随机信号课件第二章-平稳随机过程的谱分析.ppt

1、平稳随机过程的谱分析平稳随机过程的谱分析 2023-1-272本章要解决的问题本章要解决的问题 v随机信号是否也可以应用频域分析方法随机信号是否也可以应用频域分析方法?v傅里叶变换能否应用于随机信号？傅里叶变换能否应用于随机信号？v相关函数与功率谱的关系相关函数与功率谱的关系 v功率谱的应用功率谱的应用 v采样定理采样定理 v白噪声的定义白噪声的定义 2023-1-2732.1 随机过程的谱分析随机过程的谱分析 一一 预备知识预备知识1 付氏变换付氏变换设设x(t)是时间是时间t的非周期实函数，且的非周期实函数，且x(t)满足满足 在在 范围内满足狄利赫利条件范围内满足狄利赫利条件)(tx),

2、(绝对可积，即绝对可积，即)(txdttx)(信号的总能量有限，即信号的总能量有限，即)(txdttx2)(有限个极值有限个极值有限个断点有限个断点断点为有限断点为有限值值2023-1-274则则 的傅里叶变换为：的傅里叶变换为：)(txdtetxXtjX)()(其反变换为：其反变换为：deXtxtjX)(21)(称称 为为 的频谱密度，也简称为频谱。的频谱密度，也简称为频谱。)(tx)(XX包含：振幅谱包含：振幅谱 相位谱相位谱2023-1-2752 帕塞瓦等式帕塞瓦等式dtdeXtxdttxtjX)(21)()(2dtdetxXtjX)()(21dXXXX)()(21*dXX2)(21dX

3、dttxX22)(21)(即即能量谱密度能量谱密度2023-1-276二二 随机过程的功率谱密度随机过程的功率谱密度 应用截取函数应用截取函数 TtTttxtxT0)()(2023-1-277当当x(t)为有限值时，为有限值时，的傅里叶变换存在的傅里叶变换存在 )(txTdtetxTXtjTX)(),(TTtjdtetx)(应用帕塞瓦等式应用帕塞瓦等式 dTXdttxXTT22),(21)(dTXTdttxTXTT22),(41)(21dTXTEdttxTEXTT22),(41)(21除以除以2T取集合平均取集合平均2023-1-278令令 ，再取极限，交换求数学期望和积分的次序，再取极限，交

4、换求数学期望和积分的次序 T dTTXEdttXETXTTTT2),(lim21)(21lim22 功率功率Q)(XS非负非负存在存在 dSdttXETQXTTT )(21)(21lim2（1）Q为确定性值，不是随机变为确定性值，不是随机变量量)(XS（2）为确定性实函数。为确定性实函数。注意：注意：2023-1-279两个结论：两个结论：)(2tXEAQ1 .21lim.TAT表示时间平均表示时间平均 若平稳若平稳)0()()(22XRtXEtXEAQ dSQX)(2122023-1-2710功率谱密度：功率谱密度：描述了随机过程描述了随机过程X(t)的的 功率在各个不同频率上的分布功率在各

5、个不同频率上的分布 称为称为随机过程随机过程X(t)的功率谱密度。的功率谱密度。)(XS)(XS对对 在在X(t)的整个频率范围内积分，的整个频率范围内积分，便可得到便可得到X(t)的功率。的功率。)(XS对于平稳随机过程，有：对于平稳随机过程，有：dStXEX)(21)(22023-1-2711例：设随机过程例：设随机过程 ，其中，其中 皆是实常数，皆是实常数，是服从是服从 上均匀分布的随上均匀分布的随机变量，求随机过程机变量，求随机过程 的平均功率。的平均功率。)cos()(0tatX0和a），（20)(tX)(cos)(0222taEtXE)22cos(1 202taEdtaa)22co

6、s(2220202220022)22sin(22taa解：解：taa0222sin2不是宽平稳的不是宽平稳的)(tX2023-1-2712)(2tXEAQ2)2sin2(212022limadttaaTTTT2023-1-2713三三 功率谱密度与自相关函数之间的关系功率谱密度与自相关函数之间的关系 确定信号：确定信号：)()(jXtx随机信号：平稳随机过程的自相关函数随机信号：平稳随机过程的自相关函数功率谱密度。功率谱密度。1 维纳维纳辛钦定理辛钦定理 若随机过程若随机过程X(t)是平稳的，自相关函数绝对是平稳的，自相关函数绝对可积，则自相关函数与功率谱密度构成一对付可积，则自相关函数与功率

7、谱密度构成一对付氏变换，即：氏变换，即：2023-1-2714deRSjXX)()(deSRjXX)(21)(2.证明：证明：TTXESXTX2),(lim)(2 ),(),(21lim*TXTXETXXT TT21lim)()(221121TTtjTTtjdtetXdtetXE TTTTttjTdtdtetXtXET21)(2112)()(21lim TTTTttjXTdtdtettRT21)(1212)(21lim2023-1-2715设设12tt 12ttu 则则22ut 21 ut所以：所以：2121212121),(),(21 uttJ t1t2-TT2T2Tu-2T Tu2Tu2

8、Tu2Tu22023-1-2716则则dueRdTSjXTTTTX )(2121lim)(2022 )(210222dueRdjXTTT )(2121lim2222dueRdTjXTTTTTdeRTTjXTTT)()2(21lim22deRTjXTTT)()21(lim22deRjX)(deRTjXTTT)(2lim22T02T 0)(XR(注意注意 ，且且 ，。因此，通常情。因此，通常情况下，第二项为况下，第二项为0)0)deRjX)(2023-1-2717推论：对于一般的随机过程推论：对于一般的随机过程X(t)，有：，有：dettRASjXX),()(deSttRAjXX)(21),(平均

9、功率为：平均功率为：dSdttXETXTTT )(21)(21lim2 利用自相关函数和功率谱密度皆为偶函利用自相关函数和功率谱密度皆为偶函数的性质，又可将维纳数的性质，又可将维纳辛钦定理表示成：辛钦定理表示成：0()2()cosXXSRd 01()()cosXXRSd 2023-1-27183单边功率谱单边功率谱 由于实平稳过程由于实平稳过程x(t)的自相关函数的自相关函数 是实偶函数，功率谱密度也一定是实偶函是实偶函数，功率谱密度也一定是实偶函数。有时我们经常利用只有正频率部分的数。有时我们经常利用只有正频率部分的单边功率谱。单边功率谱。)(XR000)(2)(XXSG2023-1-271

10、9例：平稳随机过程的自相关函数为例：平稳随机过程的自相关函数为 ，A0，求过程的功率谱密度。，求过程的功率谱密度。AeRX)(0 解：应将积分按解：应将积分按 和和 分成两部分进行分成两部分进行 deAedeAeSjjX00)(0)(0)()(jeAjeAjjjjA11222A2023-1-2720例：设例：设 为随机相位随机过程为随机相位随机过程其中，其中，为实常数为实常数 为随机相位，在为随机相位，在 均匀分布。可以推导出这个过程为广义平稳均匀分布。可以推导出这个过程为广义平稳随机过程，自相关函数为随机过程，自相关函数为 求求 的功率谱密度的功率谱密度 。)(tX)cos()(0tAtX0

11、,A)2,0()cos(2)(02tARX)(XS)(tX2023-1-2721解：注意此时解：注意此时 不是有限值，即不不是有限值，即不可积，因此可积，因此 的付氏变换不存在，需要的付氏变换不存在，需要引入引入 函数。函数。dRX )()(XR deAdeRSiiXX)cos(2)()(02deeeAjjj22002)2)(cos(000jjeedeeeAjjj）（0042)()(2002A)(2(00je2023-1-2722例：设随机过程例：设随机过程 ，其中，其中 皆皆为常数，为常数，为具有功率谱密度为具有功率谱密度 的平稳随的平稳随机过程。求过程机过程。求过程 的功率谱密度。的功率谱

12、密度。ttaXtY0sin)()(0,a)(tX)(XS)(tY解：解：)()(),(tYtYEttRY)(sin)(sin)(00ttaXttaXE2000()coscos(2)2XaRt dettRASjYY),()(deRajX02cos)(2)()(4002XXSSa2023-1-2723四四 平稳随机过程功率谱密度的性质平稳随机过程功率谱密度的性质 1 功率谱密度为非负的功率谱密度为非负的,即即 0)(XS证明：证明：TTXESXTX2),(lim)(20),(2TXX0)(XS2 功率谱密度是功率谱密度是 的实函数的实函数 2023-1-27243 对于实随机过程来说，功率谱密度是

13、对于实随机过程来说，功率谱密度是 的偶函数，的偶函数，即即)()(XXSS证明：证明：)(txT是实函数是实函数*)(),(dtetxTXtjTXdtetxtjT)(dtetxtjT)()(),(TXX),(),(),(*2TXTXTXXXX),(),(TXTXXX),(),(*TXTXXX2),(TXXTTXESXTX2),(lim)(2)()(XXSS又又2023-1-27254 功率谱密度可积，即功率谱密度可积，即 dSX)(证明：对于平稳随机过程，有：证明：对于平稳随机过程，有：dStXEX)(21)(2平稳随机过程的均方值有限平稳随机过程的均方值有限dSX)(2023-1-27262

14、.2 联合平稳随机过程的互谱密度联合平稳随机过程的互谱密度一、互谱密度一、互谱密度 考虑两个平稳实随机过程考虑两个平稳实随机过程X(t)、Y(t)，它们它们的样本函数分别为的样本函数分别为 和和 ，定义两个截取，定义两个截取函数函数 、为：为：)(tx)(ty txT tyTTtTttxtxT0)()(TtTttytyT0)()(2023-1-2727 因为因为 、都满足绝对可积的条件，都满足绝对可积的条件，所以它们的傅里叶变换存在。在时间范围所以它们的傅里叶变换存在。在时间范围 (-T，T)内，两个随机过程的互功率内，两个随机过程的互功率 为为:（注意（注意 、为确定性函数，所以求平均为确定

15、性函数，所以求平均功率只需取时间平均）功率只需取时间平均）txT tyT)(TQXY txT tyTTTTTXYdttytxTTQ)()(21)(TTdttytxT)()(21 由于由于 、的傅里叶变换存在，故帕的傅里叶变换存在，故帕塞瓦定理对它们也适用，即塞瓦定理对它们也适用，即:txT tyT2023-1-2728dttytxTT)()(*dTYTXYX),(),(21*dttytxTT)()(TTXYdttytxTTQ)()(21)(dTTYTXYX2),(),(21*注意到上式中，注意到上式中，和和 是任一样本函数，因是任一样本函数，因此具有随机性，取数学期望，并令此具有随机性，取数学

16、期望，并令 得：得：)(tx)(ty T2023-1-2729)()(21lim)(limdttytxTEQTQETTTXYXYT ),(21limdtttRTTTXYTdTTXTXEYXT2),(),(lim21*定义互功率谱密度为：定义互功率谱密度为：),(),(21lim)(*TXTXETSYXTXYdSQXYXY)(21则则2023-1-2730同理，有：同理，有：),(),(21lim)(*TXTXETSXYTYXdSQYXYX)(21YXXYQQ且且以上定义了互功率和互功率谱密度，并导出了它们之间的关系。以上定义了互功率和互功率谱密度，并导出了它们之间的关系。2023-1-2731

17、二、互谱密度和互相关函数的关系二、互谱密度和互相关函数的关系自相关函数自相关函数 功率谱密度功率谱密度 F互相关函数互相关函数 互谱密度互谱密度 F 定义：对于两个实随机过程定义：对于两个实随机过程X(t)、Y(t)，其互谱密度其互谱密度 与互相关函数与互相关函数 之间之间的关系为的关系为)(XYS),(ttRXYdettRASjXYXY),()()(),(XYXYSttRA即即2023-1-2732若若X(t)、Y(t)各自平稳且联合平稳，则有各自平稳且联合平稳，则有)()(XYXYSRdeRSjXYXY)()(deSRjXYXY)(21)(即即结论：对于两个联合平稳结论：对于两个联合平稳(

18、至少是广义联合平至少是广义联合平稳稳)的实随机过程，它们的互谱密度与其互相的实随机过程，它们的互谱密度与其互相关函数互为傅里叶变换。关函数互为傅里叶变换。2023-1-2733三、互谱密度的性质三、互谱密度的性质性质性质1 1：)()()(*YXYXXYSSS 证明：证明：deRSjXYXY)()(deRjYX)(（令（令 ）deRjYX)()(*YXSdeRjYX)()()(YXS2023-1-2734性质性质2：)(Re)(ReXYXYSS)(Re)(ReYXYXSS证明：证明：deRSjXYXY)()(djRXY)sin()cos(dRSXYXYcos)()(RedRXYcos)()(R

19、eXYS（令（令 ）同理可证同理可证)(Re)(ReYXYXSS2023-1-2735性质性质3：)(Im)(ImXYXYSS)(Im)(ImYXYXSS证明：类似性质证明：类似性质2证明。证明。性质性质4：若若X(t)与与Y(t)正交，则有正交，则有 0)(YXS0)(XYS证明：若证明：若X(t)与与Y(t)正交，则正交，则 0),(),(2121ttRttRYXXY所以所以0)()(YXXYSS2023-1-2736性质性质5 5：若若X(t)与与Y(t)不相关，不相关，X(t)、Y(t)分分别具有常数均值别具有常数均值 和和 ，则，则 XmYm)(2)()(YXYXXYmmSS证明：证

20、明：因为因为X(t)与与Y(t)不相关，所以不相关，所以YXmmtYtXE)()(21 deRSjXYXY )()(demmjYX)(2YXmm)(21（）2023-1-2737性质性质6：)(),(XYXYSttRA)(),(YXYXSttRA例：设两个随机过程例：设两个随机过程X(t)和和Y(t)联合平稳，联合平稳，其互相关函数其互相关函数 为为:)(XYR0009)(3eRXY求互谱度求互谱度 ，。)(XYS)(YXS2023-1-2738解：解：deRSjXYXY)()(deej39(3)09jed j39jSSXYYX39)()(*2023-1-27392.3 离散时间随机过程的功率

21、谱密度离散时间随机过程的功率谱密度一一 离散时间随机过程的功率谱密度离散时间随机过程的功率谱密度1 1 平稳离散时间随机过程的相关函数平稳离散时间随机过程的相关函数 设设X(n)为广义平稳离散时间随机过程，为广义平稳离散时间随机过程，或简称为广义平稳随机序列，具有零均值，或简称为广义平稳随机序列，具有零均值，其自相关函数为其自相关函数为:)()()(mTnTXnTXEmRX简写为：简写为：)()()(mnXnXEmRX2023-1-27402 平稳离散时间随机过程的功率谱密度平稳离散时间随机过程的功率谱密度 当当 满足条件式满足条件式 时，我们时，我们定义定义 的功率谱密度为的功率谱密度为 的

22、离散傅里叶的离散傅里叶变换，并记为变换，并记为)(mRXmXmR)()(nX)(mRX)(XSTjmmXXemRS)()(T是随机序列相邻各值的时间间隔。是随机序列相邻各值的时间间隔。是频率为是频率为 的周期性连续函数，其的周期性连续函数，其周期为周期为)(XS qT 22记为记为 奈奎斯特频率奈奎斯特频率 2023-1-2741因为因为 为周期函数，周期为为周期函数，周期为 ，)(XSq 2deSmRTjmXqXqq)(21)(0m在在 时时dSRnXEqqXqX)(21)0()(22023-1-27423 谱分解谱分解 z变换定义变换定义 在离散时间系统的分析中，常把广义平稳在离散时间系统

23、的分析中，常把广义平稳离散时间随机过程的功率谱密度定义为离散时间随机过程的功率谱密度定义为 的的z变换，并记为变换，并记为 ，即，即)(mRX zSX mmXXzmRzS)(式中式中TjezdzzzSjmRmDXX1)(21)(式中，式中，D为在为在 的收敛域内环绕的收敛域内环绕z平面原点反平面原点反时针旋转的一条闭合围线。时针旋转的一条闭合围线。zSX 2023-1-2743 性质性质 zSzSXX1)(（因为（因为 ）)()(mRmRXX 谱分解定理谱分解定理 设设X(n)是广义平稳实离散随机过程，是广义平稳实离散随机过程，具有有理功率谱密度函数具有有理功率谱密度函数 。则。则 可可分解为

24、：分解为：zSX zSX )()(1zBzBzSX)()()()()(11MMzzzzCzB)()()()()(1111111MMzzzzCzB其中其中包含了包含了单位圆之内单位圆之内的全部零点和极点的全部零点和极点包含了包含了单位圆之外单位圆之外的全部零点和极点的全部零点和极点2023-1-2744例：设例：设 ，求，求 和和1,)(aamRmX)(zSX)(XS解：解：mmmmmmXzazazS01)(azzazaz1)1)()1(2azazza)1)(1()1(12azaza)()(111zzaaaa将将z=代人上式，即可求得代人上式，即可求得je11()2cosXaaSaa2023-1

25、-2745功率谱密度和复频率平面功率谱密度和复频率平面 js0js js)(sSX)(XS（只是记号相同，函数形式不同）（只是记号相同，函数形式不同）9104)(242XS例：例：910)4()(242ssssSXjs)3)(3)(1)(1()2)(2(ssssss2-23-3-11j02023-1-2746二二 谱分解定理谱分解定理 1 谱分解谱分解 在平稳随机过程中有一大类过程，它们在平稳随机过程中有一大类过程，它们的功率谱密度为的功率谱密度为 的有理函数。在实际中，的有理函数。在实际中，许多随机过程的功率谱密度都满足这一条许多随机过程的功率谱密度都满足这一条件。即使不满足，也常常可以用有

26、理函数件。即使不满足，也常常可以用有理函数来逼近来逼近 。这时。这时 可以表示为两个可以表示为两个多项式之比，即多项式之比，即 )(XS)(XS2023-1-2747 若用复频率若用复频率s来表示功率谱密度，那么，对来表示功率谱密度，那么，对于一个有理函数，总能把它表示成如下的因式于一个有理函数，总能把它表示成如下的因式分解形式：分解形式：)()()()()(21212NMXbsbsasasasS02222222022222220)()(dddcccSSNNNMMMX2023-1-2748 据平稳随机过程的功率谱密度的性质，据平稳随机过程的功率谱密度的性质，可以导出关于可以导出关于 的零、极点

27、的如下性质的零、极点的如下性质：)(XS（1）为实数。为实数。2（2）的所有虚部不为的所有虚部不为0的零点和极点的零点和极点都成复共轭出现。都成复共轭出现。)(XS（3）的所有零、极点皆为偶重的。的所有零、极点皆为偶重的。)(XS（4）MN。2023-1-27492 谱分解定理谱分解定理 根据上面的性质，可将根据上面的性质，可将 分解成两项之积，分解成两项之积，即：即：)(XS)()()(sSsSsSXXX)()()()()(11NMXssssasS)()()()()(*1*1NMssssasSX其中其中（零极点在（零极点在s s上半平面）上半平面）（零极点在（零极点在s s下半平面）下半平面

28、）*)()(sSsSXX22)()()(sSsSsSXXX且且谱分解定理谱分解定理 jjXdssSjtXE)(21)(2此时此时2023-1-27503 为有理函数时的均方值求法为有理函数时的均方值求法)(XS（1）利用）利用)(XR)0()()(02XXXRRtXE （2）直接利用积分公式）直接利用积分公式 dStXEXX)(21)(2（3）留数法）留数法 2023-1-2751预备知识：留数定理预备知识：留数定理 设设 为复变量为复变量s的函数，其绕原点的简的函数，其绕原点的简单闭曲线单闭曲线C反时针方向上和曲线反时针方向上和曲线C内部只有几内部只有几个极点个极点)(sBips 则：则：n

29、iCdssBj1()(21内部极点的留数）曲线pssBps )()(pssBpsdsd )()(2一阶留数一阶留数 二阶留数二阶留数 2023-1-2752jjXdssSjtXE)(21)(2 上式积分路径是沿着上式积分路径是沿着 轴，应用留数法时，要轴，应用留数法时，要求积分沿着一个闭合围线进行。为此，考虑沿着求积分沿着一个闭合围线进行。为此，考虑沿着左半平面上的一个半径为无穷大的半圆积分。根左半平面上的一个半径为无穷大的半圆积分。根据留数定理，不难得出据留数定理，不难得出j）左半平面内极点的留数()(2tXE2023-1-2753例例:考虑一个广义平稳随机过程考虑一个广义平稳随机过程X(t

30、)，具有功，具有功率谱密度率谱密度 9104)(242XS)(2tXE求过程的均方值求过程的均方值解解:用复频率的方法来求解。用复频率的方法来求解。用用 代入上式得用复频率代入上式得用复频率s表示得功率表示得功率谱密度：谱密度：js 910)4()(242ssssSX2023-1-2754因式分解：因式分解：(2)(2)()(1)(3)(1)(3)XssSsssss2-23-3-11j0 在左半平面内有两在左半平面内有两个极点：个极点：-1和和-3。于是可。于是可以分别计算这两个极点的以分别计算这两个极点的留数为：留数为：)(sSX163)3)(1)(3()2)(2(11ssssssK485)

31、3)(1)(1()2)(2(33ssssssK247485163)(2tXE故：故：2023-1-2755连续时间平稳随机过程离散时间平稳随机过程自相关函数功率谱密度功率谱密度自相关函数)(tX)(nX)(cR)(mR)(S)(cSFTDFT2023-1-2756连续时间连续时间确知信号确知信号离散时间离散时间确知信号确知信号)(tS)(nS采样采样香农采样定理香农采样定理2023-1-2757连续时间平连续时间平稳随机过程稳随机过程离散时间平离散时间平稳随机过程稳随机过程)(tX)(nX 采样采样2023-1-2758其中，其中，T为采样周期，为采样周期，为在为在 时对时对 的采样。的采样。

32、),(ccnccntntnTsts)sin()()(cf2/1)(nTsnTt)(ts)(ts)(ts二二 平稳随机过程的采样定理平稳随机过程的采样定理2023-1-2759连续时间连续时间确知信号确知信号离散时间离散时间确知信号确知信号)(tS)(nS采样采样香农采样定理香农采样定理nccntntnTsts)sin()()()()(nTSnS2023-1-2760连续时间平连续时间平稳随机过程稳随机过程离散时间平离散时间平稳随机过程稳随机过程)(tX)(nX 采样采样2023-1-2761其它0)()(cXXSScf21T)(tX)(tXNNnccNntntnTXmi ltX)sin()(.

33、)(二二 平稳随机过程的采样定理平稳随机过程的采样定理2023-1-2762)(XR)()(XXSR)(XSnccXXnnnTRR)sin()()(的带宽也是有限a,)()(ajXXeSaRajXeS)()(aRXnccXXnnanTRaR)sin()()(令 ，则anccXXnanaanTRR)()(sin()()(对 ，对 应用香农采样定理的，)(XR2023-1-2763NNnccntntnTXtX)sin()()(令)()()(limmTXtXtXEN，则nccXXntntmTnTRmTtR)sin()()(=0nccXXnnanTRaR)sin()()(nccXXntntmTnTRm

34、TtR)sin()()(ttmTa mTa 这说明，N)()(tXtX)(mTX正交 又 是 的线性组合，NNnccntntnTXtX)sin()()()(mTX因此N正交)()(tXtX)(tX2023-1-2764即 0)()()(limtXtXtXEN(4)又)()()(limtXtXtXENnccXXntnttnTRR)sin()()0(0(5)nccXXnanaanTRR)()(sin()()(nccXXntnttnTRR)sin()()0(00ta ta 02)()(limtXtXEN)()()()()()(limtXtXtXtXtXtXEN=0即NNnccNntntnTXmi l

35、tX)sin()(.)(2023-1-2765nccXXnnnTRR)sin()()(nccXXnnanTRaR)sin()()(nccXXnanaanTRR)()(sin()()(0)()()(limtXtXtXEN(4)()()(limtXtXtXEN(5)02)()(limtXtXEN=0NNnccNntntnTXmi ltX)sin()(.)(2023-1-2766连续时间平连续时间平稳随机过程稳随机过程离散时间平离散时间平稳随机过程稳随机过程)(tX)(nXNNnccNntntnTXmi ltX)sin()(.)(采样采样)(nX)(nTX=自相关函数自相关函数功率谱密度功率谱密度功

36、率谱密度功率谱密度自相关函数自相关函数)(cR)(mR)(S)(cSFTDFT 2023-1-2767 若平稳连续时间实随机过程若平稳连续时间实随机过程 ，其自相关函数和，其自相关函数和功率谱密度分别记为功率谱密度分别记为 和和 ，对，对 采样后所得采样后所得离散时间随机过程离散时间随机过程 ，的自相关函数和功的自相关函数和功率谱密度分别记为率谱密度分别记为 和和 ，则有，则有)(tX)(cR)(cS)(tX)()(nTXnX)(nX)(mR)(S)()(mTRmRc )2(1)(qncnSTS Tq三三 功率谱密度的采样定理功率谱密度的采样定理2023-1-2768证明:(1)根据定义)(m

37、R=)()(mnXnXE=)()(TmnXnTXE=)(mTRc由)()(mTRmRc可见，)(mR，即样可得)()(mTRmRc=)()(PRcnnTP)()()(S)(cSkTkT)2(2=21kcTkST)2(1kqckST)2(1Tq(2)(cR进行等间隔的采对2023-1-2769连续时间平稳随机过程离散时间平稳随机过程)(tX)(nXNNnccNntntnTXmi ltX)sin()(.)(采样)()(nTXnX自相关函数功率谱密度功率谱密度自相关函数)(cR)(mR)(S)(cSF TDFT)()(mTRmRc)2(1)(qncnSTSTq2023-1-27702.4 白噪声白噪

38、声一、理想白噪声一、理想白噪声定义：若定义：若N(t)为一个具有零均值的平稳随机为一个具有零均值的平稳随机过程，其功率谱密度均匀分布在过程，其功率谱密度均匀分布在 的整的整个频率区间，即个频率区间，即),(021)(NSN其中其中 为一正实常数，则称为一正实常数，则称N(t)为白噪声过为白噪声过程或简称为白噪声。程或简称为白噪声。0N2023-1-2771自相关函数为自相关函数为 deSRjNN)(21)(deNj40)(210N0001)0()()(NNNRRr自相关系数为自相关系数为 2023-1-2772总结：总结：（1）白噪声只是一种理想化的模型，是不存在的。）白噪声只是一种理想化的模

39、型，是不存在的。（2）白噪声的均方值为无限大）白噪声的均方值为无限大 )0(2)0()(02 NRtXEN而物理上存在的随机过程，其均方值总是有而物理上存在的随机过程，其均方值总是有限的。限的。（3）白噪声在数学处理上具有简单、方便等优点。）白噪声在数学处理上具有简单、方便等优点。2023-1-2773二、限带白噪声二、限带白噪声(包括低通型和带通型包括低通型和带通型)1低通型低通型定义：若过程的功率谱密度满足定义：若过程的功率谱密度满足 WWSSX0)(0则称此过程为低通型限带白噪声。将白噪则称此过程为低通型限带白噪声。将白噪声通过一个理想低通滤波器，便可产生出声通过一个理想低通滤波器，便可

40、产生出低通型限带白噪声。低通型限带白噪声。2023-1-2774低通型限带白噪声的自相关函数为低通型限带白噪声的自相关函数为deSRjXX)(21)(WWjdeS021WWWS sin02023-1-2775图图3.11示出了低通型限带白噪声的示出了低通型限带白噪声的 和和 的图形，注意，时间间隔的图形，注意，时间间隔 为整为整数倍的那些随机变量，彼此是不相关的数倍的那些随机变量，彼此是不相关的（均值为（均值为0，相关函数值为，相关函数值为0）。）。)(XS)(XRW 2023-1-27762.带通型带通型带通型限带白噪声的功率谱密度为带通型限带白噪声的功率谱密度为 其它022)(000WWS

41、SX 由维纳由维纳辛钦定理，得到相应的自相关辛钦定理，得到相应的自相关函数为函数为 00cos)2/()2/sin()(WWWSRX2023-1-2777 带通型限带带通型限带白噪声的白噪声的 和和 的图形的图形)(XS)(XR2023-1-2778三、色噪声三、色噪声 按功率谱密度函数形式来区别随机过程，按功率谱密度函数形式来区别随机过程，我们将把除了白噪声以外的所有噪声都称我们将把除了白噪声以外的所有噪声都称为有色噪声或简称色噪声。为有色噪声或简称色噪声。2023-1-2779小小 结结 1.随机过程的时间无限性，导致能量无限，随机过程的时间无限性，导致能量无限，因而随机过程的付氏变换不存

42、在，但其功因而随机过程的付氏变换不存在，但其功率存在。所以，不能对随机过程直接求付率存在。所以，不能对随机过程直接求付氏变换，即：氏变换，即：)()(jXtX 但相关函数与功率谱密度构成一对付氏变但相关函数与功率谱密度构成一对付氏变换，即换，即)(),(XXSttRA 若随机过程若随机过程X(t)平稳，则平稳，则)()(XXSR2023-1-27802.平均功率的三种求法：平均功率的三种求法：留数；对功率谱密度求积分（有个留数；对功率谱密度求积分（有个 系数）；系数）；求相关函数后令求相关函数后令 .210 一般过程：一般过程：3.随机过程的平均功率：随机过程的平均功率：dttXETT)(21lim2即集合平均统计平均。即集合平均统计平均。4.特定函数的付氏变换需记忆。特定函数的付氏变换需记忆。