大学精品课件：第12章结构动力学.ppt

1、第十二章 结构动力学 12-1 概 述 12-2 结构振动的自由度 12-3 单自由度结构的自由振动 12-4 单自由度结构在简谐荷载作用下的受迫振动 12-6 多自由度结构的自由振动 12-5 单自由度结构在任意荷载作用下的受迫振动 12-10 地震作用计算 12-11 无限自由度结构的振动 12-9 多自由度结构在任意荷载作用下的受迫振动 12-12 计算频率的近似法 12-8 振型分解法 12-7 多自由度结构在简谐荷载作用下的受迫振动 12-1 概 述 动力荷载作用下，结构将发生振动，各种量值均随时动力荷载作用下，结构将发生振动，各种量值均随时 间而变化，要考虑惯性力的影响。间而变化，

2、要考虑惯性力的影响。 动力荷载的种类动力荷载的种类 (1) 周期荷载：随时间按一定规律变化的周期性荷载，如按正弦周期荷载：随时间按一定规律变化的周期性荷载，如按正弦 (或余弦或余弦)规律变化的称为简谐周期荷载，也称为规律变化的称为简谐周期荷载，也称为 振动荷载振动荷载。 (2) 冲击荷载：很快地把全部量值加于结构而作用时间很短即行冲击荷载：很快地把全部量值加于结构而作用时间很短即行 消失的荷载。消失的荷载。 (3) 突加荷载：在一瞬间施加于结构上并继续留在结构上的荷载。突加荷载：在一瞬间施加于结构上并继续留在结构上的荷载。 12-1 概 述 (4) 快速移动的荷载。高速移动的列车、汽车等。快速

3、移动的荷载。高速移动的列车、汽车等。 (5) 随机荷载：变化规律不能用确定的函数关系表示的荷载。随机荷载：变化规律不能用确定的函数关系表示的荷载。 如风的脉动作用、地震等。如风的脉动作用、地震等。 结构振动的形式结构振动的形式 (1) 自由振动：结构受到外部因素干扰发生振动，而在振动自由振动：结构受到外部因素干扰发生振动，而在振动 过程中不再受外部干扰力作用。过程中不再受外部干扰力作用。 (2) 强迫振动：在振动过程中不断受外部干扰力作用。强迫振动：在振动过程中不断受外部干扰力作用。 12-2 结构振动的自由度 结构振动的结构振动的自由度自由度：结构在弹性变形过程中确定全部质点位：结构在弹性变

4、形过程中确定全部质点位 置所需的独立参数的数目。置所需的独立参数的数目。 图图a所示简支梁跨中固定一个所示简支梁跨中固定一个 重量较大的物体，如果梁本身的重量较大的物体，如果梁本身的 自重较小可略去，把重物简化为自重较小可略去，把重物简化为 一个集中质点，得到图一个集中质点，得到图b所示的计所示的计 算简图。算简图。 梁在振动中的自由度梁在振动中的自由度=1 单自由度结构单自由度结构具有一个自由度的结构。具有一个自由度的结构。 多自由度结构多自由度结构自由度大于自由度大于1的结构。的结构。 12-2 结构振动的自由度 图图a所示结构有三个集中质点。所示结构有三个集中质点。 自由度自由度=1 图

5、图b所示简支梁上有三个集中质量。所示简支梁上有三个集中质量。 自由度自由度=3 图图c所示刚架有一个集中质点。所示刚架有一个集中质点。 自由度自由度=2 自由度的数目不完全取决于质点的数目自由度的数目不完全取决于质点的数目 12-2 结构振动的自由度 图图d所示刚架上有四个集中质点，所示刚架上有四个集中质点， 但只需要加三根链杆便可限制全部质但只需要加三根链杆便可限制全部质 点的位置。如图点的位置。如图e。 自由度自由度=3 图图f所示梁，其分布质量集度为所示梁，其分布质量集度为m， 可看作有无穷多个可看作有无穷多个mdx的集中质量，是的集中质量，是 无限自由度结构。无限自由度结构。 自由度的

6、数目与结构是否静定或超静定无关自由度的数目与结构是否静定或超静定无关 图图a所示机器的块式基础，当机所示机器的块式基础，当机 器运转时，若只考虑基础的垂直振器运转时，若只考虑基础的垂直振 动，可用弹簧表示地基的弹性，用动，可用弹簧表示地基的弹性，用 一个集中质量代表基础的质量。使一个集中质量代表基础的质量。使 结构转化为图示的单自由度结构。结构转化为图示的单自由度结构。 12-2 结构振动的自由度 图图b所示的水塔，顶部水池较重，所示的水塔，顶部水池较重， 塔身重量较轻，略去次要因素后，塔身重量较轻，略去次要因素后， 可简化为图示的直立悬臂梁在顶端可简化为图示的直立悬臂梁在顶端 支承集中质量的

7、单自由度结构。支承集中质量的单自由度结构。 实际结构针对具体问题可以进行简化实际结构针对具体问题可以进行简化 12-3 单自由度结构的自由振动 如图所示在跨中支承集中质量的简支梁，把质点如图所示在跨中支承集中质量的简支梁，把质点m拉离原拉离原 有的弹性平衡位置，然后突然放松，则质点将在原有平衡位置有的弹性平衡位置，然后突然放松，则质点将在原有平衡位置 附近往复振动。在振动过程中不受外来干扰，这时的振动即是附近往复振动。在振动过程中不受外来干扰，这时的振动即是 自由振动自由振动。 12-3 单自由度结构的自由振动 图图a所示为一个简单的质点弹簧模型。取重物的静力平所示为一个简单的质点弹簧模型。取

8、重物的静力平 衡位置为计算位移衡位置为计算位移y的原点，规定位移的原点，规定位移y和质点所受的力都已和质点所受的力都已 向下为正向下为正。 (1) 列动力平衡方程。取振动任一时刻的质点为隔离体如图列动力平衡方程。取振动任一时刻的质点为隔离体如图b。 弹簧拉力弹簧拉力(恢复力恢复力) Fe=k11y 惯性力惯性力 ymF I 质点处于动力平衡状态质点处于动力平衡状态 0 eI FF 命命 m k11 2 可得可得 0 11 yky m 单自由度结构单自由度结构 自由振动微分方程自由振动微分方程 则有则有 0 2 yy (a) 1、不考虑阻尼时的自由振动、不考虑阻尼时的自由振动 12-3 单自由度

9、结构的自由振动 (2) 列位移方程。如图列位移方程。如图c。 质点质点m振动时，把惯性力振动时，把惯性力FI看作是静力荷看作是静力荷 载作用在体系上，则质点处的位移为载作用在体系上，则质点处的位移为 1111I ymFy 对单自由度结构有对单自由度结构有 11 11 1 k 式式(a)为一常系数线性齐次微分方程，其通解为为一常系数线性齐次微分方程，其通解为 可得与可得与(1)相同的结果相同的结果 0 11 yky m tAtAtysincos)( 21 振动的初始条件为振动的初始条件为 00 0yyyyt ，则有则有 0 201 y AyA ， 可得可得 t y tyy sincos 0 0

10、(b) 12-3 单自由度结构的自由振动 式中式中y0初位移，初位移， 初速度。初速度。 0 y 结构的自由振动由两部分组成：结构的自由振动由两部分组成： 一部分是初位移一部分是初位移y0引起的，为余弦规律；引起的，为余弦规律； 一部分是初速度一部分是初速度 引起的，为正弦规律。如图引起的，为正弦规律。如图a、b。 0 y 12-3 单自由度结构的自由振动 令令 cos 0 a y ,sin 0 ay 则有则有 / tan 0 0 y y , 2 2 2 0 y ya 式式(b)可写为可写为 )sin(tay(c) 简谐振动如图简谐振动如图c a为振幅，表示质点的最大位移；为振幅，表示质点的最

11、大位移； 为初相角。为初相角。 周期周期 2 T T f 1 工程频率工程频率 T 2 角频率或频率角频率或频率 12-3 单自由度结构的自由振动 可得可得 st1111 11 1 g mg g mm k (d) g重力加速度；重力加速度；st重量重量mg所产生静力位移。所产生静力位移。 式式(d)表明：表明：随随st的增大而减小，即把质点放在结构最大位的增大而减小，即把质点放在结构最大位 移处，则可得到最低的自振频率和最大的振动周期。移处，则可得到最低的自振频率和最大的振动周期。 例例12-1 当不考虑梁的自重时，比较图中所示三种支承情况的梁当不考虑梁的自重时，比较图中所示三种支承情况的梁

12、的自振周期。的自振周期。 12-3 单自由度结构的自由振动 解：由式解：由式(d)可知，应先求结构在重量作用下的静力位移，有可知，应先求结构在重量作用下的静力位移，有 EI Fl EI Fl EI Fl 192 ， 768 7 ， 48 3 3 3 2 3 1 代入式代入式(d)可得可得 3 3 3 2 3 1 192 ， 7 768 ， 48 ml EI ml EI ml EI 据此有据此有 2:51. 1:1: 321 说明：随着结构刚度的增大，说明：随着结构刚度的增大， 其自振频率也相应地增高。其自振频率也相应地增高。 12-3 单自由度结构的自由振动 2、考虑阻尼作用时的自由振动、考虑

13、阻尼作用时的自由振动 阻尼力的产生：外部介质的阻力，支承的摩擦等；阻尼力的产生：外部介质的阻力，支承的摩擦等； 物体内部的作用，材料分子之间的摩擦等。物体内部的作用，材料分子之间的摩擦等。 粘滞阻尼力：阻尼力与其振动的速度成正比，与速度的方向粘滞阻尼力：阻尼力与其振动的速度成正比，与速度的方向 相反。相反。 yF R 称为阻尼系数称为阻尼系数 考虑阻尼力时，质点考虑阻尼力时，质点m的受力图如图所示的受力图如图所示 由动力平衡得由动力平衡得 0 eRI FFF 即即 0 11 ykyym 令令 m k11 2 m k 2 12-3 单自由度结构的自由振动 线性常系数齐次微分方程线性常系数齐次微分

14、方程 则有则有 02 2 yyky (f) 设其解为设其解为 rt Cey代入式代入式(f)得特征方程得特征方程 02 22 krr 两个根为两个根为 22 2, 1 kkr 讨论讨论 (1) k大阻尼情况：大阻尼情况：r1、r2是两个负实数，式是两个负实数，式(f)的通解为的通解为 )sinhcosh( 22 2 22 1 tkCtkCey kt 是非周期函数，不会产生振动，结构偏离平衡位置后将缓是非周期函数，不会产生振动，结构偏离平衡位置后将缓 慢回复到原有位置。慢回复到原有位置。 (3) k=临界阻尼情况：临界阻尼情况：r1=r2=-k，式，式(f)的通解为的通解为 )( 21 tCCe

15、y kt 非周期函数，不发生振动。非周期函数，不发生振动。 此时阻尼比此时阻尼比=1，k=m，可得临界阻尼系数，可得临界阻尼系数 m2 cr 故有故有 cr 阻尼比为阻尼系数与临界阻尼系数之比。阻尼比为阻尼系数与临界阻尼系数之比。 12-4 单自由度结构在简谐荷载作用下的受迫振动 受迫振动受迫振动结构在外来干扰力作用下产生的振动。结构在外来干扰力作用下产生的振动。 如图所示，干扰力如图所示，干扰力F(t)直接作用在质点直接作用在质点m上，可得上，可得 0)( eRI tFFFF即即 )( 11 tFykyym 或或 )( 1 2 2 tF m yyy (h) 微分方程微分方程(h)的解有两部分

16、：一是相应齐次方程的通解的解有两部分：一是相应齐次方程的通解 y0， )sincos( 21 0 tBtBey t 二是与干扰力二是与干扰力F(t)相应的特解相应的特解 y 当干扰力为简谐荷载时：当干扰力为简谐荷载时： tFtFsin)( 为干扰力的频率为干扰力的频率 F 为干扰力的最大值为干扰力的最大值 12-4 单自由度结构在简谐荷载作用下的受迫振动 振动方程振动方程(h)成为成为 t m F yyysin2 2 (i) 设式设式(i)的一个特解为的一个特解为 tCtCycossin 21 代入式代入式(i)解出解出 4)( 2 4)( )( 222222 2 222222 22 1 m

17、F C m F C 将将y0与特解合并，由初始条件与特解合并，由初始条件 00 ,0yyyyt 可得可得 (j) cos2sin)( 4)( sin )(2 cos2 4)( sincos 22 222222 2222 222222 00 0 tt m F tt m F e t yy tyey t t 12-4 单自由度结构在简谐荷载作用下的受迫振动 由式由式(j)可知，振动由三部分组成：可知，振动由三部分组成： (1) 由初始条件决定的自由振动；由初始条件决定的自由振动； (2) 伴随干扰力的作用发生的振动频率为伴随干扰力的作用发生的振动频率为，称为伴生自由振动；，称为伴生自由振动； (3)

18、 按干扰力频率按干扰力频率振动，称为振动，称为纯强迫振动纯强迫振动或或稳态强迫振动稳态强迫振动如图。如图。 前两部分振动很快衰减掉，前两部分振动很快衰减掉， 最后只剩下纯强迫振动。最后只剩下纯强迫振动。 过渡阶段过渡阶段振动开始的一段时间内几种振动同时存在的阶段；振动开始的一段时间内几种振动同时存在的阶段； 平稳阶段平稳阶段纯强迫振动阶段。纯强迫振动阶段。 12-4 单自由度结构在简谐荷载作用下的受迫振动 1、不考虑阻尼的纯受迫振动、不考虑阻尼的纯受迫振动 此时此时=0，由式，由式(j)的第三项可知纯受迫振动方程为的第三项可知纯受迫振动方程为 t m F y sin )( 22 最大动力位移即

19、最大动力位移即振幅振幅为为 2 2 222 1 1 )( m F m F A 11 11 2 1 mm k 因因 st11 2 2 1 1 yFA yst=F11： F作为静力荷载引起的静力位移作为静力荷载引起的静力位移 st 2 2 1 1 y A 位移动力系数位移动力系数，最大动力位移与，最大动力位移与 静力位移之比值。静力位移之比值。 12-4 单自由度结构在简谐荷载作用下的受迫振动 当当时：时：为负，动力位移与动力荷载反向。为负，动力位移与动力荷载反向。 对单自由度结构，当干扰力与惯性力的作用点重合时，对单自由度结构，当干扰力与惯性力的作用点重合时， 位移动力系数位移动力系数与与内力动

20、力系数内力动力系数是相同的，统称为是相同的，统称为动力系数动力系数。 2 2 1 1 随随/ 而变化，当干扰力频率而变化，当干扰力频率接近于结构的自振频率接近于结构的自振频率 时，动力系数迅速增大；时，动力系数迅速增大； =时，理论上时，理论上无穷大，此时内无穷大，此时内 力和位移都将无限大力和位移都将无限大共振共振。 工程设计中应尽量避免发生共振工程设计中应尽量避免发生共振 12-4 单自由度结构在简谐荷载作用下的受迫振动 2、考虑阻尼的纯受迫振动、考虑阻尼的纯受迫振动 将式将式(j)的第三项写为的第三项写为 )sin(tAy 振幅振幅 m F A 222222 4)( 1 相位差相位差 2

21、2 1 2 tan 振幅振幅A可写为可写为 st yA 动力系数动力系数 2 22 2 2 2 4 )1 ( 1 12-4 单自由度结构在简谐荷载作用下的受迫振动 动力系数动力系数 与与/及及 的关系如的关系如 图所示。图所示。 12-4 单自由度结构在简谐荷载作用下的受迫振动 讨论讨论 (1) 时，时，很小，质量近似于不动或作振幅很微小的颤动。很小，质量近似于不动或作振幅很微小的颤动。 结构的结构的Fe、FR可以忽略，位移与荷载的相位差为可以忽略，位移与荷载的相位差为180。 (3) 时，时，增加很快，增加很快，受阻尼的影响很大受阻尼的影响很大 。当阻尼较小。当阻尼较小 时，时，值很大，共振

22、现象仍很危险。值很大，共振现象仍很危险。 工程设计中一般常取工程设计中一般常取 ) 3 . 125. 1 ( 12-4 单自由度结构在简谐荷载作用下的受迫振动 例例12-2 如图发电机的重量如图发电机的重量G=35kN，梁的，梁的I=8.810-5m4， E=210GPa，发电机转动时离心力的垂直分力幅值，发电机转动时离心力的垂直分力幅值F=10kN。不考。不考 虑阻尼，试求当发电机转数为虑阻尼，试求当发电机转数为n=500r/min时，量的最大弯矩和挠时，量的最大弯矩和挠 度（不计梁的自重）。度（不计梁的自重）。 解：在解：在G作用下，梁中点的最大静位移为作用下，梁中点的最大静位移为 m10

23、53. 2 48 3 3 st EI Gl 自振频率为自振频率为 1 st s3 .62 g 干扰力频率为干扰力频率为 1 s3 .52 60 2 n 求得动力系数求得动力系数 4 . 3 1 1 2 2 梁中点的最大弯矩梁中点的最大弯矩 mkN69 F st G max MMM 梁中点最大挠度梁中点最大挠度 mm98. 4 F ststmax yy 12-4 单自由度结构在简谐荷载作用下的受迫振动 图图a所示简支梁，干扰力不作用在质点上。所示简支梁，干扰力不作用在质点上。 建立质点建立质点m的振动方程。的振动方程。 F=1作用在点作用在点1时使点时使点1产生的位产生的位 移为移为11，如图，

24、如图b。 F=1作用在点作用在点2时使点时使点1产生的位产生的位 移为移为12，如图，如图c。 作用在质点作用在质点m上的惯性力为上的惯性力为 ymF I 在惯性力在惯性力FI和干扰力和干扰力F(t)共同作共同作 用下，任一时刻质点用下，任一时刻质点m处的位移为处的位移为 )()()( 121112I11 tFymtFFy 即即 )( 11 12 11 tFykym 12-5 单自由度结构在任意荷载作用下的受迫振动 瞬时冲量：荷载瞬时冲量：荷载F(t)在极短的时间在极短的时间t0内给与振动物体的冲量内给与振动物体的冲量 瞬时冲量作用下的振动问题瞬时冲量作用下的振动问题 图图a所示荷载大小为所示

25、荷载大小为F，作用时间为，作用时间为t ， 其冲量其冲量I=Ft ，即图中阴影部分的面积。，即图中阴影部分的面积。 瞬时冲量作用下质点的动量增值为瞬时冲量作用下质点的动量增值为 0 y m 由由 0 ymI可得可得 m I y 0 当质点获得初速度后冲量即时消失，质点在这种冲击下当质点获得初速度后冲量即时消失，质点在这种冲击下 将产生自由振动。将初始条件代入式将产生自由振动。将初始条件代入式(g)可得瞬时冲量可得瞬时冲量I作用下作用下 质点质点m的位移方程为的位移方程为 te m I t y ey tt sin)sin( 0 12-5 单自由度结构在任意荷载作用下的受迫振动 若瞬时冲量不是在若

26、瞬时冲量不是在t=0而是在而是在t=时加于质点时加于质点 上，其位移方程为上，其位移方程为 )()(sin )( tte m I y t 图图b所示一般形式的干扰力所示一般形式的干扰力F(t) 可认为是一系列微小冲量可认为是一系列微小冲量F()d连续连续 作用的结果，应此有作用的结果，应此有 teF m y t t d)(sin)( 1 )( 0 (k) 不考虑阻尼不考虑阻尼=0，=则有则有 tF m y t d)(sin)( 1 0 (m) 式式(k)及式及式(m)称为称为杜哈梅积分杜哈梅积分 12-5 单自由度结构在任意荷载作用下的受迫振动 若在若在t=0质点原来还具有初始位移和初始速质点

27、原来还具有初始位移和初始速 度，则质点位移为度，则质点位移为 teF m t yy tyey t t t d)(sin)( 1 )sincos( )( 0 00 0 若不考虑阻尼则有若不考虑阻尼则有 tF m t y tyy t d)(sin)( 1 sincos 0 0 0 (n) 12-5 单自由度结构在任意荷载作用下的受迫振动 （1）突加荷载。变化规律如图）突加荷载。变化规律如图a所示。所示。 设：加载前结构处于静止状态，将设：加载前结构处于静止状态，将 F()=F代入式代入式(k)求得求得 tteyy t sincos1 st 其振动曲线如图其振动曲线如图b。 )1 ( std eyy

28、 时最大动位移时最大动位移yd为为 t 动力系数为动力系数为 1 e 不考虑阻尼不考虑阻尼 tyycos1 st std 2yy 12-5 单自由度结构在任意荷载作用下的受迫振动 （2）短期荷载。变化规律如图所示。）短期荷载。变化规律如图所示。 当当t=0时，时， 有突加荷载加入并一直作用在结构上；有突加荷载加入并一直作用在结构上； 当当t=t0时，时， 有一个大小相等方向相反的突加荷载加入。有一个大小相等方向相反的突加荷载加入。 利用（利用（1）得到的突加荷载作用下的计算公式按叠加法求解：）得到的突加荷载作用下的计算公式按叠加法求解： tyyttcos1,0 st0 ) 2 (sin 2 s

29、in2 cos)(cos )(cos1 cos1, 00 st 0st 0stst0 t t t y ttty ttytyytt 自由振动自由振动 当当t0T/2时，最大位移发生在前一阶段。时，最大位移发生在前一阶段。 2 短期荷载的最大动力效应与突加荷载相同。短期荷载的最大动力效应与突加荷载相同。 12-5 单自由度结构在任意荷载作用下的受迫振动 12-6 多自由度结构的自由振动 1、振动微分方程的建立、振动微分方程的建立 刚度法刚度法 图图a所示无重量简支梁，所示无重量简支梁， 略去梁的轴向变形和质点的转略去梁的轴向变形和质点的转 动，为动，为n个自由度的结构。个自由度的结构。 加入附加链

30、杆阻止所有质点的位移，如图加入附加链杆阻止所有质点的位移，如图b。 各质点的惯性力为各质点的惯性力为 )21(niym ii ， 各链杆的反力为各链杆的反力为 )21(niym ii ， 12-6 多自由度结构的自由振动 令各链杆发生与各质点实际位置相同的位移，如图令各链杆发生与各质点实际位置相同的位移，如图c。 各链杆上所需施加的力为各链杆上所需施加的力为 )21( R niF i ， 不计阻尼，各链杆上的总反力应等于零。不计阻尼，各链杆上的总反力应等于零。 0 R iii Fy m 以质点以质点mi为例有为例有 niniiiiii ykykykykF 2211R kii、kij为刚度系数其

31、物理意义见图为刚度系数其物理意义见图d、e。 可得可得i质点的动力平衡方程为质点的动力平衡方程为 0 2211 niniiiiiii ykykykykym 12-6 多自由度结构的自由振动 对每个质点都列出一个动力平衡方程，于是可得对每个质点都列出一个动力平衡方程，于是可得 0 0 0 2211 222212122 121211111 nnnnnnn nn nn ykykykym ykykykym ykykykym 写成矩阵形式为写成矩阵形式为 0 0 0 0 0 2 1 21 22221 11211 2 1 2 1 nnnnn n n nn y y y kkk kkk kkk y y y m

32、 m m 多自由度结构无阻尼自由振动微分方程多自由度结构无阻尼自由振动微分方程 12-6 多自由度结构的自由振动 简写为简写为 0YKYM 式中：式中：M为质量矩阵，在集中质点的结构中是对角矩阵；为质量矩阵，在集中质点的结构中是对角矩阵； K 为刚度矩阵，是对称矩阵；为刚度矩阵，是对称矩阵； 为加速度列向量；为加速度列向量；Y为位移列向量。为位移列向量。 Y 柔度法柔度法 将各质点的惯性力看作是静荷载如图将各质点的惯性力看作是静荷载如图a。 结构上任一质点结构上任一质点mi处的位移应为处的位移应为 )( )()( )()( 222111 nnin jjijiiii iii ym ymym ym

33、ymy 12-6 多自由度结构的自由振动 ii、ij为柔度系数其物理意义见图为柔度系数其物理意义见图b、c。 由此，可以建立由此，可以建立n个位移方程个位移方程 0 0 0 222111 2222211212 1221211111 nnnnnnn nnn nnn ymymymy ymymymy ymymymy 多自由度结构无阻尼自由振动微分方程多自由度结构无阻尼自由振动微分方程 12-6 多自由度结构的自由振动 写成矩阵形式为写成矩阵形式为 0 0 0 0 0 2 1 2 1 21 22221 11211 2 1 nnnnnn n n n y y y m m m y y y 简写为简写为 0Y

34、MY 为结构的柔度矩阵，是对称矩阵。为结构的柔度矩阵，是对称矩阵。 可推得可推得 K 1 柔度矩阵与刚度矩阵是互为逆阵。柔度矩阵与刚度矩阵是互为逆阵。 2、按柔度法求解、按柔度法求解 12-6 多自由度结构的自由振动 设位移方程的特解为设位移方程的特解为 ), 2 , 1()sin(nitAy ii 代入位移方程可得代入位移方程可得 0 1 0 1 0 1 2 222111 22 2 2221121 122121 2 111 nnnnnn nnn nnn AmAmAm AmAmAm AmAmAm 振幅方程振幅方程 12-6 多自由度结构的自由振动 写成矩阵形式写成矩阵形式 0 1 2 AIM

35、式中式中 T 21n AAAA振幅列向量振幅列向量 单位矩阵单位矩阵 要得到振幅不全为零的解答，振幅方程组的系数行列式为零。要得到振幅不全为零的解答，振幅方程组的系数行列式为零。 0 1 1 1 2 222111 2 2 2221121 1212 2 111 nnnnn nn nn mAmAm mmAm mmm 频率方程频率方程 或写为或写为 12-6 多自由度结构的自由振动 0 1 2 IM 将行列式展开将行列式展开含含 的的n次代数方程，从而可得到次代数方程，从而可得到n个自个自 振频率振频率1，2，n，将频率从小到大排列，分别称为第，将频率从小到大排列，分别称为第 一，第二，一，第二，

36、，第，第n频率。频率。 将任一将任一k代入特解得代入特解得 ), 2 , 1()sin( )()( nitAy kk k i k i 此时各质点按同一频率此时各质点按同一频率k作同步简谐振动，各质点位移的比值为作同步简谐振动，各质点位移的比值为 )()( 2 )( 1 )()( 2 )( 1 : k n kkk n kk AAAyyy 任何时刻结构的振动都保持同一形状。任何时刻结构的振动都保持同一形状。 主振动主振动多自由度结构按任一自振频率多自由度结构按任一自振频率k进行的简谐振动。进行的简谐振动。 主振型主振型相应的特定振动形式，简称振型。相应的特定振动形式，简称振型。 12-6 多自由度

37、结构的自由振动 ), 2 , 1( 0 1 0 1 0 1 )( 2 )( 222 )( 111 )( 2 )( 2 2 222 )( 1121 )( 1 )( 2212 )( 1 2 111 nk AmAmAm AmAmAm AmAmAm k n k nnn k n k n k nnn k k k k nnn kk k 将将k代回振幅方程得代回振幅方程得 可写为可写为 ), 2 , 1(0 1 )( 2 nkAIM k k 系数行列式为零，系数行列式为零，n个方程中只有个方程中只有(n-1)个是独立的，不个是独立的，不 能确定各质点的幅值，但可确定其比值即振型。能确定各质点的幅值，但可确定其

38、比值即振型。 12-6 多自由度结构的自由振动 T )()( 2 )( 1 )(k n kkk AAAA振型向量振型向量 设设 ，即可求出其余各元素的值，此时振型称为标准化振型。，即可求出其余各元素的值，此时振型称为标准化振型。 1 )( 1 k A 主振动的线性组合构成振动微分方程的一般解：主振动的线性组合构成振动微分方程的一般解： ), 2 , 1()sin( )sin()sin()sin( 1 )( )( 22 )2( 11 )1( nitA tAtAtAy n k kk k i nn n iiii k k i A、 )( 各主振动分量的振幅、初相角各主振动分量的振幅、初相角 由初始条件

39、确定。由初始条件确定。 自振频率、振型：与结构的质量分布和柔度系数有关；自振频率、振型：与结构的质量分布和柔度系数有关； 反映了结构本身固有的动力特性。反映了结构本身固有的动力特性。 12-6 多自由度结构的自由振动 两个自由度结构的振幅方程为两个自由度结构的振幅方程为 0 1 0 1 2 2 2221121 22121 2 111 AmAm AmAm 频率方程为频率方程为 0 1 1 2 2221121 212 2 111 mAm mm 令令 2 1 0)()( 21 2 122211222111 2 mmmm 解得解得 2 )(4)()( 2 )(4)()( 21 2 122211 2 2

40、22111222111 2 21 2 122211 2 222111222111 1 mmmmmm mmmmmm 12-6 多自由度结构的自由振动 可得两个自振频率可得两个自振频率 2 2 1 1 1 1 求第一阵型求第一阵型 将将=1代入振幅方程可得代入振幅方程可得 212 111 2 1 )1( 1 )1( 2 1 1 m m A A 求第二阵型求第二阵型 将将=2代入振幅方程可得代入振幅方程可得 212 111 2 2 )2( 1 )2( 2 2 1 m m A A 12-6 多自由度结构的自由振动 例例12-3 试求图试求图a所示等截面简支梁的自振频率并确定主振型。所示等截面简支梁的自

41、振频率并确定主振型。 解：自由度解：自由度=2，由图，由图b、c可得可得 EI l EI l 486 7 243 4 3 2112 3 2211 求得求得 EI ml EI ml 486486 15 3 2 3 1 得到得到 33 2 2 33 1 1 05.22 4861 69. 5 15 4861 ml EI ml EI ml EI ml EI 12-6 多自由度结构的自由振动 第一阵型第一阵型 1 212 1111 )1 ( 1 )1 ( 2 1 m m A A 第二阵型第二阵型 1 212 1112 )2( 1 )2( 2 2 m m A A 如图如图d，振型是正对称的。，振型是正对称的。 如图如图e，振型是反对称的。，振型是反对称的。 结构的刚度和质量分布是对称的，结构的刚度和质量分布是对称的， 则其主振型是正对称的或反对称的。则其主振型是正对称的或反对称的。 取一半结构计算。取一半结构计算。 12-6 多自由度结构的自由振动 例例12-4 图图a所示刚架各杆所示刚架各杆EI都为常数，假设其质量集中于各结都为常数，假设其质量集中于各结 点处，点处，m2=1.5m1。试确定其自振频率和相应的振型。试确定其自振频率和相应的振型。 解：结构是对称的，其振型为正、反对称两种。由受弯直杆的解：结构是对称的，其振型为正、反对称两种。由受弯直杆的 假定，判定不可