第4章差分方程与滤波课件.ppt
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1、第第4 4章章 差分方程与滤波差分方程与滤波4.1 滤波基础知识滤波基础知识4.2 模拟滤波器和数字滤波器模拟滤波器和数字滤波器4.3 线性、时不变、因果系统线性、时不变、因果系统4.4 差分方程差分方程4.5 叠加原理叠加原理4.6 差分方程流图差分方程流图4.7 脉冲响应脉冲响应 4.8 阶跃响应阶跃响应非递归差分方程非递归差分方程递归差分方程递归差分方程返回 roll-off 滚降滚降 gain 增益增益 pass band 通带通带 stop band 阻带阻带 bandwidth 带宽带宽 linear system 线性系统线性系统 superposition 叠加原理叠加原理 t
2、ime-invariant 时不变时不变 causal system因果系统因果系统 difference equation差分方程差分方程 filter coefficient滤波器系数滤波器系数 recursive filter 递归滤波器递归滤波器 nonrecursive filter 非递归滤波器非递归滤波器 finite word length effect有限字长效应有限字长效应 impulse response 脉冲响应脉冲响应 infinite impulse response(IIR)无限脉冲响应无限脉冲响应 finite impulse response(FIR)有限脉冲
3、响应有限脉冲响应 moving average filter 滑动平均滤波器滑动平均滤波器 step response 阶跃响应阶跃响应4.1 滤波基础知识滤波基础知识滤波器是以特定方式改变信号的频率特性,从而变换信滤波器是以特定方式改变信号的频率特性,从而变换信 号的系统。号的系统。例:例:低通滤波器低通滤波器减少磁带中的高频杂音分量,保留中、减少磁带中的高频杂音分量,保留中、低频率分量。低频率分量。高通滤波器高通滤波器可用于声纳系统中消除信号中船和海的可用于声纳系统中消除信号中船和海的 低频噪声,来识别目标。低频噪声,来识别目标。带通滤波器带通滤波器可用于数字电话系统中双音多频信号的可用于
4、数字电话系统中双音多频信号的 解码。如图解码。如图 4.1 带阻滤波器带阻滤波器除特定频带外,允许所有频率通过。除特定频带外,允许所有频率通过。图图 4.1理想滤波器的形状是矩形,图理想滤波器的形状是矩形,图 4.2 给出非理想滤波器。给出非理想滤波器。图图 4.2滤波器的阶数越高,它的滚降(滤波器的阶数越高,它的滚降(roll-off)越快,也就越逼越快,也就越逼近理想情况。近理想情况。增益高的频率范围,信号可以通过,称为滤波器的通带。增益高的频率范围,信号可以通过,称为滤波器的通带。增益低的频率范围,滤波器对信号有衰减或阻塞作用,称增益低的频率范围,滤波器对信号有衰减或阻塞作用,称滤波器的
5、阻带。滤波器的阻带。增益为最大值的增益为最大值的1 2=0.707所对应的频率为滤波器截止频率所对应的频率为滤波器截止频率增益通常用分贝(增益通常用分贝(dB)表示。增益(表示。增益(dB)=20log(增益)增益)增益为增益为 0.707 时对应时对应-3dB,因此截止频率常被称为因此截止频率常被称为-3dB。它们定义了滤波器的宽带。它们定义了滤波器的宽带。对于低通滤波器宽带是从对于低通滤波器宽带是从0 -3dB 对于高通滤波器宽带是从对于高通滤波器宽带是从-3dB采样频率的一半采样频率的一半对于带通滤波器带宽是截止频率之间的频率距离对于带通滤波器带宽是截止频率之间的频率距离FIGURE 4
6、-3 Band pass filter for Example 4.1.Joyce Van de VegteFundamentals of Digital Signal ProcessingCopyright 2019 by Pearson Education,Inc.Upper Saddle River,New Jersey 07458All rights reserved.FIGURE 4-4 Bandwidth calculation for Example 4.1.Joyce Van de VegteFundamentals of Digital Signal ProcessingCo
7、pyright 2019 by Pearson Education,Inc.Upper Saddle River,New Jersey 07458All rights reserved.低通滤波器可以平滑信号的突变低通滤波器可以平滑信号的突变高通滤波器可以强化信号的锐变高通滤波器可以强化信号的锐变FIGURE 4-5 Effects of low and high pass filters.Joyce Van de VegteFundamentals of Digital Signal ProcessingCopyright 2019 by Pearson Education,Inc.Uppe
8、r Saddle River,New Jersey 07458All rights reserved.FIGURE 4-5 Continued.Joyce Van de VegteFundamentals of Digital Signal ProcessingCopyright 2019 by Pearson Education,Inc.Upper Saddle River,New Jersey 07458All rights reserved.FIGURE 4-5 Continued.Joyce Van de VegteFundamentals of Digital Signal Proc
9、essingCopyright 2019 by Pearson Education,Inc.Upper Saddle River,New Jersey 07458All rights reserved.图图4.6说明不同方式滤波器对语言滤波器可以获说明不同方式滤波器对语言滤波器可以获得不同频率分量(自学)得不同频率分量(自学)返回返回图图 4.64.2模拟滤波器和数字滤波器模拟滤波器和数字滤波器模拟滤波器模拟滤波器是由电器元件构成的电路,滤波器特性对所是由电器元件构成的电路,滤波器特性对所用部件值非常敏感,对外界影响也很敏感,重新设计就用部件值非常敏感,对外界影响也很敏感,重新设计就 要新设计
10、的电路,滤波器介数增加时,所需部件也就越要新设计的电路,滤波器介数增加时,所需部件也就越多。多。数字滤波器数字滤波器用软件实现,很少用硬件,滤波软件只是一用软件实现,很少用硬件,滤波软件只是一系列程序指令,滤波器的性能由一系列数字系数来确定,系列程序指令,滤波器的性能由一系列数字系数来确定,只要重新确定滤波程序的系数就可重新设计数字滤波器。只要重新确定滤波程序的系数就可重新设计数字滤波器。数字滤波器程序实现有两种主要方式。数字滤波器程序实现有两种主要方式。1、用滤波器差分方程,计算滤波器的输出。、用滤波器差分方程,计算滤波器的输出。2、用卷积过程计算输出。、用卷积过程计算输出。返回返回4.3
11、线性、时不变、因果系统线性、时不变、因果系统线性系统:满足叠加原理。线性系统:满足叠加原理。输入输入 x1 的输出为的输出为 y1,输入输入 x2 的输出为的输出为 y2,则当则当输入为两个输入(输入为两个输入(x1,x2)之和时,输出为两个输出之和时,输出为两个输出(y1,y2)之和。之和。X1+x2 y1+y2ax1+bx2 ay1+by2 a,b为权系数为权系数时不变系统:什么时间加上输入,输出都是相同的;换时不变系统:什么时间加上输入,输出都是相同的;换 句话说句话说 输入延迟,相同的量。输入延迟,相同的量。图图 4.7图图 4.8因果系统:一个系统在任何时刻的输出只决定于现在的因果系
12、统:一个系统在任何时刻的输出只决定于现在的 输入以及过去的输入,而与以后的输入关。输入以及过去的输入,而与以后的输入关。也称为不可预测的系统,因为系统的输出无法预测未来也称为不可预测的系统,因为系统的输出无法预测未来的输入值的输入值返回返回4.4 差分方程差分方程差分方程(差分方程(difference equation)可用来描述线性时不变,可用来描述线性时不变,因果数字滤波器。用因果数字滤波器。用x表示滤波器的输入,用表示滤波器的输入,用y表示滤表示滤波器的输出。波器的输出。xn表示在输入,表示在输入,每个值之间有一采样周期延迟每个值之间有一采样周期延迟xn-1表前一输入,表前一输入,同样
13、的,输出对应为同样的,输出对应为ynxn-2表再前一输入,表再前一输入,yn-1,yn-2差分方程一般表示为差分方程一般表示为:a0yn+a1yn-1+aNyn-N =b0 xn+b1xn-1+bMxn-M (1)akyn-K=gkxn-K (2)Ak,bk 为权系数,称为滤波器系数。为权系数,称为滤波器系数。N为所需过去输出的个数,为所需过去输出的个数,M 为所需输入的个数。为所需输入的个数。NK=1 MK=0将将 yn 前变为前变为 1,即,即 a0 为为1,所有系数除以,所有系数除以a0,得:得:yn=-akyn-K+bkxn-K (3)表明了怎样从过去的输出,现在的输入和以前的输入表明
14、了怎样从过去的输出,现在的输入和以前的输入计算滤波器每一个新输出。计算滤波器每一个新输出。数字系统依赖于输入和过去的输出时,称其为递归滤数字系统依赖于输入和过去的输出时,称其为递归滤波器(波器(3式)。当数字系统仅依赖于输入而不依赖过去式)。当数字系统仅依赖于输入而不依赖过去的输出,称的输出,称 其为非递归滤波器。(其为非递归滤波器。(4)式)式 yn=bkxn-K (4)NK=1 MK=0 MK=0下面学习差分方程的使用:下面学习差分方程的使用:例例 4.2 一个滤波器的差分方程为:一个滤波器的差分方程为:yn=0.5yn-1+xn a.确定所有系数确定所有系数 ak,bk。b.它是递归滤波
15、器还是非递归滤波器?它是递归滤波器还是非递归滤波器?c.如果输入如果输入 xn(如图如图 4.9 所示),从所示),从 n=0 开始求出前开始求出前 12 个输出。个输出。图图 4.9 解:解:a.将差分方程重新改写,输出放在左侧,输入放在右侧将差分方程重新改写,输出放在左侧,输入放在右侧yn 0.5yn-1=xn 系数的值很易确定,参照式(系数的值很易确定,参照式(4.1)滤波器的系数为:)滤波器的系数为:a0=1.0,a1=-0.5 及及 b0=1.0,除除 a0,a1,b0 外其他所有系数为零。外其他所有系数为零。b.由于输出由于输出 yn 取决于过去的输出取决于过去的输出 yn-1,所
16、以数所以数 字滤波器是递归滤波器。字滤波器是递归滤波器。c.输出可以从输出可以从 n=0 开始,通过反复计算式(开始,通过反复计算式(4.5)求出。求出。对于对于 n=0 这种情况,计算时需要输出这种情况,计算时需要输出 y-1。本书本书 中,假定数字滤波器是因果的,这就意味着直到第一中,假定数字滤波器是因果的,这就意味着直到第一 个输入不为零时,输出才开始变化。此例中为个输入不为零时,输出才开始变化。此例中为 n=0 所以,所以,y0 以前的所有输出可以假定为零。以前的所有输出可以假定为零。Y0 计算出来以后,可以计算计算出来以后,可以计算 y1。前前 12 个输出为:个输出为:y0=0.5
17、y-1+x0=0.5 x(0.000 0)+1.0=1.000 0y1=0.5y 0+x1=0.5 x(1.000 0)+1.0=1.500 0y2=0.5y1+x2=0.5 x(1.500 0)+1.0=1.750 0y3=0.5y 2+x3=0.5 x(1.750 0)+1.0=1.875 0y4=0.5y 3+x4=0.5 x(1.875 0)+1.0=1.937 5y5=0.5y 4+x5=0.5 x(1.937 5)+1.0=1.968 8y6=0.5y 5+x6=0.5 x(1.968 8)+1.0=1.984 4y7=0.5y 6+x7=0.5 x(1.984 4)+1.0=1.
18、992 2y8=0.5y 7+x8=0.5 x(1.992 2)+1.0=1.996 1y9=0.5y 8+x9=0.5 x(1.996 1)+1.0=1.998 0y10=0.5y 9+x10=0.5 x(1.998 0)+1.0=1.999 0y11=0.5y 10+x11=0.5 x(1.999 0)+1.0=1.999 5 输出示于图输出示于图 4.10。由于输入为一个恒定值,输。由于输入为一个恒定值,输出最终也趋近一个恒值。出最终也趋近一个恒值。图图 4.10例例 4.3 yn=0.5xn 0.3xn-1 a.确定所有系数确定所有系数 ak,bk。b.它是递归滤波器还是非递归滤波器差
19、分方程?它是递归滤波器还是非递归滤波器差分方程?c.输入输入 xn=sin(n2/9)un,求出前求出前 20 个输出。个输出。解:解:a.a0=1.0,b0=0.5 及及 b1=-0.3。由于输出不取决于过去的输出,所以数字滤波器是非由于输出不取决于过去的输出,所以数字滤波器是非 递归滤波器递归滤波器 c.由于输入中有由于输入中有 un,所以所以 n=0 以前的输入为零。以前的输入为零。表表 4.1 给出了输入和输出的前给出了输入和输出的前 20 个值。图个值。图 4.11给给 出了输入和输出的图形。注意,虽然两个信号的幅度出了输入和输出的图形。注意,虽然两个信号的幅度 和相位不同,但它们均
20、具有正弦特性和相同的数字周期。和相位不同,但它们均具有正弦特性和相同的数字周期。表表 4.1 图图 4.11 n -1 0 1 2 3 4 5xn 0.000 0.000 0.643 0.985 0.866 0.342 -0.342yn 0.000 0.000 0.321 0.300 0.138 -0.089 -0.274 n 6 7 8 9 10 11 12xn -0.866 -0.985 -0.643 0.000 0.643 0.985 0.866yn -0.330 -0.223 -0.026 0.193 0.321 0.300 0.138 n 13 14 15 16 17 18 19xn
21、 0.342 -0.342 -0.866 -0.985 -0.643 0.000 0.643yn -0.089 -0.274 -0.330 -0.233 -0.026 0.193 0.321返回返回4.5 叠加原理叠加原理 几个输入同时加到滤波器上,此时滤波器的响应要应几个输入同时加到滤波器上,此时滤波器的响应要应用叠加原理,当滤波器是线形时,多个输入情况较容易用叠加原理,当滤波器是线形时,多个输入情况较容易处理。处理。用两种方法:用两种方法:1)分别计算每一输入的输出,然后把)分别计算每一输入的输出,然后把输出加起来得到总的输出信号。输出加起来得到总的输出信号。2)先把所有输入加起来,然后求
22、滤波)先把所有输入加起来,然后求滤波器对这个和信号的响应。器对这个和信号的响应。例例 4.4 滤波器用差分方程描述为:滤波器用差分方程描述为:yn=xn+0.5xn-1两个输入(如图两个输入(如图 4.12所示所示)加到滤波器上,它们分别是:加到滤波器上,它们分别是:x1n=2unX2n=sin un求出两个信号共同产生的前求出两个信号共同产生的前 20 个输出,并画出图。个输出,并画出图。图图 4.12NN 7 7 解:解:输入为两部分:输入为两部分:x1n=2un,x2n=sinn/7)/7)un。每个输入所对应的输出每个输入所对应的输出y1n,y2n可以单独求出,然后可以单独求出,然后把
23、两个输出相加得到总的输出。注意输入在把两个输出相加得到总的输出。注意输入在n=0之前为之前为零。计算出的前零。计算出的前20个输出如表个输出如表4.2和图和图4.13所示。比如所示。比如n=3的情况,表的情况,表4.2中用黑体表示。中用黑体表示。X1n的输出的输出y1n由下式给出:由下式给出:y1n=x1n+0.5x1n-1这样,这样,y13=x13+0.5x12=2+0.5*(2)=3。X2n的输出的输出y2n为:为:y2n=x2n+0.5x2n-1这样,这样,y23=x23+0.5x22=0.975+0.5*(0.782)=1.37,两个信号总的输出为两个信号总的输出为y1n+y2n,对于
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