002000czbyaxLbzyxz
21、LbyzxyLaxzyxL 当当切切点点坐坐标标为为(3a,3b,3c)时时,四面体的体积最小四面体的体积最小abcV23min.可得可得30ax 30by ,30cz (4),01 (3);02 (2);02 (1);02220220220200020002000czbyaxLbzyxzLbyzxyLaxzyxL 13,22 2,)3(;)2(;)1(220220220220220220220000000 axczbyaxczbyaxzyxzyx 1 1、二重积分的计算、二重积分的计算A A、根据二重积分的几何意义计算、根据二重积分的几何意义计算33222323421 RRdyxRD B B
22、、根据二重积分的性质简化计算、根据二重积分的性质简化计算.11,1:,)1(3 xyxDdxdyyxD.积积分分区区域域如如图图所所示示xy-111dxdydxdyyxdxdyyxDDD 1)1(332 0C C、选择合适的坐标系化为二次积分、选择合适的坐标系化为二次积分.),(),()()(21 Dbaxxdyyxfdxdyxf d),(d)d()()(21 dcyyDxyxfyx,yf 2xy 2yx xyo2xy 2 xyD21 4ABxyo1 xyxy 2 yD112直角坐标直角坐标 dsin Dyy.ded1102 xyyx yyDyxyxyyxyxI010110dedddeded2
23、22解:解:1xyxy DO 1010ded0e22yyyyxyy ).1e(2101e212 y 102de212yy.轴轴围围成成的的闭闭区区域域及及的的一一拱拱由由摆摆线线计计算算积积分分 8 8xttayttaxDydxdyD)20()cos1(),sin(,例例3202220)(020225)cos1()cos1(21 )(21adttatadxxyydydxIaxya Oxya 2 xyy ).(0,20:xyyaxD 解解.)sin,cos(sincos),(),(DDDrdrdrrfryrxdxdyyxfdyxf .)sin,cos()()(21 rdrrrfd极坐标极坐标.)
24、(22二二重重积积分分简简便便形形式式,采采用用极极坐坐标标计计算算有有数数具具域域的的部部分分时时,及及被被积积函函当当积积分分区区域域为为圆圆域域或或圆圆yxf 例例 2 2 计计算算dxdyeDyx 22,其其中中 D 是是由由中中心心在在原原点点,半半径径为为a的的圆圆周周所所围围成成的的闭闭区区域域.解解在极坐标系下在极坐标系下D:ar 0,20.dxdyeDyx 22 arrdred0202).1(2ae xyOa例例2 2解解.10,11:.2 yxDdxyD其中其中计算计算 1D2D3D先去掉绝对值符号,如图先去掉绝对值符号,如图 dxydyxdxyDDDD 321)()(22
25、2 1210021022)(2)(2xxdyxydxdyyxdx.1511 _),(),(212141410 yyydxyxfdydxyxfdy交交换换积积分分次次序序 .,2210 xxdyyxfdxoyxy=xy=x20.250.510.52 2、三重积分的计算、三重积分的计算A A、根据二重积分的性质简化计算、根据二重积分的性质简化计算.2,)(22222围围成成由由计计算算yxzyxzdVzyx 和和I I dVzdVyxdVzyx222222)()(dVyzxyxzyzxzxyzyxzyx)()(2)(2222解解0B B、选择合适的坐标系化为三次积分、选择合适的坐标系化为三次积分直
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